Matematyka dyskretna, seria 5 (zasada wª¡czaniawyª¡czania)
Zad 1. Ile jest dodatnich liczb caªkowitych nie wi¦kszych ni» 800, które:
a) nie s¡ podzielne ani przez 3, ani przez 7, b) nie s¡ podzielne ani przez 4, ani przez 6?
Zad 2. Spo±ród stu studentów pi¦¢dziesi¦ciu uczy si¦ j¦zyka francuskiego, czter- dziestu ªaciny, a dwudziestu obu tych j¦zyków. Ilu z nich nie uczy si¦ ani fran- cuskiego, ani ªaciny?
Zad 3. W trzydziestoosobowej klasie dwudziestu uczniów uczy si¦ j¦zyka an- gielskiego, czternastu j¦zyka niemieckiego, a dziesi¦ciu francuskiego. Je±li »adne dziecko nie uczy si¦ wszystkich trzech j¦zyków, a o±mioro nie uczy si¦ »adnego, to ilu uczy si¦ niemieckiego i francuskiego?
Zad 4. Do pracy zgªosiªo si¦ 20 tªumaczy. W±ród nich 11 znaªo rosyjski, 10 znaªo hiszpa«ski i 12 znaªo angielski. Okazaªo si¦, »e 7 z nich znaªo j¦zyk rosyjski i hiszpa«ski, 5 znaªo hiszpa«ski i angielski, a 6 znaªo rosyjski i angielski.
Wszystkie trzy wymienione j¦zyki znaªo tylko 3 tªumaczy.
a) Ilu z nich nie znaªo »adnego z wymienionych j¦zyków?
b) Ilu z nich znaªo tylko j¦zyk angielski z tych trzech wymienionych?
c) Ilu z nich znaªo dokªadnie 2 j¦zyki z tych trzech wymienionych?
Zad 5.* Zbadaj ±redni¡ liczb¦ punktów staªych permutacji zbioru n-elementowego.
Wsk. 1. Zbadaj, wypisuj¡c wszystkie permutacje, przypadki n = 3, 4 i postaw hipotez¦ jaki b¦dzie wynik.
Wsk. 2. Ile jest permutacji maj¡cych dokªadnie k punktów staªych?
Zad 6. Ile jest rozmieszcze« siedmiu rozró»nialnych kul do trzech rozró»nialnych pudeªek, przy których przynajmniej jedno pudeªko pozostanie puste?
Zad 7. Mamy siedem (rozró»nialnych) owoców i troje dzieci. Na ile sposobów mo»emy rozdzieli¢ owoce pomi¦dzy dzieci tak, »eby ka»de dziecko dostaªo cho- cia» jeden owoc?
Wsk: Rozwi¡za¢ poprzednie zadanie.
Zad 8. Ile jest surjekcji zbioru n-elementowego w zbiór m ≤ n elementowy?
Wsk: Przemy±le¢ przypadek n = 7, m = 3.
