Matematyka dyskretna, seria 9 (funkcje tworz¡ce) Zad 1.

Matematyka dyskretna, seria 9 (funkcje tworz¡ce)

Zad 1. Wyznaczy¢ funkcje tworz¡ce ci¡gów danych rekurencjami:

a) an= 2an−1+ 3an−2, a0= 1, a1= 3, b) bn= bn−1+ 2bn−2+ 3ⁿ, b0= 0, b1= 1, c) 2c_n= c_n−1+ 1, c₀= 2.

Zad 2. Wyznaczy¢ funkcj¦ tworz¡c¡ liczby mo»liwych podziaªów (nierozró»- nialnych) jabªek w±ród pi¦ciu osób, je»eli

a) nie ma dodatkowych ogranicze«,

b) ka»da osoba otrzyma co najmniej jedno jabªko,

c) pierwsze dwie osoby mog¡ otrzyma¢ co najwy»ej 5 jabªek, a pozostaªe trzy osoby mog¡ otrzyma¢ parzyst¡ liczb¦ jabªek.

Zad 3. Znale¹¢ funkcj¦ tworz¡c¡ dla liczby rozmieszcze« k identycznych kul w czterech rozró»nialnych szuadkach, przy czym pierwsza szuada zawiera parzy- st¡ liczb¦ kul, druga i trzecia zawieraj¡ nieparzyst¡ liczb¦ kul, a czwarta mo»e zawiera¢ co najwy»ej osiem kul. Wyznaczy¢ liczb¦ rozmieszcze« dla k = 7 kul.

Zad 4. Ile rozwi¡za« równania

x₁+ x₂+ x₃+ x₄= 8 speªnia warunki x1, x₂∈ {0, 2, 4}, x3, x₄∈ {1, 3, 5}.

Zad 5. Na ile sposobów mo»na rozmie±ci¢ 30 identycznych kul w sze±ciu (roz- ró»nialnych) szudkach, je±li pierwsze dwie szuadki mog¡ zawiera¢ co najwy»ej dziesi¦¢ kul, a pozostaªe mog¡ zawiera¢ dowoln¡ liczb¦ kul. Zadanie rozwi¡za¢

bez u»ycia funkcji tworz¡cej, a nast¦pnie przy jej u»yciu.

Zad 6. Znale¹¢ liczb¦ rozmieszcze« 20 identycznych kul w pi¦ciu ró»nych pu- deªkach, je±li ka»de pudeªko ma zawiera¢ od dwóch do siedmiu kul. Zadanie rozwi¡za¢ bez u»ycia funkcji tworz¡cej, a nast¦pnie przy jej u»yciu.

Zad 7. Na ile sposobów mo»na uzyska¢ sum¦ 20 oczek na o±miu ró»nych kost- kach do gry?

Zad 8. Na ile sposobów mo»na rozmieni¢ 20 zª na monety 1, 2 i 5 zª je±li mamy do dyspozycji co najwy»ej dziesi¦¢ zªotówek, pi¦¢ dwuzªotówek oraz cztery pi¦- ciozªotówki?

Zad 9. Wykaza¢, »e liczba sposobów rozmieszczenia nawiasów w iloczynie x0x1x2. . . xn speªnia rekurencj¦ Catalana.

Zad 10. Wykaza¢, »e liczby nast¦puj¡cych struktur s¡ liczbami Catalana:

a) ci¡gi binarne skªadaj¡ce si¦ z n zer i n jedynek takie, »e dla ka»dego 1 ≤ k ≤ 2nna pocz¡tkowych k pozycjach liczba zer jest nie mniejsza ni»

liczba jedynek, np. dla n = 3

(000111), (001101), (001011), (010011), (010101)

b) tablice o dwóch wierszach i n kolumnach, w które wpisano wszystkie liczby ze zbioru {1, 2, . . . . , 2n} w ten sposób, »e w ka»dej kolumnie i ka»dym wierszu wpisane warto±ci tworz¡ ci¡g rosn¡cy, np. dla n = 3

1 2 3 4 5 6

1 2 5 3 4 6

1 2 4 3 5 6

1 3 4 2 5 6

1 3 5 2 4 6