MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 1896-771X 44, s. 139-144, Gliwice 2012
NUMERYCZNE ASPEKTY ANALIZY
STATECZNOŚCI STATYCZNEJ I DYNAMICZNEJ PŁYT GRADIENTOWYCH
ZBIGNIEW KOŁAKOWSKI,KATARZYNA KOWAL-MICHALSKA, RADOSŁAW J.MANIA
Katedra Wytrzymałości Materiałów i Konstrukcji, Politechnika Łódzka e-mail: Radoslaw.Mania@p.lodz.pl
Streszczenie. W pracy przedstawiono analizę statyczną i dynamiczną wyboczenia płyt z materiałów gradientowych poddanych jednokierunkowemu ściskaniu. Udział objętościowy ceramiki i metalu zmienia się według funkcji wykładniczej po grubości płyty. Rozważane są płyty prostokątne przegubowo podparte na wszystkich brzegach. Analizowane są stany krytyczne i zakrytyczne dla obciążeń statycznych oraz zachowanie płyty pod wpływem obciążeń impulsowych o skończonym czasie trwania. Rozwiązanie uzyskano metodą elementów skończonych. Gradacja właściwości płyty nasuwa problemy z realizacją warunków brzegowych (przegubowe podparcie, obciążenie przemieszczeniem) przyjętych w modelu obliczeniowym, prowadzące do różnic w otrzymanych wynikach.
1. WPROWADZENIE
Materiały gradientowe (Functionally Graded Materials) są względnie nową klasą materiałów kompozytowych (wprowadzonych do praktyki inżynierskiej w połowie lat 80.XX wieku), które cieszą się dużym zainteresowaniem badawczym i aplikacyjnym. Typowy materiał gradientowy (FGM) jest niejednorodnym kompozytem złożonym z dwóch składników - zazwyczaj fazy metalicznej i ceramiki. Najczęściej zawartość objętościowa tych faz zmienia się stopniowo wzdłuż grubości płyty czy powłoki. Eliminuje to niekorzystne efekty pomiędzy warstwami (np. koncentracje naprężeń tnących i/lub termicznych), typowe w kompozytach warstwowych wzmacnianych włóknami. Połączenie ceramiki z komponentem metalowym daje także szczególne właściwości tych struktur - dużą odporność na wysokie temperatury (ceramika) i dobrą wytrzymałość mechaniczną (metal), redukującą dodatkowo kruchość całej struktury gradientowej. W konstrukcjach cienkościennych z materiałów gradientowych należy także uwzględnić efekt poprzecznego ścinania pomijany w teorii kompozytowych płyt cienkich typu Kirchhoffa-Love’a (CLP). Wymienione powyżej cechy fizyczne i wytrzymałościowe sprawiają, że wiodącym obszarem zastosowań materiałów gradientowych są konstrukcje pracujące w wysokich temperaturach [3]. Wśród tych aplikacji można wskazać statki kosmiczne, reaktory atomowe czy konstrukcje dla przemysłu chemicznego lub obronnego.
Obok obciążeń termicznych można rozważać obciążenia mechaniczne statyczne bądź dynamiczne w warunkach stałej temperatury, czyli przypadku, gdy gradacja właściwości materiału gradientowego dotyczy jedynie mechanicznych cech jego składników, przy założeniu, iż nie zależą one od temperatury. W niniejszej pracy przeprowadzono nieliniową analizę wyboczenia prostokątnej płyty z materiału gradientowego (FGM), poddaną jednokierunkowemu ściskaniu w płaszczyźnie płyty. Obciążenie to miało charakter zarówno statyczny jak i dynamiczny w postaci impulsu prostokątnego o skończonym czasie trwania.
W analizie tego zagadnienia zaobserwowano pewne problemy obliczeniowe i im poświęcono szczególną uwagę.
2. WYBOCZENIE PŁYT GRADIENTOWYCH - STATYKA
Analizie stateczności statycznej i zachowania w stanie zakrytycznym płyt z materiałów gradientowych poświęcona jest monografia [3], w której na podstawie teorii ścinania wyższego rzędu (HSDT) zaproponowanej przez Reddy’ego dla kompozytów wielowarstwowych rozpatrzono kilka przypadków obciążeń płyt (osiowe ściskanie, temperatura, wzbudzenie od warstw piezoelektrycznych) oraz powłok (osiowe ściskanie, skręcanie i ciśnienie zewnętrzne). Metoda Lapunowa w asymptotycznym rozwiązaniu płyty obciążonej w swojej płaszczyźnie zmiennym w czasie obciążeniem jest przedstawiona w pracy [11].
W niniejszej pracy dla wyprowadzenia równań stateczności zastosowano zależności konstytutywne dla cienkich płyt kompozytowych [1], a w przypadku równań ruchu teorię ścinania pierwszego rzędu (FSDT) [5]. Przyjęto, że rozkład właściwości płyty wzdłuż grubości opisany jest za pomocą prawa wykładniczego (1). Modelowanie gradacji stałych materiałowych odbywa się przez dobór wykładnika q występującego w tym prawie [6].
2 , ) 1
(
q
c t
z z
V
(1)
W równaniu (1) Vc(z) oznacza objętościowy udział ceramiki w strukturze materiału gradientowego. Wówczas właściwości materiału gradientowego można wyrazić następująco:
q m
c
m h
t E z
E E z
E
2
) 2 (
)
( (2a)
q m
c
m h
t
z z
2
) 2 (
)
( (2b)
Analogicznie można opisać gradację współczynnika Poissona. Jednakże wobec niewielkich zmian w jego wartości zazwyczaj przyjmuje się stałą wartość obliczoną np. z zależności (3):
t dz z
t
t
2 2
) (
(3)
Przyjęte do obliczeń podstawowe właściwości komponentów materiału gradientowego zestawiono w tabeli 1.
Tabela 1. Stałe materiałowe składników
Materiał E [GPa] [–] [kg/m3]
aluminium 69 0,33 2700
TiC 480 0,20 4920
W przypadku obydwu zastosowanych teorii płyt (CLP lub FSDT) w wyrażeniach na siły przekrojowe opisanych równaniem macierzowym (2):
b m
D B
B A M
N (4)
macierz [B] ma niezerowe wyrazy. Sprawia to, że sprzężenie zginanie-ściskanie jest bardzo silne w przypadku płyt FGM. Sprzężenie to wpływa w istotny sposób na bardziej złożoną (skomplikowaną) postać podstawowych równań ruchu, a także na warunki brzegowe.
Prowadzi to do komplikacji procedur rozwiązania zagadnień stateczności statycznej i dynamicznej płyt FGM. Z tego względu w niektórych pracach (np. [12]) wprowadzono koncepcję „fizycznej warstwy obojętnej” (rys. 1), która pozwala na rozprzężenie odkształceń zgięciowych i w płaszczyźnie płyty, co zbliża rozwiązanie dla płyt FGM do rozwiązania dla płyt izotropowych. W przyjętym układzie odniesienia położenie fizycznej warstwy obojętnej można określić, wyznaczając współrzędne warstwy, w której przy czystym zginaniu wartość odkształceń i naprężeń równa jest zeru. W odniesieniu do wyrazów macierzy [A] i [B] (4), współrzędną tę wyraża iloraz eB11 A11[9].
Rys.1. Położenie „fizycznej” warstwy obojętnej wobec warstwy środkowej
Przy obciążeniu ściskaniem w płaszczyźnie środkowej płyty, równomiernie rozłożonym na brzegu, istnieje mimośród obciążenia powodujący, że płyta nie jest płaska [7]. Powoduje to, iż analizę stateczności winno prowadzić się przy dwóch sposobach obciążania płyty, uwzględniających istnienie owego mimośrodu e . Jako przykład efektu mimośrodu dla przypadku ściskania w geometrycznej warstwie środkowej pokazano postać deformacji płyty w statycznym stanie zakrytycznym (rys. 2). Założono tu przegubowe podparcie wszystkich krawędzi analizowanej płyty. Podobny efekt deformacji można dostrzec w analizie dynamicznego zachowania płyty pod obciążeniem impulsowym.
metal
ceramika fizyczna warstwa oboj tnaę
warstwa środkowa
t e
z
P P
Rys.2. Efekt obciążenia siłą – parametr rozkładu q = 0,5
Należy zauważyć, że różnice w wynikach odpowiedzi płyty widoczne są w statycznym stanie zakrytycznym dla rozwiązań metodą Ritza (sterowanie przemieszczeniem) oraz metodą Galerkina (sterowanie siłą/obciążeniem) uzyskanych na drodze rozwiązania analityczno- numerycznego [4, 6].
Rys.3. Nieliniowa analiza wyboczenia płyty (statyka)
Analogiczne różnice w odpowiedzi płyty na sterowanie siłą i przemieszczeniem w analizie statycznej widoczne są także w wynikach obliczeń zrealizowanych metodą elementów skończonych. Dodatkowo należy podkreślić, że omówione rozróżnienie geometrycznej powierzchni środkowej i „fizycznej powierzchni obojętnej” w płycie gradientowej umożliwia prowadzenie obliczeń MES bez zaburzania powierzchni płyty imperfekcją wstępną. Stąd w tekście legendy w prawym dolnym rogu rysunku 3 zapis, iż imperfekcja równa jest 0t, gdzie t jest grubością płyty.
3. STATECZNOŚĆ DYNAMICZNA PŁYT GRADIENTOWYCH
W obliczeniach prowadzonych metodą elementów skończonych przyjęto płytowy model wielowarstwowy [8], co pomimo istnienia doniesień literaturowych o zdefiniowanych bryłowych elementach skończonych [10] o cechach materiału gradientowego, w przypadku struktur cienkościennych pozostaje wiodącą i stosowaną przez wielu autorów praktyką [2]. Po wstępnych rozważaniach związanych ze sposobem realizacji obciążenia (przyjęto
0,000 0,025 0,050 0,075
0,0 0,5 1,0 1,5
ugięcie [mm]
skrócenie [mm]
sterowanie przemieszczeniem e = 0
e = B11/ A11 Sterowanie siłą
równomierne naprężenia
imperfekcja 0t q = 0,5
równomierne ściskanie krawędzi płyty) [7] przeprowadzono analizę wpływu rozkładu właściwości mechanicznych materiału na grubości płyty (modelowanych przez prawo potęgowe (1) 6) na wartość DLFkr dynamicznych obciążeń krytycznych płyty. Analizę tę
Rys.4. Wpływ q współczynnika gradacji na odpowiedź dynamiczną płyty FGM prowadzono według procedury podanej i omówionej w pracy [5]. Dynamiczny współczynnik obciążenia DLFkr definiowany był jako iloraz amplitudy impulsu dynamicznego do statycznej siły krytycznej [5]. Przebiegi krzywych DLF f(w/t) przedstawiono na rys. 4, zaś wartości krytyczne obciążenia dynamicznego w postaci impulsu prostokątnego zestawiono w tabeli 2. Zaprezentowane wyniki uzyskano z zastosowaniem kryterium Budianskiego- Hutchinsona [5, 8] oraz założeniem sterowania przemieszczeniem obciążonych krawędzi płyty.
Tabela 2. Wartości DLFkr w funkcji wykładnika q
q = 0 0.01 0.5 1 5 10
DLFkr 1.549 1.126 1.108 1.115 0.941 1.122
Podane w tabeli 2 wartości dynamicznych obciążeń krytycznych wyznaczone dla q = 0 odpowiadają przypadkowi jednorodnej płyty prostokątnej z materiału o właściwościach mechanicznych ceramiki. Natomiast przypadkowi odwrotnemu, gdy właściwości materiału płyty zbliżone są do metalu, odpowiada wartość DLFkr dla q = 10. Dalsze zwiększanie wykładnika q wpływa w niewielkim stopniu na właściwości materiału gradientowego, a tym samym na wyniki analizy stateczności dynamicznej.
4. WNIOSKI
Płyty z materiałów gradientowych, wobec gradacji swoich właściwości po grubości płyty, stwarzają trudności z realizacją warunków brzegowych zwyczajowo definiowanych w analizie stateczności cienkich płyt. Przy prezentacji wyników analizy należy precyzyjnie określić sposób realizacji obciążenia.
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
0 1 2 3
w max / t
DLF
q = 0 0.01 0.5 1 5 10 a / b = 1
a / t = 100 imperfekcja 0.01t impuls prostokątny Tp = T
LITERATURA
1. Jones R. M.: Mechanics of composite materials. 2nd ed.. London: Taylor & Francis, 1999.
2. Cho J.R., Ha D.Y.: Averaging and finite-element discretization approaches in the numerical analysis of functionally graded materials. “ Materials Science and Engineering” A, 2001, 302, p. 187–196.
3. Hui-Shen S.: Functionally graded materials - nonlinear analysis of plates and shells.
London: CRC Press, Taylor & Francis, 2009.
4. Kołakowski Z., Kowal-Michalska K., Mania R.J.: Numeryczne aspekty obliczeń stateczności statycznej i dynamicznej płyt gradientowych. W: XII konf. nauk.- tech.
„Techniki komputerowe inżynierii”. Słok, 2011, s. 122-123.
5. Kowal-Michalska K. (red.): Stateczność dynamiczna kompozytowych konstrukcji płytowych. Warszawa: WNT, 2007.
6. Kowal-Michalska K., Mania R.J.: Static and dynamic buckling of FGM plates under compressive loading. In: Proceedings ICCES’11 Conference, Nanjing, 2011.
7. Kowal-Michalska K., Mania R.J., Niezgodziński T.: Wybrane aspekty odpowiedzi konstrukcji płytowych na obciążenia impulsowe. Biuletyn WAT 2008, vol. 57, nr. 3, s.
381-393.
8. Mania R, Kowal-Michalska K.: Parametryczna analiza stateczności dynamicznej konstrukcji cienkościennych metodą elementów skończonych. W: Niezgoda T. (red).
„Analizy numeryczne wybranych zagadnień mechaniki”. Warszawa: WAT, 2007, s. 229 – 245.
9. Naderi A., Saidi A.R.: On pre-buckling configuration of functionally graded Mindlin rectangular plates. “Mechanics Research Com.” 2010, 37, p. 535-538.
10. Recep G., Murat A.: Elastic response of functionally graded circular plates under a drop- weight. “Composite Structures” 2010, 92, p. 2445–2456.
11. Tylikowski A.: Dynamic stability of functionally graded plate under in-plane compression. “Mathematical Problems in Engineering” 2005, 4, p. 411-424.
12. Zhou D-G, Zhou Y-H.: A theoretical analysis of FGM thin plate based on physical neutral surface. “ Computational Material Science” 2008, 44, p. 716-720.
NUMERICAL ASPECTS OF STATIC AND DYNAMIC BUCKLING ANALYSIS OF FGM PLATES
Summary. The paper presents an analysis of static and dynamic buckling of FGM plates subjected to axial compression. The volume fraction of ceramic and metal varies through the thickness of the plate according to the simple power law.
Rectangular plates considered are simply supported along all edges. The static buckling and nonlinear postbuckling states are analyzed as well as the dynamic behaviour under pulse load of finite duration. The solution was obtained with FEM application for pulse loads. The gradation of constituents properties through the plate thickness raises problems with the implementation of boundary conditions (force control versus displacement control), adopted in the applied numerical model, leading to differences in obtained results.
