Szeregi Fouriera
wzory i własności
f ∈ L2P(0, a) = {f : R → C; f jest a-okresowa i
Z a 0
|f (t)|2dt < +∞}.
Ważniejsze wzory:
f (t) = +∞P
n=−∞
cne2iπnat, f (t) = a20 ++∞P
n=1
ancos2πnat+ bnsin2πnat,
cn= 1aR0af (t)e−2iπnatdt,
an= a2R0af (t) cos2πnatdt
bn= 2aR0af (t) sin2πnatdt (n ∈ N),
cn = 12(an− ibn)
c−n= 12(an+ ibn) (n ∈ N),
an= cn+ c−n
bn= i(cn− c−n) (n ∈ N).
Równość Parsevala:
+∞
X
n=−∞
|cn|2 = 1 a
Z a 0
|f (t)|2dt = 1
4|a0|2+1 2
+∞
X
n=1
|an|2 + |bn|2.
Własności:
• f jest rzeczywista ⇐⇒ ∀n∈Z c−n= cn ⇐⇒ ∀n∈Nan, bn ∈ R,
• f jest parzysta ⇐⇒ ∀n∈Z c−n = cn ⇐⇒ ∀n∈N bn = 0,
• f jest nieparzysta ⇐⇒ ∀n∈Z c−n= −cn ⇐⇒ ∀n∈Nan = 0,
• f jest rzeczywista i parzysta ⇐⇒ {cn} jest parzystym ciągiem liczb rzeczywistych,
• f jest rzeczywista i nieparzysta ⇐⇒ {cn} jest nieparzystym ciągiem liczb czysto urojonych.
