Wykorzystanie gotówki i karty płatniczej w punktach handlowo-usługowych w Polsce: zastosowanie dwuwymiarowego modelu Poissona

(1)

Bank i Kredyt 44 (4), 2013, 375–402

www.bankandcredit.nbp.pl www.bankikredyt.nbp.pl

Wykorzystanie gotówki i karty płatniczej w punktach handlowo-usługowych w Polsce:

zastosowanie dwuwymiarowego modelu Poissona

Jerzy Marzec*, Michał Polasik

^#

, Piotr Fiszeder

^‡

Nadesłany: 24 kwietnia 2012 r. Zaakceptowany: 18 lutego 2013 r.

Streszczenie

Celem artykułu jest prezentacja wyników badań dotyczących wykorzystania dwóch podstawo- wych metod płatności za codzienne zakupy dokonywane przez polskich konsumentów, tj. gotówki i karty debetowej. Dane uzyskano w ramach badania ankietowego zrealizowanego na przełomie 2010 i 2011 r. na ogólnopolskiej reprezentatywnej próbie losowej 2974 respondentów. Zastosowanie dwuwymiarowego modelu Poissona pozwoliło na zweryfikowanie wielu hipotez. Uzyskane wyni- ki wykazały, że na liczbę transakcji, zarówno gotówką, jak i kartami debetowymi, wpływa wiele zmiennych o charakterze demograficznym, społecznym i ekonomicznym. Określono wrażliwość cenową posiadaczy kart na opłaty związane z korzystaniem z kart, jak też na oferty promocyjne oraz rabaty skłaniające do stosowania tego instrumentu płatniczego. Ponadto potwierdzono, że na skłonność do płacenia w dany sposób silnie dodatnie oddziałuje poczucia bezpieczeństwa klien- tów. Wykazano, że istotną barierą rozwoju płatności kartami jest chęć zachowania anonimowości płatności, szczególnie wysoka w przypadku gotówki. Dane empiryczne nie potwierdziły natomiast hipotezy o występowaniu efektu substytucyjnego pomiędzy płatnościami dokonywanymi gotówką i za pomocą kart debetowych. Wyniki badań pozwalają określić zwyczaje (preferencje) płatnicze polskich konsumentów.

Słowa kluczowe: wybór metod płatności, dwuwymiarowy model regresji Poissona, gotówka, karty płatnicze, mikroekonometria

JEL: C35, E42, D12

* Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie; e-mail: marzecj@uek.krakow.pl.

# Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu; e-mail: michal.polasik@umk.pl.

‡ Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu; e-mail: piotr.fiszeder@umk.pl.

(2)

1. Wstęp

Rynek płatności detalicznych odgrywa ważną rolę w funkcjonowaniu gospodarki każdego kra- ju. Zmiana struktury dokonywanych płatności, przez rozwój obrotu bezgotówkowego, może przy- nieść istotne korzyści uczestnikom rynku: klientom indywidualnym, sektorowi bankowemu, pod- miotom handlowym, a także sektorowi publicznemu (Brits, Winder 2005; Quaden 2005; Gresvik, Haare 2009). Nowoczesne technologie informatyczne pozwalają na znaczne zwiększenie spraw- ności i bezpieczeństwa płatności detalicznych oraz optymalizację ich kosztów (Humphrey, Kim, Vale 2001; Allen 2003; Garcia-Swartz, Hahn, Layne-Farrar 2006; Chande 2008; Humphrey, Bolt, Uittenbogaard 2008; Takala, Viren 2008). Rozwój elektronicznych płatności detalicznych wymaga przezwyciężenia wielu barier, takich jak konieczność ponoszenia znacznych nakładów na wdra- żanie systemów informatycznych i dostosowania się do regulacji prawnych. Innymi poważny- mi przeszkodami są: niedostateczna aprobata społeczna, niewystarczająca infrastruktura i oba- wy o bezpieczeństwo dokonywanych transakcji (Jonker 2007; Górka 2009b; Polasik, Maciejewski 2009a). Należy dodać, że zaawansowany proces wdrażania jednolitego obszaru płatności w euro (SEPA) oraz dyrektywa ws. usług płatniczych (PSD) sprawiają, że właśnie na europejskim rynku płatności detalicznych zachodzą obecnie zasadnicze zmiany (Bolt, Humphrey 2007; EPC 2006;

Schmiedel 2007). Istnieje zatem duże zapotrzebowanie na badania wyjaśniające zachowania płatnicze społeczeństwa.

Alternatywne wykorzystanie gotówki i bezgotówkowych instrumentów płatności ma duże zna- czenie dla rozwoju systemu płatniczego. Na wybór metody płatności wpływa wiele czynników, takich jak: koszty ponoszone przez klientów, szybkość transakcji, łatwość użycia czy programy lojalnościowe powiązane z instrumentami płatniczymi (Humphrey, Kim, Vale 2001; Stavins 2001;

Klee 2004; Zinman 2005; Jonker 2007; Górka 2009b; Polasik, Maciejewski 2009b; Ching, Hayashi

2010; Kim, Lee 2010; Simon, Smith, West 2010). W wielu krajach realizowane są szeroko zakrojo-

ne programy promowania obrotu bezgotówkowego i zmian zachowań społecznych w zakresie płat-

ności (Van Hove 2008; Górka 2009a). W związku z tym wykorzystanie metod płatności stanowi

jeden z głównych nurtów badań w obszarze bankowości detalicznej i systemów płatniczych. Pod

względem metodyki badania te wciąż znajdują się jednak na wczesnym etapie rozwoju. Pierwsze

prace o charakterze mikroekonomicznym, w których analizowano zachowania płatnicze klientów

za pomocą różnych metod, dotyczyły rynku holenderskiego (Bolt, Jonker, van Renselaar 2010), nie-

mieckiego (von Kalckreuth, Schmidt, Stix 2009), fińskiego (Leinonen 2008) oraz amerykańskie-

go (Borzekowski, Kiser 2008). W szczególności badacze często stosują klasyczne modele regresji,

gdy dysponują makrodanymi, albo jednorównaniowe modele probitowe, logitowe bądź Poissona

w przypadku danych pochodzących z ankiet. Przykładowo, wykorzystując dane makroekonomicz-

ne, Snellman, Vesala i Humphrey (2001) zbadali zależność między wzrostem wartości płatności

kartami a wzrostem wartości gotówki w obiegu w badanych sześciu krajach Europy. W tym ce-

lu wykorzystali model regresji dla danych panelowych. Z kolei Jonker (2007) przeprowadziła mi-

kroekonomiczną analizę stosowania przez holenderskie gospodarstwa domowe czterech środków

płatności: gotówki, karty debetowej, karty kredytowej i elektronicznej portmonetki. Zastosowała

cztery osobne modele probitowe dla tej samej próby, przy czym zmienna endogeniczna odzwiercie-

dlała najczęściej wybierany przez gospodarstwa domowe sposób płatności za zakupy dokonywane

w ośmiu punktach usługowo-handlowych. Próba przekrojowa liczyła 2000 obserwacji. W kolejnej

(3)

Wykorzystanie gotówki i karty płatniczej...

377 publikacji (Jonker, Kosse 2009) użyto dwóch odrębnych modeli Poissona wobec liczby transakcji kartą debetową i gotówką, w celu analizy preferencji holenderskich konsumentów w zakresie me- tod płatności w 16 różnych zakładach usługowych, sklepach i obiektach kulturalno-rozrywkowych.

Na tym tle wyróżniają się badania makroekonomiczne przeprowadzone przez Humphreya, Kim i Vale (2001), które dotyczyły wykorzystania trzech metod płatności (gotówki wypłaconej z banko- matu, wypisania czeku lub użycia karty debetowej) w przypadku transakcji detalicznych w Nor- wegii. W tym celu wykorzystano dane zagregowane w postaci szeregów czasowych i zastosowano model wielorównaniowy, opisujący udział kosztów użycia poszczególnych narzędzi płatniczych w koszcie całkowitym. Dotychczas nie przeprowadzono jednak pogłębionych badań empirycznych (z wyjątkiem badania Fiszedera i Polasika 2009), wykorzystujących zaawansowane metody mikro- ekonometrii w odniesieniu do metod płatności stosowanych w Europie Środkowej i Wschodniej, w tym w Polsce.

Głównym celem badań przedstawionych w niniejszej pracy było poznanie czynników determi- nujących stosowanie przez klientów poszczególnych metod płatności w punktach handlowo-usłu- gowych w Polsce. Dodatkowym celem była prezentacja zaawansowanych modeli ekonometrycz- nych dla dwuwymiarowej zmiennej licznikowej, które pozwalają na analizę zjawisk z dodatnią lub ujemną korelacją. Istotną cechą wyróżniającą to opracowanie jest połączenie dwóch aspektów – metodologicznego i praktycznego.

Podejście badawcze przyjęte w niniejszej pracy jest odmienne niż dotychczas stosowane w literaturze z tego zakresu. Nie ograniczono się do badania struktury transakcji (jak w pracy Humphrey, Kim, Vale 2001) czy zastosowania prostego jednorównaniowego modelu probitowego lub modelu Poissona. Wnikliwie przeanalizowano wpływ różnych czynników mikroekonomicz- nych na liczbę płatności dokonanych poszczególnymi metodami oraz uwzględniono substytucję i komplementarność tych metod. Realizacja badania wymagała zastosowania dwuwymiarowego modelu Poissona dla danych licznikowych. Podjęto się zatem zbadania w sposób formalny zależno- ści przyczynowo-skutkowych między dwiema zmiennymi endogenicznymi a wybranymi zmien- nymi egzogenicznymi. Według wiedzy autorów jest to pierwsze zastosowanie tej metody do bada- nia zachowań konsumentów na rynku płatności detalicznych. Warto zwrócić uwagę, że modele wielowymiarowe dla zmiennych licznikowych i kategorii polichotomicznych uporządkowanych wciąż są w fazie intensywnego rozwoju (zob. Windmeijer, Santos Silva 1997; Chib, Winkelmann 2001; Edwards, Allenby 2003; Riphahn, Wambach, Million 2003; Berkhout, Plug 2004; Iwasaki, Tsubaki 2006).

2. Gotówką czy kartą − opis problemu i hipotezy badawcze

Dla większości konsumentów zakupy są przyjemnością, ale zapłata za nie – przykrym obowiąz-

kiem. Zakładamy, że konsumenci są racjonalni i wybierając metody płatności, kierują się przede

wszystkim wysokością kosztów własnych związanych z ich zastosowaniem. Konsument korzy-

sta z różnych instrumentów płatniczych, przede wszystkich z gotówki i karty płatniczej, mini-

malizując własne koszty osiągnięcia ustalonego celu, tj. dokonania odpowiedniej liczby zaku-

pów. Oczywiście istnieją czynniki trudno mierzalne, jak przyzwyczajenie, wygoda i ograniczenia

w infrastrukturze (dotyczą one szczególnie używania kart płatniczych), które dodatkowo wpływają

(4)

na wybory dokonywane przez klientów. Można odwołać się do standardowego zagadnienia mini- malizacji kosztu wytworzenia przez przedsiębiorcę określonej wielkości produkcji przy znanych, rynkowych cenach czynników produkcji. W tym przypadku rozwiązaniem problemu decyzyjnego konsumenta jest optymalna liczba transakcji, które zostaną opłacone każdą z dwóch metod. Zakła- damy, że częstość wykorzystania każdej z tych metod jest równa wielkościom optymalnym z do- kładnością do błędu pomiaru, czynników czysto losowych i innych zakłóceń, których wpływ ma charakter symetryczny. Ponadto decyzje podejmowane przez reprezentatywnych konsumentów są od siebie niezależne, co jest naturalnym (standardowym) założeniem, ale ważnym z punktu wi- dzenia estymacji modelu statystycznego. Istnieją jednak czynniki specyficzne, które mogą wpły- wać na pojedyncze decyzje. Determinanty te będą podlegały statystycznej identyfikacji. Powyższe założenia, wynikające z dobrze znanej, klasycznej teorii popytu konsumpcyjnego, są podobne do tych, na których oparto badania Humphreya, Kim, Vale (2001).

Główną hipotezą badawczą jest założenie, że między podstawowymi metodami płatności, tj. gotówką i kartą płatniczą, występuje substytucja

¹

. Na gruncie mikroekonomii formalne ujęcie zagadnienia substytucji między tymi metodami jest możliwe i dokonuje się przez skonstruowanie funkcji popytu na oba wyróżnione instrumenty płatności. Optymalny popyt na dany instrument jest funkcją własnej ceny i cen pozostałych instrumentów oraz wielkości potrzeb zaspokajanych w wyniku zakupu określonego koszyka dóbr i usług. Z przesłanek empirycznych wynika, że istnieją jeszcze inne czynniki, które odpowiadają za zróżnicowanie intensywności wykorzystania poszczegól- nych metod płatności, np. czynniki demograficzne (np. wiek, płeć, poziom wykształcenia konsumen- ta). Ważną rolę powinna odgrywać zmienna informująca o dochodzie konsumenta, gdyż jej zadaniem jest kontrola skali (rozmiaru) płatności. Gdyby wraz ze wzrostem rozporządzalnego dochodu rosła liczba zakupów opłaconych gotówką lub kartą, wystąpiłby tzw. dochodowy efekt zmiany popytu.

W ramach mikroekonomicznej analizy zachowania się konsumenta wnioskujemy, że gotówka i karta są substytutami, gdy wzrost ceny za korzystanie jednej z nich prowadzi do wzrostu inten- sywności zastosowania drugiej metody

²

. Oczywiście, w przypadku pojedynczej transakcji kon- sument płaci za towar lub usługę gotówką albo kartą. Wówczas stopa substytucji wynosi jeden.

Naturalnym założeniem (hipotezą) jest zatem przyjęcie, że między gotówką a kartą zachodzi sub- stytucja. Sporadycznie, gdy kwota do zapłacenia jest wysoka, konsument wykorzysta oba instru- menty płatnicze.

W celu przeprowadzenia badań empirycznych skonstruowano odpowiedni model statystycz- ny, który posłużył do identyfikacji preferencji konsumenta (gospodarstwa domowego) co do metod płatności. Niestety koszty wykorzystania danej metody płatności przez konsumenta robiącego za- kupy w sklepie bardzo trudno obliczyć. Często pokrywa je sprzedawca, a pewną ich część stano- wią koszty stałe, które nie są przypisane bezpośrednio do transakcji. Z powodu braku głównych zmiennych egzogenicznych: cen, w równaniu optymalnego popytu na dany instrument płatniczy konieczne jest zbudowanie modelu statystycznego, który umożliwiałby falsyfikację hipotezy głów- nej. Inną ważną kwestią jest przyjęcie założenia, że oba równania opisujące liczbę transakcji za pomocą analizowanych instrumentów są ze sobą powiązane.

1 W modelu ekonometrycznym prezentowanym w dalszej części pracy substytucja oznacza ujemną zależność między liczbą transakcji kartą a liczbą transakcji gotówką.

2 Przez cenę gotówki rozumie się koszt jej stosowania w płatnościach, na który składa się m.in. koszt utraconych korzyści i koszt „zdartych zelówek”.

(5)

379 Na podstawie dotychczasowych wyników badań naukowych, obserwacji i doświadczenia au- torów sformułowano kilka hipotez badawczych. Dotyczą one zależności między liczbą operacji go- tówką lub kartą debetową, wykonanych przez gospodarstwa domowe w celu zapłacenia za towary i usługi, a wybranymi determinantami. Ich weryfikacja umożliwi poznanie preferencji polskich konsumentów w odniesieniu do wskazanych, podstawowych metod płatności. Hipotezy badawcze o charakterze empirycznym są następujące:

H1. Czynniki demograficzne i społeczne mają wpływ na wykorzystanie przez klientów bada- nych sposobów płatności.

H2: Ważnym czynnikiem wpływającym na wybór sposobu płatności przez klientów jest dąże- nie do zmniejszenia ponoszonych przez nich kosztów transakcyjnych, obejmujących koszty usług płatniczych oraz inne koszty związane bezpośrednio z płatnością.

H3: Rozwój infrastruktury pozwalającej na stosowanie danego instrumentu płatności znacznie zwiększa jego wykorzystanie.

H4: Poczucie bezpieczeństwa i anonimowość płatności mają duży wpływ na wybór i częstotli- wość wykorzystania instrumentów płatniczych.

H5: Wykorzystanie instrumentów płatniczych przez klientów cechuje się występowaniem silnego efektu substytucyjnego.

Dodatkowo zaproponowano hipotezę o charakterze metodycznym, która odnosi się do kon- strukcji modelu statystycznego:

H6: Modele wielorównaniowe dla zmiennych licznikowych pełniej opisują złożoność wyborów metod płatności niż modele jednorównaniowe.

3. Model statystyczny – konstrukcja i własności 3.1. Dwuwymiarowy warunkowy model Poissona

Model statystyczny, czyli układ założeń probabilistycznych, powinien odzwierciedlać naturę ba- danego zjawiska. Przedmiotem analizy jest częstość wykorzystania metod płatności – gotówki i karty płatniczej. Obie zmienne endogeniczne przyjmują nieujemne wartości całkowite. Podstawową klasą modeli służącą do opisu tego typu zjawisk są modele dla zmiennej licznikowej. Najpopularniej- szym narzędziem statystycznym jest model Poissona i jego modyfikacje (zob. np. Cameron, Trivedi 1998; 2005; Winkelmann 2008). Modele licznikowe typu Poissona są uniwersalnym sposobem opisu zachowania się konsumentów lub analizy procesów, których kwantyfikacja polega na zliczeniu zda- rzeń. W przypadku badań konsumenckich można ich użyć zarówno do danych ankietowych, jak i da- nych bezpośrednio rejestrowanych w punkach sprzedaży, w tym również do danych typu big data.

Dane mikroekonomiczne charakteryzują się silną heterogenicznością, a zależności między kategoria-

mi ekonomicznymi mają najczęściej nieliniowy charakter. Modele typu Poissona mogą być z powodze-

niem wykorzystane do opisu tych zależności, gdyż są właśnie konstrukcjami nieliniowym i a priori

dopuszczają heteroskedastyczność składnika losowego. Bardziej zaawansowane konstrukcje oparte na

mieszaninach rozkładów (ang. Poisson mixture models), np. model Poissona z nadmiarem zer (ang. zero

inflated Poisson, ZIP) lub ze złożonym rozkładem Poissona, umożliwiają uwzględnienie takich sytuacji,

jak nadwyżka zerowej wartości zmiennej obserwowanej czy zwiększenie rozproszenia jej rozkładu.

(6)

W prezentowanych badaniach przedmiotem zainteresowania są dwie zmienne endogeniczne, między którymi istnieje pewna zależność. Wybrane metody płatności potencjalnie charakteryzu- ją się substytucją. Należy więc traktować je łącznie, współzależnie, a to wymaga budowy modelu dwuwymiarowego z korelacją pomiędzy zmiennymi endogenicznymi. Ponadto istnieją potencjalne czynniki egzogeniczne (wspólne lub swoiste dla każdej z metod płatności), które powodują zróż- nicowanie aktywności konsumentów w tym zakresie. Model statystyczny powinien to uwzględ- niać. Najprostszym i wygodnym podejściem jest zastosowanie modelu jednorównaniowego, który opisuje zróżnicowanie udziału płatności wykonanych daną metodą w liczbie płatności ogółem.

Umożliwia on badanie wyłącznie struktury, a nie skali wykorzystania obu metod płatności. Wo- bec powyższego w przypadku prowadzonych badań zastosowano metodę badawczą, która pozwa- la rozważać oba aspekty. W konsekwencji wykorzystano dwurównaniowy model Poissona z kore- lacją ujemną lub dodatnią.

Rozważamy dwuwymiarową zmienną losową Y = [Y

₁

Y

₂

], czyli parę zależnych zmiennych licznikowych

³

. W literaturze przedmiotu znajdziemy różne propozycje rozkładów tej zmiennej, od najprostszych po bardzo złożone (Kocherlakota, Kocherlakota 1992). Niestety prawie wszystkie mają poważne wady: współczynnik korelacji przyjmuje wartości wyłącznie dodatnie i często jest ograniczony od góry, tzn. istnieje maksymalna wartość tego współczynnika, która jest mniejsza od jedności.

Propozycji rozkładów, które dopuszczają korelację zarówno dodatnią, jak i ujemną, jest nie- wiele. Można je uzyskać, wykorzystując funkcję kopula (zob. np. van Ophem 1999) lub mie- szaniny rozkładów określonego typu, np. wielowymiarowy log-normalny model Poissona (zob.

Aitchison, Ho 1989; Chib, Winkelmann 2001; Marzec 2012). Niestandardowym modelem z dodat- nią lub ujemną korelacją jest tzw. warunkowy model Poissona, zaproponowany przez Berkhouta i Pluga (2004). Jest to prostsza specyfikacja, ale dogodniejsza do estymacji w porównaniu z modelem Aitchisona i Ho. Mimo to model ten nie znalazł jeszcze szerszego zastosowania w badaniach empirycznych. W niniejszych badaniach wykorzystano tę propozycję.

Berkhout i Plug (2004) zaproponowali warunkowy model Poissona dla dwóch skorelowanych zmiennych licznikowych. Konstrukcja ta dopuszcza zarówno ujemną, jak i dodatnią korelację, a jednocześnie jest prosta. Rozważali oni dwa modele statystyczne określone przez rozkład łączny dla Y

₁

i Y

₂

:

Pr ( Y

1

y

1

, Y

2

y

2

) g

₁|₂

( y

1

y

2

)

^•

g

_Y₂

( ) y

2

•

• •

•

• • •

•

• Y

= Y

=

(

1 1

,

2 2

)

₂|₁

(

2 1

)

₁

( )

1

Pr Y

=

y Y

=

y

=

g

_Y_Y

y y g

_Y

y

( ) (

₁

) ( )

₁ ¹

1

exp

!

1

yt

t t t

t

y

g

= –

–

– –

–

+ +

– –

, gdzie

1=

exp (

1 1

)

= +

+

t

x

( ) (

₂

)( )

₂ ²

2 1

2

exp

!

1

yt

t t t t

t

y y

y

g , gdzie

_t2

exp ( x

_t2

y

_t1

)

( )

2

exp ( ( exp ( ) 1 ) ) exp (

₂

)

1 1 t t

t t

x Y

E Y E

( )

( Y ) E ( Y ) E ( Y ) ( exp ( ( exp ( ) 1 ) ) 1 ) Var

Var Y

2 t1

2 t2 t2

t2 t1

( ) ( ) ( )

( )

₁

( )

₂

2 2 1

1

, 1

t t

t t t

t

Var Y Var Y

e E Y Y

Y corr

( )

h t h t h t

t

x

Y E

, 1 1 , 1 , 1

1

( )

j t j t

t

Y

, 2 , 2

2

( ) ( )

_t _h

h t h t

t

e

x Y E

, 1 ,

1 , 2

2

1 ( )

² ₁_,₂

1 ,

ln stala wiek

_t 1

wiek

_t

2

0

, 1 2

0

, 1

1 1

ln

_t1

x

_t

λ

α λ

λ

t1

λ

λ λ

λ

β

2

β

2

β

j ,

β

2

β

β β

β

α

∂

∂ E

∂

∂ x

α

=

t1

λ

η

η η

λ

t2

=

<

>

=

λ

t2

λ

t1

λ

=

(1)

(

1 1

,

2 2

)

₁|₂

(

1 2

)

₂

( )

2

Pr Y y Y y g y y

^•

g

_Y

y

•

• •

•

• • •

•

• Y

= Y

=

(

1 1

,

2 2

)

₂|₁

(

2 1

)

₁

( )

1

Pr Y

=

y Y

=

y

=

g

_Y_Y

y y g

_Y

y

( ) (

₁

) ( )

₁ ¹

1

exp

!

1

yt

t t t

t

y

g

= –

–

– –

–

+ +

– –

, gdzie

1=

exp (

1 1

)

= +

+

t

x

( ) (

₂

)( )

₂ ²

2 1

2

exp

!

1

yt

t t t t

t

y y

y

g , gdzie

_t2

exp ( x

_t2

y

_t1

)

( )

2

exp ( ( exp ( ) 1 ) ) exp (

₂

)

1 1 t t

t t

x Y

E Y E

( )

( Y ) E ( Y ) E ( Y ) ( exp ( ( exp ( ) 1 ) ) 1 ) Var

Var Y

2 t1

2 t2 t2

t2 t1

( ) ( ) ( )

( )

₁

( )

₂

2 2 1

1

, 1

t t

t t t

t

Var Y Var Y

e E Y Y

Y corr

( )

h t h t h t

t

x

Y E

, 1 1 , 1 , 1

1

( )

j t j t

t

Y

, 2 , 2

2

( ) ( )

_t _h

h t h t

t

e

x Y E

, 1 ,

1 , 2

2

1 ( )

² ₁_,₂

1 ,

ln stala wiek

_t 1

wiek

_t

2

0

, 1 2

0

, 1

1 1

ln

_t1

x

_t

λ

α λ

λ

t1

λ

λ λ

λ

β

2

β

2

β

j ,

β

2

β

β β

β

α

∂

∂ E

∂

∂ x

α

=

t1

λ

η

η η

λ

t2

=

<

>

=

λ

t2

λ

t1

λ

=

(2)

Modele nie są równoważne, gdyż zamiana numerów zmiennych nie prowadzi do otrzymania równoważnych konstrukcji statystycznych. Może to być postrzegane jako wada.

Mamy próbę z rozkładu łącznego, czyli parę y

_t1

i y

_{t 2}

dla t =1,…,T, gdzie t to numer obserwa- cji. Rozkład brzegowy dla jednej ze zmiennych, Y

_t1

, jest jednowymiarowym rozkładem Poissona z parametrem λ

_{t 1}

(będącym jednocześnie wartością oczekiwaną i wariancją):

(

1 1

,

2 2

)

₁|₂

(

1 2

)

₂

( )

2

Pr Y y Y y g y y

^•

g

_Y

y

•

• • •

•

• Y

= Y

=

(

1 1

,

2 2

)

₂|₁

(

2 1

)

₁

( )

1

Pr Y

=

y Y

=

y

=

g

_Y_Y

y y g

_Y

y

( ) (

1

) ( )

1 ¹ 1

1

exp

!

1

y_t

t t t

t

y

g

= –

–

– –

–

+ +

– –

, gdzie

₁=

exp (

₁ ₁

)

= +

+

t

x

( ) (

₂

)( )

₂ ²

2 1

2

exp

!

1

yt

t t t

t

y y

y

g , gdzie

_t₂

exp ( x

_t₂

y

_t₁

)

( )

2

exp ( ( exp ( ) 1 ) ) exp (

₂

)

1 1

t t

x Y

E Y E

( )

( Y ) E ( Y ) E ( Y ) ( exp ( ( exp ( ) 1 ) ) 1 ) Var

Y Var

2 t1

2 t2 t2

t2 t1

( ) ( ) ( )

( )

₁

( )

₂

2 2 1

1

, 1

t t

t t t

t

Var Y Var Y

e Y Y E

Y corr

( )

h t h t h t

t

x

Y E

, 1 1 , 1 , 1

1

( )

j t j t

t

Y

, 2 , 2

2

( ) ( )

_t _h

h t h t

t

e

x Y E

, 1 ,

1 , 2

2

1 ( )

² ₁_,₂

1 ,

ln stala wiek

_t 1

wiek

_t

2

0

, 1 2

0

, 1

1 1

ln

_t1

x

_t

λ

α λ

λ

t1

λ

λ λ

λ

β

2

β

2

β

j ,

β

2

β

β β

β

α

∂

∂ E

∂

∂ x

α

=

t1

λ

η

η η

λ

t2

=

<

>

=

λ

t2

λ

t1

λ

=

(3)

3 Dla czytelności pominięto indeks obserwacji t. Zakłada się niezależność decyzji podejmowanych przez konsumentów.

(7)

381 gdzie β

1

jest k

₁

-elementowym wektorem nieznanych parametrów, informującym o kierunku i sile oddziaływania zmiennych egzogenicznych (objaśniających) na charakterystyki rozkładu obserwowanej zmiennej. Zmienne te są zgrupowane w wektor x

_{t 1}

, który standardowo zawiera także sztuczną zmienną „1”.

Najważniejszą kwestią jest określenie rozkładu dla drugiej zmiennej Y

_t2

pod warunkiem zaob- serwowania Y

_t1

= y

_t1

, co do którego zakłada się, że także jest rozkładem Poissona z parametrem λ

_{t 2}

. Berkhout i Plug (2004) przyjęli, że:

(

1 1

,

2 2

)

₁|₂

(

1 2

)

₂

( )

2

Pr Y y Y y g y y

^•

g

_Y

y

•

• •

•

• • •

•

• Y

= Y

=

(

₁ ₁

,

₂ ₂

)

₂_|₁

(

₂ ₁

)

₁

( )

₁

Pr Y

=

y Y

=

y

=

g

_Y_Y

y y g

_Y

y

( ) (

₁

) ( )

₁ ¹

1

exp

!

1

yt

t t t

t

y

g

= –

–

– –

–

+ +

– –

, gdzie

1=

exp (

1 1

)

= +

+

t

x

( ) (

₂

)( )

₂ ²

2 1

2

exp

!

1

yt

t t t

t

y y

y

g , gdzie

_t2

exp ( x

_t2

y

_t1

)

( )

2

exp ( ( exp ( ) 1 ) ) exp (

₂

)

1 1

t t

x Y

E Y E

( )

( Y ) E ( Y ) E ( Y ) ( exp ( ( exp ( ) 1 ) ) 1 ) Var

Y Var

2 t1

2 t2 t2

t2 t1

( ) ( ) ( )

( )

₁

( )

₂

2 2 1

1

, 1

t t

t t t

t

Var Y Var Y

e E Y Y

Y corr

( )

h t h t h t

t

x

Y E

, 1 1 , 1 , 1

1

( )

j t j t

t

Y

, 2 , 2

2

( ) ( )

_t _h

h t h t

t

e

x Y E

, 1 ,

1 , 2

2

1 ( )

² ₁_,₂

1 ,

ln stala wiek

_t 1

wiek

_t

2

0

, 1 2

0

, 1

1 1

ln

_t1

x

_t

λ

α λ

λ

t1

λ

λ λ

λ

β

2

β

2

β

j ,

β

2

β

β β

β

α

∂

∂ E

∂

∂ x

α

=

t1

λ

η

η η

λ

t2

=

<

>

=

λ

t2

λ

t1

λ

=

(4)

gdzie x

_{t 2}

jest wektorem o wymiarach 1 × k

2

, ß

₂

jest zaś wektorem parametrów. Parametr α odgrywa ważną rolę, gdyż jest odpowiedzialny za znak korelacji.

Berkhout i Plug (2004) podali charakterystyki brzegowe rozkładu zmiennej dwuwymiarowej Y = [Y

_t1

Y

_t2

]. Wektor wartości oczekiwanych zmiennej dwuwymiarowej Y

_t

składa się z następują- cych elementów:

(

₁ ₁

,

₂ ₂

)

₁_|₂

(

₁ ₂

)

₂

( )

₂

Pr Y y Y y g y y

^•

g

_Y

y

•

• •

•

• • •

•

• Y

= Y

=

(

1 1

,

2 2

)

₂|₁

(

2 1

)

₁

( )

1

Pr Y

=

y Y

=

y

=

g

_Y_Y

y y g

_Y

y

( ) (

₁

) ( )

₁ ¹

1

exp

!

1

yt

t t t

t

y

g

= –

–

– –

–

+ +

– –

, gdzie

1=

exp (

1 1

)

= +

+

t

x

( ) (

₂

)( )

₂ ²

2 1

2

exp

!

1

yt

t t t t

t

y y

y

g , gdzie

_t2

exp ( x

_t2

y

_t1

)

( )

₂

exp ( ( exp ( ) 1 ) ) exp (

₂

)

1 1 t t

t t

x Y

E E Y

( )

( Y ) E ( Y ) E ( Y ) ( exp ( ( exp ( ) 1 ) ) 1 ) Var

Var Y

2 t1

2 t2 t2

t2 t1

( ) ( ) ( )

( )

₁

( )

₂

2 2 1

1

, 1

t t

t t t

t

Var Y Var Y

e Y Y E

Y corr

( )

h t h t h t

t

x

Y E

, 1 1 , 1 , 1

1

( )

j t j t

t

Y

, 2 , 2

2

( ) ( )

_t _h

h t h t

t

e

x E Y

, 1 ,

1 , 2

2

1 ( )

² ₁_,₂

1 ,

ln stala wiek

_t 1

wiek

_t

2

0

, 1 2

0

, 1

1 1

ln

_t1

x

_t

λ

α λ

λ

t1

λ

λ λ

λ

β

2

β

2

β

j ,

β

2

β

β β

β

α

∂

∂ E

∂

∂ x

α

=

t1

λ

η

η η

λ

t2

=

<

>

=

λ

t2

λ

t1

λ

=

(5)

Wariancje zmiennych Y

₁

i Y

₂

wynoszą odpowiednio:

(

1 1

,

2 2

)

₁|₂

(

1 2

)

₂

( )

2

Pr Y y Y y g y y

^•

g

_Y

y

•

• •

•

• • •

•

• Y

= Y

=

(

1 1

,

2 2

)

₂|₁

(

2 1

)

₁

( )

1

Pr Y

=

y Y

=

y

=

g

_Y_Y

y y g

_Y

y

( ) (

₁

) ( )

₁ ¹

1

exp

!

1

yt

t t t

t

y

g

= –

–

– –

–

+ +

– –

, gdzie

1=

exp (

1 1

)

= +

+

t

x

( ) (

₂

)( )

₂ ²

2 1

2

exp

!

1

yt

t t t t

t

y y

y

g , gdzie

_t2

exp ( x

_t2

y

_t1

)

( )

2

exp ( ( exp ( ) 1 ) ) exp (

₂

)

1 1 t t

t t

x Y

E Y E

( )

( Y ) E ( Y ) E ( Y ) ( exp ( ( exp ( ) 1 ) ) 1 ) Var

Var Y

2 t1

2 t2 t2

t2 t1

( ) ( ) ( )

( )

₁

( )

₂

2 2 1

1

, 1

t t

t t t

t

Var Y Var Y

e E Y Y

Y corr

( )

h t h t h t

t

x

Y E

, 1 1 , 1 , 1

1

( )

j t j t

t

Y

, 2 , 2

2

( ) ( )

_t _h

h t h t

t

e

x Y E

, 1 ,

1 , 2

2

1 ( )

² ₁_,₂

1 ,

ln stala wiek

_t 1

wiek

_t

2

0

, 1 2

0

, 1

1 1

ln

_t1

x

_t

λ

α λ

λ

t1

λ

λ λ

λ

β

2

β

2

β

j ,

β

2

β

β β

β

α

∂

∂ E

∂

∂ x

α

=

t1

λ

η

η η

λ

t2

=

<

>

=

λ

t2

λ

t1

λ

=

(6)

Charakterystykę zależności między obiema zmiennymi: korelację, opisuje natomiast poniższa formuła:

(

1 1

,

2 2

)

₁|₂

(

1 2

)

₂

( )

2

Pr Y y Y y g y y

^•

g

_Y

y

•

• •

•

• • •

•

• Y

= Y

=

(

1 1

,

2 2

)

₂|₁

(

2 1

)

₁

( )

1

Pr Y

=

y Y

=

y

=

g

_Y_Y

y y g

_Y

y

( ) (

₁

) ( )

₁ ¹

1

exp

!

1

yt

t t t

t

y

g

= –

–

– –

–

+ +

– –

, gdzie

1=

exp (

1 1

)

= +

+

t

x

( ) (

₂

)( )

₂ ²

2 1

2

exp

!

1

yt

t t t t

t

y y

y

g , gdzie

_t2

exp ( x

_t2

y

_t1

)

( )

2

exp ( ( exp ( ) 1 ) ) exp (

₂

)

1 1 t t

t t

x Y

E Y E

( )

( Y ) E ( Y ) E ( Y ) ( exp ( ( exp ( ) 1 ) ) 1 ) Var

Var Y

2 t1

2 t2 t2

t2 t1

( ) ( ) ( )

( )

₁

( )

₂

2 2 1

1

, 1

t t

t t t

t

Var Y Var Y

e E Y Y

Y corr

( )

h t h t h t

t

x

Y E

, 1 1 , 1 , 1

1

( )

j t j t

t

Y

, 2 , 2

2

( ) ( )

_t _h

h t h t

t

e

x Y E

, 1 ,

1 , 2

2

1 ( )

² ₁_,₂

1 ,

ln stala wiek

_t 1

wiek

_t

2

0

, 1 2

0

, 1

1 1

ln

_t1

x

_t

λ

α λ

λ

t1

λ

λ λ

λ

β

2

β

2

β

j ,

β

2

β

β β

β

α

∂

∂ E

∂

∂ x

α

=

t1

λ

η

η η

λ

t2

=

<

>

=

λ

t2

λ

t1

λ

=