Foliacje symetralnymi
w zespolonej przestrzeni hiperbolicznej
Maciej Czarnecki
Uniwersytet L´odzki
8 Forum Matematyk´ow Polskich Lublin, 21 wrze´snia 2017 r.
Forma hermitowska na Cn+1
hX|Y i = X1Y1 + . . . + XnYn − Xn+1Yn+1
Zespolona przestrze´n hiperboliczna wymiaru (zespolonego) n jest zespolon¸a projektywizacj¸a podzbioru wektor´ow z Cn,1 ujem- nych wzgl¸edem formy hermitowskiej
CHn = {X ∈ Cn,1 | hX|Xi < 0}/C∗
W przypadku rzeczywistej przestrzeni hiperbolicznej te ˙z mo ˙zna pisa´c Hn = {x ∈ Rn,1 | hx|xi = −1, xn+1 > 0} = {X ∈ Rn,1 | hX|Xi < 0}/R∗ dla formy Lorentza.
Metryka riemannowska na CH — metryka Bergmana gx(u, v) = hU |V ihX|Xi − hU |XihX|V i
hX|Xi
Odleg lo´s´c w CHn
cosh2 d(x, y) 2
!
= hX|Y ihY |Xi hX|XihY |Y i
CHn jest 2n–wymiarow¸a rozmaito´sci¸a Hadamarda (widzialn¸a) o ujemnej krzywi´znie sekcyjnej zawartej pomi¸edzy −1 a −14. Jej brzegiem idealnym jest projektywizacja wektor´ow izotropowych
∂ CHn = {X ∈ Cn,1 | hX|Xi = 0}/C∗
Dowolne dwa r´o ˙zne punkty w CHn = CHn ∪ ∂ CHn mo ˙zna jed- noznacznie po l¸aczy´c geodezyjn¸a.
Przez takie punkty x, y przechodzi tak ˙ze dok ladnie jedna geodezyjna zespolona lin (X, Y )/C∗.
W CH jedynymi podrozmaito´sciami cakowicie geodezyjnymi s¸a projektywizacje wektor´ow ujemnych zawartych w zespolnych pod- przestrzeniach liniowych Cn,1 lub w ca lkowcie rzeczywistych pod- przestrzeni liniowych Cn,1R .
Zatem podrozmaito´sci cakowicie geodezyjne w CHn s¸a izome- tryczne z CHk lub Hk dla k = 1, . . . , k.
Tym samym nie ma rzeczywistych hiperpowierzchni ca lkowicie geodezyjnych.
Hiperpaszczyzna zespolona w CHn jest izometryczna z ze- spolon¸a przestrzeni¸a hiperboliczn¸a i pochodzi od zespolonej hiper- p laszczyny liniowej w Cn,1. Jest wi¸ec opisana jednoznacznie przez dodatni wektor (wektor biegunowy) U taki, ˙ze hU |U i = 1.
Geodezyjna zespolona jest izometryczna z H2 ' CH1.
Na geodezyjn¸a zespolon¸a Σ jako na podzbir wypuk ly i domkni¸ety w przestrzeni Hadamarda mo ˙zemy rzutowa´c ortogonalnie bior¸ac za ΠΣ(x) punkt z Σ najbli ˙zszy x.
Symetraln¸a w CH nazywamy zbi´or punkt´ow r´owno odleg lych od pary punkt´ow
E(x1, x2) = {y ∈ CHn | d(x1, y) = d(x2, y)}
Zespolony kr¸egos lup symetralnej E(x1, x2) to geodezyjna ze- spolona Σ zawieraj¸aca punkty x1, x2, a kr¸egos lup jest podzbiorem Σ zawartym w symetralnej σ = E ∩ Σ.
W lasno´sci symetralnej
Symetralne s¸a we wzajemnie jednoznacznej odpowiednio´sci z prostymi geodezyjnymi
Symetralne s¸a we wzajemnie jednoznacznej odpowiednio´sci z nieuporz¸adkowanymi parami punkt´ow z brzegu idealnego (wierzcho lki symetralnej)
Symetralna E jest r´owno odleg la od punktu x wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ Σ \ σ
W lasno´sci symetralnej cd.
Symetralna jest rozmaito´sci¸a Hadamarda o ujemnej krzywi´znie i brzegu idealnym (sferze kr¸egos lupowej) homeomorficznym z S2n−2.
Symetralna E posiada naturaln¸a foliacj¸e (rozk lad plastrowy) na hiperp laszczyzny zespolone
E = [
x∈σ
Π−1Σ (x)
Je ˙zeli hiperp laszczyzny zespolone H1 i H2 s¸a nadr´ownoleg le, to istnieje dok ladnie jedna symetralna zawieraj¸aca H1 i H2 jako plastry.
Opis plastr´ow przez wierzcho lki
Je ˙zeli Q± reprezentuj¸a wierzcho lki q± symetralnej i s¸a takie, ˙ze hQ−|Q+i = 2, to wektory
S(t) = 1 2
tQ− + 1
t Q+
, t > 0 s¸a wektorami biegunowymi plastr´ow symetralnej.
Foliacj¸a wsp´o lkr¸egos lupow¸a przestrzeni CH nazywamy foli- acj¸e symetralnymi o wsp´olnym kr¸egos lupie zespolonym.
Stwierdzenie Je ˙zeli Σ jest wsp´olnym kr¸egos lupem li´sci foliacji klasy C2 symetralnymi, to istnieje ortogonalna transwersala o krzywi´znie geodezyjnej nie przekraczaj¸acej 1. Ponadto ka ˙zda foliacja geodezyjna p laszczyzny hiperbolicznej Σ generuje foliacj¸e wsp´o lkr¸egos lupow¸a.
Wniosek Brzeg foliacji wsp´o lkr¸egos lupowej jest produktem D2 × S2n−3.
Roz l¸aczno´s´c hiperp laszczyzn zespolonych
Niech Ui b¸edzie wektorem biegunowym hiperp laszczyzny zespolonej Hi, i = 1, 2. W´owczas H1 ∩ H2 = ∅ wtedy i tylko wtedy, gdy
RehU1|U2i ≤ −1
Roz l¸aczno´s´c symetralnych
Niech qi± b¸edd¸a wierzcho lkami symetralnej Ei, i = 1, 2. W´owczas E1 ∩ E2 = ∅ wtedy i tylko wtedy, gdy istniej¸a takie wektory Qi±
reprezentuj¸ace qi±, ˙ze
Re hQiε|Qjηi = −1 o ile i 6= j, ε, η ∈ {+, −}
Plastry li´sci foliacji symetralnymi przestrzeni CH s¸a li´scmi fo- liacji ca lkowicie geodezyjnej kowymiaru 2 czyli maksymalnego mo ˙zliwego.
Ze wzgl¸edu na wyr´o ˙znion¸a geodezyjn¸a na symetralnej nawet struktura foliacji symetralnymi (a tym bardziej pochodz¸acych od nich foliacji ca lkowicie geodezyjnych) mo ˙ze by´c skomplikowana w przypadku, kt´ory w Hn trywializuje si¸e: symetralne ortogonalne do danej geodezyjnej w punktach swoich kr¸egos lup´ow.
Foliacje ca lkowicie geodezyjne w CHn nie musz¸a te ˙z pochodzi´c od foliacji symetralnymi.
