Wspomnienie o Lechu Dubikajtisie (1925–2014)

Bogumiła Maria Klemp-Dyczek (Toruń)

Wspomnienie o Lechu Dubikajtisie

(1925–2014)

Pierwszy kontakt z Lechem Dubikajtisem miałam pod koniec wrze- śnia 1968 roku, kiedy przyszedł jako nauczyciel geometrii do pierwszej uniwersyteckiej klasy matematycznej w IV Liceum Ogólnokształcącym w Toruniu. Byłam uczennicą tej klasy. Pan Dubikajtis był wówczas docentem, pracownikiem naukowym Uniwersytetu Mikołaja Kopernika

Zdjęcie Lecha Dubikajtisa na tej stronie wykonała Alina Dauksza-Wiśniewska.

Poniżej – faksymile podpisu Lecha Dubikajtisa.

w Toruniu (UMK). Współpracował ze swoim starszym kolegą, profeso- rem Leonem Jeśmanowiczem, również pracownikiem naukowym UMK, który był organizatorem klas matematycznych na terenie Torunia. Pro- fesor Jeśmanowicz uczył nas algebry, a docent Dubikajtis wprowadzał w arkana geometrii. Przez cztery lata mieliśmy z nim po dwie godziny lekcji tygodniowo.

W dniu śmierci profesora Dubikajtisa, 11 listopada 2014 roku, po- szłam na strych i przyniosłam komplet notatek z czterech lat (1968–

1972) nauki geometrii. Z perspektywy własnych doświadczeń życiowych i zawodowych przyznaję dzisiaj, że otrzymaliśmy niezwykły prezent od życia w postaci lekcji z takim Nauczycielem. Droga, jaką dla naucza- nia geometrii obrał dla nas, była piękna, wypracowana, opierała się na głębokich doświadczeniach naukowych i życiowych, a także na bieżą- cych przemyśleniach – profesor był w trakcie pisania jednego ze swoich podręczników dla studentów.

Ze szkolnych czasów, prócz geometrii, zapamiętałam jedną historię.

W drugiej klasie liceum w wypadku drogowym zginął nasz klasowy ko- lega. Dyrekcja szkoły nie pozwoliła uczniom naszej klasy uczestniczyć we mszy świętej pogrzebowej w intencji zmarłego kolegi. Mieliśmy przyjść do szkoły na lekcje, a ewentualnie po południu mogliśmy uczestniczyć w pochówku na cmentarzu. Zaczynaliśmy lekcje od geometrii. Już wcze- śniej tak bywało, że, gdy profesor miał jakiś pilny wyjazd służbowy, jego córka, uczennica naszej klasy, rozpuszczała telefoniczne wici, że w da- nym dniu geometrii nie będzie i przychodziliśmy do szkoły dopiero na trzecią godzinę lekcyjną. Tego dnia rano dyrektor otrzymał nagłą wia- domość, iż geometrii nie będzie ze względu na ważne sprawy osobiste profesora. My, uczniowie, dowiedzieliśmy się o tym kilka godzin wcze- śniej. Tą ważną sprawą osobistą był udział we mszy świętej pogrzebo- wej ucznia. W tamtych czasach miało takie zachowanie wymiar zupełnie inny niż obecnie.

Pewnego razu profesor opowiadał nam, jak studentki wchodziły na egzamin ustny ubrane na zielono. Dopiero po jakimś czasie zorientował się, że były to te same części garderoby i pod koniec egzaminowania zapytał, co to miało znaczyć. Dowiedział się od jednej ze studentek, że miały kłopot ze znalezieniem zielonego ubrania, a podobno profesor bardzo lubił ten kolor.

Lech Dubikajtis urodził się w Warszawie 6 października 1925 roku

w rodzinie wojskowego, oficera broni pancernej. W wielu dokumentach

jako data urodzenia Lecha występuje rok 1927. Wynika to z dokonanego

przez ojca Lecha w czasie II wojny światowej, gdy mieszkali w Wilnie,

sfałszowania daty urodzenia syna w celu uniknięcia wywiezienia go na roboty. Młody Lech Dubikajtis był drobnej budowy, więc ta mistyfika- cja nie wzbudzała podejrzeń. Przed wybuchem wojny ukończył w Wil- nie I klasę gimnazjalną w Gimnazjum Zygmunta Augusta. Poprzednio rodzina mieszkała przez pewien czas w Krakowie, gdzie L. Dubikajtis uczęszczał do początkowych klas szkoły powszechnej.

Profesor podkreślał, że nie był wilnianinem, a do Wilna „ciągnęło”

jego ojca, który był tam urodzony. Jednak to w tym mieście Lech Dubi- kajtis przeżył młodzieńcze lata, a jako najbardziej wartościowe przeżycia wspominał naukę matematyki na tajnych kompletach u profesora tam- tejszego Uniwersytetu Stefana Batorego, Władysława Dziewulskiego.

Często także podkreślał, że spośród nauczycieli w polskiej szkole, za czasów okupacji litewskiej Wilna, najistotniejszą dla niego rolę odegrał Leon Jeśmanowicz, który go tam uczył matematyki. W 1945 roku na tajnych kompletach Lech Dubikajtis uzyskał w Wilnie maturę.

W transporcie z Wilna do Lublina, krótko po śmierci ojca, znalazł się tylko z matką. Opowiadał nam kiedyś na lekcji, że tym, co było dla niego najcenniejsze z mienia przesiedleńczego, był egzemplarz książki Hugona Steinhausa Kalejdoskop matematyczny wraz z wkładką – mo- delem dwunastościanu foremnego. Lech Dubikajtis rozpoczął studia na Politechnice Warszawskiej z tymczasową siedzibą w Lublinie; studiował tam przez rok, czyniąc zadość marzeniu ojca, by zostać inżynierem. Zdał wówczas egzamin z geometrii u profesora Juliusza Rudnickiego, który później wywarł duży wpływ na jego działalność naukową. Po roku prze- niósł się na Wydział Elektrotechniki Politechniki Gdańskiej, a stamtąd przybył do Torunia, gdzie od 1948 roku studiował na UMK matema- tykę. Zawsze bowiem marzył, żeby zostać naukowcem, matematykiem.

Jednocześnie pracował jako zastępca asystenta w Seminarium Mate-

matycznym UMK. Jako student był jednym z dwojga stypendystów

stypendium im. Juliusza Rudnickiego. Wspomniane stypendium było

zorganizowane w taki sposób, że wdowa po prof. Rudnickim wpłaciła

pewną kwotę na fundusz stypendialny, a konto funduszu zobowiązali się

zasilać, w formie ustalonych, niewielkich kwot płatnych co miesiąc po

odbiorze pensji, wileńscy znajomi profesora Rudnickiego. Niestety, po

pewnym czasie przestali wywiązywać się z tego zobowiązania. Wówczas

L. Jeśmanowicz, sekretarz funduszu stypendialnego, wpadł na pomysł,

że narysuje karykatury wszystkich, którzy zobowiązali się do wpłat, aby

student Dubikajtis, stojący w dniu wypłaty pod kwesturą, gdzie wy-

płacane były pobory, mógł rozpoznać stosowne osoby i przypomnieć im

o zasileniu funduszu stypendium im. J. Rudnickiego.

1: Lech Dubikajtis według L. Jeśmanowicza.

Studia matematyczne Lech Dubikajtis ukończył na UMK w 1950 roku. Rok później, 14 lipca, poślubił koleżankę, studentkę prawa, Barbarę Podlaszewską. Doczekali się trojga dzieci. Pierwsza urodziła się w 1953 roku Barbara Beata, potem kolejno Jerzy i Jacek.

Wraz z małżonką, Lech Dubikajtis należał do grona członków zało- życieli Koła Przewodników PTTK w Toruniu.

Lech Dubikajtis był także jednym z 13 uczestników pierwszego posie- dzenia Toruńskiego Oddziału Polskiego Towarzystwa Matematycznego, które odbyło się w dniu 7 października 1952 roku.

Jako młody pracownik naukowy UMK przez pewien czas był jed- nocześnie nauczycielem w liceach ogólnokształcących (I LO w Toruniu, LO w Wąbrzeźnie), jednak jego promotor, profesor Stanisław Jaśkow- ski, poprosił, by mimo trudnej sytuacji materialnej nie rozpraszał się, a poświęcił wyłącznie nauce.

Lech Dubikajtis uzyskał doktorat, według nowych, wzorowanych na

radzieckich, przepisów, 26 czerwca 1954 roku, w Instytucie Matema-

tycznym Polskiej Akademii Nauk w Warszawie, na podstawie pracy Ak-

sjomatyka geometrii kul (Liego). Promotorem był profesor Stanisław

Jaśkowski, a recenzentami profesorowie: Stanisław Gołąb, Andrzej Mo-

stowski i Edward Otto. Lech Dubikajtis otrzymał wówczas tytuł kandy-

data nauk. W 1958 roku przyznano mu tytuł docenta (nie było wówczas

habilitacji, docent był tytułem naukowym przyznawanym na podstawie oceny dorobku; nie należy mylić wspomnianego tytułu z tzw. marco- wymi docentami z okresu późniejszego). Pracował nie tylko na UMK – przez pewien czas dojeżdżał także do Wyższej Szkoły Pedagogicznej w Gdańsku; pracował też na pół etatu w Instytucie Matematycznym Polskiej Akademii Nauk.

W latach 1959–1960 i 1966–1967, kiedy jeszcze niewielu pracowni- ków naukowych odbywało staże zagraniczne, Lech Dubikajtis korzystał ze stypendium naukowego na Sorbonie w Instytucie Henri Poincar´ ego.

W końcowym okresie pracy na UMK kierował Zakładem Logiki Mate- matycznej i Metodyki Nauczania Matematyki. Nie samą matematyką żył zapalony matematyk. W 1956 roku był założycielem na UMK Uni- wersyteckiego Dyskusyjnego Klubu Filmowego, a potem przez wiele lat jego prezesem. Często zdarzało się, że ciekawe filmy przywoził z War- szawy we własnej teczce. Był także jednym z założycieli Klubu Inteli- gencji Katolickiej w Toruniu, wybranych spośród grona młodszych pra- cowników nauki i zaproszonych przez profesora Karola Górskiego. Jego nazwisko widnieje na liście 20 osób, które 10 lutego 1958 roku zgło- siły Klub do rejestracji. Przyjęcie takiego zaproszenia było w tamtych czasach aktem odwagi, gdyż nie można było przewidzieć, z jakimi re- presjami przyjdzie się zmierzyć.

Od 1960 roku był członkiem Wydziału III Towarzystwa Naukowego Toruńskiego.

Profesorem nadzwyczajnym został dopiero w 1972 roku. Wstrzymy-

wanie kariery naukowej i uniemożliwianie wyjazdu z Torunia do Gdań-

ska, gdzie powstawał nowy uniwersytet i gdzie Lechowi Dubikajtisowi

oferowano pracę oraz obszerne mieszkanie z ogrodem, miało charakter

represji. Ówczesny rektor UMK wzywał do siebie L. Dubikajtisa i poka-

zywał mu donosy: „nie dość, że chodzi na msze akademickie, to jeszcze

przystępuje do komunii i tym samym gorszy młodzież akademicką”. Pro-

fesor spotykał się ponadto z zarzutami ze strony członków PZPR, że nie

uczestniczy w pochodach pierwszomajowych. W końcu władze uniwer-

syteckie i partyjne uznały, że praktykowanie wiary jest prywatną sprawą

i prof. Dubikajtis mógł zwolnić się z pracy na UMK. (W owych czasach

władze uniwersyteckie mogły odmówić zwolnienia pracownika za poro-

zumieniem stron, motywując to np. szczególną przydatnością pracow-

nika). Jako że miał zaproszenie do pracy również w Katowicach, tym ra-

zem z obietnicą domu jednorodzinnego, w roku akademickim 1972/1973

rozpoczął nowy etap życia i przez lata był profesorem na Uniwersyte-

cie Śląskim. Jednocześnie dojeżdżał do Wyższej Szkoły Pedagogicznej

(wcześniej – Wyższej Szkoły Nauczycielskiej) w Częstochowie. W ka- dencji 1973–1975 był prezesem Górnośląskiego Oddziału PTM.

Etap „śląski” trwał około 10 lat i był przerywany pobytami zagra- nicznymi w charakterze visiting professor: w Brazylii na Uniwersytecie w Sao Paulo (w 1975) i na Uniwersytecie w Ciampinas (1975–1976), a potem kolejno w Lille we Francji (1982–1983) i na Uniwersytecie Ka- tolickim w Louvain (Lowanium) w Belgii (1983), a także na stypendium we Włoszech we Florencji w 1983 roku.

W 1983 roku rozpoczął się blisko dwudziestoletni pobyt we Wło- szech, zakończony na Uniwersytecie w Cosenzie, gdzie Lech Dubikajtis otrzymał w 1985 roku tytuł profesora zwyczajnego. W trakcie pracy na Uniwersytecie w Cosenzie, gdzie m.in. pełnił funkcję prodziekana, nie zapominał o swoich kolegach, matematykach z Polski. Zapraszał ich z wykładami do Cosenzy, umożliwiając przejrzenie się w błękicie wło- skiego nieba, podczas gdy nasze, polskie niebo zasnuwały ciężkie chmury komunizmu.

Życzliwość Profesora wobec swoich uczniów – byłych doktorantów przejawiała się m.in. w paczkach z kawą, jakie otrzymywali od swojego promotora za pośrednictwem Pewexu. Pewnego razu jeden z młodych matematyków, współpracujący z byłą doktorantką profesora Dubikaj- tisa, zapożyczył się, aby móc uczestniczyć w konferencji, poświęconej geometrii, w Izraelu. Otrzymał zwrot poniesionych kosztów od organi- zatorów konferencji. Na Dworcu Centralnym w Warszawie, w drodze powrotnej, ktoś przeciął kieszeń spodni młodego matematyka i skradł trzymane tam dewizy. Była doktorantka w Toruniu spotkała swojego promotora i, zasmucona, zdała relację z wydarzeń z podróży. Profesor Dubikajtis zaproponował młodemu matematykowi wspólną podróż sa- mochodem z Polski do Włoch. Przez cała drogę toczyli dyskusje o geo- metrii i, kiedy dojechali do celu, profesor Dubikajtis zaproponował, aby to wszystko, o czym rozmawiali w podróży, jego towarzysz opowiedział jeszcze raz w postaci serii wykładów. Po zakończonych wykładach prze- kazał młodemu człowiekowi utraconą kwotę, powiększoną o środki na bilet powrotny do Polski. Nie trzeba chyba dodawać, że w czasie pobytu we Włoszech młody matematyk był goszczony w prywatnym mieszkaniu państwa Dubikajtisów.

Po ukazaniu się w 1998 roku encykliki papieża Jana Pawła II Fides

et Ratio interdyscyplinarna grupa naukowców we Włoszech utworzyła

stowarzyszenie „Scienza e Fede”. Wśród założycieli był też Lech Du-

bikajtis, który kilkakrotnie uczestniczył w seminariach, m.in. w końcu

maja 2002 roku w Neapolu.

Po 2000 roku rozpoczął się powrót Profesora na stałe do Polski, do Torunia, gdzie państwo Dubikajtisowie zakupili dom na osiedlu Brze- zina. Był to powrót przerywany jeszcze wieloma wyjazdami zagranicz- nymi. Na emeryturę Profesor przeszedł w 2003 roku. Przed jednym z wy- jazdów za granicę Profesor odwiedził mnie pod Toruniem, wraz z mał- żonką, i przyniósł w prezencie butelkę dobrego włoskiego wina rocznik 2000. Upominek ten nie był zupełnie bezinteresowny, ponieważ Profesor poprosił mnie o sprawdzenie angielszczyzny referatu, który miał wygło- sić na jednej z konferencji. Wiedziałam, że językami obcymi używanymi biegle przez Profesora były francuski i włoski. Referat sprawdziłam i nie dopatrzyłam się językowo niczego podejrzanego. Lech Dubikajtis popro- sił także o nagranie wymowy wybranych wyrażeń. Byłam trochę tą całą sytuacją zdziwiona, ale zrozumiałam wszystko, gdy Profesor pokazał mi w laptopie słowniki wyrażeń matematycznych, które tworzył przy lek- turze rozmaitych prac i książek. W ten sposób zgromadził na swoje po- trzeby ogromną bibliotekę wyrażeń i zwrotów, które modyfikował wedle własnych potrzeb, i dzięki temu mógł pisać prace w mało znanych sobie językach.

Profesor Lech Dubikajtis uprawiał w życiu trzy gałęzie matema- tyki. Były to: geometria, logika i podstawy matematyki. W ostatnim okresie życia skłaniał się też ku filozofii matematyki. W tym, co do pewnego etapu tworzył z geometrii, czuł się spadkobiercą profesora Ju- liusza Rudnickiego. Rozwijał logikę, ukierunkowany przez profesora Sta- nisława Jaśkowskiego. Za swojego mistrza uważał profesora Stanisława Gołąba, któremu dedykował pierwszą napisaną przez siebie książkę.

W kolejnych uczelniach był opiekunem ponad dwustu prac magister- skich. Ponadto wypromował kilkunastu doktorów. W Toruniu w latach 1964–1979 wypromowani zostali: Henryk Guściora, Andrzej Lewandow- ski, Hanna Makowiecka, Jerzy Iwański, Feliks Maniakowski, Stanisław Szymański, Irena Bunda.

Często mówił o dwóch cechach uczonego. Jedna to odkrywanie praw- dy, a druga to dzielenie się odkrytą prawdą z innymi.

Lech Dubikajtis był autorem wielu prac naukowych z uprawianych przez siebie gałęzi matematyki. Napisał też kilka podręczników uniwer- syteckich z geometrii.

Profesor wielokrotnie podkreślał, że jest katolikiem. Zaproszony zo- stał do Castel Gandolfo na interdyscyplinarne seminarium pod ogólnym hasłem „Nauka-religia-dzieje”. Był dumny z możliwości uczestniczenia w seminarium w obecności Ojca Świętego – Jana Pawła II.

Bliski był mu ruch solidarnościowy. Był wiceprzewodniczącym Ko-

misji Uczelnianej NSZZ „Solidarność” na WSP w Częstochowie. Wielu trosk przysporzyło mu internowanie, a następnie wydalenie z Polski naj- młodszego syna Jacka. Znane jest zdjęcie profesora Dubikajtisa z Ojcem Świętym Janem Pawłem II, zrobione w momencie, gdy przekazywał Pa- pieżowi różaniec z chleba, zrobiony przez internowanych w stanie wo- jennym.

Fot. 2: Lech Dubikajtis z Janem Pawłem II (zdjęcie z archiwum ro- dzinnego).

W toruńskim Klubie Inteligencji Katolickiej 21 maja 2008 roku wy- głosił referat „Katolik wobec teorii naukowych”. We fragmencie o swoim pojmowaniu Trójcy Świętej mówił: Bóg Ojciec – dający życie, Duch Święty – dający prawdę, Chrystus – dający miłość.

Jeszcze w maju 2012 roku zapraszał mnie na rozmowy o geometrii, do których już nie doszło, bowiem od lata tamtego roku złożony był wieloma chorobami. Pani Barbara przez ponad dwa lata opiekowała się z ogromnym poświęceniem i heroizmem swoim Małżonkiem.

Lech Dubikajtis zmarł w Święto Niepodległości, 11 listopada 2014 roku. Pochowany został na cmentarzu przy ul. Wybickiego w Toruniu.

Podziękowania: Część informacji uzyskałam od p. Barbary Dubi-

kajtis, za co składam Jej serdeczne podziękowanie.

Podręczniki:

[1] Geometria analityczna dla I roku matematyki, część II, Uniwersytet Miko- łaja Kopernika, Toruń 1972.

[2] Geometria metryczna, Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Toruń 1971 (wy- danie II: Uniwersytet Śląski w Katowicach, Katowice 1973).

[3] Geometria analityczna dla I roku matematyki, część I, Uniwersytet Miko- łaja Kopernika, Toruń 1969.

[4] Wstęp do geometrii wykreślnej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, War- szawa 1963.

Materiały pomocnicze dla nauczycieli:

[1] Wiadomości z geometrii rzutowej: zajęcia fakultatywne w grupie matematyczno-fizycznej, Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, Warszawa 1963.

Prace:

[1] On the first order logic true in every universe (including the empty uni- verse), „Reports on Mathematical Logic” 37 (2003), 41–57.

[2] Distance-line spaces, „Rocznik Naukowo-Dydaktyczny”, Prace Matema- tyczne 13 (1993), 77–10.

[3] Double affine space, Combinatorics ’88, Vol. 1 (Ravello, 1988), Res. Lecture Notes Math., Mediterranean, Rende, 1991, 329–352.

[4] Some extension of Desarguesian affine geometry, „Bulletin of the Polish Academy of Sciences. Mathematics” 37 (1989), 7–12 (1990), 603–611.

[5] Some extension of Euclidean geometry, „Bulletin of the Polish Academy of Sciences. Mathematics” 37 (1989), 7–12 (1990), 613–617.

[6] A system of axioms for plane Euclidean, hyperbolic and elliptic geometries, Proceedings of the conference on combinatorial and incidence geometry:

principles and applications (La Mendola, 1982), Rend. Sem. Mat. Brescia, 7 (1984), Vita e Pensiero, Milan, 283–288.

[7] On independence of axioms of Jaśkowski’s discussive propositional calculus,

„Reports on Mathematical Logic” 11 (1981), 3–11 (wspólnie z G. Achtelik, E. Dudek i J. Koniorem).

[8] On single operator for Lewis S5 modal logic, „Reports on Mathematical Logic” 11 (1981), 57–61 (wspólnie z L. de Moraesem).

[9] Some generalization of the Klein’s model, „Zeszyty Naukowe Geom.” 12

(1981), 19–28 (wspólnie z J. Frydą).

[10] On affine transformations of Cartesian plane, „Zeszyty Naukowe Geom.”

12 (1981), 5–18 (wspólnie z H. Guściorą).

[11] On axiomatics of Jaśkowski’s discussive propositional calculus, Proceedings of the Third Brazilian Conference on Mathematical Logic (Inst. Math., Fed.

Univ. Pernambuco, Recife, 1979), Soc. Brasil. Lógica, Sao Paulo, 1980, 109–

117 (wspólnie z E. Dudek i J. Koniorem).

[12] Relationships between the notions of distance, area and volume in the Euc- lidean space, Uniwersytet Śląski w Katowicach, Prace Naukowe 158, Prace Matematyczne 7 (1977), 71–82.

[13] A New Axiomatization for the Discursive Propositional Calculus, [w:] A.I.

Arruda, N.C.A. da Costa, R. Chuoqui (red.), Non Classical Logics, Model Theory and Computability, North-Holland Publishing, Amsterdam 1977, 45–55 (wspólnie z N.C.A. da Costą).

[14] On Jaśkowski’s discussive logic. Non-classical logics, model theory and com- putability [w:] Proceedings of the Third Latin American Symposium on Ma- thematical Logic, Campinas, 1976, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, Vol. 89, North-Holland, Amsterdam 1977, 37–56 (wspólnie z N.C.A. da Costą).

[15] Orientability of affine spaces, „Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universit¨ at Hamburg” 45 (1976), 256–262.

[16] The life and works of Stanisław Jaśkowski, „Studia Logica” 34 (1975), 2, 109–116.

[17] Sur la notion de pseudogroupe de Gołąb, Collection of articles dedicated to Stanisław Gołąb on his 70th birthday, II, „Demonstratio Mathematica” 6 (1973), 537–559.

[18] On Mikusiński’s functional equation, „Annales Polonici Mathematici” 28 (1973), 39–47 (wspólnie z C. Ferensem, R. Gerem i M. Kuczmą).

[19] On non-localized oriented angles, „Annales Polonici Mathematici” 25 (1971/1972), 227–239 (wspólnie z M. Kuczmą).

[20] Stanisław Jaśkowski (1906–1965), „Colloquium Mathematicum” 22 (1971), 325–333.

[21] A complete system of invariants for classical mechanics of a material point,

„Reports on Mathematical Physics” 1 (1970/1971), 3, 185–194 (wspólnie z A. Kossakowskim).

[22] Syst` eme d’axiomes de la g´ eom´ etrie affine bas´ e sur la notion de demi-droite,

„Commentationes Mathematicae (Prace Matematyczne)” 13 (1970), 161–

169.

[23] Sur certaines ´ equations fonctionnelles v´ erifi´ ees par la fonction ϕ(x) = x ¹ ,

„Annales Polonici Mathematici” 22 (1969/1970), 199–205.

[24] On the geometry of oriented equiaxial hyperquadrics, „Bulletin L’Acad´ emie Polonaise des Science, S´ erie des Sciences Math´ ematiques, Astronomiques et Physiques” 17 (1969), 29–35 (wspólnie z H. Guściorą).

[25] Sur la logique discursive de Jaśkowski, „Bulletin L’Acad´ emie Polonaise des Science, S´ erie des Sciences Math´ ematiques, Astronomiques et Physiques”

16 (1968), 551–557 (wspólnie z N.C.A. da Costą).

[26] On a certain generalization of the plane Laguerre geometry to the 3-di- mensional space, „Bulletin L’Acad´ emie Polonaise des Science, S´ erie des Sciences Math´ ematiques, Astronomiques et Physiques” 16 (1968), 327–331 (wspólnie z H. Guściorą).

[27] On regularity of information, „Bulletin L’Acad´ emie Polonaise des Science, S´ erie des Sciences Math´ ematiques, Astronomiques et Physiques” 16 (1968), 55–56 (wspólnie z R.S. Ingardenem i A. Kossakowskim).

[28] Stanisław Jaśkowski (1906–1965), „Ruch Filozoficzny” 25 (1967), 3–4, 187–

198.

[29] On Jaśkowski’s propositional calculus, „Notices of the American Mathe- matical Society” 14 (1967), 5, 712 (wspólnie z N.C.A. Costą).

[30] On a hyperbolic model of the solid Laguerre geometry, „Bulletin L’Acad´ emie Polonaise des Science, S´ erie des Sciences Math´ ematiques, Astronomiques et Physiques” 15 (1967), 865–869 (wspólnie z H. Guściorą).

[31] Un mod` ele hyperbolique de la g´ eom´ etrie plane de Laguerre, „Bulletin L’Acad´ emie Polonaise des Science, S´ erie des Sciences Math´ ematiques, Astronomiques et Physiques” 15 (1967), 619–626 (wspólnie z H. Guściorą).

[32] A system of axioms for oriented plane metric geometry, „Bulletin L’Acad´ emie Polonaise des Science, S´ erie des Sciences Math´ ematiques, Astronomiques et Physiques” 14 (1966), 197–202.

[33] A system of axioms of the plane metric geometry, „Bulletin L’Acad´ emie Polonaise des Science, S´ erie des Sciences Math´ ematiques, Astronomiques et Physiques” 13 (1965), 653–659.

[34] Order relation of the L-line in the geometry of Laguerre, Zeszyty Naukowe Mat. Fiz. i Chem. Wyższej Szkoły Pedagogicznej 4 (1965), 5–10 (wspólnie z H. Guściorą).

[35] Certaines extensions de la notion de groupoide inductif et de celle de pseu- dogroupe, „Colloquium Mathematicum” 12 (1964), 163–185.

[36] Decompositions of theories, „Annales Societatis Mathematicae Polonae”, Seria II, „Wiadomości Matematyczne” 12 (1964), 597–601.

[37] Operations on deductive systems, „Bulletin L’Acad´ emie Polonaise des Science, S´ erie des Sciences Math´ ematiques, Astronomiques et Physiques”

12 (1964), 593–596.

[38] Sur une caract´ erisation de la fonction sinus, „Annales Polonici Mathema- tici” 16 (1964), 117–120.

[39] Une extension de la notion d’ordre lin´ eaire ` a celle d’ordre de dimension n,

„Annales Polonici Mathematici” 14 (1964), 211–238.

[40] Relacja porządkujące L-proste w geometrii Laguerre’a, „Zeszyty Naukowe.

Matematyka, Fizyka, Chemia”, Wyższa Szkoła Pedagogiczna w Gdańsku, Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii 2 (1964), 23–32 (wspólnie z H. Gu- ściorą).

[41] Pseudogroupe ´ el´ ementaire commutatif et semi-groupe r´ egulier commutatif,

„Colloquium Mathematicum” 12 (1964), 187–193 (wspólnie z P. Jarkiem).

[42] An independent system of axioms defining the Ehresmann groupoid, „Bul- letin L’Acad´ emie Polonaise des Science, S´ erie des Sciences Math´ ematiques, Astronomiques et Physiques” 12 (1964), 687–693 (wspólnie z J. Iwańskim).

[43] Groupoide inductif ´ el´ ementaire et pseudogroupe ´ el´ ementaire, „Bulletin L’Acad´ emie Polonaise des Science, S´ erie des Sciences Math´ ematiques, Astronomiques et Physiques” 11 (1963), 469–471.

[44] Remarks on Hilbert’s axioms of order and their modifications, cz. I: De- pendence on the symmetry of the ”betweenness” relation, „Prace Matema- tyczne” 8 (1963/1964), 71–79.

[45] Remarks on Hilbert’s axioms of order and their modifications, cz. II:

Strengthening of Pasch’s axiom, „Prace Matematyczne” 8 (1963/1964), 81–91.

[46] Remarques sur les axiomes d’ordre de Hilbert et sur leurs modifications, I, II, „Prace Matematyczne” 8 (1963), 71–78, 81–90.

[47] La geometrie de Laguerre, „Zeszyty Naukowe. Matematyka, Fizyka, Che- mia”, Wyższa Szkoła Pedagogiczna w Gdańsku, Wydział Matematyki, Fi- zyki i Chemii 2(1963), 47–60 (wspólnie z H. Guściorą).

[48] Les correspondences parmi les fifferents de Laguerre, „Zeszyty Naukowe.

Matematyka, Fizyka, Chemia”, Wyższa Szkoła Pedagogiczna w Gdańsku, Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii 3 (1963), 9–20 (wspólnie z H. Gu- ściorą).

[49] Sur un certain invariant de transformations de Laguerre, „Zeszyty Na- ukowe. Matematyka, Fizyka, Chemia”, Wyższa Szkoła Pedagogiczna w Gdańsku, Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii 2 (1963), 23–32 (wspól- nie z H. Guściorą).

[50] The axioms of order of n-dimensional geometry, „Bulletin L’Acad´ emie Po-

lonaise des Science, S´ erie des Sciences Math´ ematiques, Astronomiques et

Physiques” 10 (1962), 111–113.

[51] Construction de groupes cartesiens infinis denombrables, Algebre Theorie Nombres, Sem. P. Dubreil, M.-L. Dubreil-Jacotin et C. Pisot 13 (1959/60), No. 21 (1961) 17 p.

[52] La g´ eom´ etrie de Lie, „Rozprawy Matematyczne” 15 (1958).

[53] On the incidence axioms of various geometries, „Bulletin L’Acad´ emie Po- lonaise des Science, S´ erie des Sciences Math´ ematiques, Astronomiques et Physiques”, 6 (1958), 423–427.

[54] Un syst` eme d’axiomes communs ` a quelques g´ eom´ etries, „Annales Polonici Mathematici” 5 (1958), 209–236.

[55] On the order of points and hyperplanes in n-dimensional projective geo- metry, „Bulletin L’Acad´ emie Polonaise des Science, S´ erie des Sciences Math´ ematiques, Astronomiques et Physiques” 6 (1958), 607–610.

[56] Sur les partages du triangle, „Colloquium Mathematicum” 4 (1957), 219–

223.

[57] On the separability of topological spaces, „Colloquium Mathematicum” 3 (1954), 31–32.

Dodatek: Z działalności szkolnej prof. Lecha Dubikajtisa Charakter lekcji prowadzonych przez Lecha Dubikajtisa oddaje po- niższy przykład:

Protokół z lekcji geometrii nr 1 z dnia 26 września 1968 rok (przeprowadzonej przez doc. Lecha Dubikajtisa,

pierwsza klasa LO, dziewiąty rok nauki)

Na lekcje geometrii trzeba nosić: cyrkiel, ołówek, gumkę, trójkąty.

Pytanie problemowe: Co to jest geometria?

Odp. Kol. PG: Geometria wchodzi w skład matematyki, zajmuje się fi- gurami płaskimi i bryłami.

Odp. Kol. JG: Geometria zajmuje się rzutami.

Obie odpowiedzi są niewystarczające. Cechą wspólną tych odpowiedzi jest słowo „zajmuje się”.

Aby dać odpowiedź, co to jest geometria, musimy podać wszystko, czym się ona zajmuje. Z tego wynika, że, by zdefiniować geometrię, mu- simy ją znać.

W wielu definicjach dotyczących geometrii znajdujemy słowa zapo-

życzone z innych dziedzin, np. z arytmetyki czy algebry. „Suma kątów

w trójkącie jest równa 180 stopni”.

Analogicznie np. w fizyce są zapożyczone pojęcia charakterystyczne dla geometrii. „Jeżeli na ciało nie działają żadne siły, to pozostaje ono w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej”.

W geometrii mamy do czynienia z pojęciami charakterystycznymi dla tej nauki oraz z pojęciami zapożyczonymi z innych nauk.

Nauka zajmuje się opisywaniem własności pojęć charakterystycznych.

Przykład. Szukamy własności stołu:

Stołologia

1. Stół ma cztery nogi.

2. Blat jest prostokątny.

3. Blat jest równoległy do podłogi.

4. Stół ma parzystą liczbę nóg.

5. Przekątne blatu są równej długości.

6. Blat stołu jest równoległobokiem.

Własności 1, 2, 3 wystarczyłyby do określenia tego stołu. Do tego celu ktoś inny użyłby własności 1, 3, 5, 6 i również to byłoby prawidłowe.

Powstawanie nauki:

a) gromadzenie wiedzy – wykonywanie doświadczeń,

b) selekcjonowanie wiedzy – wybieranie tylko niektórych własności i badanie związków między nimi.

Celem nauki geometrii w naszej klasie będzie badanie związków pomię- dzy twierdzeniami geometrycznymi. Twierdzenia, które w danej teorii naukowej przyjmujemy bez dowodu i przyjmujemy jako podstawowe, na- zywamy aksjomatami (postulatami, pewnikami).

Podsumowanie wiadomości z I godziny:

1. Dziedziny nauki różnią się od siebie pojęciami.

2. Aksjomaty możemy wybierać w różny sposób. Nie są one ani praw- dziwe, ani fałszywe.

3. Najpierw budujemy naukę, a potem ustalamy związki logiczne mię-

dzy własnościami.

II godzina

1. Matematykę możemy porównać do olbrzymiego gmachu bez funda- mentów. Jego „fundamentami” są pojęcia pierwotne, których nie można zdefiniować. Piętrami są pojęcia wtórne, które można zde- finiować.

2. Jeżeli mamy np. 10 pojęć z zakresu geometrii, to wybieramy do- wolne pojęcie i definiujemy je przy pomocy pozostałych dziewię- ciu. Następnie jedno z tych pozostałych dziewięciu definiujemy za pomocą pozostałych ośmiu, itd. Dziewiątego pojęcia nie możemy zdefiniować przy pomocy pojęcia dziesiątego, gdyż wtedy mieliby- śmy do czynienia z tzw. błędnym kołem w definicji. Jedno lub kilka ostatnich pojęć pozostanie niezdefiniowanych. Podobnie jest z twierdzeniami. Są twierdzenia właściwe i twierdzenia, których udo- wodnić nie można, tzw. aksjomaty. Twierdzeniami późniejszymi nie można udowadniać twierdzeń wcześniejszych, gdyż w tym wy- padku wychodziłoby „błędne koło w dowodzie”.

3. Pojęcia pierwotne są scharakteryzowane przez aksjomaty.

Przykłady aksjomatów:

1. Przez dwa różne punkty przechodzi tylko jedna prosta.

2. Jeżeli dwa różne punkty prostej a leżą na płaszczyźnie B, to wszyst- kie punkty tej prostej leżą na płaszczyźnie B.

3. Jeżeli dwie płaszczyzny mają punkt wspólny, to mają drugi punkt wspólny.

4. Na każdej prostej leżą co najmniej dwa punkty.

5. Jeżeli dwie płaszczyzny mają punkt wspólny, to mają cała prostą wspólną.

Aksjomatami mogą być własności 1, 2, 3, 4 lub 1, 2, 4, 5.

Aksjomat nie może być ani prawdziwy, ani fałszywy.

Inne jest pojęcie prostej Łobaczewskiego, a inne jest pojęcie prostej Euklidesa.

Wybór aksjomatów może być względnie dowolny.

Bogumiła Maria Klemp-Dyczek Nicolaus Copernicus University

Faculty of Mathematics and Computer Science ul. Chopina 12/18

87-100 Toruń, Poland E-mail: klemp@mat.umk.pl

Communicated by: Walerian Piotrowski

(Zgłoszona: 3 maja 2015; Wersja końcowa: 13 wrzesnia 2016)