i f Otrzymamy dwa pęki rzutowe, których środek rzutowy O

- 505

' c z a j ą na prostej n i e w ł a ś c i w e j 3 pary punktów, t 0 j , kierunków odpowiednich; n a l u ż y z n a l e ź ć kierunki podwój- ne t . j . asymptotyczne„ Przez punkt jakikolwiek np. przez '-ss£ prowadzimy koło Steinera i z jego pomocą wyznacza­

my proste podwójne dwuch pęków rzutowych o wspólnym ' w i e r z c h o ł k u $ k t ó r y c h proste

ą/ź/c/

t^Ąf/c^'

r ó w n o l e g ł e do prostych

a.,]?^,

a.^

c

,

Znalazfezy kierunki / * i (c°° , prowadzimy styczne w tych kierunkach do s t o ż k o w e j . Łącząc każdy z tych

punktów n i e w ł a ś c i w y c h ^ A z punktami J t 4 i f Otrzymamy dwa pęki rzutowe, których środek rzutowy O

jest punktem p r z e c i ę c i a obu stycznych szukanych, t . j . środkiem s t o ż k o w e j . Proste jf> i JJ , poprowadzone przez punkt O w kierunkach F°° i 0,°° są asymptotami, dwu­

sieczne <i i ^ kątów między niemi s ą osiami s t o ż k o w e j .

R 0 Z D 2 I A Ł XV.

POWIERZCHNIE DRttGISGO STOPNIA.

§ 203. JColineacja środkowa dwuch układów p r z e s t r z e ń ' nych. Niech b ę d z i e p ł a s z c z y z n a j§ , którą -nazywać bę-^

dziemy p ł a s z c z y z n ą kolineaeji, punkt O który nazwie­

my środkiem kol ineaej i i dwa punkty A, i A;» , l e ż ą c e na dowolnej prostej wychodzącej z punktu O /lub

dwie p ł a s z c z y z n y Af i » p r z e c i n a j ą c s i ę według pro­

stej: l e ż ą c e j w p ł a s z c z y ź n i e $ /Rye.369/, Dane powyż­

sze wyznaczają dwa układy /dwie f i g u r y / przestrzenne f , i w ten sposób, że

1/ każdemu punktowi prostej lub p ł a s z c z y ź n i e uT

kładu F, odpowiada jeden jedyny punkt, prosta lub p ł a s z c z y z n a układu i nawzajem.

2/ punktowi, prostej i p ł a s z c z y ź n i e , należącym do siebie w jednym u k ł a d z i e , odpowiada punkt, prosta i p ł a s z c z y z n a drugiego u k ł a ­ du, które również do sie­

bie n a l e ż ą ,

3/ punkty odpowiednie l e ż ą parami na prostych, przechodzących przez środek kolineacji O %

4/ p ł a s z c z y z n y odpowiednie p r z e c i n a j ą s i ę parami według prostych, l e ż ą c y c h w p ł a s z c z y ź n i e kolineacji

5/ proste odpowiednie l e ż ą parami w p ł a s z c z y z n a c h przechodzących przez środek kolineacji O i przecina-

- 507 -

j ą S Ł S parami wpunkbach l e ż ą c y c h w p ł a s z c z y ź n i e J? i ' 6/ każde dwa szeregi odpowiednich punktów, każdo dwa pęki odpowiednich p ł a s z c z y z n lub prostych aą rzu­

towe.

Środek kolineacji oraz wszystkie punkty p ł a s z c z y ­ zny kolineacji - p ł a s z c z y z n a kolineacji oraz wszystkie p ł a s z c z y z n y przechodzące przez środek kolineacji o':*«;Z

- proste, przechodzące przez środek kolineacji oraz proste l e ż ą c e w p ł a s z c z y ź n i e k o l i n e a c j i , - odpo*

wiadają same sobie.

P ł a s z c z y z n a » która odpowiada w I u k ł a d z i e p ł a ­ s z c z y ź n i e n i e w ł a ś c i w e j , zaliczonej do I układu / B ^ ° V oraz p ł a s z c z y z n a k t ó r a odpowiada w II u k ł a d z i e p ł a s z c z y ź n i e n i e w ł a ś c i w e j , zaliczonej do I układu

--nazywają s i ę płaszczyznami wzajemnemi, są one rów­

n o l e g ł e do p ł a s z c z y z n y kolineacji jjf i mają t ę w ł a s ­ n o ś ć , że o d l e g ł o ś ć jednej z nich od środka kolineacji

Q i o d l e g ł o ś ć drugiej od p ł a s z c z y z n y kolineacji £ s ą odcinkami równej d ł u g o ś c i i przeciwnego zwrotu.

Kolineacja środkowa w przestrzeni może być wyznaczona przez swój środek O , p ł a s z c z y z n ę ' p i jedną z p ł a ­ szczyzn wzajemnych

jRjlub Gt^.

i

9*

między środkiem i p ł a s z c z y z n ą k o l i n e a c j i / , to k o l i n e ­ a c j a nazywa s i ę inwolucyjna;w t a k i e j k o l i n e a c j i k a ż d e ­ mu punktowi, p ł a s z c z y ź n i o lub prostej odpowiada ten

sam punkt, p ł a s z c z y z n a lub p r o s t a , n i e z a l e ż n i e od tego dc k t ó r e g o u k ł a d u ten punkt, p ł a s z c z y z n ę lub p r o s t ą z a l i c z y m y .

K o l i n e a c j a środkowa w p r z e s t r z e n i ma zastosowanie do p ł a s k o r z e ź b y perspektywicznej i w t e a t r a l n e j sztuce d e k o r a c y j n e j .

§ 204,, K o l i n e a c j a o g ó l n a dwuch układów p r z e s t r z e n ­ nych. Z dwuch układów p r z e s t r z e n n y c h F, i F^ , k t ó r e

są w k o l i n e a c j i środkowej przesuńmy jeden w dowolny s p o s ó b . Z 6 - c i u warunków, którym c z y n i ł y z a d o ś ć te u - k ł a d y , n i e k t ó r e , mianowicie J -, ^ i £~ n i e będą wo- g ó l e w nowem p o ł o ż e n i u układów s p e ł n i o n e , natomiast

pierwsze dwa i o s t a t n i p o z o s t a n ą w swej mocy, 0 u k ł a - . dach t a k i c h mówimy'wciąż j e s z c z e , że są w k o l i n e . a c j i ,

k t ó r a jodnak nie b ę d z i e j u ż wogólo środkową, mówimy wtedy, że u k ł a d y Ft i F^ są w k o l i n e a c j i o g ó l n e j

K o l i n e a c j a o g ó l n a dwuch układów p r z e s t r z e n n y c h j e a t wyznaczona przez 5 par punktów lub 5 par p ł a ­ szczyzn odpowiednich z tern z a s t r z e ż e n i e m , żeby żadne 4 z tych punktów w żadnjf.m u k ł a d z i e n i e l e ż a ł y w jednej p-H.czczyźrri e A więc t a k ż e żadna 5 na jednej p r o s t e j /

| 2 g l ; ż e b y ż a d n e 4 2 tych p ł a s z c z y z n w żadnym u k ł a d z i e

n i e p r z e c h o d z i ł y przez i en p u n k t • / a więc t a k ż e żadne

3 p rz e z j e d n ą p r o3 t ą / . .

W s a m e j r z e c z y ; j e ż e i d n p , . punktom

ji,- » ^ , ,

» 4 ^ , u k ł a d u

Ą

^ • ^ ' ^ » «fcładu /Rys:"390/, t o dla każde­

go p u n k t u p r z e s t r z e n i -4^ . zaliczoidO^o do u k ł a d u i j

z n a j d z i e m y punkt o d p o w i e d n i w u k ł a d z i e w spo­

sób n a s t ę p u j ą c y m Poprowadźmy przez p u n k t

jf/,

ćy-ty

j j j , p r o s t a ^/ b ę d z i e o s i ą czwórki p ł a s z c z y z n

B^ĄJ, i

• 4<?<

4<M?s.T

J^^JŚj, J$

CfJ?

*

poprowadźmy n a s t ę p n i e w u k ł a d z i e p ł a s z c z y z n y CY AT-MT £

JJ

A,Ąjy

*y^

punktem -*x^c /

§ 205, Korelacja dwuch układów przestrzennych. - Kolineacja o g ó l n a dwuch układów przestrzennych napro­

wadź a nas na nowy związek geometryczny dwuch układów przestrzennych, z w any k o r e1acja, a polegający na na-

8 t ę pujących własnoóc i ach: ••

m fi 1\

A

-A

1/ każdemu punktowi układu i*/

odpowiada jedna jedy­

na p ł a s z c z y ­ zna układu

ido.

xŁ ; każ­

dej p ł a s z ­ c z y ź n i e ukł&

du JJ odpo­

wiada jedna jedyna płaszczyzny- u k ł a d u -SJ i nawzajem;

2/ punktowi i p ł a s z c z y ź n i e , należącym do siebie w jednym u k ł a d z i e odpowiadają p ł a s z c z y z n a i punkt d r u g i e j układu, k t ó r e również do siebie n a l e ż ą , <itąd wynika, ż l każdej prostej jednego ufcłeći; / k t ó r a ł ą c z y dwa jego punkty/ odpowiada p r o s t a drugiego u k ł a d u / k t ó r a jest p r z e c i ę c i e m odpowiednich p ł a s z c z y z n / ,

3/ każdej czwórce punktów jednego układu odpowia­

da afrzwnórka p ł a s z c z y z n drugiego, k t ó r a j e s t z t a m t ą rzu­

towa i nawzajem, wogóle każdemu szeregowi punktów jedno' go układu odpowiada pęk p ł a s z c z y z n drugiego i nawzajem

każdej czwórce / p ę k o w i / prostych jednego układu odpowi^l

da rzutowa z n i ą czwórka Ą&k/ p r o s t y eh drugiego u k ł a ­ da, . *

" K o r e l a c j a * t a k a b ę d z i e wyznaczona przez z a ł o ż e ­ n i e o d p o w i e d n i o ś c i wzajemnej 5 punktów j a k i c h k o l w i e k

A / - , 3 , Ą * Ą i . St u k ł a d u f, z 5 p ł a s z c z y ­ znami drugiego u k ł a d u A ^ , B 4 > , i E ^A z. tom z a s t r z e ż e n i e m , żeby z t y c h f> punktów żadne 4-*7-nie l e ż a ł y w jednej p ł a s z c z y ź n i e , ani żeby z t y c h 5 p>r.- Obczyzn żadne 4 n i e p r z e c h o d z i ł y przez jeden punkt,

S 206. Układ biejyinoyyy p r z e s t r z e n n y . Niech b ę d z i e c z w o r o ś c i a n

AfA^AjA^

rami :

AfA

AA* , A

A

A

,A^A

A)^, i

JKĄ-AJAŻAS • P^{u n}k t j a k i k o l w i e k B nie leżący na żad­

nej ze ś c i a n / a więc i na ż a d n e j z k r a w ę d z i / i p ł a s z ­ czyzna 3 3 • , n i e p r z e c h o d z ą c a prze:, żaden z w i e r z c h o ł ­ ków / a więc i przoc żadną z k r a w ę d z i / czworośoianu ASAJAJAJ /Rys..391/. Na mocy poprzedniego artykułu . odpowiedniośC punktów A t i A4 jAfJA^ \ JB płaszczyznom

A, , Ax , Ai ', -A^ i £ wyznacza k o r e l a c j ę dwuch układów p r z e s t r z e n n y c h . , K o r e l a c j a t a ma t ę w ł a s n o ś ć , że każdemu punktowi odpowiada zawgze t a 3ama p ł a s z c z y ­ zna, k a ż d e j p ł a s z c z y ź n i e ten sam punkt / a więc i k a ż - „ dej prostej ta sama prosta/ n i e z a l e ż n i e od tego, do /którego układu tamten punktttamtą p ł a s z c z y z n ę / t a m t ą

GEOHSTRJA. WYKREShNA Arkusz 33-ci.

4*=r r-->

nr o a t ą / •lalicihftny

. Wiasności tej dowieść można^w po­

dobny epos ób, jak do­

wiedliśmy analogicz­

nej v l a s n o ś c i u k ł a ­ du biegunowego p ł a s ­ kiego /$ 161/.

Te dwa układy korelacyjne można przeto stważać za

2 eden jedyriy'^: uk ład przestrzenny, w k t ó ­

rym zachodzi wzajem- ne podporządkowanie punktów płaszczyznom i t>ła.«zc*"«rzn nunktom. Układ te.-

k i nazywa sie biegunów™, p ł a s z c z y z n a podporządkowa­

na punktowi nazywa s i ę jego p ł a s z c z y z n ą biegunową, punkt podpórżyłkowany p ł a s z c z y ź n i e jej bicgunem.

' **J?cnietojtii -punktowi i p ł a s z c z y ź n i e należącym do sie^: bie |iodporóąd$dWane s ą p ł a s z c z y z n a i punkt również do

siebie .należące#* wi$e mamy twierdzenia:

l e ż e l i puhfct ć l e ż y w p ł a s z c z y ź n i e oiegunówftj¹ punkt u J3 to p ł i i z c z y zna biegunowa punktu C prze-

- 513 -

c h o d i . i przez punkt J3

J e ż e l i p ł a s z c z y z n a

C

p ł a s z c z y z n y B , -to biegun p ł a s z c z y z n y C l e ż y w

p ł a s z c z y ź n i e B .

— «•- * • - •

Stąd /z^-'wynika

1/ p ł a s z c z y z n ę biegunową p u n k t u p r z e c i ę c i a 3 p ł a - J£czyzn

jĄ

C

C

biegunem p ł a s z c z y z n y p r z e c h o d z ą c e j przez 3 punk­

ty

A.

J&

(f

biegunowych A * B I £ 'i

2/ Bieguny p ł a s z c z y z n p r z e c h o d z ą c y c h przez jedną p r o g t ą l o ż ą na drugiej i n a w z a j e m !

p ł a s c e ż y z n y biegunowe p u n k t ó w l e ż ą c y c h na jednej

p r o s t e j przechodzą p r z e z d r u g ą .

Dwie ptoste, mające t ę w ł a s n o ś ć , ż o bieguny p ł a s z ­

c z y z n przechodzących p r z e z j e d n ą z n i c h l e ż ą na drugiej

n a z y w a j ą s i ę prostemi wzajemnie biegunoWemi.

Ewie p ł a s z c z y z n y mające t ę w ł a s n o ś ć , że biegun jed­

n e j z nich l e ż y na drugiej, nazywają s i ę płaszczyznami /biegunowo/ s pr z ężonemi, Z punkty, z których jeden le-».

zy w p ł a s z c z y ź n i e biegunowej drugiego, nazywają s i ę

Jpunktami /biegunowo/ sprzężonemi, dwie proste, z których

k a ż d a przecina biegunową drugiej, nazywają s i ę proste-

mi /biegunowo/ s p r z ę ż o n e m i .

Układ biegunowy p r z e s t r z e n n y wyznacza w ' k a ż d e j p ł a ­ s z c z y ź n i e pewien u k ł a d biegunowy p ł a a k i a d o k o ł a k a ż d e ­ go punktu pewien u k ł a d biegunowy w i ą z k i .

T a ł np. biegunową punktu M , ł o ż ą c e g o w j ł a s z c z y z n i e • P j e s t w t e j p ł a s z c z y ź n i e ś l a d j "'aszczyzny b i e ­ gunowej J f punktu , biegunem pro ot ej tri , l e ż ą c e j w p ł a s z c z y ź n i e P j e s t w t e j p ł a s z c z y ź n i e ś l a d $

p r o s t e j z n i ą biegunowej n, . Układ biegunowy pr;-estrzeri- ny wyznacza na k a ż d e j p r o s t e j pewną i n ^ c l u c j ę punktów /zwaną i n w o l u c j a biegunową na t e j p r o s t e j / i d o k o ł e

k a ż d e j p r o s t e j pewną i n w o l u c j ę p ł a s z c z y z n /zwaną inwo­

lucja

na podstawie

fn,

^/Jt

2, , Jłf

, , . Vj

p ł a s z c z y z n y biegunowe t y eh pu to w pxze .-h^dią v;s,7.yst- k i e p r z e z p r o s t ą biegunową Ji , tworząc dokoła n i e j pęk p ł a s z c z y z n / K 4 > Ł > , » ^ u t p w y ?

szeregiem r7l /2Tt , ^ , , . . . / ; j e ż e l i p r z e c i ę c i a t y c h p ł a s z c z y z n z podstawą //£ oznaczymy l i t e r a m i ^ t

-4* • ^ . . . . ' » to s z e r e g i / 2Ct, £ } /ł/^ , . . / i

^ / - ^ 4 ^ . , . / b ę d ą rzutowo. Otóż każde dwa punk­

t y odpowiednie t y c h s z e r e g ó w , np5 Jf i / / , odpowiada- j ą sobie p o d w ó j n i e , - j e ż e l i b owi er. sajlicz/jry punkt

Jf+ do I s z e r e g u , to punkt, c.dpowierr i •.

p r z e c i ę c i u podstawy /rv. z p ł a s z c z y z n ą biegunową punktu KK » k t ó r a musi p r z e j ś ć przez punkt J[ , gdyż p ł a s z ­ czyzna biegunowa punktu JL, p r z e c h o d z i przez punkt JCĄ

§ 2Q7. Czworościany biegunowe, Czworościan.

A,A^A^A^

ma t ę o s o b l i w o ś ć że 1/ każdy w i e r z c h o ł e k j e s t biegunem p r z e c i w l e g ł e j ś c i a n y , 2 / p r z e c i w l e g ł e k r a w ę d z i e , n p . - ^ - ^ i ji^Atf są prostowi wzajemnie biegunowemi i 3 / każde dwie k r a w ę d z i e n i e p r z e c i w i e g ł e , każde dwa w i e r z c h o ł k i i każde dwie ś c i a n y są s p r z ę ż o n e . Czworościan taki nazywa­

my biegunowym. Czworościanów biegunowych jest n i e s k o ń ­ czenie w i e l e Dla otrzymania któregokolwiek z nich poste pujemy jak n a s t ę p u j e : Obieramy dowolny punkt i znaj - dujemy jego p ł a s z c z y z n ę biegunową JMT , w p ł a s z c z y ź n i e

mVl obiofajmy dowolny punkt Jf \ znajdujemy jego p ł a s z ­ c z y z n ę biegunową M , na mocy poprzedniego artykułu musi ona p r z e j ś ć przez p u n k t , / / ; na prostej p r z e c i ę ­

cia p ł a s z c z y z n M" i 3^ obieramy dowolny punkt JP i .znajdujemy jego p ł a s z c z y z n ę biegunową H? , k t ó r a mu­

si p r z e j ś ć przez p r o s t ą A/J/' ; przez punkty M , Jf i -P prowadzimy p ł a s z c z y z n ę Qb , k t ó r e j biegu­

nem b ę d z i e punkt p r z e c i ę c i a p ł a s z c z y z n M , l^L i P C z w o r o ś c i a n

AłA^J^ćZ

san u k ł a d biegunowy przestrzenny, który o k r e ś l i l i ś m y zapomocą c:rvorościanu biegunowego

Ai

Al^AjAt^,

B i i^Qt° p ł a s z c z y z n y biegunowej 5 , można o k r e ś ­ l i ć 2 upomocą¹ każdego innego* czworościanu-biegunowego , jakiegokolwiek punktu i jego płasz,- cżyzny biegunowej

§ 208. Trzy-rodzaje układów! biegunowych p r z e s t r z e n - nych. Niech b ę d z i e układ biegunowy wyznaczony przez

c z w o r o ś c i a n biegunowy

-4,^^^^]^

l e ż y na żadnej że ś c i a n , a p ł a s z c z y z n a B riie przecho­

dzi przez żaden z v:ier*chołkćw tego c z w o r o ś c i a n u . Na­

s t r ę c z a j ą S i ę dwa pytania:

1/ Czy i w jakich warunkach mogą i s t n i e ć rzeczy-?

wiste punkty i , p ł a s z c z y z n y sprzężone same ze sobą, t . j . punkty l e ż ą c e we własnych p ł a s z c z y z n a c h biegunowych i

p ł a s z c z y z n y ' p r z e c h o d z ą c e - p r z e z własne bieguny?

2/ J e ż e l i takie punkty i p ł a s z c z y z n y i s t n i e j ą , to czy mogą i s t n i e ć rzeczywiste proste sprzężone same ze sobą t . j . p r z y s t a j ą c e do własnych \prostych biegunowych który każdy punkt b y ł y t y z a t e m sprzężony sam¹ze sobą?

Aby na te pytania o d p o w i e d z i e ć , zauważmy, ż e czwo­

r o ś c i a n biegunowy-^/

A^-4j^*^

szarów, z których jeden tylko jest skończony-i nazywa 3 i ę o b j ę t o ś c i ą c z w o r o ś c i a n u , - cztery mają z t ą o b j ę ­ t o ś c i ą po jednej ś c i n n i e w s p i J n ę j , a 3 'i ™i

- 517 -

dwie p r z e c i w l e g ł e krawędzie w s p ó l n e . Ponieważ punkt JS nie l e ż y na żadnej ś c i a n i e czworościanu, więc może on n a l e ż e ć tylko do jednego obszaru, ponieważ p ł a s z c z y z n a

B nie przechodzi przez żaden wierzchołek, więc dla jednego obszaru musi ona p o z o s t a ć obcą'.' Przypuśćmy np.

że punkt B l e ż y wewnątrz o b j ę t o ś c i czworościanu /co z r e s z t ą przez obiór odpowiedniego czworościanu biegu­

nowego zawsze można s p r a w i ć / . P o ł o ż e n i e p ł a s z c z y z n y 2 J względem obszaru, w którym znajduje s i ę . p u n k t może być trojakie:

1 / P ł a s z c z y z n a JB nie przecina żadnej krawędzi c z w ó r o ś c i a r u między jego wierzchołkami /Rys.393/.: Ra każdej krawędzi inwolucja biegunowa jest wtedy elip-?.

tyc-zna, gdyż ś l a d każdej krawędzi na p ł a s z c z y ź n i e , ł ą ­ c z ą c e j punkt S z p r z e c i w l e g ł ą . j e j krawędzią, l e ż y

zawsze między wierzchołkami, a ś l a d jej na p ł a s z c z y ź ­ nie J3 l e ź y poza w i e r z c h o ł k a m i , tak, że te dwa punk­

ty sprzężone przegradzają w i e r z c h o ł k i na każdej- kra^ęi- I ź i . J e ż e l i wyznaczymy'płaszczyznę biegunową dowolno-- ' go punktu J\i , to s i ę pokaże, że ta p ł a s z c z y z n a nie

przenika do obszaru, w którym s i ę znajduje 'punkt"^!^ . W takim więc u k ł a d z i e biegunowym nie i s t n i e j ą -punkty,

któreby l e ż a ł y we własnych p ł a s z c z y z n a c h bieguikiwych, terrbardzioj nie i a t n i e ^ ą f . p r o s t e , p r z y s t a j ą c e do włas^-

i dokoła wszystkich punktów, układ biegunowy / p ł a . s k i lub w i ą z k i / jest jednostajny, - na wszystkich i dokoła wszystkich prostych inwolucja biegunowa jest eliptycz­

na. ; • , .. '... '. ' i.•i-&'^;t' \^:• . .•

2/ P ł a s z c z y z n a J i przecina 3 krawędzie czworo­

ś c i a n u , wychodzące z jednego w i e r z c n o ł k a /Rys,393/, Na

tych trzech krawędziach inwolucja biegunowa jest hyper­

b o l i c z n ą , - na trzech pozostałych - eliptyczna. Na pier- WBzych trzech krawędziach i s t n i e j ą przeto po dwa rzeczy­

wiste punkty podwójne, t . j . sprzężone same ze sobą. Ist­

n i e j ą wtedy zatem punkty rzeczywiste l e ż ą c e we własnych

- 519 -

p ł a s z c z y z n a c h biegunowyca, natomiast nie i s t n i e j ą prote­

st© rzeczywiste, ktćreby b y ł y własnemi swemi bieguno- wemi, W samej rzeczy zauważmy, że na ś c i a n i e

*A,Al^Aj

układ biegunowy przestrzenny wyznacza biegunowość p ł a s ­ ką, j e d n o s t a j n ą , gdyby i s t n i a ł a prosta, k t ó r a jest włas«^<

ną swoją p r o s t ą biegunową, to jej ś l a d ńa p ł a s z c z y ź n i e

'At^^i

możliwe. # jednych p ł a s z c z y z n a c h i dokoła jednych punk­

tów biegunowość jest jednostajna, - w innych p ł a s z c z y z n , nach i dokoła innych punktów może ona być niejednostaj­

na. W p ł a s z c z y z n a c h przechodzących przez własne biegu­

ny, t . j . sprzężonych z samcmi rjobą s t a ^ sir < ona inwo­

lucja. e l i p t y c z n ą prostycn sprzężonych dokoła bieguna.

W samej rzeczy, w każdej p ł a s z c z y ź n i e , przechodzą- coj przez własny biegun

J\£ ,

k , e

,

punktów A , 3 , d , tej p ł a s z c z y z n y przecho­

dzą przez punkt Jź ., tak że w p ł a s z c z y ź n i e ] V f doko­

ł a punktu Ai istnieje inwolucja prostych sprzężonych

%% , JtfAj Z>

AŹ-B .

sprzężone same ze sobą: byłyby to proste podwójne tej i n w o ł u c j i ,

3/ P ł a s z c z y z n a ] J przecina 4 krawędzie czwóro-

*cianu biegunowego / R y s . 3 9 V , np.

A,fii^ , .

A

J

, J4

AĄ

Na tych czterech krawędziach inwo­

lucja biegunowa jeat hyperbclicz- na, na pozosta­

łych dwuch e l i p ­ tyczna. Podobnie jak w przypadku drugim, i s t n i e j ą więc i tutaj punk

ty l e ż ą c e we w ł a i nych p ł a s z c z y z ­ nach biegunowych ale prócz tego i s t n i e j ą także proste sprzężone same 2e sobą t . j , p r z y s t a j ą c e do własnych swych prostych bie­

gunowych. W samej rzeczy, niech punkt Jf* b ę d z i e jed­

nym z punktów podwójnych inwolucji biegunowej na kra­

wędzi , a punkt J¹' niechaj b ę d z i e jednym s punktów podwójarych inwolucji biegunowej na krawędzi p r z e c i w l e g ł e j A^^tl , tak że punkty J *⁷ i i⁵ * są punk­

tami sprzężónemi z samemi sobą i l e ż ą na dwuch prostych wzajemnie biegunowych

A,-^^

ji

_/ły ,

'aszc.-,vf;>ia

J^jijji^

punktu ^ / g d y ż punkt J⁷ j e s t samosprzężony i l e ż y na p r o s t e j

j4,AL

/,

jfidrA^

j e s t p ł a s z c z y z n ą biegunową- punktu - / ^ , p r o s t a J^JF*' jest p r o s t ą p r z e c i ę c i a t y c h dwuch p ł a s z c z y z n i zara­

zem ł ą c z y i c h bieguny, j e s t to zatem p r o s t a sprzężona sama ze s o b ą . We w s z y s t k i c h p ł a s z c z y z n a c h i d o k o ł a wszystkich punktów biegunowość jest niejednostajna

z wyjątkiem p ł a s z c z y z n i punktów samosprzężonych, g d z i e biegunowość staje s i ę h y p e r b o l i c z n ą inwolucja biegunową dokoła bieguna w z g l , w p ł a s z c z y ź n i e biegu­

nowej. Proste podwójne t e j i n w o l u c j i są proatemi samo- sprzężonemi, z każdego w i ę c punktu samosprzężonego wy­

chodzą i w każdej p ł a s z c z y ź n i e samosprzężonej l e ż ą dwie proste samosprzężone,

§ 209, Powierzchnia drugiego stopnia. Ogół punktów p ł a s z c z y z n i prostych, rzeczywistych i urojonych, k t ó ­

re w danym przestrzennym u k ł a d z i e biegunowym są samo- s p r z ę ż o n e , nazywamy powierzchnią drugiego stopnia. Punk­

ty samosprzężone nazywamy punktami tej powierzchni, prze­

chodzące przez nie własno ich p ł a s z c z y z n y biegunowe na­

zywamy płaozczyznami stycznemi do tej powierzchni w tych punktach; preste samosprzężone nazywamy t w o r z ą c e - mi powierzchni. Punkty powierzchni są to w i ę c punkty

podwójne i n w o l u c j i b i e g u n o w e j ^ j a k i e j k o l w i e k prostej

są to p ł a s z c z y z n y podwójne inwolucji biegunewej doko­

ł a jakiejkolwiek prostej rzeczywistej. Na każdej pro­

stej rzeczywistej l e ż ą dwa punkty powierzchni drugie­

go stopnia: rzeczywiste urojone sprzężone lub zjedno­

czone, w k t ó r y c h ta prosta "przebija" p o w i e r z c h n i ę , • przez każdą p r o s t ą r z e c z y w i s t ą przechodzą dwie p ł a s z ­ czyzny styczne: rzeczywiste, urojone, sprzężone lub zjednoczone. Wyra.żamy to krótko mówiąc, że powierzchnie drugiego stopnia są powierzchniami drugiego rzędu i drugiej klasy. Prosta nazywa s i ę s i e c z n ą , p r o s t ą zew- n ę t r z n ą lub s t y c z n ą z a l e ż n i e od tego, czy inwolucja bie gunowa na niej jest hyperboliczna, t . j . czy przebija o- na p o w i e r z c h n i ę w dwuch punktach rzeczywistych, urojo­

nych s p r z ę ż o n y c h , lub zjednoczonych. W każdej p ł a s z ­ c z y ź n i e * P dany układ biegunowy przestrzenny wyzna­

cza pewien układ biegunowy p ł a s k i : jednostajny lub nie­

jednostajny, normalny lub z w y r o d n i a ł y / i n w o l u c j ę biegu*

nową/. Stożkowa tego układu p ł a s k i e g o /urojona lub rze­

czywista, normalna lub z w y r o d n i a ł a / jest " p r z e o i ę c i e m powierzchni drugiego stopnia p ł a s z c z y z n ą P . Każda p ł a s z c z y z n a "przecina" p o w i e r z c h n i ę drugiego stopnia

^ * " * " ¹¹

według s t o ż k o w e j . P ł a s z c z y z n a nazywa s i ę zewnętrzną, s i e c z n ą lub s t y c z n ą , z a l e ż n i e od tego, czy układ bie-

gunowy tej p ł a s z c z y z n y j e s t j e d n o s t a j n y , n i e j e d n o s t a j ­ ny lub z w y r o d n i a ł y , t . j , czy p r z e c i n a ona p o w i e r z c h n i ę według s t o ż k o w e j u r o j o n e j , r z e c z y w i s t e j l u b zwyrodnia­

ł e j / d w i e p r o s t e urojone s p r z ę ż o n e lub r z e c z y w i s t e / ; Wszystkie styczne do powierzchni w danym j e j punkcie l e ż ą w p ł a s z c z y ź n i e s t y c z n e j i s t a n o w i ą i n w o l u c j ę b i e ­ gunową d o k o ł a punktu z e t k n i ę c i a . Dokoła każdego punktu

J? dany u k ł a d biegunowy p r z e s t r z e n n y wyznacza pewien u k ł a d biegunowy w i ą z k i : jednostajny lub niejednostajf- ny, normalny lub z w y r o d n i a ł , ot,ożek t e j b i e g u n o w o ś c i / u r o j o n y , lub r z e c z y w i s t y , normalny lub z w y r o d n i a ł y / nazywamy s t o ż k i e m opisanym na powierzchni z tego punk-

Z każdego punktu można o p i s a ć na powierzchni drugiego s t o p n i a s t o ż e k drugiego s t o p n i a . Punkt nazywa s i ę wewnętrznym, zewnętrznym lub leżącym na powierz- chni z a l e ż n i e od tego, czy u k ł a d biegunowy w i ą z k i do­

k o ł a niego j e s t j e d n o s t a j n y , n i e j e d n o s t a j n y lub zwyrod­

n i a ł y , t . j . czy s t o ż e k z niego na powierzcb.nl opisany j e a t u r o j o n y , r z e c z y w i s t y lub z w y r o d n i a ł y / g d z i e pro­

ste urojone s p r z ę ż o n e lub r z e c z y w i s t e / .

M i e j s c e geometryczne punktów z e t k n i ę c i a tego s t o ż ­ ka z p o w i e r z c h n i ą drugiego s t o p n i a jest stożkową. W samej rzeczy, punkty z e t k n i ę c i a p ł a s z c z y z n y s t y c z n y c h wyprowadzonych ? punktu Jz , t . j . i c h bieguny, l e ś ą w

t y c h punktów z e t k n i ę c i a stanowi zatem stożkową, według k t ó r e j p ł a s z c z y z n a 1*1"przecina p o w i e r z c h n i ę . Nawzajem p ł a s z c z y z n y styczne w punktach s t o ż k o w e j , l e ż ą c e j na p o w i e r z c h n i , przecinają, s i ę w biegunie AŹ p ł a s z c z y a n y t e j s t o ż k o w e j , powłócząc s t o ż e k drugiego s t o p n i a , o p i ­ sany na p o w i e r z c h n i .

Zarówno kontur r z e c z y w i s t y , jak i kontur w i d z i a l ­ ny /% 26/ r z e c z y w i s t e j powierzchni drugiego s t o p n i a

jost stożkową. Pierwszy jest miejscem punktów z e t k n i ę ­ c i a , powierzchni ze s t o ż k i e m opisanym na n i e j ze ś r o d ­ ka r z u t ó w , drugi j e s t p r z e c i ę c i e m tego s t o ż k a p ł a s z ­ czyzną r z u t ó w , ponieważ s t o ż e k ten jest drugiego stop­

nia, więc jego p r z e c i ę c i a j e s t stożkową

P ł a s z c z y z n a biegunowa j e s t miejscem gtometrycsaom punktów s p r z ę ż o n y c h h&rmoniczaie z biegunem względem punktów, w k t ó r y c h s i e c z n e , wychodzące z bieguna p r z e ­ b i j a j ą p o w i e r z c h n i ę . Wyprowadzamy z bieguna J% s i e c z n ą

ft , k t ó r a p r z e b i j a p o w i e r z c h n i ę w punktach A i J5 a p ł a s z c z y z n ę biegunową J ^ f * punkcie AT /Rys..395/.

Punkty A i & są punktami podwójnami i n w o l u c j i b i e ­ gunowej na s i e c z n e j łv , a punkty Ji i Af są w tej

i n w o l u c j i s p r z ę ż o n e , bo punkt J\l l e ż y w p ł a s z c z y ź n i e biegunowej punktu Jtt , Otóż wiadomo,/§ 151/, że punk-

- 525 -

ty

podwójne

c j i hyperbolioznsj przegradzają harmo­

nicznie każdą parę punktów sprzężonych.

J e ż e l i więc z danego punktu Jft poprowadzimy 3 ja­

kiekolwiek sieczne

?l K

monicznie a punktem Jtf względem punktów J i j ' w k t ó r y c h ta sieczna przebija p o w i e r z c h n i ę , to

A^JlTAf

b ę d z i e p ł a s z c z y z n ą biegunową punktu

Przez każde dwa p r z e c i ę c i a p ł a s k i e . p o w i e r z c h n i drugiego stopnia przechodzą dwa s t o ż k i drugiego stop­

nia, niechaj dwie p ł a s z c z y z n y p r z e c i n a n ą po-

ź J

wierzchnie drugiego stopnia według stożkowych 2\ i /C, /Ry?i.396/, niechaj dH i K będą biegunami płaszczyzn

Q^ l , połączmy to punkty p r o s t ą t k t ó r a nie­

chaj przetnie p ł a s z c z y z n y Qj i w punktach & i JR>

Prz?; p r o s t ą jfy poprowadźmy dowolną p ł a s z c z y z n ę

s i e c z n ą P /np. p ł a s z ­

czyznę kon­

turu rzeczy­

wistego po­

wierzchni/, k t ó r a przet­

nie powierz­

chnia według stożkowej Ą a płaiisc żyzny

& i ^R według pro­

stych JA, S^t

k t ó r e są bie- gunowemi

punktów </v i 2L w z g l ę ­ dem s t o ż k o ­ wej

4

kreślmy punk­

ty przekątne j / i jf

- 527 -

czworokąta zupełnego wpisanego w stożkową:

na zasadzie § 186 punkty At i "leżą na prostej"

& . Powiadam, że punkty Jź i AT. są s t a ł e - mi punktami tej prostej, t . j . nie z a l e ż ą od p ł a s z c z y z ­ ny P , tak ze gdy płaszczyzna sieczna P obraca sio dokoła prostej , punkty te nie zmieniają swego p o ł o ­ ż e n i a , W samej rzeczy, punkty te są 1/ sprzężone w i n ­ wolucji biegunowej danej przez dwie pary s t a ł y c h punk­

tów @>,(X i H,R 2/ sprzężono harmonicznie względem punktów a i R / t . j . sprzężone w irwolucji „hyperbo-

l i c z n e j , k t ó r e j punkty a i M są punktami podwójnemi/

co wynika z w ł a s n o ś c i czworoboku zupełnego o bokach

AA^

^{A^Ą}

AfAlT

jedną p r z e k ą t n ą , a A,3, i są dwiema innemi przekątnemi. punkty Ai i Ar są przeto wspólną parą punktów sprzężonych dwuch inwolucji i jako takie mogą być wyznaczone n i e z a l e ż n i e od płaszczyzny 3? / § 152/,

Znalezione w ten 'sposób punkty Ai i AT są w i e r z c h o ł ­ kami dwóch stożków, z którycn każdy przechodzi przez stożkowe i ł , .

Z twierdzenia tego wynika ważny wniosek, że prze- c i ę c i a powierzchni drugiego stopnia płaszczyznami rów- n o l e g ł e m i są stożkowemi podobnemi,- są to bowiem zara­

zem p r z e c i ę c i a r ó w n o l e g ł e s t o ż k a drugiego stopnia. Je- GEOtETPJA WYKRS3LM Hr.63. Arkusz 34*-ty.

ż e l i wiec np, pewna p r z e c i ę c i e powierzchni drugiego stopnia jest kołem, to wszystkie p r z e c i ę c i a do niego równoległe sa kołami„

Twierdzeniem wjajemnem do powyższego b ę d z i e : Krzy­

wa przenikania dwuoh si ażkjy opisanych na powierzchni dr UJE: i e go sto pn i a s k lada s i ę z dwuch stożkowych.

§ 210, Grodek, ś r e d n i c e , csie, s t o ż e k asymptoty-, czny, Biegun p ł a s z c z y z n y n i e w ł a ś c i w e j nazywa s i ę środ­

kiem powierzchni drugiego stopnia; p ł a s z c z y z n a biegu­

nowa każdego punktu n i e w ł a ś c i w e g o nazywa s i ę płaojscjry- zna średnicową.; prcsta biegunowa każdej prostej n i e w ł a ­ ś c i w e j nazywa s i ę ś r e d n i c ą . Wszystkie p ł a s z c z y z n y ś r e ­ dnicowe i średuco przechodzą przez środek, albowiem bieguny tych p ł a s z c z y z n i biegunowe tych prostych l e ż ą w p ł a s z c z y ź n i e biegunowej środka, t . j . w p ł a s z c z y ź n i e

n i e w ł a ś c i w e j . Odcinek siecznej, zawarty pomiędzy punk­

tami przebicia powierzchni nazywa s i ę c i ę c i w ą i gdy nie zachodzi obawa dwuznaczności, to c i ę c i w ę l e ż ą c ą na

ś r e d n i c y nazywamy noprostu ś r e d n i c y Środek powiiiezchni jest zarazem środkiom każdego p r z e c i ę c i a powierzchni p ł a s z c z y z n ą średnicową i środkiem każdej " ś r e d n i c y " .

J e ż e l i w i e r z c h o ł k i e m czworościanu biegunowego

jest środek powirrzchni, to krawędzie tego czworościanu

^-chodzące ze kredka,są średnicami sprzężonemi. C i ę -

„ ⁰⁽ⁱ,j _ ; —

ciwy rówrieległe do jednej z trzcoh środnio sprzężonych są przez p ł a s z c z y z n ę dwuch p o z o s t a ł y c h p r z e c i ę t e na poło wy; p ł a s z c z y z n y sieczne równoległe do dwuch średnic'

sprzężonych są przez t r z e c i ą przebite w środkach s t o ż k o ­ wych p r z e c i ę c i a . P ł a s z c z y z n y etyczne w końcach jednej

z 3-ch ś r e d n i c sprzężonych są równi eg, łe do p ł a s z c z y z n y dwuch p o z o s t a ł y c h ś r e d n i e . Każdo'diwe ś r e d n i c e sprzężone powierzchni są zarazem średnicami sprzężonymi stożkowej według k t ó r e j p ł a s z c z y z n a tych ś r e d n i c przecina powierz­

c h n i ę . .

Można d o w i e ś ć , że istnieje zawsze układ trzech ś r e ­ dnic sprzężonych wzajemni® p r o s t o p a d ł y c h /dowód musi tu­

taj być p o m i n i ę t y / ; k a ż d ą z tych trzech ś r e d n i c nazywamy o s i ą powierzchni; punkty w których oś przebija powierz­

chnię nazywamy w i e r z c h o ł k a m i . P ł a s z c z y z n a dwuch k t ó r y c h - kolwiek esi jest dla powierzchni p ł a s z c z y z n ą syswtrji p r o s t o k ą t n e j ; każda z osi jest o s i ą symetrji p r o s t o k ą ­ t n e j . J e ż e l i p r z e c i ę c i e p r o s t o p a d ł e do jednej z osi

jest kołem, to wszystkie p r z e c i ę c i a do niej p r o s t o p a d ł e są kołami i powierzchnia nazywa s i ę obrotową; wszystkie ś r e d n i c e p r o s t o p a d ł e do osi obrotu są osiami tej po­

wierzchni.

Stżek opisany na powierzchni drugiego stopnia z jej środka nazywa s i ę stożkiem a sy mptotycznym tej po-

w i e r z c h n i , z k t ó r ą posiada wspólne o s i e . Stożkowa z e t ­ k n i ę c i a tego s t o ż k a z p o w i e r z c h n i ą l e ż y w p ł a s z c z y ź n i e n i e w ł a ś c i w e j . Każde dwie t w o r z ą c e tego s t o ż k a są asymp­

t o t orni s t o ż k o w e j , według k t ó r e j p ł a s z c z y z n a t y c h two- r ż ą c y c h p r z e c i n a p o w i o r z c h n i © ,

§ 211. K l a s y f i k a c j a powiorzc. , i drugiego s t o p n i a . W § ^06 o d r ó ż n i l i ś m y 3 rodzaje układów biegunowych

p r z e s t r z e n n y c h z a l e ż n i e od tego, czy i s t n i e j ą punkty, p ł a s z c z y z n y i p r o s i e s a m o s p r z ę ż o n e . Na t e j zasadzie d z i e l i m y powierzchnie drugiego s t o p n i a na u r e j o n e , k r z y - w o k r e ś l n e i p r o s t o k r e ś l t y ^ Druga zasada k l a s y f i k a c j i

polega na zachowaniu s i ę tych p o w i e r z c h n i . w z g l ę d e m p ł a szczyzny n i e w ł a ś c i w e j , k t ó r a może d l a t y c h powierzchni być zewnątrzną / e l i p s o i d y , s i e c z n ą / h y p e r b o i o i d y / lub

e t y c z n ą / p a r a b o l o i d y / ,

§ 212 Powierzchnie urojone odpowiadają układom biagunowym I r o / z a j u , gdy p ł a s z c z y z n a biegunowa punk­

t u , l e ż ą c e g o wewnątrz c z w o r o ś c i a n u biegunowego, n i e p r z e c i n a

ludnej

powierzchni i w s z y s t k i e p ł a s z c z y z n y do n i e j styczne są u r o j o n e . Każdy / r z e c z y w i s t y / punkt j e s t względem t e j powierzchni wewnętrznym; każda p ł a s z c z y z n a i pro-

s t a * - z e w n ę t r z n ą . Ś r o d e k , ś r e d n i c a i o s i e " ' s ą . t u t a j ? jak z r e s z t ą ząwese\ r z e c z y w i s t e , Fcmcwr.i p ł a o z c z y z n a

- 531 -

n i e w ł a ś c i w a jest względem tej powierzchni zewnętrzną możemy przeto p o w i e r z c h n i ę urojoną uważać za elipsoid,

§ 213, Pow i er z chnie kr żywo krosine odpowiadają układom biegunowym II rodzaju., gdy p ł a s z c z y z n a biegu­

nowa punktu, l e ż ą c e g o wewnątrz czworościanu biegunowe-

£-o, pr zecina trzy j ego krawędzio, Punkty samospr zężene stanowią punkty tej pov;ierzchni, p ł a s z c z y z n y samosprzę żone są styczne do n i e j ; i s t n i e j ą zatem tutaj zarówno . rzeczywiste jak i urojone punkty l e ż ą c e na powierzchni i p ł a s z c z y z n y styczne do n i e j , natomiast nie i s t n i e j ą w tych układach rzeczywiste proste samosprzężene, t . j .

rzeczywiste tworzące powierzchni. Z pośród prostych rzeczywistych jedne są zewnętrzne względem powierzchni / j e ż e l i inwolucja biegunowa jest na nich eliptyczna/,

inne są sieczne /gdy inwolucja biegunewa jest na nich hyporboliczna/, jeszcze inne są etyczne do powierz-

chni /gdy inwolucja biegunowa jest na niej paraboli­

czna/. Przez s i e c z n ą nie można poprowadzić do powierz­

chni rzeczywistej p ł a s z c z y z n y stycznej /bo inwoluarja biegunowa dokoła siecznej jest eliptyczna/; przez pro­

s t ą zewnątrzną przechodzą dwie p ł a s z c z y z n y styczne /bo inwolucja dokoła niej jest hyperbolicznu; p ł a s z c z y z n y te z o s t a n ą zjednoczone, gdy prosta zewnętrzna stanie s i ę s t y c z n ą . Styczne do powierzchni w którymkolwiek

. jej punkcie l e ż ą wszystkie w- p ł a s z c z y ź n i e stycznej i ' s t a n o w i ą dokoła punktu z e t k n i ę c i a e l i p t y c z n ą inwolu-

c j ę prostych sprzężonych, Z pośród rzeczywistych punk­

tów, nie l e ż ą c y c h na powierzchni jedne są wewnętrzne / j e ż e l i układ biegunowy wiązki dokoła rich jest jedno­

stajny/, inne zewnętrzne /gdy ten układ jest niejedno­

stajny/, Z każdego punktu zewnętrznego można o p i s a ć na powierzchni rzeczywisty s t o ż e k drugiego stopnia; na-

toniaet s t o ż e k opisany z punktu wewnętrznego jest uro-

Z pośród rzeczywistych p ł a s z c z y z n , które ni© są styozne do powierzchni, jedne są zewnętrzne / j e ż e l i

układ biegunowy p ł a s k i jest na nich jednostajny/, inne są sieczne /gdy ten układ jest na nich niejednostajny/.

Każda p ł a s z c z y z n a sieczna przecina powierzchnię według s t o ż k e w e j rzeczywistej; p ł a s z c z y z n a zewnętrzna powierz chni nie przecina, lub raczej przecina j ą według s t o ż ­

kowej urojonej. Płaszczyzn& biegunowa punktu zewnętrz­

nego jest s i e c z n ą ; p ł a s z c z y z n a biegunowa, punktu wewnę­

trznego jest zewnątrzną.

a/ Powierzchnia drugi ego stopnia, dla k t ó r e j p ł a ­ szczyzna n i e w ł a ś c i w a , jest zewnątrzną, t , j , k t ó r e j śro dek jest punktem wewnętrznym, nazywa 31 ę elipsoidem, ffozy/stkie irJedniCwj• a;więc i osie są siecznemi, wszyst?

kie ś r e d n i c e , a więc i osie są siecznemi^

wszystkie w i e r z c h o ł ­ ki są rzeczywiste, wszystkie przecie*

c i a p ł a s k i e elipso­

ida są elipsami - rzeczywistemi lub urojcnemi; s t o ż e k asymptotyczny jest urojony. Odróżnia­

my elipsoidy t r ó j - psiowe / j e ż e l i c i ę ­ ciwy osiowe są n i e r ó w n e / , obrotową / j e ż e l i dwie c i ę c i w y osiowe są r ó w n e / , a wśród nich elipsoid s p ł a s z c z o n y , wydłużony i k u l ę , z a l e ż n i e od tego czy oś obrotu jest

k r ó t s z a , d ł u ż s z a lub równa każdej z dwuch osi równych.

W elipsoidzie trójosiowym i s t n i e j ą dwa ustawienia których p ł a s z c z y z n y p r z e c i n a j ą powierzchnię według k ó ł Niechaj będą darie w rzutach p r o s t o k ą t n y c h / R y s . 398/trzy

03ie A,AK* - Ą Ą i elipsoidu i przypuśćmy, że Ji,Jl > > C,CK - - Ze'środka O z a k r e ś l -

i o s i

&3

my kulę o ś r e d n i c y równej ś r e d n i e

pionowy kontur rzeczywisty b ę d z i e . k o ł e m , p r z e c i n a j ą -

cem kontur picno- v^ry e l i p B O i d u W pun-

ktach J), , J) ,

£ , i £^z , l e ż ą ­ cych na ś r e d n i c a c h

AA

przez każdą z tych ś r e d n i c i o ś 3,3^

poprowadźmy p ł a s z ­ c z y z n ę :

P r z e c i ę c i e kuli p ł a s z c z y z n ą 3 3 jest kołem, a prze­

c i ę c i e elipsoidu t ą samą p ł a s z c z y ­

zną jest e l i p s ą , k t ó r a Z tyra kołem mawwpólne punkty J)t , J}^ , £t i

£ i styczne w punktach 3, i , a więc jest z niem identyczna / § 131/; płaszczyzna D i wszystkie p ł a s z c z y z n y d o niej r ó w n o l e g ł e p r z e c i n a j ą więc

powierz

chnię

E i

/koła Urojone/

i w s z c z e g ó l n o ś c i stycznych /!»••. -<^!,.?ja r~'>--tck'vtna pr* •

- 535 -

s t o k ą t n a prostych s p r z ę ż o n y c h / , których punkty zetknie eia s powierzchnia^ nazywają s i ę punktami kołowemi po­

wierzchni i mogą być otrzymane w p r z e c i ę c i u elipsy

-A,A

(f

Cfi

/punkty K± i JCS / . w" elipsoidzie trójosiewym istnie­

j ą dwa układy p r z e c i ę ć kołowych w elipsoidzie obroto­

wym tylko jeden, p r o s t o p a d ł y do osi ebretu, w k u ł i każ de p r z e c i ę c i e p ł a s k i e jest kołem, w* elipsoidzie t r ó j ­ osiewym i s t n i e j ą 4 punkty kołowe, w obrotowym tylko dwa / w i e r z c h o ł k i osi obrotu/, w kuli wszystkie punkty powierzchni są wierzchołkami i punktami kołowemi.-

Rzut jakiegokolwiek p r z e c i ę c i a p ł a s k i e g o ^ . e l i p ­ soida z punktu kołowego JC na p ł a s z c z y z n ę P odpo­

wiedniego p r z e c i ę c i a kołowego, t . j . na p ł a s z c z y z n ę równoległą do p ł a s z c z y z n y stycznej w punkcie X ,

jest kołom. W samej rzeczy, punkt kołowy JC jest zwy­

r o d n i a ł e m p r z e c i ę c i e m kołowem powierzchni p ł a s z c z y z n ą s t y c z n ą w tym punkcie; p r z e c i ę c i e s t o ż k a r z u c a j ą c e g o p ł a s z c z y z n ę P równoległą do p ł a s z c z y z n y stycznej musi być f i g u r ą podobną do tego zwyrodniałego k o ł a , '

a więc musi t e ż być kołem. J e ż e l i elipsoid jest k u l ą , to rzut taki nazywa s i ę stereegraficznym; środkiem

rzutów jest jakikolwiek punkt powierzchni kuli K , \

j e s t j a k a k o l w i e k p ł a - •- s z c ż y z n a p r o s t o p a d ł a de ś r e d n i c y OJC Hzuś- s t e r e o g r a f i c z n y

dego k o ł a l e ż ą c e g o na k u l i j e s t ko łom; l a -

twe o k a z a ć , że w r z u ­ c i e tym z o s t a j e zacho­

wany kąt j a k i c h k o l w i e k dwuch krzywych p r z e c i - nającyo'., i g na powierzchni k u l i . Na tej zasadzi© r t u t

s t o r o a g r a f i c z n y ma zastosowanie v. t o o r j i f u n k c j i , k a r ­ t o g r a f j i i k r y s t a l o g r a f j i ,

b / P o w i e r z c h n i a krżywokrośIria drugiego s t o p n i a , d l a k t ó r e j p ł a s z c z y z n a n i e w ł a ś c i w ą j e s t s i e c z n ą , t . j . k t o - , r e j ś r o d e k j e s t punktem zewnętrznym, nazywa s i ę hypor- poleidem dw upowi o kewym. Z każdych t r z e c h ś r e d n i c s p r z ę ­ żonych, a w i ę c i z t r z e c h e s i , t y l k o ' j e d n a j e a t s i e c z n ą ; h y p s r b o l o i d dwupewłokowy p##i*4£ t y l k o dwa w i e r z c h o ł k i rzeczywiste.. S t o ż e k asy&pt©.tyczmy jeat'^rz©ćzywis-ty, Każ de p r z e c i ę c i e powierzchni płaoz^ozyznę j e s t pod©bn© do p r z e c i ę c i a s t o ż k a asymfct o tycznego, t ą eaassą p ł a s z c z y z n ą , gdyż pierwsze s t y c h p r z e c i ę ć j e a t zarazom p r z e c i ę c i e m

s t o ż k a , ' k t ó r y . p r ze- chedzi przez p r z e c i e c i a h y p o r b e l e i d u - p ł a 3zezyzną n i e w ł a ś c i w ą i k t ó r y j e s t przesu*

nictym r ó w n e l e g ł e s t o ż k i e m asymptetycz nym. Stąd wynika, te

p ł a s z c z y z n a , k t ó r a p r z e c i n a s t o ż e k asym ptotyesny według ko­

ł a , p r z e c i n a w ten sam sposób i byperbo 1o i d dwupowłękowy, P o w i e r z c h n i a t a po­

s i a d a satem wogóle 4- punkty kołowe , k t ó r e w ' , rbe i o. i d z i e obrotowym zo­

s t a n ą zjednoczone w dwuch j e j w i e r z c h o ł k a c h .

c / P o w i e r z c h n i a k r z y w e k r e ś l n a drugiego s t o p n i a , d l a k t ó r e j p ł a s z c z y z n a n i e w ł a ś c i w a j e s t s t y c z n ą , nazywa s i ę p ar ab e1o i dem o 1iptyc znym. Z t r z e c h o s i t y l k o jedna

j e s t w łąjściwą. Każde p r z e c i ę c i e parabol o i d u e l i p t y c z n e - ,;;o jest*, e l i p s ą z wyjątkiem p r z e c i ę ć równe l e g ł y c h do

S i , k t ó r o są p a r a b o l a m ie P a r a b o l © i d e l i p t y c z n y posiada

jeden w i e r z c h o ł e k , dwa układy p r z e c i ę ć kołowych i dwa punkty kołowe, któ re wyznaczyć można pob©- bnis jak dla elipsoida, t , j , z a p o m e c ą kuli podwój­

nie etycznej, 8zezegó.lnyflr przypadkiem paraboloidu eliptycznego jeet para­

bolo id obrojtjjw^, którego dwa punkty kołowe zjedno*

czone są w w i e r z c h o ł k u .

§ 214. Powierzchnie pro3tokreślne odpowiadają ukła*

dom biegunowym III rodzaju, gdy p ł a s z c z y z n a biegunowa punktu l e ż ą c e g o wewnątrz czworościanu biegunowego prze­

cina 4 jego krawędzi. Jak w i d z i e l i ś m y w § ^ 0 8 i s t n i e j ą wówczas nietylko punkty i p ł a s z c z y z n y , a l e i proste sa­

mosprzężone, zwane tworzącemi powierzchni. Każdy punkt takiej prostej jest punktem powierzchni każda p ł a s z ­ czyzna, przechodząca przez taką p r o s t ą jest s t y c z n ą do powierzchni. Z pośród innych prostych przestrzeni jedno

są styczne, inne zewnętrzne liab sieczne, z a l e ż n i e od tego, czy inwolucja biegunowa jest na nich paraboliczna eliptyczna lub hyperboliczna. W p r z e c i w i e ń s t w i e do po-

- 539 -

wierzchni krzywokreślnych przez prosto zewnętrzną nie można poprowadzić p ł a s z c z y z n y stycznia rzeczywistej a przez s i e c z n ą przechodzą dwie takie p ł a s z c z y z n y . Wszyst kie punkty przestrzeni, nie l e ż ą c ą na powierzchni, 3 ą względem niej zewnętrzne, t . j . z każdego punktu można

o p i s a ć na, powierzchni rzeczywisty s t o ż e k drugiego sto- pnia; wszystkie p ł a s z c z y z n y , które nie s ą styczne, s ą sieczne, t . j . każda z nich przecina p o w i e r z c h n i ę we­

dług steżkowej rzeczywistej.

Niechaj -prosta b ę d z i e tworzącą powierzchni p r o s t o k r e ś ł r e j , Wszystkie punkty tej prostej l e ż ą na powierzchni, gdyż ich p ł a s z c z y z n y biegunowe przechodzą przez nie; wszystkie p ł a s z c z y z n y przechodzące przez t ę p r o s t ą są styczne do powierzchni, gdyż ioh bieguny leo żą w nich. Poprowadźmy przez tworzącą a. jakąkolwiek p ł a s z c z y z n ę P . Przetnie ona p o w i e r z c h n i ę według s t o ż k o w e j ; ponieważ z a ś prosta €L wchodzi, w skład tego p r z e c i ę c i a , w i ę c ową stożkową mogą być tylko dwie prze c i n a j ą c e s i ę proste: jedną z nich jest prosta , dru gą niechaj b ę d z i e prosta k , p r z e c i n a j ą c a p r o s t ą

W pewnym punkcie P , który jest punktem z s t n i ę c i a p ł a s z c z y z n y Jp z p o w i e r z c h n i ą . Presta A jost tworzą­

cą powierzchni; gdy p ł a s z c z y z n a P obracać s i ę b ę d z i e dokoła prOfitej a, , tworząca Ą opisywać będzie powie-

541 -

r ą c b n i o , p r z e c i n a j ą c t w o r z ą c ą w coraz to nowym punk.

eie ^ w e t k n i ę c i a t e j p ł a s z c z y z n y z p o w i e r z c h n i ą . Po­

s z c z e g ó l n e p o ł o ż e n i a t w o r z ą c e j , m, , . . , 3 ą wszystkie skośne ze sobą, bo gdyby dwie k t ó r e k o l w i e k z tych p r o s t y c h , np. Ą i C , s i ę p r z e c i n a ł y , to po­

nieważ każda z n i c h p r z e c i n a p r o s t ą CL , więc wszyst­

k i e 3 proste CL ^T Ą i Z l e ż a ł y b y w p ł a s z c z y ź n i e P , k t ó r a w ten, sposób p r z e c i n a ł a b y powierzchnię drugiege s t o p n i a według 3 p r o s t y c h , cs n i e m o ż l i w e / b y ­ ł a b y to bewitm krzywa 3 r z ę d u / . J e ż e l i p ł a s z c z y z n ę

P o b r a c a ć będziemy d o k o ł a p r o s t e j Ą , te tworzą­

ca A. opisywać b ę d z i e p o w i e r z c h n i ę , p r z e c i n a j ą c two­

r z ą c ą & w eeraz to nowym punkcie ^ \ z e t k n i ę c i a tej p ł a s z c z y z n y z p o w i e r z c h n i ą ; p o s z c z e g ó l n e p o ł o ż e n i a t w o r z ą c e j CL : CL , ć> , c , b ę d ą wszystkie sko­

śne zc aobą. w" ten spesób na powierzchni prcstekreslne l e ż ą dwa układy tworzących: k. , L t m \ CL , 6 ,

a » • , mające t ę w ł a s n o ś ć , że każde dwie tworzące, n a l e ż ą c e do togo samego układu są s k o ś n e , a każde dwio t w o r z ą c e , n a l e ż ą c e do układów r ó ż n y c h s i ę p r z e c i n a j ą , tak, że przez każdy punkt powierzchni przechodzą i w każdej p ł a s z c z y ź n i e s t y c z n e j l e ż ą dwie tworzące na­

leżąc© do różnych

układów. •

•JJieeh będą trzy proste s|«$ne><t , ^ i c / kie-

r ó w n i c e / i niechaj prosta. ^ / t w o r z ą c a / porusza s i ę w

r ten s p e s ó b , że w każdem p o ł o ż e n i u przecina.yszystkie 3 prost© ^ , $ i ^c / ś l i z g a j ą c s i ę pe nich/*, powierz­

chnia opisana przez tworzącą Ą. b ę d z i e powierzchnią p r o s t o k r s ś l n ą drugiego stopnia. J e ż e l i obierzemy 3 do­

wolne p o ł o ż e n i a t w o r z ą c e j £ : £ t Z> i o których wiemy* ż e są s k o ś n e , i będziemy poruszali tak p r o s t ą

€k, , aby ona w każdem p o ł o ż e n i u p r z e c i n a ł a wszystkie trzy prost© i , £ i ••<#% , to tworząca <L opisze t ę

samą p o w i e r z c h n i ę p r o s t o k r e ś l n ą ,

a/ Kowierzchnia p r o s t o k r e ś l n ą drugiego stopnia nazywa si,ę hyperholoidom jednopewłękowym, p ł a s z c z y z n a n i e w ł a ś c i w a jest wz^ędem niej s i e c z n ą /Rys. 402/; % peśród trzech ś r e d n i c sprzężonych, a więc i z pośrj.d trzech o s i , dwie &ą siecznemi; s t o ż e k asymptotyczna

jest rzeczywisty, każda jego tworząca jest r ó w n o l e g ł a do jednej z tworzących hyperboloidu każdego układu.

Tak samo, jak w powierzchniach krżywokresinych i s t n i e ­ ją i tutaj dwa układy p r z e c i ę ć kołowych; p ł i e z c ż y z n y przecinając© hyperboloid według k ó ł , p r z e c i n a j ą jego s t o ż e k asymptotyczny według kół spółirodkowyoh. Wszyst­

kie 4 punkty kołowe są wszakże urojono, albowiem ś r e ­ dnica sprzężona z dwiema wzajemnie prostopadłomi ś r e d n i cami p r z e o i ę c i a kołowoge, przechodzącego przez środek

- 543

powierzchni,nie przebija powierzchni w punktach rzeczy­

wistych. Hyperboloid jednopowłokowy stanie s i ę obroto- rjy, j e ż e l i oba kłady p r z e c i ę ć kołowych z o s t a n ą zjedno -

czone, powierzchnia taka może być utworzona przez obrót prostej o, dokoła nie p r z e c i n a j ą c e j jej osi <r , a jej -stosunek asymptotyczny powstanie przez obrót prostej r ó w n o l e g ł e j do <a* i p r z e c i n a j ą c e j oś w spodku wspólnej p r o s t o p a d ł e j do prostej a- i osi c

b/ P o w i e r z c h n i a ' p r o s t o k r e ś l n a drugiego stopnia nazywa s i ę paraboloidem hyperbolieznym, j e ż e l i p ł a s z ­ czyzna n i e w ł a ś c i w a jest do niej s t y c z n ą /Rys.403/. Jak każda p ł a s z c z y z n a styczna, ma wtedy płaszczyzna n i e w ł a ­ ś c i w a dwie tworzące wspólne z p o w i e r z c h n i ą , każda z

innego układu. Ponieważ wszystkie tworzące w ł a ś c i w e I Układu p r z e c i n a j ą ic.z tych tworzących n i e w ł a ś c i w y c h Hora n a l e ż y do II układu, a wszystkie tworzące II ukła­

du p r z e c i n a j ą t ę z nich, k t ó r a n a l e ż y do I układu, więc tworzące każdego układu mają wspólne ustawienie. Para- boloid hyperboliczny może przeto być utworzony przez

riŁck prostej ś l i z g a j ą c e j s i ę po trzech prostych r ó w r o l e - Słych do jednej p ł a s z c z y z n y , wszystkie p o ł o ż e n i a tej W o r z ą c e j będą r ó w n o l e g ł e do innej p ł a s z c z y z n y , 2 trztfCh H i tylko jedna pozostaje "właściwą. P ł a s z c z y z n y , prze- chodzące przez t ę oś w danych dwuch ustawieniach, są

^OWETRJA 1YKRSSLHA t Arkusz 35-ty.

zwyrodnia­

łym s t o ż ­ kiem asymp­

totycznym t e j pow*£fz-

chni. Każde p r z e c i ecie p a r a b o l o i d u h y p e r b o l i c z - nego j e s t h y p e r b o l ą

2 wyjątkiem p r z e c i ę ć

r ó w n o l e g ł y c h do o s i , k t ó ­ re są p a r a ­ b o l a m i . Pa­

r a b o l o i d hyperboliczny jest jedyną p o w i e r z c h n i ą drugiego stop­

nia, k t ó r a nie posiada p r z e c i ę ć kołowych i. k t ó r a ń.ie może być obrotową.

§ 215. Powierzchnie drugiego s t o p n i a z w y r o d n i a ł e . Układ biegunowy przestrzenny o k r e ś l i l i ś m y zapomocą

czworościanu biegunowego

A

A

A

A^

545 -

biegunowej B punktu jakiegokolwiek -B z tera zastrze­

żeniem, że punkt J? nie l e ż y W żadnej so ś c i a n , a. p ł a s z ­ czyzna JB nie przechodzi przez żaden z wierzchołków c z w o r o ś c i a n u ĄĄĄA* < Odrzućmy teraz te Z a s t r z e ż e ­ n i a .

Przypuśćmy najpierw, że p ł a s z c z y z n a biegunowa - H punktu j a k i e g o k o l w i e k B przechodzi przez jeden z

wierzchołków c z w o r o ś c i a n u biegunowego, np. przez AĄ , układy biegunowe p ł a s k i e na -ścianach z a b i e r a j ą c y c h

w i e r z c h o ł e k A^ będą zwyrodniałe, na ś c i a n i e z a e - ^ i ^ u k ł a d biegunowy p ł a s k i może być albo jednostajny, a l ­ bo n i e j e d n o s t a j n y . P ł a s z c z y z n a biegunowa każdego punk­

t u M przechodzi przez „ natomiast biegun każdej p ł a s z c z y z n y JMT j e s t nieoznaczony, może to być miano­

w i c i e dowolny punkt pewnej p r o - t e j zn, , przechodzącej przez \AĄ . W'ten sposób u k ł a d biegunowy p r z e s t r z e n n y staje s i ę układem biegunowym wiązki dokoła p u n k t u A ^ z a l e ż n i e od tego, czy t e n u k ł a d b ę d z i e jednostajny lub n i e j e d n o s t a j n y , p o w i e r z c h n i a tego układu będzie s t o ż ­ k i em urójonym l u b rzecżywiatyia^ Gdy p ł a s z c z y z n a JB p r z e c h o d z i przez dwa w i e r z c h o ł k i czworościanu bieguno­

wego, AĄ i AT • to j e s t przez krawędź A^A, , sto­

żek t e n z n i e k s z t a ł c a s i ę do dwuch p%&8zęzyzn urcjonych s p r z ę ż o n y c h lub rzeczywistych, przeć i, na jacy eh s i ę we-