Macromoleculen: Inleiding in de fysica van macromoleculen

inleiding in de fysica van macromoleculen

prof.dr. A.J. Staverman

hoogleraar in de fysische chemie te Leiden

met medewerking van dr. F.A.H.

Peeters

BIBLIOTHEEK TU Delft p 1689 5052

1111111111111

C 506728

VOORWOORD

Als eerste inleiding tot de kennis van macromoleculen voor kandidaten in de scheikunde en natuurkunde heb ik vele jaren het collegediktaat van W. Prins uit Delft aanbevolen. Dit dateert echter uit 1967, is enigszins verouderd en uitverkocht Ik meen in een behoefte te voorzien door in het voetspoor van Prins, en op sommige punten gebruik makend van zijn tekst, opnieuw een Nederlandstalig diktaat 'Macromoleculen' samen te stellen.

Het centrale onderwerp van dit boek is de conformatiestatistiek van macromole-culen in verdunde oplossingen en de relaties tussen de moleculaire conformaties en de thermodynamische eigenschappen, de viscositeit en de frictie. Het boek van Yamakawa (1971) heeft hierbij als voorbeeld gediend. Als eerste inleiding is dit niet geschikt, maar voor verdere studie wordt dit aanbevolen. Ik heb er naar gestreefd de mathematische bewerkingen zo eenvoudig mogelijk te houden om te bereiken dat het ook leesbaar is voor chemici met een beperkte kennis van de wis-kunde. Door de concentratie op het centrale onderwerp moest een aantal evenzeer interessante onderwerpen vervallen. Van de onderwerpen die Prins wel behandelt zijn dat de polyelectrolyten en eigenschappen van geconcentreerde systemen, zoals de glasovergang an de kristalliniteit. Polyelectrolyten verdienen een aparte behande-ling, terwijl in geconcentreerde systemen, met name m.b.t. het effect van concen-tratie en moleculair gewicht, recent nieuwe inzichten zijn samengevat in het boek van De Gennes (1979). In dit diktaat wordt op verschillende plaatsen naar dit boek verwezen.

De Gennes legt de nadruk op het verschil tussen universele eigenschappen, ken-merkend voor alle ketens, en individuele eigenschappen, afhankelijk van de che-mische structuur van de monomeer eenheden. Deze inleiding beperkt zich tot de universele eigenschappen. Als gevolg daarvan is de theorie der conformatieisomerie, oorspronkelijk ontwikkeld door Volkenstein, en grondig en elegant behandeld in het tweede boek van Flory (l969),niet opgenomen. Deze theorie legt het verband tussen de karakteristieke dimensies van een macromolecuul, uitgedrukt in de groot-heid R2/M,en de energieverschillen tussen de rotatie-isomeren van de monomeer-eenheden.

Voor de historische ontwikkeling van dit gebied van wetenschap verwijs ik tenslotte naar het nog steeds zeer lezenswaardige boek van Flory uit 1953.

Ik heb getracht tot uitdrukking te brengen dat de wetenschappelijke behandeling van macromolecuh,m geenszins een afgesloten gebied van àe klassieke fysica is, maar integendeel een gebied in beweging en naar alle kanten open. Open in de richting van nieuwe inzichten in de statistische mechanica, in de rheologie (viscositeit, elasticiteit, tijdsafhankelijke mechanische eigenschappen), structuurchemie, biofysica en ook van de reactiekinetica, al wordt daaraan in deze inleiding slechts voorbij-gaand aandacht besteed.

Om de openheid te accentueren heb ik soms zeer discutabele beschouwingen inge-last. Deze beschouwingen en eventuele fouten of vergissingen, die er nog wel in zullen staan, zullen naar ik hoop voor de lezer aanleiding zijn kritisch te lezen. Voor kritiek en korrekties houd ik mij zeer aanbevolen. Ik ben veel dank verschul-digd aan dr. F.A.H. Peet ers voor discussies en kritische opmerkingen.

INHOUD

1. DEFINITIE EN KENMERKEN VAN MACROMOLECULEN EN POLYMEREN. BEREIDING EN KLASSIFICATIE.

1.1. Definitie 1.2. Kenmerken 1.3. Bereiding 1.4. Klassificatie

2. BEPALING VAN MOLECULAIR GEWICHT EN VAN MOLECULAIRE DISTRIBUTIES 2.1. M olecuulgewich tsgemiddelden 2.2. De osmotische druk 2.3. Lich tverstrooiing 2.4. Sedimentatie 2.5. Viscositeitsmeting 2.6. Gelpermeatiechromatografie, GPC

3. AFLEIDING VAN MOLECULAIRE DISTRIBUTIES UIT KINETlEK VAN DE POLYMERISATIE-REACTIES. GELPUNT-THEORIE.

3.1. De Flory-Schulz-distributie (evenwichtsdistributie) 3.2. De Poisson-distributie

3.3. Distributie van vertakte macromoleculen. Gelpunt theorie 4. CONFORMATIE-STATISTIEK VAN LINEAIRE MOLECULEN

7 8 8 11 12 13 19 27 33 36 38 40 42

4.1. De ideale keten (Random chain) 45

4.2. De wormachtige keten 48

4.3. Conformatie-statistiek van ideale ketens 49

4.4. Conformatie-statistiek van werkelijke ketens. Het uitgesloten volume 51 4.5. De temperatuurafhankelijkheid van R2 en van

R;

60 5. THEORIE VAN DE RUBBER-ELASTICITEIT

5.1. Fenomenologie van de rubberelasticiteit 63

5.2. Thermodynamica van de rubberelasticiteit 64

5.3. Moleculaire theorie van de rubberelasticiteit 66 5.4. Kracht-rek-temperatuur-relaties van spooknetwerken 70 5.5. Kracht-rek-temperatuur-relaties van werkelijke netwerken 72

5.6. Tijdsafhankelijke elasticiteit 73

6. THERMODYNAMICA VAN OPLOSSINGEN

6.1. Twee modellen 77

6.2. Het roostermodel 77

6.3. Het model van het uitgesloten volume (het u.v.-model) 82 6.4. Confrontatie van het roostermodel en het model van het uitgesloten

volume (u.v.-model) 87

7. HYDRODYNAMISCHE EIGENSCHAPPEN VAN MACROMOLECULEN

7.2. Het vrij doorstroomde kluwen 7.3. Het niet-doorstroomde kluwen 7.4. Het gedeeltelijk doorstroomde kluwen

7.5. Discussie van het resultaat. Vergelijking van Po en <I>o met het experiment

7.6. Het effect van M en van a op [1/] en [f] 7.7. Samenvatting en conclusies

8. SLOTBESCHOUWINGEN. EFFECTEN VAN CONCENTRATIE, TIJD EN LADING 91 93 93 96 98 104 8.1. Concentratie-effecten 106 8.2. Tijdseffecten 107 8.3. Ladingseffecten 107 Literatuur. 108

APPENDICES (losse bijlage)

Appendices bij hoofdstuk 2

2A. Bij verg. (2.11) en (2.16), wet van Raoult 2B. Bij verg. (2.60) en (2.62), lichtverstrooiing 2C. Bij verg. (2.80), sedimentatie-evenwicht 2D. Over de verhouding

hl: ,hl:

_n

,M

en

hl

W Z Tl

Appendices bij hoofdstuk 3. 3A. Bij verg. (3.7)

3B. Bij verg. (3.10), Evenwichtsdistributie in polymerisatie 3C. Bij par. 3.2, afleiding Poisson-distributievergelijking (3.12) 3D. Bij par. 3.3a, klassieke gelpunt-theorie

Appendices bij hoofdstuk 4. 4A. Bij verg. (4.8)' voor R~

4B. Bij verg. (4.18), Gauss-distributie van eindpuntsvectoren 4C. Bij verg. (4.23) en (4.24), de Langevin-benadering 4D. Bij verg. (4.49) ~ = Ro2(1 + Cl Z .. . )

Appendices bij hoofdstuk 5.

5 A. Enige begrippen uit de elasticiteitstheorie SB. De netwerktheorie van James (verg. (5.21)) SC. Bij verg. (5.10), Lippmann en Elliott 5D. Bij verg. (5.35)

SE. Bij verg. (5.43), Rouse-spectrum Appendices bij hoofdstuk 6.

6A. Vergelijking van Flory-Huggins (6.7) 6B. Vergelijking van McMillan en Mayer (6.23) 6C. Afleiding van verg. (6.29)

Appendices bij hoofdstuk 7. 7A. Vergelijking (7.13) 7B. Vergelijking (7.28) A2 A3 A4 A6

AB

AB

A9 AIO All A12 A14 A16 A19 A21 A24 A25 A25 A30 A30 A33 A35 A35

1. DEFINITIE EN KENMERKEN VAN MACROMOLECULEN EN

POLYMEREN. BEREIDING EN KLASSIFICA TIE.

1.1.

Defmitie

Macromoleculen zijn moleculen met een groot tot zeer groot moleculairgewicht, M = 104 - 107. De term wordt in het bijzonder gebruikt voor moleculen

opge-bouwd uit een groot aantal eenvoudige moleculen, monomeren geheten, tot lange ketens of netwerken.

Anorganische verbindingen zoals silicaatglazen en andere ionenverbindingen in kristallijne of vaste toestand worden niet beschouwd als opgebouwd uit macro-moleculen, hoewel zij wel onder de definitie vallen. Daarentegen vallen de

silico-nen opgebouwd uit flexibele

[-~~O-]ketens

er wel onder. De flexibiliteit van R2 n

de ketens is kenmerkend voor veel elgenschappen van systemen die in dit over-zicht behandeld zullen worden. Wanneer de flexibiliteit verloren is gegaan door een groot aantal brugverbindingen zoals in bakeliet en eboniet, dan valt het ma-teriaal buiten het bestek van dit overzicht.

De stoffen opgebouwd uit dergelijke macromoleculen worden polymeren genoemd. Zijn de macromoleculen van verschillende soort, dan spreekt men van copolyme-ren. Polymeren komen in de natuur zeer veel voor:

- coördinatiepolymeren uit het mineralenrijk;

- biopolymeren zoals cellulose, zetmeel, eiwitten en natuurrubber.

Ook worden zij op grote schaal in de industrie bereid voor toepassing als kunst-stoffen, synthetische vezels en rubbers, lakhars en en lijmen. Hoewel natuurlijke polymeren, halfsynthetische (celluloid = cellulosenitraat (1884) en caseme-kunst-hoorn) en synthetische kunststoffen (polystyreen (1839), polymethylmethacry-laat (1901), bakeliet (1911) reeds lang bekend waren, heeft het zeer lang geduurd vooraleer het inzicht was doorgedrongen dat deze stoffen uit organische moleculen bestaan met geen ander bijzonder kenmerk dan dat zij zeer groot zijn. In 1922 voerde Staudinger de term macromolecuul met de bovenbeschreven betekenis in, welke niet dan na veel strijd - deels ingevolge het gebruik van verkeerde argumen-ten - hij algemeen zag aanvaard. De uiteindelijke doorbraak kwam in 1929, toen Carothers stelselmatig grote moleculen synthetiseerde volgens klassiek organisch-chemisch stramien, en in de jaren direct daarna toen Kuhn, Mark en Guth lieten zien, dat stoffen opgebouwd uit zeer veel eenheden' precies de bij polymeren veel-al aangetroffen kenmerken moeten hebben, nl. een abnormaveel-al hoge viscositeit, een geringe osmotische druk in verdunde oplossingen en onder bepaalde voorwaar-den rubberachtige elasticiteit.

Tot 1930 werden de polymeren ingedeeld bij de colloiäen; men kende de kleinste deeltjes van deze stoffen allerlei bijzondere structuren toe.

Nadien werden beide groepen gescheiden, al,hoewel er overgangen tussen bestaan. Zo zijn in natuurlijke eiwitten de macromoleculen vaak op zeer gestructureerde wijze opgerold en vertonen daardoor hun oplossingen niet die hoge viscositeit en elasticiteit eigen aan die van gewone macromoleculen.

Na denaturatie gedragen de eiwitmoleculen zich in macromoleculair opzicht meer normaal.

In het vervolg zullen we ons bezighouden met systemen welker moleculen uit lan-ge buigzame ketens bestaan, dan wel uit netwerken daarvan. Het zal dan blijken dat vele van de zichtbare en meetbare eigenschappen van dergelijke stelsels kunnen worden begrepen op grond van lengte, beweeglijkheid, inter- en intra-moleculaire krachten van macromoleculen.

1.2. Kenmerken

In de eerste plaats is het wel de viscositeit die kenmerkend is voor verdunde oplos-singen van moleculen. Echter, lang niet alle polymeren zijn oplosbaar: wanneer de ketenmoleculen tot netwerken zijn verknoopt, zijn deze steeds onoplosbaar, doch nog wel zwelbaar in sommige' oplosmiddelen. Zij vertonen in dat geval het ver-schijnsel van rubberelasticiteit. Beneden een zekere temperatuur T , de glasover-_g gangstemperatuur, worden dergelijke netwerken hard, glasachtig. Rubberelastici-teit en hoge viscosiRubberelastici-teit tesamen veroorzaken de kleverigheid zo kenmerkend voor polymeer - vloeistof systemen, zij worden omschreven met de term visco-elasti-citeit.

Oplosbare polymeren veroorzaken in verdunde oplossingen daarenboven nog een uitzonderlijk lage osmotische druk, terwijl deze grootheid bij hogere concentratie normale waarden aanneemt. In samenhang hiermee zijn de phasediagrammen voor de stelsels polymeer - oplosmiddel zeer asymmetrisch.

Zeer kenmerkend voor polymeren is ook de variatie van het gewicht hunner mole-culen. Niet alleen kan M van verschillende monsters van dezelfde stof, bijv. poly-styreen, met factoren 104 of meer uiteenlopen, ook meet men, afhankelijk van de gebezigde methode, totaal verschillende waarden voor M. Dit ontbreken van eenduidige relaties tussen stof en moleculair gewicht was voor lange tijd voor orga-nische chemici aanleiding de moleculen dezer stoffen als abnormaal te beschou-wen. Een polymeermonster kan derhalve niet door één waarde van het molecuul-gewicht geheel worden gekarakteriseerd. Een in dezen volledige karakterisering vereist kennis van de gehele molecuulgewichtsverdeling.

In de praktijk volstaat men veelal met de bepaling van zekere gemiddelde waarden van M, te verrichten met onderscheiden meetmethoden.

1.3. Bereiding

De vervaardiging van macromoleculaire stoffen is een onderdeel van de preparatie-ve synthetische chemie, niet van de fysische chemie in engere zin. Enige kennis van hun synthese is echter voor de fysico-chemici, die macromoleculaire systemen bestuderen, onmisbaar, zoals ook de synthetici, die polymerisatiereacties onder-zoeken, een tamelijk grondige kennis moeten hebben niet alleen van de wijzen van productkarakterisering maar ook van de statistiek der reacties, bepalend voor de groei van ketens en netwerken.

Hier volgt dan een kort overzicht van typen synthesereacties voor macromoleculen. Met de nogal willekeurig gekozen termen: polycondensatie, polrmerisatie, poly-additie en Ziegler-Natta-polymerisatie onderscheiden wij er vier.

a. Polycondensatie

Bij koppeling van monomeren treedt een klein molecuul uit, meestal water zoals bij verestering en amidering.

Het was Carothers' geniale gedachte dat, als Staudinger met zijn opvatting gelijk had, elke bekende koppelingsreactie tussen functionele groepen tot lineaire ketens

zou moeten voeren indien de. reagerende monomeren beide bifunctioneel zijn, en tot netwerken indien zij een hogere functionaliteit hebben.

In vergelijkingen: als --- A

+

B --- ~ X ---dan geeft A --- A + B --- B ~

} [--- X --- X ] n keten

en ook A --- B + A --- B ~

,~

/A

terwijl bijv. A ---"--A + B --- B of B ---"'-A + A --- B

een netwerk oplevert. Als A een carboxylgroep voorstelt en Been OH-.resp. een NH

2 -groep dan is X de ester- resp. amide-groep.

Volgens dat principe bereidde Carothers talrijke polyesters en -amiden. Niet alleen bevestigden zijn resultaten volledig zijn en Staudingers ideeën, ook leidde zijn on-derzoek tot een geheel nieuw type synthetische vezels: polyamide-nylon. Nylon is een verzamelnaam geworden voor verschillende polyamiden; practisch de meest gebruikte zijn: nylon-6,6, het polyamide van het diamine en het dicarbonzuur met elk 6 C-atomen en het nylon-6, het polycaprolactam:

n[(CH ) -C=OJ~ l-N-(CH ) -f'-] ~ s, / I 2 5 11 n

NH H 0

Dit laatste is eIgenlijk geen polycondensatieproduct, omdat bij de vorming geen water uittreedt; het is een zelf-additieproduct. Het past echter in de nylonklasse en kan als polycondensatieproduct van het w-aminocapronzuur worden opgevat. Practisch gezien is de wateruittreding bij polycondensatie hinderlijk daar zij bij hoge omzettingsgraad - dus hoog molecuulgewicht en hoge viscositeit - steeds moeizamer verloopt. Daarom is de caprolactampolymerisatie in het voordeel tegen-over de polyamidecondensatie voor nylon-6,6. Een ander nadeel dezer laatste reac-tie is, dat beide componenten in exact bekende verhoudingen bijeen moeten ge-voegd worden daar het molecuulgewicht bepaald wordt door de afwijking der stoechiometrie.

b. Polymerisatie

Deze term gebruiken wij voor zelf-additie-reacties van onverzadigde verbindingen; aan hen zijn 3 stappen te onderscheiden: initiatie, propagatie en terminatie of met andere woorden start-, groei- en stopreacties.

:pe initiatie bestaat in het activeren van de dubbele band.

Dit kan gebeuren door instralen van licht (fotopolymerisatie), door radicalen of door ionen (kation-, anionpolymerisatie). Styreen (= fenyletheen) kan op elk dezer wijzen worden gepolymeriseerd: met licht, met radicalen gevormd door ontleding van peroxyden - met name benzoylperoxyde -, met Lewis-zuren (BF 3; H₂ SO 4: kationpolymerisatie) en met alkali-alkylverbindingen. Schematisch: .Initiatie: M ~ M* Propagatie: Terminatie: of: M~

+

M ~ M~+I M:

+

M~ ~ M_n+_k M* _n

+

S ~ M _n

+

S*

M: inactief monomeer; M*: geactiveerd monomeer; M~: n-meer met één actief uiteinde; M_n: inactief n-meer; S: molecuul oplosmiddel of radicalenvanger. Soms zal S* een nieuwe polymerisatiereactie ontketenen (ketenoverdracht : S*

+

M ~ M* + S), soms zijn activiteit in warmte of bijproducten verliezen. In geval van ketenoverdracht is de kinetische keten (= aantal reactiestappen

vol-gend op een initiatie) langer dan de moleculaire keten (= aantal monomeren per keten).

De terminatie is bij deze reactie erg belangrijk: de verhouding van propagatie- en terminatiesnelheid bepaalt de lengte van de kinetische keten en, als er geen of weinig ketenoverdracht is, ook het moleculairgewicht.

Ionische polymerisatiereacties worden veelal door OH-- of H+-ionen gestopt; zij moeten derhalve in watervrij milieu worden uitgevoerd.

c. Polyadditie

Deze term gebruiken wij voor ketenvormingsreacties zonder terminatie-stap. Dit ontbreken der terminatie befuvloedt niet alleen sterk het verloop van het totale proces, maar vooral ook de M-distributie van het reactieproduct. Dit reactie-type is in 1956 door Szwarc (her)ontdekt en grondig onderzocht. De reactieproducten heten "levende polymeren"; toevoeging van monomeer leidt tot verdere ketengroei. Kenmerkend voor deze polyaddities is niet alleen de bereikbaarheid van zeer hoge M-waarden, maar ook die van een zeer veel smallere M-distributie voor het eind-product vergeleken bij dat van polycondensaties en -merisaties. Een goed voor-beeld van een additie-polymerisatiereactie die een levend polymeer oplevert is de reactie tussen Na-naftaleen met styreen in rigoreus gedroogd tetrahydrofuraan. Het naftaleen-anion werkt als initiator en het natrium-ion heeft onvoldoende affi-niteit tot het negatief geladen polymeer-ion om de reactie te beëindigen.

d. Ziegler-Natta-poly-reacties

In 1952 ontdekte Ziegier een nieuw type katalysator waarmee ethyleen bij lage druk kon worden gepolymeriseerd. Natta bracht met dergelijke katalysatoren mono-meren van het type CHz=CHR tot reactie en ontdekte in 1953 dat de aldus gevorm-de macromoleculen vaak een meer regelmatige ruimtelijke bouw hebben dan die verkregen door polymerisatie van hetzelfde monomeer met radicalen of ionen. Bij laatstgenoemde reactie veronderstelt men dat de kans op links- of rechtsaan-legging in de propagatiestap even groot is, zodat in het macromolecuul de volgorde van de rechtse en linkse configuraties der opeenvolgende eenheden door het toeval bepaald wordt.

Deze polymeren noemt men atactisch. Ziegler-Natta katalysatoren blijken nu veelal aanleiding te geven tot stereospecifieke propagatiereacties, d.W.Z. de kans op rechts-aanlegging na een· voorafgaande rechtsaanlegging is Of zeer veel groter Of kleiner dan die op linksaanlegging; in beide gevallen is de keten veel regelmatiger van structuur dan de atactische en heeft het polymeer daardoor soms ook totaal andere eigen-schappen, met name een hoger smeltpunt en een afwijkende waarde voor T . _g Ziegler-Natta katalysatoren bestaan vaak uit een aluminiumallcyl en een halogenide van een overgangsmetaal, bijv. Al(Cz HS)3

+

TiCI4. Het mechanisme der

polymeri-satie komt neer op een invoeging van monomeer tussen de katalysator en de groei-ende keten.

Wanneer alle monomeren in het macromolecuul dezelfde ruimtelijke configuratie hebben, dus alle "rechts" of "links", noemt men het polymeer isotactisch; wisse-len rechtse en linkse configuraties elkaar af, dan noemt men het syndiotactisch. Op de omvangrijke literatuur nopens kinetica en mechanisme van polymerisatie-reacties wordt hier niet nader ingegaan. Het onderwerp is niet slechts voor het onderzoek van macromoleculen maar ook, in het algemeen, voor dat van reactie-mechanismen van belang.

gebracht. Doordat de kinetische keten niet gelijk is aan de moleculaire keten levert de meting van M als functie van de reactieveranderlijken extra informatie die bij andere reacties ontbreekt. In het geval van copolymerisatie geeft de samen-stelling van het copolymeer als functie van die van het monomeren mengsel gede-tailleerde informatie over de verhouding van reactiesnelheden van verschillende monomeren met eenzelfde radicaal of ion.

1.4. Klassifica tie

Een opsomming van slechts enige industrieel belangrijke polymeren is mogelijk naar herkomst dan wel structuur (lineair of netwerk).

Polymeren met lineaire ketens zijn vaak smeltbaar en oplosbaar, i.t.t. die opge-bouwd uit netwerken. Uiteraard is dit verschil van grote betekenis voor de eigen-schappen en dus ook de verwerkingsmethoden. Smeltbare polymeren noemt men thermoplastisch, de onsmeltbare thermohard. Bij de laatste vinden vormgeving en polymerisatie in dezelfde stap plaats.

Wij krijgen aldus de volgende klassen:

half-synthetisch polycondensatie

lineair thermoplast III

netwerk thermohard 11 IV

celluloid; cellulose-acetaat (films, membranen, vezels).

polymerisatie en -additie

v

VI

11 casefue-kunsthoom (casefue + formaldehyde); gevulcaniseerde rubber. 111 nylon; polyamiden; polyesters van terephthaalzuur en glycol (terlenka,

teryleen).

IV bakeliet (fenol

+

formaldehyde); ureumharsen, melamineharsen (ureum resp. melamine + formaldehyde).

V verbindingen van het type [-CH

2 -CXY -ln; achter de naam staan de sym-bolen voor X en Y.

polyethyleen (H;H); polypropyleen (H;CH

3); polyvinylchloride, PVC (H;Cl);

polyacrylonitril (H;CN); polymethyl/methacrylaat, PMMA (CH

3 ;COOH3);

poly-styreen (H;C

6Hs)'

VI polyesterharsen (lakharsen, kunststoffen met glasvezel versterkt) zijn vaak half door polymerisatie, half door polycondensatie gemaakt;

2.

BEPALING VAN MOLECULAIR GEWICHT EN VAN

MOLECULAIRE DISTRIBUTIES

2.1.

Molecuulgewichtsgemiddelden

De eerste grootheid waarmee een polymeer gekarakteriseerd wordt en die bepalend is voor de eigenschappen is het moleculairgewicht. Aangezien in ieder symthetisch polymeer moleculen van verschillende moleculairgewichten voorkomen, impliceert een volledige karakterisering de kennis van de distributie van moleculairgewichten, dus het aantal n., van molecuien met moleculairgewicht m .. Vaak is het voldoende

1 1

als men zekere middelwaarden van het moleculairgewicht kent. Deze bepalen vaak de eigenschappen van het polymeer en uit de verschillen van verschillende middel-waarden kan men een eerste indruk krijgen over de breedte van de distributie. Als het polymeer een zeer nauwe distributie heeft, zijn alle middelwaarden nagenoeg gelijk, maar in de praktijk blijken zij te verschillen en soms wel zeer aanzienlijk. De belangrijkste middelwaarden die in de praktijk een rol spelen zijn:

~n.m.

a. het aantalgemiddelde moleculairgewicht M = _ 1 _ 1 (2.1)

n ~nj

~w.1l\ __ ~~m?

b. het gewichtsgemiddelde moleculairgewicht M = _ _ I - (2.2)

W ~Wj ~njmj

hierin is wj = _{njmj het gewicht van de fractie} i.

_ ~n.m~

c. het z-gemiddelde moleculairgewicht M = ~ z ~n.m.

1 1

Dit gemiddelde blijkt van belang bij experimenten met de ultracentifuge. (2.3)

Een andere middelwaarde, die nogal eens gebruikt wordt, is de waarde die bepa-lend is voor de viscositeit van oplossingen van het polymeer, het viscositeitsge-middelde: _ [~n.m. a+l] I/a d. M

=

1 1

=

[~w.m.all/a Tl ~n.m. 1 1 1 1 (2.4) M is het viscositeitsgemiddelde moleculairgewicht, nl. de I/a macht van de ge-wkhtsgemiddelde waarde Ma W van Ma, waarbij

~w.

= I is genomen.

1 Immers we schrijven:

hl

= [~w.m.all/a = [MaWjl/a

11 1 1

- n

We zouden ook een getalgemiddelde waarde Ma van Ma kunnen definiëren, nl.:

_ n ~n.m.a

Ma

=

_ 1 _ 1 ~n.

1

Experimenteel is bij viscositeitsmetingen de gewichtsconcentratie bekend en de moleculaire concentratie niet, vandaar dat de meetbare grootheid de gewichts-gemiddelde waarde van Ma is.

Algemeen is ~n.m.a+1 Maw = ~w.m.a = 1 1 1 1 _~n.m. 1 1 ~n. = _ _ 1 . ~n.m. 1 1 ~n.m.a+l 1 1 ~n. 1

Ma+l n. Maw =

M _n

waarbij a, een grootheid tussen J!2 en 1, karakteristiek is voor de combinatie van polymeer, oplosmiddel en temperatuur en afzonderlijk bepaald moet wor-den.

Dat deze gemiddelden zeer aanzienlijk uiteen kunnen lopen is gemakkelijk te zien aan eenvoudige getalvoorbeelden. Altijd is het gewichtsgemiddelde groter dan het getalgemiddelde en het z-gemiddelde groter dan het gewichtsgemiddelde. In het getalgemiddelde tellen de kleine moleculen sterk mee, nl. even sterk als de grote, terwijl deze laatste een veel grotere bijdrage aan het gewicht geven. Eigenschappen die bepaald worden door de gewichtsbijdrage van een fractie zullen dus afhangen van het gewichtsgemiddelde, terwijl eigenschappen die van het aantal moleculen afhangen door het getalgemiddelde worden bepaald. We zullen zien dat de osmoti-sche druk en andere colligatieve eigenschappen van oplossingen tot de laatste klas-se horen en lichtverstrooiing tot de eerste.

Vier methoden voor de bepaling van molecuulgewichten zullen worden bespro-ken: a. osmotische druk; b. lichtverstrooiing; c. sedimentatie-snelheid en -evenwicht in de ultracentrifuge; d. viscositeit.

Van deze is de viscositeitsbepaling verreweg de eenvoudigste, zeker als het om ver-gelijkend onderzoek gaat, en de meest gebruikte. Maar deze methode wordt het laatste besproken omdat zij in tegen~telling tot de andere drie geen absolute is. Hiermee is bedoeld dat uit viscositeitsmetingen alleen geen moleculairgewicht kan worden afgeleid, omdat eerst de karakteristieke constanten, met name de constante a uit vergelijking (2.4), bepaald moeten worden met behulp van monsters waarvan het moleculairgewicht langs andere weg bepaald is.

2.2. De osmotische druk

Osmotische druk, dampspanningsvermindering, vriespuntsverlaging en kookpunts-verhoging, tesamen aangeduid als colligatieve eigenschappen, zijn in verdunde oplos-singen alleen afhankelijk van het aantal moleculen opgeloste stof en onafhankelijk van hun aard. Daardoor zijn zij geschikt voor bepaling van het moleculairgewicht. Als de moleculen zeer groot zijn is het aantal per gram zeer klein en een eenvou -dig sommetje leert dat voor een stof met moleculairgewicht lOS in een 1 % oplos-sing alleen de osmotische druk redelijk meetbare waarden vertoont, terwijl de an-dere colligatieve grootheden onmeetbaar klein worden.

Nu heeft men (in de dertiger jaren) er wel eens aan getwijfeld of voor zeer grote moleculen in verdunde oplossingen de wet van Raoult nog wel geldig zou zijn. Inderdaad is het niet gemakkelijk om aan de hand van een model in te zien dat een enkel Na+- of Cl--ion in water evenveel dampspanningsverlaging teweeg brengt als een macromolecuul met M = lOs of meer. Om in te zien dat de wet van Raoult voor zeer verdunde oplossingen ook voor zeer grote moleculen opgaat, moet men het aantal configuraties berekenen volgens de regels van de statistische mechanica. Ten onrechte wordt wel gemeend, dat deze wet uit de thermodynamica alleen zou kunnen worden afgeleid. Dit zou betekenen dat uit de thermodynamica informatie zou volgen over de moleculaire structuur van de materie, wat in strijd is met de grondslagen van de thermodynamica.

Een misleidende redenering die in de literatuur veel wordt aangetroffen (zie bijv. Flory, p. 270) is de volgende.

In zeer verdunde oplossing geldt voor de activiteit van de opgeloste stof de wet van Henry

al = kX_I

Uit de relatie van Gibbs-Duhem volgt d ln ao = d ln al dlnXo d lnXI

(P,T constant)

(2.5)

(2.6) waarin X_o en Xl de molenbreuken zijn van oplosmiddel en opgeloste stof. Hier-uit volgt dan dat

d ln a_o = 1

dlnXo (2.7)

Uit (2.7) berekent men het osmotische drukverschil, IT, tussen oplossing en oplosmiddel t:.ll_o

IT=

-V_o (2.8)

waarin Ilo en vostaan voor de molaire grootheden thermodynamische potentiaal en partieel volume.

(2.9) Voor Ilo geldt

(2.10) dus met (2.7) ao(X o) t:.1l

=

RT

f

dlna

=

RTlnX ::::: -RTX (2.11) o a (1) 0 0 1

o

waaruit volgt dat de osmotische druk alleen afhangt van de molen breuk Xl. Dat er in deze afleiding een verborgen veronderstelling moet zitten, wordt duidelijk, wanneer men in dèze redenering de molenbreuk vervangt door de gewichtsfracties

w. W.=_l

I LW. I

waarin w

i de massa van component i is.

(2.12)

De moleculaire potentialen Ilj worden dan vervangen door de specifieke thermo-dynamische potentialen Il~ _I

, oG

Il =

-i

ow.

1

(2.13) waarvoor de relatie van Gibbs-Duhem ook geldt. De wet van Henry geldt ook voor de gewichtsfractie

al = k'W

I (2.14)

d In a~

dInW_o (P,T constant)

dan vinden we Lp.v. (2.11) ~~ = RT In Wo ~ -RTW I aangezien

is dus , Jl_o J l = -o

M

o RT /1Jl == - - W o Mo I (2.15) (2.16)

wat in strijd is met (2.11). In Appendix 2A wordt de fout in deze afleiding toege-licht.

Dat de wet van Raoult voor zeer verdunde oplossingen van macromoleculen geldig blijft hoe groot en complex deze moleculen ook zijn kan dus niet uit de thermo-dynamica worden afgeleid. Hiervoor is statistische mechanica nodig en in hoofd-stuk 6 zal op grond van statistische mechanica de wet van Raoult algemeen worden afgeleid. Hier geven we alleen enige aanwijzingen waarop de geldigheid van deze wet berust.

In de literatuur wordt wel gesuggereerd dat de wet van Raoult berust op de factor

IJ

Ni! in de uitdrukking voor

n,

het aantal onderscheidbare toestanden. Deze

fac-t~r komt echter zowel in

n

vóór als na het mengen voor en speelt dus geen rol in de vrije energie van het mengen, llF m. Voor llF m mogen we schrijven

/1F _m Z(W I) -kT In N N Z I Z 0 10 00 (2.17) E.

Hierin is Z = L w. exp [ - kT') de partitiefunctie, waarin w. het aantal toestanden

i I I

met energie Ei is. ZIO en Zoo zijn de partitiefuncties van de gescheiden componen-ten en Z(W I) is deze functie van het mengsel,. als functie van de gewichtsfractie W I . We beschouwen oplossingen, zo verdund dat de wisselwerking tussen opgeloste mo-leculen verwaarloosbaar is. Dan mogen we voor Z(W I) schrijven

Z(W ) = [Z (W)) NI [Z (W)) No

I 1 ) 0 ) (2.18)

We tellen het aantal configuraties door eerst de NI opgeloste moleculen alle toe-gankelijke posities en configuraties te laten doorlopen en bij elk van die configura-ties die der opgeloste moleculen. Voor Z) (W)) mogen we schrijven

(2.19)

waarin V ~ aantal configuraties van het zwaartepunt en z 1 het aantal

configura-ties van een opgelost molecuul met vastgelegd zwaartepunt. Aangezien we interactie tussen opgeloste moleculen verwaarlozen hangt zl niet af van W I ; een eventuele af-hankelijkheid zl (w I) = z~ (1 + kw I) verandert niets aan het resultaat.

N

ZO(W I) = ZOOO + aWI ) = ZooO + b NI)

o

waarin a en b willekeurige constanten. Vullen we nu in v

N

V=N v +N v = N V (1+_1_1) 0 0 1 1 0 0 vN

o

0 (2.20) (2.21)

(ook hier beÜlvloedt de verwaarlozing van een factor 1 + kw 1 het resultaat niet) v N v N

dan volgt uit (2.17) tlm (2.20) en In (l + _I_I) "" _1_1 voN o voNo

v z v N

6F = - kT{N InN + N [In(....!!...!.) + bl} + _I_I} (2.22)

m l O 1 Z . vN

10 0 0

Voor de osmotische druk moeten we blijkens (2.8) f:J.JJ._o kennen

2 d NI NI en f:J.JJ._o

=

dN

6F m

=

-kT{-

+

O(2")} o No No N

n

= -kT---.l V (2.23) (2.24 )

Dit is de wet van Raoult voor verdunde oplossingen: de osmotische druk hangt alleen af van het aantal moleculen per volume-eenheid ongeacht hun aard of groot-te. De uitdrukking (2.23), en dus ook (2.24), is afkomstig van de factor VN 1 in de toestandssom. De fysische betekenis hiervan is, dat hoe groot ook de opgeloste mo-leculen zijn en hoeveel configuraties zij ook bij vastgelegd zwaartepunt of eindpunt kunnen doorlopen, één molecuul slechts één factor bijdraagt die evenredig is met V en dus met No' tot de configuratiefunctie.

Wanneer we voor de gewichtsconcentratie schrijven

NIM

c =

-N V

(2.25)

av

waarin M het gewicht van een grammolecuul en N

av het getal van Avogadro dan

leidt (2.24) met de relatie voor de osmotische druk

n

tot

n

= _ f:J.JJ.o

n=

RT~

M (2.26) (2.27)

De osmotische druk van verdunde oplossingen biedt dus de mogelijkheid exact het aantal moleculen opgeloste stof te tellen. Theoretisch is het een ideale. methode voor polymeren met niet al te hoge moleculaire gewichten maar in de praktijk zijn er enige bezwaren zowel van theoretische als van experimentele aard.

De meting van de osmotische druk en het feit dat het aantal opgeloste moleculen geteld wordt, impliceert dat zeer kleine hoeveelheden monomeer of oligomeer of ook van katalysatormoleculen veel bijdragen tot de gemeten osmotische druk. Vaak is men in deze componenten niet geïnteresseerd en wil men het gemiddelde

moleculairgewicht weten van de grote polymeermoleculen. In die gevallen kan men beter het gewichtsgemiddelde moleculairgewicht bepalen.

Experimenteel is de meting van de osmotische druk ook niet zonder moeilijkheden. Weliswaar zijn de tegenwoordige osmometers zodanig geconstrueerd, dat de "experi-mentele osmotische druk", dus de druk waarbij de volumestroom door het mem-braan verdwijnt, zeer snel gemeten kan worden. Dat betekent, dat de zeer tijdro-vende meting, waarbij dit drukverschil door de permeatie van oplosmiddel moest worden opgebouwd, niet meer nodig is. Maar de kleine moleculen opgeloste stof die veel bijdragen tot de theoretische waarde van de osmotische druk, kunnen, wanneer ze niet veel [:roter zijn dan de moleculen van het oplosmiddel, door het membraan lekken met een snelheid vergelijkbaar met die van het oplosmiddel. Niet alleen verminderen zij daardoor het concentratieverschil tussen de twee cellen, ook bij de snelle meting, wanneer er nog praktisch geen opgeloste stof door het membraan is doorgelaten, dragen deze moleculen niet hun volle theoretische bij-drage bij aan de osmotische druk.

Opgeloste moleculen waarvan de permeabiliteit even groot is als die van het oplos-middel, dus die bii doorpersen van oplossing in onveranderde concentratie perme-eren, dragen zelfs helemaal niet bij tot de osmotische druk. Dit volgt uit de ther-modynamica der irreversibele processen.

In het algemeen kunnen we dus zeggen dat de meting van de osmotische druk hin-der onhin-dervindt van kleine moleculen. Enerzijds dragen die reeds in zeer kleine ge-wichtsconcentraties zeer veel bij tot de theoretische osmotische druk, anderzijds wordt deze bijdrage op een ondoorzichtige manier verminderd als gevolg van de permeabiliteit van het membraan voor deze moleculen. Een ideaal semi-permeabel membraan dat de opgeloste moleculen helemaal tegenhoudt is meestal onvoldoen-de permeabel voor het oplosmidonvoldoen-del.

Wanneer het polymeer echter bevrijd wordt van laagmoleculaire bestanddelen, dan geeft de meting van de osmotische druk belangrijke informatie over het moleculair-gewicht en - door vergelijking van de aldus bepaalde waarde van

M

_{n met}

Mw

-over de distributie van moleculairgewichten.

Van groot belang is ook informatie over de concentratie-afhankelijkheid van de osmotische druk. Aangezien de wet van Raoult alleen opgaat in de limiet van zeer hoge verdunning is het noodzakelijk voor de bepaling van deze limiet om de meting uit te voeren bij verschillende lage concentraties en de grootheid njc te extrapole-ren naar c + O.

De afwijking van (2.27) bij hoge concentratie wordt beschreven door een factor A2' die in analogie met gassen, de tweede viriaalcoëfficiënt wordt genoemd. Deze grootheid is gedefinieerd door de vergelijking

n _

I 2

--RT[-M+ Ac + Ac + ... ]

c 2 3 (2.28)

waarin A₂ de tweede en A3 de derde viriaalcoëfficiënt is. De viriaalcoëfficiënten A₂ en A3 hangen af van de wisselwerking tussen de opgeloste moleculen in het oplosmiddel en in mindere mate van het moleculairgewicht. In zeer goed oplos-middel zullen de moleculen van de twee componenten veel vrije energie winnen bij menging. Als gevolg hiervan zal de osmotische druk hoog zijn en A2 en A3 groot. In een slecht oplosmiddel is A₂ klein en bij temperatuurverlaging wordt A₂ vaak nog kleiner. In slechte oplosmiddelen kan men dan ook vaak een tempe-ratuur bereiken waarbij A₂ = O. Deze temperatuur wordt de 8-temperatuur genoemd,

T =

e

(A

2 = 0) (2.29)

en speelt een grote rol in de thermodynamica van po1ymeer-oplossingen. Wanneer een polymeer met hoog moleculairgewicht wordt opgelost in een zeer goed oplosmiddel, dan is de eerste term tussen haken in (2.28) zeer klein en wordt deze al bij lage concentratie ver overtroffen door de tweede. In dat geval is het

moeilijk de extrapolatie van c + 0 nauwkeurig uit te voeren. Figuur 2.1 geeft

sche-T>8 TT RTc

t

Î-~ __________________ ___ M3 1 M2 1 M1

- c

T=8 fig. 2.1. de relatie tussen TT en c voor verdunde oplossingen

matisch het verloop van

nlc

tegen c voor verschillende waarden van M. We zien dat voor grote M de tweede term in de reeksontwikkeling (2.28) al gauw gaat over-heersen. We zien ook, dat de helling A

2 van de kromme langzaam toeneemt met

afnemend moleculairgewicht. Dit verschijnsel zal besproken worden bij de behande-ling van de thermodynamica van oplossingen.

De derde viriaalcoëfficiënt in (2.28), A3' wordt bepaald door de wisselwerking tus-sen 3 opgeloste moleculen. Deze wisselwerking zal in sterke mate bepaald worden door de factoren die ook bepalend zijn voor de waarde van A

2 •

Daarom schrijft men in plaats van (2.28) ook wel

n

n

- = (-) [I + r c + gr2 c2

l

c c 0 2 2 (2.30)

Experimenteel blijkt dan g voor veel systemen ongeveer de waarde g = 0,25 te heb-ben. Indien g = 0,25 mag men (2.30) schrijven

(!!)~

=

(!!)~

[1 +

r

2

cl

c c 0 2

(2.31) een vergelijking die de extrapolatie naar c + 0 soms vergemakkelijkt.

Bij de behandeling van de thermodynamica der oplossingen zal blijken dat A

2

lang-zaam (ongeveer evenredig met M-1/5) afneemt met toenemende M. Uit de experi-menteel gevonden benaderde geldigheid van (2.30) en (2.31) volgt dan dat A3 toe-neemt met toenemende M, want f₂ = MA₂ en A3 = gr~M = gA~M (evenredig M315). Bij hogere concentraties wordt de osmotische druk onafhankelijk van het molecu-lairgewicht en alleen afhankelijk van de segmentconcentratie. De eindgroepen spelen dan een ondergeschikte rol. De Gennes heeft aannemelijk gemaakt, dat in goede op-losmiddelen bij hoge concentratie de osmotische druk evenredig met c9/S wordt,

dus n/c evenredig met c4/S, terwijl,bij T = G, n;c evenredig wordt met c2_.

Schema-tisch is dit afgebeeld in figuur 2.2.

TT RTc

t

- c

T>O

TT RTc

t

- c

T=O

fig. 2.2. de relatie rr-c voor geconcentreerde oplossingen, schematisch

23. Lichtverstrooüng

Belangrijke informatie kan ook worden verkregen door meting van de lichtverstrooi-ing van polymeer-<>plosslichtverstrooi-ingen. Niet alleen het gewichtsgemiddelde moleculairgewicht

kan hiermee worden bepaald maar ook de tweede viriaalcoëfficiënt A₂ en voor

gro-te moleculen de gyratiestraal R . _g

Aangezien de moleculen weliswaar groot zijn maar toch niet zo groot dat de oplos-singen een duidelijk troebele indruk maken gaat het om meting van lichtverstrooüng aan oplossingen die op het oog helder zijn. De totale troebelheid, de vermindering van de intensiteit van het licht in de richting van de lichtstraal is dus klein en moei-lijk meetbaar. Beter meetbaar is de verstrooÜllg in richtingen die een hoek 0 maken met de invallende straal, omdat de intensiteiten weliswaar klein zijn maar recht even-redig met de intensiteit van de invallende straal, die zeer groot kan worden gekozen. a. Statische lichtverstrooiing

De gedachte om moleculairgewichten te bepalen uit de intensiteit van het licht ver-strooid door een oplossing is afkomstig van onze landgenoot Debye (1944). Hij rea-liseerde zich dat het verstrooien van licht door materie gevolg is van de moleculaire structuur van de materie, met name van de dichtheidsfluctuaties die daarvan het gevolg zijn.

Dat de intensiteit van de lichtverstrooÜllg evenredig is met het gewichtsgemiddelde moleculairgéwicht is het gevolg van het feit dat onder gelijke omstandigheden de in-tensiteit van het licht verstrooid door deeltjes van verschillend gewicht evenredig is met het kwadraat van het gewi~ht van het deeltje. Dit is dan weer het gevolg van het feit, dat de amplitudo van de verstrooide golven evenredig is met het gewicht, terwijl de intensiteit evenredig is met het kwadraat van de amplitudo. Wanneer de lichtintensiteit evenredig met het gewicht zou zijn i.p.v. met het kwadraat, dan zou de totale intensiteit alleen afhangen van de totale gewichtsconcentratie en bij gege-ven concentratie onafhankelijk zijn van het moleculairgewicht.

De evenredigheid tussen de intensiteit van het verstrooide licht en het moleculairge-wicht geldt echter alleen als de concentratie zeer klein is zodat er geen interferentie optreedt tussen de verstrooide golven van verschillende deeltjes en de deeltjes boven-dien zo klein zijn dat er ook geen interferentie binnen het deeltje optreedt.

Voor-waarde hiervoor is dat de gyratiestraal kleiner is dan de golflengte van het gebruik-te licht:

R _g <À

Onze bespreking van de lichtverstrooiing valt dus uiteen in drie delen: 1. verstrooiing door kleine deeltjes (R

<

À) in zeer verdunde oplossing;

I g

2. het effect van de concentratie;

3. het effect van de deeltjesgrootte als R ;;. À. g

(2.32)

Steeds beschouwen we een polymeeroplossing geplaatst in een lichtbundel en voor-zien van een meetinstrument dat de intensiteit meet in een richting die een hoek

e

maakt met de invallende lichtbundel en op een afstand r van het verstrooiende deel-tje. Het vlak door de invallende en gemeten bundel is het horizontale vlak, de rich-ting loodrecht hierop is verticaal.

Ad 1.

De lichtverstrooiing wordt teweeg gebracht door fluctuaties in de polariseerbaarheid. In een medium met uniforme polariseerbaarheid wordt het licht niet verstrooid. Es-sentieel voor de bepaling van het moleculairgewicht is dan ook dat er verschil in po-lariseerbaarheid is tussen het oplosmiddel en de daarin opgeloste stof. Dit verschil kan bepaald worden uit de afhankelijkheid van de diëlectrische constante E, of de brekingsindex ft, met de concentratie. Als er n

l moleculen opgeloste stof per volu-me-eenheid zijn met een extra polariseerbaarheid a_e, dan veroorzaken deze een ver-andering van E gegeven door

E - E _o = 41Tn a

I e

Bepaald wordt de verandering van de brekingsindex met c, ddft, waaruit _c

a

e afgeleid via de relatie

=

ft2 _ ft 2

=

2ft

~fi

=

2ft dft c

E - Eo 0 0 0 dc in verdunde oplossing (ft

o

= brekingsindex oplosmiddel).

Uit (2.33) en (2.34) volgt voor _ae c _ dft ftoM dft

a = - - n =

-e 21Tn

i 0 dc 21TNavdc

want c, de concentratie in gram per volume-eenheid, is gegeven door

(2.33) wordt

(2.34)

(2.35)

(2.36) Gemeten wordt de intensiteit, 1

0, van het licht dat verstrooid wordt onder een hoek

e

met de invallende bundel. Aangezien 10 omgekeerd evenredig is met r2, waarin r de afstand van het strooicentrum tot de collimator is, is het gebruikelijk om de in-tensiteit van de lichtverstrooiing uit te drukken in de Rayleigh-verhouding

R =

~

r2

e

10 (2.37)

waarin 10 de intensiteit van het invallende licht = E~ als Eo de amplitudo van de veldsterkte is. Re hangt af van het verstrooiende volume v, het volume dat zich te-gelijkertijd in de invallende bundel en in het gezichtsveld van het meetapparaat be-vindt. Dit volume hangt af van de apparatuurconstanten, die door ijking met stoffen

met bekend strooiend vermogen bepaald kunnen worden. Ook kan v afuangen van

f) en van no.

(2.38) Bovendien hangt Re af van f), doordat van de horizontale component van het strooi-licht slechts de component met amplitudo Eh(f) = EV(O) cosf) wordt verstrooid, dus Ih(f) = IV(O) cos2f). Voor de verticale component geldt daarentegen IV(f) =

IV (0) = IV. Als het invallende licht niet gepolariseerd is, is IV (0) = Ih (0) en dus de totale intensiteit 1(f)

(2.39) De bundel is dus gepolariseerd behalve voor f)

=

0° en f)

=

180° en de intensiteit is symmetrisch rondom f) = 90° en maximaal voor f) = 0° en 180°.

Aangezien nu EV evenredig is met aeEo is IV, de intensiteit van het strooilicht van één deeltje evenredig met

a;

1

0, dus de totale intensiteit van het verstrooide licht

Ie evenredig met n

i

a;

10. Dit in (2.37) en (2.39) geeft

(2.40) waarin Keen evenredigheidsfactor die apparatuurgrootheden bevat, die van

e

en no kunnen afuangen en die verder evenredig is met

n~

en

(~~)2.

Ingeval de opgeloste stof heterodispers is, dus een gewichtsconcentratie c

i bevat van moleculen met moleculairgewicht

M.;

1 is het aldus gemeten moleculairgewicht het _ gewichtsgemiddelde moleculairgewicht Mw. Immers in dat geval is

l: _ciMi

Re

=

~ Ri(f)

=

K(1

+

cos2f) C

=

K(1

+

cos2f)cM (2.41)

1 l: c. W

1 Ad 2.

Bovenstaande afleiding geldt alleen als de oplossing zeer verdund is, nI. zo verdund dat de totale lichtverstrooiing de som is van de verstrooiing van de afzonderlijke deeltjes. Bij grote concentraties is de lichtverstrooiing der afzonderlijke deeltjes niet langer additief. In dat geval moet men de lichtverstrooiing per volume-element-je

DV

beschouwen en vervolgens over het totale volume integreren. Het zal dan blij-ken dat de aldus bereblij-kende waarde van Re niet afuangt van de grootte van de volu-me-elementjes.

Wanneer de instantane polariseerbaarheid van één volume-elementje gelijk is aan

a DV

en de gemiddelde polariseerbaarheid per volume-eenheid van het hele systeem

e

is

_ao'

dan is

a

_v =

_ao

+

~a dus

De gemiddelde waarde van a 2 is

V

(2.42) want <~a> = 0 en ,daar tot de lichtverstrooiing alleen fluctuaties in de polarisatie bijdragen,is de intensiteit van het licht verstrooid door één volume-elementje even-redig met «Dv~a)2>. Daar er per volume-eenheid

I/DV

elementjes zijn is de totale intensiteit Ie per volume-eenheid evenredig met

(2.43)

waarin C een evenredigheidsconstante is. Fluctuaties L\a zijn afkomstig van fluctuaties van dichtheid en van concentratie. Wanneer we voor Ie nemen de intensiteit van het strooilicht van de oplossing verminderd met die van het zuivere oplosmiddel en ver-onderstellen dat het effect van de dichtheidsfluctuaties in beide hetzelfde is, dan is Ie uitsluitend afkomstig van concentratiefluctuaties. We moeten dus onderzoeken hoe (L\a)2 afhangt van fluctuaties in de concentratie. Al direct is in te zien dat deze verband zullen houden met de concentratieafhankelijkheid van de osmotische druk. Immers in een zeer goed oplosmiddel neemt de osmotische druk sterk toe met de concentratie, wat betekent dat de opgeloste moleculen elkaar afstoten. Daardoor zullen bij hogere concentraties de concentratiefluctuaties relatief kleiner zijn dan in een slecht oplosmiddel.

We schrijven

«L\a)2> = (da)2 (d:)2

(d~)2

«L\n)2>

dE dn dn (2.44)

H" . . _{lerm IS} da _dE

₌

_{41T '} I _dfi dE

₌

2_{n en wegens} - (2 36) _{. diï} dfi

₌

_N

M dfi _{dc en n} - " _IS d _{e geml e e} 'dd ld

av

deeltjesconcentratie. Berekend moet worden «L\n)2 >. Altijd is +- L\G

f

(L\n? exp [ - kT ) dL\n «An)2> = - - - (2.45) +- AG

_L

exp [- kT ) dL\n

Het gaat erom AG te berekenen als functie van An. AG is de osmotische arbeid die verricht moet worden om een fluctuatie ïi tot ii + L\n tot stand te brengen

t::.v

L\G

=

f

[n(ii+L\n) - n(ii») dL\v o

Beschouwen we weer de nov moleculen in het volume-elementje ov dan is het aantal moleculen tijdens de fluctuatie niet veranderd, dus

dus

nov = (ov - L\v)(fi + L\n)

L\v =

OV

_L\n

n

Ontwikkelen we nu de osmotische druk naar L\n

n(n

+

An) = n(n) + L\n

"

~~

dan wordt (2.46)

L\G = În (d!!) o_v L\n d(L\n) =

1.

d!!

~v

(L\n)2 o dn\ n 2 dn n

Hiermee kunnen de integralen in (2.45) worden berekend. Met

(2.46)

(2.47)

(2.48)

(2.50) +~

z z

J

e-a x dx volgt uit (2.49) en (2.45): «.6.n)z> = kTïi dIl DV diï

Dit in (2.44) onder invulling van de daarin voorkomende grootheden geeft

kTc dIl DV diï

dIl M dIl

wegens (2.36) is - = - - en uit (2.28) volgt diï N dc av dIl 1 dc = RT[M + _{2Az c} + ... 1 (2.51 ) (2.52) (2.53) In (2.52) zien we dat «.6.a)z> omgekeerd evenredig is met DV, zodat in (2.43) lIJ' de intensiteit van het verstrooide licht per volume eenheid,

I

onafhankelijk is van

DV. Na enig omwerken levert substitutie van (2.52) en (2.53) in (2.43) en vergelij-king met (2.40)

(2.54)

Als c + 0 leidt dit tot (2.40).

We zien dat de coucentratieafhankelijkheid van RIJ bepaald wordt door dezelfde coëfficiënt Az, die ook de concentratie afhankelijkheid van de osmotische druk bepaalt. Door de grootheid K( 1 + cosz 0 )c/RIJ uit te zetten tegen c ontstaat een curve die een inter cept met de ordinaat gelij k aan l/M en een helling tg (3 = 2Az

vertoont. Ad 3.

Tot dusver is verondersteld dat de verstrooiende deeltjes klein zijn vergeleken bij À. de golflengte van het licht, zodat er geen rekening gehouden is met interferentie binnen het verstrooiende deeltje. Veel macromoleculen hebben echter afmetingen die vergelijkbaar zijn met À.. In dat geval kan meting van de lichtverstrooiing naast informatie over M en Az ook informatie verschaffen over afmetingen van het ma-cromolecuul.

Het effect van de intramoleculaire interferentie kan worden beschreven met een grootheid P(O), gedefinieerd door

(0)

=

~

=

intensiteit van het strooilicht met faseverschillen P I(O)A=O intensiteit bij afwezigheid van faseverschillen

Te verwachten is dat P(8) kleiner is dan 1 en gelijk aan I is voor 8 = O. We be-schouwen nu een molecuul van willekeurige vorm bestaande uit p segmenten met gelijke massa m en gelijk verstrooiend vermogen.

opvallend licht .. !. fig. 2.3. lichtverstrooiing ~!j. ~~...-_I.d. s.gm.nt t t

We beschouwen een segment i met afstandsvector !j tot het zwaartepunt. Het weg-verschil tussen het licht verstrooid door segment i en door een segment in het zwaartepunt in. de richting 8 is

..0.s. = r .• (s - s) = 2r.sin

18

1 - I -0 - 1 2 (2.56)

waarin ~ en §. de eenheidsvectoren zijn in de richtingen van het invallende en het

waargenomen licht respectievelijk en 8 de hoek tussen deze vectoren. Het fasever-schil is dan

(2.57) waarin Q

=

2;: (li_o - §) en aangezien llio - lil

=

2 Sin! 8 , het verschil tussen twee eenheidsvectoren met een hoek 8, is

I I

a = -41T sm-o . III

À 2 (2.58)

De intensiteit van het licht verstrooid in de richting 8 door alle deeltjes tesamen wordt berekend door 'de electrische veldsterkten afkomstig van alle deeltjes, op te tellen en de som te kwadrateren.

Schrijven we voor de electrische veldsterkte van de verticale component in de rich-ting 8: E~(8) en kiezen we voor een segment in het zwaartepunt

E'(8) = A cos wt

v (2.59)

dan is de bijdrage van de deeltjes tot E' (8)

v

E'(8) = 1; A cos(wt-t,.)

v i 1

We vinden dan voor 1(8)

of

(2.60)

waarin p het aantal deeltjes en

1(8)~=o = A2p2(1 + cos28)

De som in het rechterlid van (2.60) wordt in Appendix 2B berekend. Het resultaat ingevuld in (2.55) blijkt voor P(8) op te leveren

a

2

P(8) = I - -- :E

r?

3p i I De gyratiestraal R is gedefinieerd door

g :E m.r~ R2= i I I g :E m. i I

zodat de einduitkomst luidt

:E

r?

p i I

(2.62)

(2.63)

Deze betrekking geldt alleen voor hoge verdunning, dus voor c --+ O. Immers bij hogere concentratie gaat naast de intramoleculaire interferentie ook de inter-moleculaire interferentie een rol spelen in 1(8).

Voor c--+O vinden we nu met (37), (41), (54), (55) en (63)

(2.64)

Samenvattend kunnen we door meting van lichtverstrooiing als functie van 8 en c informatie krijgen over M, A2 en Rg'

Zimm heeft een elegante methode bedacht om de grootheden samen te vatten in één grafiek, het zgn. Zimm-diagram.

K(l

+

cos2 8 )c . . 2 1 8

Daartoe wordt R UItgezet tegen sm

2

+

kc. De constante k kan

()

willekeurig gekozen worden, waarbij het wenselijk is deze zo klein te kiezen dat de hellingen van de curven bij constante 8 behoorlijk verschillen van die bij con-stante c. De meetresultaten geven dan een ruitjespatroon als in fig 2.4.

fig. 2.4. Zimm-diagram C=O (2.64) 6, 2A tg{3=_2 k 6=0 (2.54)

~IL-

_________ ,,

____

s_in_2~!_9_+k_c

__

Het kan aantrekkelijk zijn k negatief te kiezen om te bereiken dat de figuur zich uitstrekt in het gebied met negatieve abscis.

b. Dynamische lichtverstrooiing

Geheel nieuwe perspectieven voor het karakteriseren van macromoleculen door middel van meting van lichtverstrooiing zijn ontstaan door het beschikbaar komen van lasers en van electronische schakelingen die het mogelijk maken zgn. autocor-relatiefuncties te meten van fluctuerende signalen.

De hoge intensiteit en de uitzonderlijke spectrale scherpte en coherentie van het licht van lasers maakt het mogelijk zeer kleine frequentieveranderingen te meten die optreden in het licht dat verstrooid wordt door een bewegend deeltje. Uit deze frequentieveranderingen kan de diffusieconstante, D, van het verstrooiende deeltje worden berekend.

Deze grootheid kan ook op twee manieren worden gemeten met behulp van een autocorrelator (homo dyne en heterodyne methode).

Onder de autocorrelatiefunctie van een tijdsafhankelijk, niet-periodiek signaal A(T) verstaan we de grootheid

<A(Q) A(T» = lim Tl

J

dt A(t) A(t+T)

T+~ 0

(2.65)

Voor zeer grote waarden van T verdwijnt de correlatie tussen A(t) en A(t+T), zodat

lim <A(Q) A(T» = <A(Q»<A(T» = <A>2 (2.66) Verder is in te zien dat

<A(Q)2> ;;.. <A(Q) A(T» (2.67)

Immers wanneer (2.65) als een som wordt opgevat, dan bevat het linkerlid van (2.67) alleen positieve termen en het rechterlid ook negatieve, toenemend in aan-tal met toenemende T.

De autocorrelatiefunctie van een fluctuerend signaal A is dus een afnemende func-tie van T, beginnende met de waarde <A(Q)2> = <A2> en eindigende met <A>2. Vaak kan het verloop van deze functie beschreven worden met een enkele karakte-ristieke tijd, T

r, de relaxatietijd van het betreffende signaal, aldus

(2.68)

De relaxatietijd is karakteristiek voor het proces dat aanleiding geeft tot het fluc-tuerende signaal. In het geval van lichtverstrooiing door een macromolecuul is de-ze tijd omgekeerd evenredig met de diffusieconstante en van de orde van grootte van de tijd die het macromolecuul nodig heeft om over een afstand van de golf-lengte van het licht te diffunderen. Tussen de diffusieconstante, D, en de auto-correlatie-relaxatietijd van het verstrooide licht blijkt de volgende relatie te bestaan

(2.69)

waarin a =

~

sin

~e

(2.58).

We zien, dat de meetbare grootheid TG afhangt van de verstrooiingshoek

e

en

Bij deze metingen is het fluctuerende signaal, A(t), de respons van een fotomulti-plier op het invallende licht. Er zijn dan twee manieren om de relaxatietijd van de autocorrelatiefunctie van het verstrooide licht te meten, de homodyne methode, waarbij de fotomultiplier alleen het direct verstrooide licht opvangt, en de hetero-dyne methode, waarbij het verstrooide licht wordt gemengd met een deel van het invallende laserlicht, dat een veel hogere intensiteit heeft. Aangezien het invallende laserlicht coherent is gedurende de tijdsduur van de concentratiefluctuaties, zijn ook bij de heterodyne methode de fluctuaties afkomstig van het strooilicht. Met beide methoden wordt dus dezelfde relaxatietijd bepaald, maar de gemeten groot-heden zijn verschillend. In de homodyne methode meet men

, de homodyne correlatiefunctie en in de heterodyne methode

I

I

==

<E(O) E(t» , de heterodyne correlatiefunctie, waarin E de amplitudo van de lichtgolf, E2 = I, de intensiteit.

De derde methode om de diffusieconstante te bepalen is door meting van de spec-trale intensiteit van het strooilicht I(w) als functie van w = W

s - wi' waarin Ws en w_i de frequentie van resp. het strooilicht en het invallende laserlicht. Aangetoond kan worden dat I(w) en I

1 elkaars Fourier-transformaties zijn. Wanneer de één be-paald is kan de ander berekend worden.

Voor het karakteriseren van macromoleculen is het van groot belang, dat er drie manieren zijn, waarmee snel de diffusie constante kan worden bepaald. Deze me-thoden zijn aanzienlijk sneller dan de tijdrovende meting van de verandering van de brekingsindexgradiënt, die vroeger nodig was voor de bepaling van D. Een zeer goed overzicht van de theorie en de mogelijkheden van deze optische methoden geven Berne en Pecora (1976).

Meting van lichtverstrooiing is aldus een machtig hulpmiddel voor het karakterise-ren van macromoleculen. Lichtverstrooiing kan informatie verschaffen over M, A2' R en D en heeft tegenover de meting van viscositeit en sedirnentatiesnelheid het

g .

voordeel dat de moleculen met aan krachten worden onderworpen.

2.4. Sedimentatie

Omstreeks 1927 ontwikkelde Svedberg in Uppsala de ultracentrifuge, een centrifu-ge met een zo hocentrifu-ge omwentelingssnelheid dat macromoleculen in een oplossing tot sedimentatie werden gebracht. Svedberg ontwikkelde daarbij een optisch systeem dat het mogelijk maakte het verloop van het sedimentatieproces te volgen, hetzij door meting van de brekingsindexgradiënt dnldr, hetzij door meting van de licht-absorptie, beide als functie van de afstand r tot de rotatie-as, de tijd t en de rotatiesnelheid

w.

Bepalend voor het sedimentatieproces zijn: I e de veldsterkte w2r; 2e de deelt jes-massa MIN ; 3e het verschil in dichtheid van oplossing en opgeloste stof,

uitge-av

drukt in de Archimedesfactor (1 - VIP), waarin VI het specifiek volume van het polymeer en P de dichtheid van de oplossing. De centrifugale kracht uitgeoefend op het deeltje is dan

M - ) 2

F = - ( 1 - v p w r

c N 1 (2.70)

De ultracentrifuge kan zowel analytisch als preparatief worden gebruikt. In het analytische gebruik kan men van een homogene oplossing uitgaan dan wel van een oplossing met een dichtheidsgradiënt of uit twee lagen bestaande. En tenslotte kan men bij hoge draaisnelheid de sedimentatiesnelheid bepalen of bij lage draaisnelheid het sedimentatie-evenwicht.

Hier bespreken we alleen de bepaling van sedimentatiesnelheid en sedimentatie-even-wicht in homogene oplossingen van macromoleculen. Voor de' bepaling der sedimen-tatiesnelheid is een toerental van 1000 omwentelingen per seconde normaal, voor bepaling van het sedimentatie-evenwicht een toerental van 150 per seconde. Nor-male afmetingen van de rotor en de cel zijn rbodem R: 72 mm en

r - r R: 13 mm, de hoogte h R: 12mm(zie fig. 2.5). De cellen zijn

bodem meniscus

fig. 2.5. de uJtracentrifugecel

s.:ctorvormig, met een sectorhoek

e

= 4°, zodanig dat de wanden in de richting van de rotatie-as staan. Als derde methode bespreken we de zgn. Archibald-metho-de die sommige voorArchibald-metho-delen van Archibald-metho-de snelheids- en Archibald-metho-de evenwichtsbepaling combineert. Verreweg het meest toegepast is de meting van de sedimentatiesnelheid. Voordeel van deze methode is, dat zij weinig tijd kost en snel informatie geeft over één mo-leculaire parameter, s, de sedimentatieconstante,of, in het geval van een mengsel van scherpe fracties - met name bij eiwitten en andere biopolymeren -, over de aanwezigheid van meer componenten in een polymeer. N~deel van deze methode is dat zij op zichzelf geen exacte waarde van M oplevert. Om die uit s te kunnen berekenen moet ook de diffusie constante worden bepaald. Nadeel is ook dat de piek in de curve van de brekingsindexgradiënt, waarvan de verplaatsingssnelheid bepaald wordt, verbreed wordt door diffusie en in het geval van een heterodispers polymeer ook door de snelheidsverschillen der COmponenten.

Voordeel van de bepaling van het sedimentatie-evenwicht is dat deze op zichzelf exacte informatie geeft over het gemiddelde en de distributie van moleculairge-wichten. Nadeel is echter dat de instelling van het evenwicht vaak zeer veel tijd kost en dat de mathematische verwerking der resultaten bewerkelijk is.

a. Sedimentatiesnelheid (zie fig. 2.6)

Men meet bij constante hoeksnelheid w de snelheid dr*/dt, waarmee de piek in dc/dr, gemeten d.m.V. du/dr, zich verplaatst. In de stationaire toestand is de cen-trifugale kracht (2.70) gelijk aan de wrijvingskracht f· dr/dt, waarin f de frictie-coëfficiënt van het macromolecuul, dus

M _ 2 dr*

NO -

vlP)w r* = f

dt

av

(2.71) Men noemt de verhouding van dr/dt en w2 r de sedimentatiecoëfficiënt s; voor r* neemt men de coördinaat van het maximum of ook het zwaartepunt van de piek

1 s = -- w2_r* dr* M dt = N f O - VlP) av (2.72)

fig. 2.6. het verloop van e(r) en

de b" d' .

dr met t IJ se Imentatle-snelheidsmeting

r

m

ri

ri

rj

rb

Om uit meting van s, M te kunnen bepalen moet men f kennen. Deze grootheid hangt samen met de diffusiecoëfficiënt door de relatie van Einstein

zodat

f

kT (2.73)

(2.74) Dit is de relatie van Svedberg. Van een homodispers polymeer kan M bepaald wor-den door meting van s en D. De piek van de snelheidsgradiënt in fig. 2.6 wordt met toenemende tijd breder door diffusie, maar blijft symmetrisch.

Als het polymeer heterodispers is, moet men de relatie tussen s of D en M kennen om te weten welke gemiddelde waarde van M op deze manier bepaald wordt. We

zullen in hoofdstuk 7 zien dat voor de relatie tussen f en M geschreven kan worden f

=

const· Mb

waarin b = 1/2 als T =

e

en 0,5

<

b

<

0,6 als T

>

e.

Uit (2.73) en (2.74) volgt voor s:

s = KM(l-b)

waarin K een constante.

(2.75)

(2.76)

Voor een heterodispers polymeer kunnen de pieken in fig. 2.6 op een asymmetri-sche manier verbreed worden en kan de bep~ling van dr*/dt onzeker worden. Bo-vendien neemt f toe met toenemende concentratie

f(c) = f(O) (1 + kc) (2.77)

Voor de bepaling van M moet dus de gemeten waarde van s worden geëxtrapoleerd naar c + O. De concentratieafhankelijkheid van s kan echter de vorm van de piek in ac/ar eveneens befuvloeden. Een extra complicatie wordt nog gevormd doordat f en dus ook s afhangen van de druk. De hydrostatische druk neemt bij hoge toeren-tallen met toenemende r sterk toe, zodat dit drukeffect niet verwaarloosd mag wor-den maar in rekening gebracht moet worwor-den.