Elektrische en magnetische velden

- .

-

.

-Elektrische en magnetische velden

door ir. A. Henderson

Henderson, A.

Elektrische en magnetische velden / A. Henderson. - Delft: Vereniging voor Studie- en Studentenbelangen te Delft: Delftse U.M. -lll.

Met lit. opg.

ISBN 90-6562-027-3 SISO 535 UDC 537

Trefw.: elektriciteit / magnetisme.

©

VSSD 1988

Eerste druk 1983 Tweede druk 1988

Delftse Uitgevers Maatschappij b.v.

P.O. Box 2851, 2601 CW Delft, The Netherlands Tel. 015-123725

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieên, opnamen, of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.

All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a

retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic,

mechanical, photocopying, recording, or otherwise, without the prior written

permission of the publisher.

-...

-

- - - -- -

_.~-5

Voorwoord

In dit boek wordt de theorie van de elektrische en magnetische velden voor tech-nici behandeld; daarbij wordt naast de noodzakelijke formules ook aandacht ge-geven aan de ontwikkeling van het fysische inzicht.

In een inleidend hoofdstuk wordt een beknopt overzicht gegeven van de vector-algebra. Daarna volgen de elektrostatica, de elektrische stromen en magnetische velden en vervolgens de wetten van Maxwell in integraalvorm. Daarbij komen ook de voor de netwerktheorie noodzakelijke wetten van Kirchhoff naar voren. Ten-slotte volgen de wetten in differentiaalvorm, waarbij tevens wordt ingegaan op de beginselen van de vector-analyse en een rekenvoorbeeld van golven.

Er is een aantal vraagstukken met een antwoordlijst opgenomen. Ik dank ir. W. Buijze voor zijn opbouwende kritiek.

Voorwoord bij de tweede druk

Zomer 1983 A. Henderson

De tekst is hier en daar wat aangevuld, er zijn enkele fouten hersteld en er zijn verscheidene vraagstukken toegevoegd.

Voorjaar 1988 A. Henderson

Inhoud

F orm ule-overzich t

Symboliek

O. OVERZICHT VAN DE VECTORALGEBRA 1. ELEKTROSTATICA

1. Lading, veld en kracht 2. Ladingsdichtheid 3. Fluxdichtheid

4. Het theorema van Gauss 5. Polarisatie 6. Influentie 7. Spanning en potentiaal 8. Geleiders 9. De elektroscoop 10. Capaciteit

11. Breking van veldlijnen

12. De energie van het elektrostatische veld 13. De elektrische dipool

2. ELEKTRISCHE STROMEN EN MAGNETISME 1. Elektrische stroom. De stroom wet van Kirchhoff 2. De condensator als netwerkelement

3. De wet van Ohm 4. Bewegende lading 5. Krachten tussen stromen 6. Fluxdichtheid

7. Het hall-effect 8. De regel van Ampère 9. Magnetische flux 10. De spoel in vacuüm

11. De inductiewet van Faraday 12. De spoel als netwerkelement 13. De spanningswet van Kirchhoff 14. De permanente magneet 15. De magnetische dipool 16. Diamagnetisme 17. Paramagnetisme 18. Ferromagnetisme

19. De energie van het magnetische veld 20. De formule van Hopkinson

21. Het skin-effcct

22. De wetten van Maxwell

8 9 11 14 16 17 18 20 21 22 28 29 31 34 35 37 40 42 42 43 45 46

47

48 52 53 56 57 59 60 60 62 63 63 65 66 67 68

3. DE DIFFERENTIAALVORM VAN DE WETTEN 1. Inleiding

2. Nab1a, divergentie en gradiënt 3. Rotatie

4. ELEKTROMAGNETISCHE GOLVEN 1. Inleiding

2. Rekenvoorbeeld 3. De vector van Poynting 5. VRAAGSTUKKEN 6. ANTWOORDEN 7. LITERATUUR INDEX 69 69 71 74 74 77 79 99 103 104 7

Formule-overzicht

Elektriciteit F=QE

Q

=

JIJ

pd(vol)

Q

=

IJ

adA Q=J MI D=EE E

=

EoEr

1fo-

D·n

dA

~

Q

IJ

D·n

dA = 'I' <fo. E·dl = 0 B UAB =

JE'dl

V=...sL

41tER C__{- d} EA Dn en El zijn continu w=lDE 2

p=QI

T=pxE i = JJY.ïïdA J

=

yE u

=

Ri R=_l yA . C du 1=

Tt

J=pv

idl=vdq Magneti..<:me dH=IdlxR

H-~

41tR3

-

41tIlR~ dF = Idl x B dF = dQv x B F = cl>H B =IlH 11 = Ilollr lfïEidA= 0

IJ B·n

dA = cl> <fo.

H-

dl

= I Iln2A L= I Bn en Hl zijn continu 1

w=ï

BH

m:

=!l1Aïï

T=mxH (AW) = Rmcl>

~ - - - -- -, ~

--

- - - -~

9

Symboliek

eenheid

Aantal ampère-windingen (AW) A

Aantal windingen n

Absolute permeabiliteit Po Vs/Am

Absolute permittiviteit EO As/Vm

Afstand a, /, r, s, x, y, z m

Ampèrewindingen (AW) A

Arbeid W J

Capaciteit C F = As/V

Dipoolmoment (elektrisch) p Cm = Asm

Elektrische flux 'Ir C= As

Elektrische flux dichtheid D C/m2 = As/m2

Elektrische veldsterkte E Vlm

Energie W J

Energiedichtheid w J/m3

Hoek a,(3,

r

rad

Inductiespanning e V

Koppel T Nm

Kracht F N

Lading Q, q C

Lineieke ladingsdichtheid À Cim

Magnetisatie M A/m

Magnetische flux <l> Vs

Magnetische flux dichtheid B Vs/m2

Magnetisch moment m Vsm

Magnetische veldsterkte H A/m

Magnetische weerstand Rm A/Vs

Massa m kg Normaal n Oppervlakte A m2 Oppervlakteladingsdichtheid a C/m2 Polarisatie P C/m2 Poolsterkte <l> Vs Potentiaal V V Relatieve permeabiliteit _Pr Relatieve permittiviteit Er

Ruim teladingsdich theid p C/m3

Snelheid v mis

Soortelijke geleiding

_r

A/Vm

Spanning U, u V Straal R, r m Stroom I, i A Stroomdichtheid J A/m2 Tijd T, t s Volume vol m3 Zelfinductie L H = Vs/A

O.

Overzicht van de vectoralgebra

Een scalar heeft alleen een grootte. Voorbeeld: de temperatuur T. Een vector heeft een grootte en een richting. Voorbeeld: kracht, snelheid. Een sc al ar geven we aan zonder streepje, bijvoorbeeld de energie W, een

vec-11

tor geven we aan met een streepje boven het symbool, bijvoorbeeld de kracht

F3·

Beide grootheden kunnen functies zijn van de plaats in de ruimte en van de tijd:

W = W(x,y,z,t) (0.1)

F

= F(x,y ,z, t) (0.2)

Een veld is een vectorfunctie in de ruimte.

Scalars mogen numeriek worden opgeteld, bijvoorbeeld Wj

= 22 en W

2

= 14;

hier-uit volgt Wj

+

W2 = 36.

Vectoren moeten vectorisch worden opgeteld, zie figuur 0.1.

Fig. 0.1. We schrijven (a)

F

₁ (b) (0.3)

In figuur O.l.a is de parallellogram-constructie uitgevoerd, in figuur O.l.b hebben we de 'kop-aan-staart' constructie.

Een vector in een loodrecht assenkruis wordt aangegeven met zijn ontbondenen in de X-, y- en z-richting, zie figuur 0.2.

z Fig. 0.2.

o

y ----~7J

I

. / F x

,

-.,...

_v

x

We schrijven

(OA)

De assen worden rechtscyclisch gekozen, dat wil zeggen: als we de x-as over 90° draaien naar de y-as, geeft de rechtse schroefbeweging de richting van de z-as. De eenheidsvector langs de x-as noemen we

I,

die langs de y-as heet

I

en die langs de z-as heet

k.

Is

R

een vector met zijn voet in de oorsprong, dan kunnen we dus schrijven:

R

=

xl

+

yI

+ zk. (0.5)

De lengte van een vector geven we aan zonder streepje, dus

IRI

= R. (0.6)

Het inwendige product of scalar-product van de vectoren

a

en i) is gedefinieerd als

ä·i)

= _{axb x} + ayby + _{azb z}. (0.7)

We spreken dit uit als a in b, of a scalair b. Het blijkt, dat geldt

ä·i)

= abcos.,o, (0.8)

waarin .,0 de hoek is tussen de vectoren

ä

en

b.

Het inwendige product is dus een scalar! Als

a

1 i) dan is a·i) = O.

Het Uitwendige product van twee vectoren definiëren we met een determinant:

i j

k

axb

= _ax ay az (0.9)

bx by bz

Uitgeschreven levert dit zes termen, drie positieve en drie negatieve. De termen vinden we door het product op te schrijven van drie factoren, gaande van links boven naar rechts beneden, dat zijn de positieve termen en vervolgens van rechts boven naar links beneden, dat zijn de negatieve termen.

De eerste positieve term is Iayb z' de tweede positieve term is Iazbx en de derde

ka

_x b_{y .}

De negatieve termen zijn kay b x' Jax b z' en IaZb y . We vinden zodoende

We spreken dit uitwendige product uit als a uit b of als a maal b. Men kan af-leiden:

axi)

= nabsin.,o. (0.10)

13 door

a

en b; de richting van Ïi. vinden we door

a

naar b te draaien over de hoek <p, dat is de hoek tussen

a

en b. De rechtse schroefbeweging geeft de richting van

n

.

Het uitwendige product is dus een vector! Als

a

en b parallel zijn is

axb

=

0

(nulvector). Als

a

en

b

loodrecht op elkaar staan, is

axb

= nab. Dus is

I

x

]

=

ië

en lxI =

ö.

Een vector loodrecht op het tekenvlak naar achteren gericht, kan worden aange-geven met ® en naar voren gericht met 0.

1. Elektrostatica

1.1.

Lading, veld en kracht

Materie bestaat uit moleculen. Deze bestaan weer uit atomen. Vaak bestaan de

moleculen uit verscheidene atomen, bijvoorbeeld water, H20, bestaande uit twee atomen waterstof en één atoom zuurstof per molecuul. Vaak ook bestaan de moleculen uit gelijke atomen, bijvoorbeeld zuurstof,

°

_{2 , of koper, Cu. De} ato-men (er zijn er meer dan 100 verschillende) hebben een diameter van de grootte-orde van 10-lOm.

Een atoom heeft een positieve kern waaromheen elektronen cirkelen (elektronen-wolk). Het elektron heeft een negatieve lading:

De eenheid van lading is 1 coulomb (1 C). Qe is de kleinst mogelijke lading. Elke lading blijkt een geheel veelvoud van Qe te zijn.

Beschouwt men de differentiaal dQ van een lading, dan behoort dit wiskundig gezien oneindig klein te zijn. Dat is dus niet het geval. Men zegt dat lading is

gekwantiseerd. Omdat de beschouwde ladingen echter vele malen groter zijn dan

de lading van een elektron, kan men toch dQ hanteren.

Een atoom met een teveel of een tekort aan één of meer elektronen heet een ion. In een geleider (bijvoorbeeld Ag, Cu, Fe, Zn) zijn veel vrije elektronen, dat zijn

elektronen, die niet gebonden zijn aan een atoom. Deze vrije elektronen bewegen met zeer grote snelheid (tot 106 mis) kris-kras door de geleider. Een vrijgekomen elektron laat een lege plaats achter in het atoom (positief gat) en men kan zich voorstellen, dat er gelijktijdig snel bewegende positieve vrije ladingen in een ge-leider zijn. Verwijdert men elektronen uit een gege-leider, dan is er een overschot aan positieve ladingen.

In een isolator (glas, porcelein, rubber, plastics) zijn geen vrije ladingen aanwezig.

Men kan wel plaatselijk een positieve of negatieve lading toevoeren.

Een halfgeleider (Ge, Si) tenslotte heeft wel vrije ladingen, maar hun aantal is

veel kleiner dan in een geleider.

Door wrijven kan men op geleiders en isolatoren een lading aanbrengen (wrijvings-ele ktriciteit).

Een (elektrisch) geladen lichaam oefent op een ander geladen lichaam in vacuüm (op een bepaalde afstand) een kracht uit, coulomb-kracht of elektrostatische

kracht genoemd:

R> o.

(l.l)

Dit is de wet van Coulomb. We nemen aan, dat de afmetingen van de lichamen

met ladingen Ql en Q2 klein is t.O.V. hun onderlinge afstand R. De constante ke dient om de eenheden in het te gebruiken stelsel aan te passen. Wij gebruiken het gerationaliseerde giorgi-stelsel en dan geldt ke = 1/41T€o, waarin

15 1

€

-o - 367T" 109 (l.2)

Men noemt dit de absolute permittiviteit.

De kracht is afstotend, als de ladingen gelijknamig zijn, d.w.z. beide positief of beide negatief, de kracht is aantrekkend, als de ladingen ongelijknamig zijn.

De coulomb kracht lijkt op de gravitatiekracht tussen twee massa's

R> O.

De gravitatiekracht is echter altijd aantrekkend.

Formule (l.l) kan als een vectorformule worden geschreven, zie figuur 1.1. De

kracht, die Q2 ondervindt van Ql is

(1.3) F E R Q Fig. 1.1. Fig. 1.2.

De afstand werking tussen ladingen kan men beschrijven door rondom elke lading

een (ruimtelijk) veld te denken, hier een elektrisch veld. Zijn de ladingen in rust,

dan spreekt men van een elektrostatisch veld.

De veldsterkte, veroorzaakt door de lading Q 1 ter plaatse van Q2 is

Algemeen

R>O. (lA)

Zie figuur 1.2.

Er ontstaat zodoende

F

=

El

Q2. Algemeen

F= EQ.

(1.5)

Q is de lading in het veld

E.

E = Ë(x,y,z) F = F(x,y,z).

Een puntlading is een lading, geconcentreerd in een lichaam zonder afmetingen.

De eenheidslading is een puntlading van + 1 C.

Een veldlijn is een lijn, waarvan in ieder punt de raaklijn samenvalt met de veld-vector

E.

In figuur 1.3 zijn enkele veldlijnen getekend rondom een puntlading Q.

Fig. 1.3.

1.2_

Ladingsdichtheid

De ruimte-Iadingsdichtheid in een punt is de lading per volume-eenheid: dQ

P = d(vol) . (1.6)

De eenheid is C/m3• p is een functie van de plaats in de ruimte. Is p constant,

dan spreekt men van een homogene ladingsverdeling. De lading binnen een volume kan men door integratie vinden:

Q = fffpd(vol).

voorbeeld 1

.

1

(l. 7)

In een rechthoekig blok met ribben 4, 5 en 7 cm is de ladingsdichtheid 0,2 C/m3. Bepaal de totale lading.

Oplossing: Omdat we een homogene ladingsverdeling hebben, behoeven we niet te integreren. We vinden Q

=

p(vol)

=

0,2-4-5-7-10-6

=

28-1O-6C '" 28J.1C.

voorbeeld 1.2

In een bol met straal R = 2 cm is de ladingsdichtheid p = 6r, waarin r de af-stand tot het middelpunt is. Bepaal de totale lading in de bol.

Oplossing: We brengen binnen de bol een bolschil aan met straal r en wand-dikte dr, zie figuur 1.4.

Fig. 1.4.

De lading in die bolschil is dQ = 41Tr2

• dr' p = 241Tr3 dr. De totale lading binnen de bol is dus:

R

Q =

f

ff

pd(vol) = 241T

f

r3 _{dr = 61TR}4

= 961T'1O-8 C.

o

Vaak bevindt de lading zich op een oppervlak. Men heeft dan te maken met de

oppervlakte-ladingsdichtheid

a.

Er geldt

a = dQ dA

D~ eenheid is C/m2•

(1.8)

In een geladen geleider bijvoorbeeld zullen de vrije ladingen elkaar afstoten, zodat de gehele lading zich op het buitenste oppervlak bevindt.

Een enkele maal is de lading op een lijn geconcentreerd. Men spreekt dan van

de lineieke ladingsdichtheid À met

À = dQ

dl

De eenheid is CIm.

1.3. Fluxdichtheid

(1.9)

We voeren nu de elektrische fluxdichtheid

D

in. Dit is een fictieve, niet

recht-streeks meetbare vectorgrootheid. Er geldt

€r hangt af van de materie, waarin het elektrische veld zich bevindt.

€o is de absolute permittiviteit, €r is de relatieve permittiviteit.

Hieronder volgt voor enkele stoffen de waarde van er'

glas 7 tot 8 porcelein 6 transformator-olie 2 lucht 1,006 We merken op: €r ~ 1. Voor vacuum is €r = 1. water alcohol geleiders

Een isolator noemt men ook wel een diëlektricum.

78 24

De waarde van Er hangt soms af van de samenstellende componenten (zoals bij glas) en soms van de richting van het elektrische veld. We gaan hier niet op in.

We schrijven

E=EOEr' (1.11)

dus

TI

= eE (1.12)

ofwel

TI

= EoE

+ P.

(1.13)

P

heet polarisatie-vector. Het blijkt dat ook bij aanwezigheid van materie de kracht evenredig is met de elektrische veldsterkte, zodat in formule (13) in plaats van Eo algemeen E = Eo Er moet worden gebruikt.

1.4. Het theorema van Gauss

We voerden in paragraaf 1.1 de veldsterkte E in, veroorzaakt door een lading Q.

De sterkte van het veld is E = Q/4nER2, waaruit volgt D = Q/4nR2• De noemer

van deze uitdrukking is juist de oppervlakte van de bol met straal R door het beschouwde punt met Q in het middelpunt. We kunnen daarom schrijven:

fDdA'= Q. Het teken

~

staat voor gesloten oppervlakte-integraal.

Dat oppervlak is in ons geval bolvormig.

Men kan afleiden, dat ook voor willekeurige gesloten oppervlakken en

willekeu-rige ladingsverdeling deze formule geldig blijft, mits D vervangen wordt door

D'n:

~D'ndA

= Q. (1.14a)

Fig. 1.5.

Stel: in punt P is de elektrische fluxdichtheid D. We bepalen van deze vector de ontbondene langs de normaal, dat is de loodlijn op het oppervlak, in het punt

19 Die ontbondene is dus

(1.14b)

Integreren (sommeren) we het produkt Don:dA over het gehele oppervlak, dan

is het resultaat de omvatte lading. Daarbij dienen we een naar buiten wijzende

vector Dn als positief in rekening te brengen.

Deze formule stelt ons in staat de veldsterkte te berekenen, die wordt opgewekt door ladingen. We merken allereerst op, dat de eenheid van de elektrische flux-dichtheid volgens (1.14) 1 C/m2 is.

We berekenen opnieuw de fluxdichtheid, veroorzaakt door een positieve punt-lading Q, maar nu met het theorema van Gauss, zie figuur 1.6.

Fig. 1.6.

Beschouw een bol met straal R met Q in het middelpunt. De veldsterkte (en dus ook de fluxdichtheid) is loodrecht op dit boloppervlak. Deze vectoren zijn dus tevens de ontbondenen langs de normaal. Uit symmetrie-overwegingen is D constant op dit oppervlak. We vinden zodoende uit het theorema van Gauss:

zodat E - - Q-- 4rr€R2 _, dus R> 0, D = Q/4rrR2 met R> 0,

hetgeen overeenkomt met de vroeger gevonden uitdrukking.

In de literatuur komt men wel eens tegen het begrip elektrische flux 'I' door een open oppervlak. De formule is

'1'= ffITon:dA (1.15)

Voor het bepalen van de veldsterkte in een bepaald punt, veroorzaakt door twee puntladingen, zou men in principe rechtstreeks gebruik kunnen maken van het theorema van Gauss: kies een oppervlak dat beide ladingen omvat en dat '

door het beschouwde punt gaat. De berekening is nu echter uitermate moeilijk,

omdat we geen gebruik kunnen maken van de symmetrie.

Het verband tussen Q en E is lineair. We kunnen dan gebruik maken van super-positie, dat wil zeggen: we bepalen eerst de veldsterkte, opgewekt door de afzon-derlijke ladingen en tellen daarna de resultaten (vectorieel!) op.

20

In figuur 1.7 zijn twee positieve ladingen getekend.

We bepalen in punt P de veldsterkte

El'

die alleen QI opwekt. Vervolgens be-palen we E2' die door Q2 alleen wordt veroorzaakt. De resultante van

El

en

E

₂ geeft de veldsterkte

E

in punt P. Door de constructie in veel punten uit te voeren kunnen we het veldlijnenbeeld vinden.

Fig. 1.7. E

_ /' ---//E

1

E2~

... ... . , / ...

--

... ... Q2

In figuur 1.8 is het veldlijnen beeld van twee gelijke doch tegengestelde ladingen getekend. Merk op, dat alle veldlijnen beginnen in de positieve lading en eindigen in de negatieve.

+Q

Fig. 1.8.

1.5.

Polarisatie

Brengen we een isolator in een elektrisch veld, dan zullen de banen van de elek-tronen, die om de kernen van de atomen cirkelen, enigszins veranderen. De atomen gaan zich als dipolen gedragen, dat wil zeggen: als twee gelijke doch tegengestelde ladingen op geringe afstand van elkaar. Binnen in het materiaal heffen de positieve en negatieve ladingen elkaar op, aan de eindvlakken echter ontstaan oppervlakte-ladingen (ook wel poisson- of polarisatie-ladingen genoemd),

zie figuur 1.9. Fig. 1.9. ~E

]=:;

E ---~~~

Deze oppervlakte-ladingen veroorzaken binnen in het materiaal een elektrisch veld dat tegengesteld is aan het oorspronkelijke veld.

veld-sterkte-verandering berekenen.

Als voorbeeld kiezen we een puntlading met daar omheen een bolschil van isolerend materiaal, zie figuur 1.10.

Fig. 1.10.

De polarisatie-lading is met behulp van plussen en minnen aangegeven. Als de elektrische fluxdichtheid ter plaatse van het gestippelde oppervlak D is (ten ge-volge van de rotatie-symmetrie is D in elk punt van het gestippelde oppervlak gelijk), dan vinden we met het theorema van Gauss:

Q

D = 41TRz ,

De vector

TI

staat op elk punt loodrecht op het beschouwde oppervlak. De veldsterkte is

E = Q Z

41TEoErR

Is de bolschil niet aanwezig, dan is de veldsterkte op afstand R

E Q

-v - 41TE RZ

o

(de index v staat voor vacuum).

( l.l6)

We zien, dat E kleiner is dan Ev' omdat voor iedere stof Er groter is dan 1. We wijzen er met nadruk op, dat bij het rechterlid van 0 .14) de polarisatie-ladingen niet mogen worden opgeteld. Het invoeren van de grootheid D beschrijft reeds deze polarisatie-effecten.

In het algemeen zal de polarisatielading verdwijnen, als de isolator uit het veld wordt genomen. Er zijn echter stoffen - vooral die, waarin van nature al di-poolt jes aanwezig zijn (aanvankelijk ongeordend) - waarbij ook na het nul maken van de uitwendige veldsterkte de polarisatielading gedurende korte of langere tijd behouden blijft; we hebben dan een elektreet (denk aan de naam magneet).

1.6.

Influentie

Brengen we een neutrale geleider in een elektrisch veld, dan bewegen vrije ladingen zich over de grootst mogelijke afstand, zie figuur LIL

In de geleider is de veldsterkte nul (we hebben te maken met ladingen in rust). Onder invloed van het uitwendige veld zijn de vrije ladingen verschoven. We

:>oF:

Fig. 1.11.

noemen dit verschijnsel influentie.

In tegenstelling tot de polarisatielading moet de influentielading wèl meegerekend worden in het rechterlid van (1.14).

Als voorbeeld nemen we een puntlading Q, omgeven door een geleidende bol-schil, zie figuur 1.12.

Fig. 1.12.

Met plussen en minnen is de geïnfluenceerde lading aangegeven. In de geleider is. de elektrische veldsterkte en dus ook de fluxdichtheid nul.

Het linkerlid van het theorema van Gauss, toegepast op het gestippelde oppervlak levert op

zodat de omvatte lading .nul is. De influentielading is dus even groot als de punt-lading Q, doch tegengesteld.

Merk weer op, dat de veldlijnen beginnen op de positieve lading en eindigen op de negatieve (binnen de bolschil). Buiten de bolschil eindigen de veldlijnen in het oneindige.

1.7. Spanning en potentiaal

De spanning U AB in volt (V) tussen de twee punten A en B is per definitie in grootte gelijk aan de arbeid in joule (1), die men moet verrichten om de eenheids-lading van het punt B naar het punt A te brengen.

We beschouwen twee punten A en B in het elektrische veld van een puntlading Q, zie figuur 1.13.

We bewegen de eenheidslading van B naar A. Aangekomen in punt P schrijven we de arbeid op, die nodig is om langs de vector ds te gaan:

;-dW = P·ds, daar

P =-E

is dus dW = -Ë·ds. Uit de definitie volgt:

dus

B _ _

U_AB = fE·ds

A

(let op de indices en de grenzen). Als r_B -* 00 dan vinden we

00

V

=fE·ds

A A

We vinden verder uit dW = F·ds: dW = Fdr. Q Fig. 1.13.

"

... _.

,

...

"

_"

_\.

\

_\ \ (1.17) (1.18a) (1.18b)

Het komt er dus op neer, dat de beweging langs

cts

wordt ontbonden in een beweging langs

dr

plus een beweging langs

dl.

Deze laatste beweging kost geen arbeid.

Dus

Q 1 I

U = - ( - --).

Dit is een opmerkelijk resultaat. De spanning hangt blijkbaar niet af van de weg

die we doorlopen. Alleen de eindpunten zijn van belang. Als we de stippellijn

hadden gevolgd was het resultaat hetzelfde geweest. Dat houdt weer in, dat het

doorlopen van een lus geen arbeid kost. We drukken dit uit met een kringinte

-graal:

( l.20)

anders geschreven

waarin El de langscomponent is van

E

langs de lijn, zie figuur 1.14. En is de

normaalcomponent.

Fig. 1.14.

We noemen een dergelijk veld een conserverend veld. Het elektrostatische veld

is dus conserverend.

Omdat elk elektrostatisch veld veroorzaakt wordt door puntladingen zullen de formules (l.l8), (1.19) en (1.20) algemeen geldig zijn.

Liggen A en B dicht bij elkaar op een afstand ds, dan is de arbeid, nodig om 1 C van B naar A te brengen volgens (1.17):

dW =

-E°ds

dus

dU = -Eods.

Hieruit volgt een andere (meer gebruikte) eenheid voor E, namelijk 1 Vlm.

Daarmee ligt ook de eenheid voor EO vast.

Met

D EO =

E

vinden we als eenheid voor EO: 1 C/m

2

= 1

~

= 1

~

Vlm Vrn Vm'

Bij het bewegen van de eenheidslading in een elektrisch veld verandert de potentiële energie van die lading. De potentiële energie is nul, als de lading

oneindig ver weg is. Dit oneindig ver gelegen punt heeft dan, zoals we zeggen,

de nulpotentiaal.

Onder de potentiaal VA (in volt) in het punt A verstaan we (in grootte) de

arbeid (in 1), nodig om de eenheidslading uit het punt met de nulpotentiaal

v

= -'

-Q-A 471'€OrA (1.21)

De potentiaal is dus omgekeerd evenredig met de afstand tot de puntlading. Alle punten op een concentrisch boloppervlak hebben dezelfde potentiaal. We noemen zo'n vlak een equipotentiaalvlak.

In praktische systemen (elektrische netwerken, elektronica) geeft men één of ander knooppunt de nulpotentiaal.

Het is gebruikelijk dV in plaats van dU te schrijven:

dV = -E·ds. (1.22)

We ontbinden de vector ds in zijn componenten langs de X-, de y- en de z-as:

ds = Idx + Idy + kdz (1.23)

Verder geldt

(1.24 ) waarin Ex, Ey en Ez de ontbondenen zijn van E langs de X-, resp. y-, resp. z-as. De potentiaal is een functie van de plaats in de ruimte:

V = V(x,y,z). (1.25)

De totale differentiaal hiervan is:

DV DV DV dV = DX dx + Dy dy +

öZ

dz , (1.26) zodat volgt E = _DV x DX E = _DV y Dy (1.27)

voorbeeld 1.3.

P(x,y) Q Fig. 1.15.

Zie figuur 1.1 5. In de oorsprong van een vlak assenkruis is een puntlading Q geplaatst. De potentiaal in P is

V=-Q-471'€oR'

De component van de veldsterkte in de x-richting is dus oV dV oR Q 2 2 _'/; Qx Ex = - - = - - . - = - - - . V2(X + y) >·2x = - - -. ox dR ox 4m=oR2 _4m:oR3 Volgens (1.16) is de veldsterkte in P: dus met

R

=

Xl

+

yJ;

E

= 4 Q R3

(xl

+ y]), 1T€O

waaruit dezelfde waarde voor Ex volgt.

Merk op, dat de potentiaal een scalar is, zodat we bij superpositie (dat mag,

omdat V lineair afhangt van Q) niet vectorisch behoeven op te tellen, zoals bij veldsterkten.

voorbeeld IA

In de punten (0,0) en (5,0) zijn puntladingen van respectievelijk I C en 2 C

geplaatst, zie figuur 1.16. We vinden voor de potentiaal in punt P,

veroor-zaakt door de lading van I C:

en voor de potentiaal, veroorzaakt door de lading van 2 C:

Fig. 1.16. De totale potentiaal is

/ i

n

'I

I I I I I p(x,y) I I 2 V

=

VI

+

V₂

=

4-- (-R

+ /

2 2 ) 1T€O V X + Y lOx + 25 .

zodat

voorbeeld

1. 5

Een vlakke schijf met straal R is aan één zijde homogeen belegd met lading. De ladings-dichtheid is 0'. Bepaal de potentiaal in het punt P op een afstand x van het middelpunt loodrecht op de schijf. Zie figuur 1.17.

p

x

Fig. 1.17.

Kies op de schijf een cirkelvormige strook met breedte dr en straal r. De lading op die

strook is dq = 2m·dr·a. Deze lading veroonaakt in P de potentiaal dV =~ = 21tr·dr·a ar·dr

4m:1 41tEI 2El N ulssma=-Z dusd =-sma· . . r V a . d r.

2E

Vder er ' IS r = x tan a d d r us - = - -x .

da cos2a Daarmee wordt de potentiaal

asina·x·da d V = -2Ecos2a ax·dcos a 2Ecos2a crx 1 Stel cos a = p waardoor ontstaat dV = - 2E 'p2 dp. Door integreren vinden we de totale potentiaal in P:

p=cosf3 R f3

J

ax crx 1

JI=O

S~

ax 1 V =

f

dV =

f

dV = - - p-2dp = - - = - ( - --1). r=0 a=O 2E 2E P p=1 2E cos!3 p=l x crx..,Jx 2 +R2-x 0'

Nu is cos!3 = zodat V = - ofwel V = - (..,Jx2 + R2 - x) .

1.8. Geleiders

In de praktijk heeft men maar zelden te maken met gescheiden puntladingen. Vaker heeft men te maken met voorwerpen van bepaalde afmetingen, waarop een ladingverdeling is.

In het elektrostatische geval bevindt de lading op een geleider zich op de buiten-ste oppervlakte. Immers, de ladingen verkrijgen onder invloed van de coulomb-krachten een zo groot mogelijke afstand ten opzichte van elkaar. Verder heeft een geleider overal dezelfde potentiaal. Dat betekent, dat de veldlijnen overal loodrecht op de geleider staan (was dat niet het geval, dan zou de langscompo-nent van de veldsterkte aanleiding geven tot oppervlakte-stromen en die zijn er niet in de elektrostatica), zie figuur 1.18.

E

Fig. 1.18. langscomponent (moet nul zijn)

De oppervlakte-Iadingsdichtheid a van een geleider is in het algemeen niet

de-zelfde op iedere plaats. In sommige gevallen is a wèl een constante. Er is een

eenvoudig verband tussen de veldsterkte aan de buitenkant van het oppervlak en de oppervlakte-Iadingsdichtheid, zie figuur 1.19.

Fig. 1.19.

It!l~

geleider

De gebogen lijn stelt het grensvlak voor tussen een geleider en een isolator. We passen de stelling van Gauss toe op het getekende balkje:

We nemen de hoogte van het balkje klein t.o.v. lengte en breedte. Nu draagt alleen het bovenvlak (stel: met oppervlakte dA) bij tot de integraal. Dus

DdA = adA

ofwel

D=a (1.28)

dus

Op die plaatsen, waar de veldsterkte het grootst is, is de oppervlakte-Iadings-dichtheid maximaal. In sommige gevallen is de oppervlakte-Iadingsoppervlakte-Iadings-dichtheid constant, zoals bij een bol of aan de binnenkant van een vlakke platen-condensator.

Omdat de veldsterkte nul is binnen een geleider zal een holte in die geleider eveneens veldvrij zijn; we spreken dan van een elektrostatische afscherming (kooi van Faraday).

Als we een geladen voorwerp (geleider of isolator) in de holte van een geaarde geleider plaatsen, is de ruimte rondom die geleider veldvrij, zie figuur l.20.

Fig. 1.20.

-~~

_~

-

-

-De positieve geïnfluenceerde lading is weggevloeid naar de aarde, zodat elk ge-sloten oppervlak, dat het geheel omvat een inwendige lading nul heeft. Met het theorema van Gauss volgt dan, dat de ruimte buiten de geleider veld vrij is. De kooi van Faraday geeft dus afscherming naar buiten en naar binnen.

De geleidende afscherming is vaak niet massief, maar (zoals de naam al zegt) een kooi, zie figuur l. 2l.

Fig. 1.21.

De cirkeltjes stellen dwarsdoorsneden van staven voor. Dichtbij de kooi op

plaat-sen tussen de staven is er wel een (zwak) veld.

We merken nog op, dat als in een systeem het totaal van de positieve ladingen niet gelijk is aan het totaal van de negatieve ladingen, dit systeem zich op grote afstanden gedraagt als één lading, waarvan de grootte gelijk is aan het verschil van de werkelijke ladingen.

1.9. De elektroscoop

Met de elektroscoop zijn allerlei experimenten mogelijk, waarmee men het in-zicht in de elektrostatica kan vergroten. In figuur l.22 is het principe geschetst. Het geheel is geleidend en is geïsoleerd opgesteld. Positieve of negatieve lading op het geheel heeft uitwijking van de plaatjes tot gevolg. Soms heeft de elektro-scoop nog een schaal, waarop men de potentiaal kan aflezen.

Proef 1. Houd een geladen geleider tegen de knop: de lading verspreidt zich

over de elektroscoop en de plaatjes krijgen een uitwijking, zie figuur l.23. De geleider moet voorzien zijn van een isolerend handvat.

Q-kno

p r s t e e l

~ scharnier

~egbare

plaatjes

Fig. 1.22. Fig. 1.23.

Proef 2. Houd een geladen geleider in de buurt van de knop: door influentie

krijgen de plaatjes eveneens een uitwijking, zie figuur 1.24.

Fig. 1.24. Fig. 1.25.

Proef 3. We brengen nu een aardverbinding aan door S te sluiten, zie figuur 1.25.

Aanraken met de hand is eveneens voldoende. De positieve ladingen (waarbij men zich moet voorstellen, dat zij steeds in heftige beweging zijn èn elkaar afstoten) zullen naar de aarde afvloeien. Ook een grote geleider (groot ten opzichte van het systeem) is toereikend om het effect teweeg te brengen. Het resultaat is, dat de plaatjes samenvallen.

Proef 4. Verbreek nu de aardverbinding en verwijder de geleider, zie figuur 1.26.

Het overschot aan negatieve ladingen verspreidt zich en zal de plaatjes doen uitwijken.

Fig. 1.26.

Proef 5. Houd een gewreven glasstaaf (die wordt daarmee positief) in de buurt

van de knop, zie figuur 1.27.

De isolator is plaatselijk geladen. Een geïsoleerd handvat is niet nodig. Door in-fluentie krijgen de plaatjes lading, zodat ze uitwijken.

Proef 6. Monteer een metalen kastje op de knop (faraday-kastje), zie figuur 1.28.

Fig. 1.28.

Raak met een geïsoleerde geleidende bol eerst de binnenkant van het kastje aan en daarna een andere elektroscoop. Die laatste krijgt dan geen uitslag. Raak nu met de bol de buitenkant van het kastje aan en daarna de tweede elektroscoop. Die geeft nu wel een uitslag te zien. Hieruit zien we, dat de lading

van een geleider 'zich op de buitenoppervlakte bevindt.

1.10. Capaciteit

Men onderscheidt de capaciteit van een enkele geleider, waarbij men de poten-tiaal in het oneindige nul stelt en de capaciteit van twee geleiders ten opzichte

van elkaar.

In het eerste geval definieert men de capaciteit als

(l. 29) waarin Q de lading in C en V de potentiaal in volt is. De eenheid is dan 1 farad (F).

voorbeeld

1.6

We berekenen de potentiaal van een geleidende bol met straal r, zie figuur 1.29.

Fig. 1.29.

(9---n

p

De potentiaal in een punt P op afstand R (R

>

r) is:

V

=~

R 41T€R'

waarin € = €O€r'

De potentiaal op het boloppervlak (dat is de potentiaal van de bol) is:

V

=--.5L.

41T€r'

dus

Een bol met een straal van 1 m in vacuum heeft dus een capaciteit van

41TEO = 111 °10-12 F.

Bij een potentiaal van slechts 1 V is dus de lading 111 pC, hetgeen een tekort van 800 miljoen elektronen betekent. Hieraan zien we, hoe klein de lading van een elektron is.

In een hoogspanningslaboratorium komen potentialen voor van 1 MV en hoger. Bij 1 MV vinden we in ons voorbeeld een lading van 111 MC. Dit laat ons zien, hoe groot een lading van 1 Cis.

De capaciteit van twee geleiders ten opzichte van elkaar is per definitie

C=JL

_U

12 .

(1.31)

Daarbij is plaat 1 de positieve en plaat 2 de negatieve.

We nemen aan (dat is in de praktijk meestal het geval), dat de som van de beide ladingen nul is. Alle veldlijnen beginnen dus op plaat 1 en eindigen op plaat 2. We noemen een dergelijk systeem een condensator.

De lading van de condensator is de lading van de positieve plaat. Alleen voor eenvoudige configuraties is de capaciteit te berekenen.

voorbeeld

1.7

De vlakke platen-condensator, zie figuur l.30. We zien af van randeffecten. Dat houdt in, dat het veld overal tussen de platen homogeen is en verder buiten de platen nul. We komen hierop nog terug.

4 ct

-Cl.

Fig. 1.30.

We plaatsen de positieve plaat in een doosje (zie de stippellijn). Noem de één-zijdige oppervlakte van één van beide platen A en de afstand tussen de platen d. We vinden dus

fDn

dA = Q DA = Q E

=.2..

EA

U₁₂ = Ed,

zodat

C = EA _{d .} (1.32)

Twee platen van 1 m2 _{op een afstand van 1 mm in vacuum vormen een}

con-densator met een capaciteit van 104 pF. (Vergelijk dit met de enkele bol.) We geven nu een korte beschouwing over randeffecten.

Beschouw figuur 1.31, waarin een detail van een vlakke platen-condensator is getekend. Fig. 1.31. + + + + I---~'" + + + 1---1 ... +

Voor de gestippeld getekende lus geldt

zie (1.20). In het naar buiten toe zwakker wordende veld moet wel degelijk een bepaalde veldsterkte ongelijk nul zijn. Bij verwaarlozing van het randeffect wordt niet aan de formule voldaan. Door het randeffect is de werkelijke capaciteit groter dan uit bovenstaande eenvoudige berekening volgt.

Als de afmetingen van de platen groot zijn ten opzichte van de afstand tussen de platen, is de invloed van het randeffect te verwaarlozen. Tot zover de be-schouwing over het randeffect.

voorbeeld

1.8

De coaxiale kabel, zie figuur 1.32.

We berekenen de capaciteit van J m kabel. We laden de binnendraad (geleider

1) met +Q en de buitenmantel (geleider 2) met -Q. We passen het theorema van Gauss toe op de rechte cirkelcilinder met straal R en hoogte Z.

De veldlijnen staan loodrecht op de wand. De veldsterkte heeft op de wand overal dezelfde grootte.

dus

ffDn dA = Q

D27TRZ

=

Q E - Q

o

<D

Fig. 1.32.

De veldsterkte is een functie van R. De spanning is

_ R, _ Q

I

R, _ Q R₂

Ul2 -

J

EdR -

2 l

lnR - 21TEZln Rl .

Rl 1TE Rl

De capaciteit is derhalve

(1.33)

1.11. Breking van veldlijnen

In figuur 1.33 is het grensvlak tussen twee diëlektrica getekend.

Fig. 1.33.

Boven het grensvlak is een materiaal met relatieve permittiviteit El' onder is die waarde E₂.

We nemen aan, dat het grensvlak ladingvrij is. We beschouwen punt P. De v eld-lijn wordt daar gebroken. In een punt vlak boven P is de fluxdichtheid Dl' in een punt vlak onder P is de fluxdichtheid D₂. (Voor de duidelijkheid is de

vector Dl met zijn pijlpunt in P geplaatst.)

Beschouw het gestippeld getekende gesloten oppervlak. De hoogte is verwaar-loosbaar klein. We vinden voor dat oppervlak:

dus

i/, D dA = O'

'1f n '

( 1.34)

In woorden: De normaalcomponent van de fluxdichtheid is doorlopend (continu).

We beschouwen nu de gestippelde lijn als een lus. Daarvoor geldt

dus

( 1.3 5)

In woorden: De langscomponent van de veldsterkte is doorlopend.

Met behulp van het voorgaande kunnen we de mate van breking berekenen. We vinden met D = EE:

en dus D E E E tana 2 = ~ = 0 2 21; D2n DIn tana l

=

5..

tana₂ E₂

1.12. De energie van het elektrostatische veld

(1.36)

Voor het opbouwen van een elektrisch veld is energie nodig. Wordt de veldsterkte nul, dan komt deze energie in een of andere vorm vrij.

We beschouwen een geleidende bol met straal r. We gaan deze bol laden tot de potentiaal V, waarbij de lading op de bol

Q

wordt. 'Stel tijdens het laden is op een gegeven ogenblik de potentiaal VI en de lading q. Dan is

VI = --.S-. 4m:r

Om dq toe te voegen is nodig aan arbeid dW=Vldq

dus

dW=~.

41tEr

De

eindlading is

Q

dus de totale arbeid is

Q 2

W =J--.S-dq =

JE...

41tEr 8m:r

Nu is de eindpotentiaal V. dus V

=....Q...

waannee resulteert 4m:r

1

W=ï QV.

Deze arbeid is opgehoopt in het veld, dat zich uitstrekt in de gehele oneindige ruimte. De energie moet dus uit te drukken zijn in de grootheden van het veld

zelf, dat wil zeggen: in D en in E. De eenheid van DE is J/m3. We mogen dus

aannemen, dat de energiedichtheid gelijk is aan kDE, waarbij k nog moet worden bepaald.

We integreren daartoe kDE over de' gehele ruimte, zie figuur 1.34.

I

Fig. 1.34.

Beschouw een bolschil met straal R en dikte dR. De arbeid in deze schil is:

De totale arbeid is dus

Nu is D = Q/47TR2 en E = Q/47T€R2, zodat

Vergelijken we dit met het bovenstaande, dan zien we k = Vz.

Dus de energie-dichtheid van dit elektrostatische veld is VzDE J/m3_{. Nu is elk}

elektrostatisch veld afkomstig van (zeer veel) afzonderlijke puntladingen, zodat het aannemelijk is, dat voor elk elektrostatisch veld de energie-dichtheid in J/m3 is

w = VzDE, ( 1.37)

We zullen het bovenstaande gebruiken om de kracht te berekenen waarmee de platen van een geladen condensator elkaar aantrekken.

Fig. 1.35.

De opgeslagen energie is Wo = YzDEAd. Hierin is A de oppervlakte van een plaat en d de onderlinge afstand.

Vergroten we de plaat afstand met een bedrag ~ (~ ~ d), dan blijven D en E na-genoeg gelijk. De toegenomen energie is

W = YzDEA~.

Deze toegenomen energie is afkomstig van de arbeid, verricht bij de verplaatsing:

W = F~.

De kracht, waarmee de platen elkaar aantrekken is dus

F = YzDEA. ( l.38.a)

Met D = EE en U = Ed vinden we

U2 _CU2

F = V2EE2 A = YzE d2 A =

Yz

-d-. (l.38.b)

We berekenen tenslotte de energie in een condensator van willekeurige vorm. Stel de positieve plaat heeft een lading Q en de spanning is U. Er geldt Q = CU.

Breng nu een lading dq van de negatieve naar de positieve plaat.

De te verrichten arbeid is dW = Udq.

Om een ongeladen condensator te laden is dus nodig:

Q

W=fudq.

o

De spanning en de lading veranderen volgens q = Cu, dus Q Q2 W =

f

~

dq =

Yz

C'

o Dus

1.13. De elektrische dipool

(1.39)

In

§

1.S hebben we de dipool al in fysisch verband leren kennen. We zullen hem nu mathematisch onderzoeken.

We beschouwen een puntlading +Q en een puntlading -Q op een onderlinge afstand Z, zie figuur l.36.

Fig. 1.36. +Q

ï

-Q In punt P is de potentiaal: Y =

~

(~

_

~

) =

~

R2 - Rl. 41T€ Rl R₂ 41T€ Rl R2 Is I ~ R, dan vinden we Y =~ ~ = Qlcosa 41T€ R 2 41T€R 2 .

We d~finiëren het dipoolmoment p = QI, vectorisch:

p

= Q7, (eenheid Asm)

p

0.40)

waarin

T

een vector is, die loopt van de negatieve naar de positieve lading.

We vinden zodoende:

We leiden nu de veldsterkte af in het punt P.

Er geldt:

8Y

8 poR

E = = -x 8x 8x 41T€R3 met en

R

=

Xl

+ y} +

zk.

Dus ofwel zodat Dus

E

= _

p

+

3(poR}R

41T€R 3 41T€Rs · (l.41) (1.42)

We plaatsen nu een elektrische dipool in een elektrisch veld, zie figuur 1.37. +Q

l

----.I;~ ..

Ï\

Fig. 1.37.

ïa

______ ~~---____ --~~ E

F2

"''4'''---41

_-Q

Op de lading +Q werkt een kracht

F\

= QE. Er ontstaat een koppel ter grootte: T = QElsina.

We stellen het koppel voor als een vector

f

=

TxF

_l,

hetgeen dus een vector is loodrecht op het vlak van

ï

en

Fl

.

Dus

T = lF_l TIsina.

TI is de normaalvector op het vlak van

E

en

I

Dus

f

= QïxE, dus

f

=

pxE.

( 1.43)

Formule (1.43) geeft het koppel op een dipool met dipoolmoment

p

in een elektrisch veld met veldsterkte R

Is het veld homogeen dan is er geen resulterende kracht op de dipool, omdat de veldkracht op de positieve lading van de dipool even groot is als de veldkracht op de negatieve lading. Is het veld niet homogeen dan is er naast het koppel nog een kracht op de dipool omdat de veldsterkte ter plaatse van de positieve lading dan in het algemeen ongelijk is aan de veldsterkte ter plaatse van de negatieve lading.

2. Elektrische stromen en magnetisme

2.1. Elektrische stroom. De stroomwet van Kirchhoff

In een geleider kunnen ladingen vrij bewegen. Hoewel de vrije ladingen negatieve elektronen zijn, veronderstelt men vrije beweging van positieve ladingen. Hebben deze positieve ladingen naast de ongeordende snelheden een geordende snelheid, dan spreekt men van een elektrische stroom I. Zie figuur 2.1.

(a) Fig. 2.1.

In figuur 2.1 a is de ongeordende beweging schetsmatig getekend, in figuur 2.1 b

is daarenboven een geordende beweging naar rechts aangegeven. De eenheid van stroom is 1 ampère (lA).

In figuur 2.2 is een geleider geschetst met daarin de stroom I. Passeert er in T seconde een lading Q door een doorsnede, dan is de stroom

(2.1)

Fig. 2.2.

Is de stroom constant, dan geeft men deze aan met een hoofdletter, is de stroom veranderlijk, dan gebruikt men een kleine letter. In dat geval verdelen we de tijd in kleine intervallen LH, zodat

. Llq 1 = -Llt en na limietovergang . dq 1 = -dt . (2.2)

Een veranderlijke lading geven we eveneens aan met een kleËle letter.

(In sommige gevallen is het nuttig de stroom als een vector I op te vatten). De stroomdichtheid J is de stroom per eenheid van oppervlakte

J=~

.

dA (2.3)

Deze formule is geldig voor figuur 2.2. Omdat de stroomdichtheid ook een rich-ting heeft, schrijft men hem vaak als een vector

1.

Omdat

J

in het algemeen niet constant is, zouden we hem met een kleine letter j moeten schrijven. We zullen dat niet doen om geen verwarring met de eenheidsvector j uit de vector-algebra te krijgen.

Fig. 2.3.

~t

/

L!j7dA

De normaal is

n.

In het algemeen vallen

n

en J niet langs dezelfde lijn. De stroom door dA is:

di =

J.

ÏÏdA (2.4)

We beschouwen nu een gesloten oppervlak, waarbinnen zich een lading q bevindt,

zie figuur 2.4.

Fig. 2.4.

Deze lading kan bestaan uit één enkele puntlading, maar ook uit meer puntla-dingen of uit een verdeelde lading. De wet van behoud van lading zegt nu, dat

de lading-vermindering per tijdseenheid binnen het oppervlak gelijk is aan de naar buiten gaande stroom door het oppervlak:

Nu is en

~

_(J

-

_{+ -}

aD

_{) .}

-

_{ndA = 0}

at

Men noemt dit de continuiteitsstelling.

(2.5)

q =

~D·

ndA dus

(2.6)

We gebruiken partiële afgeleiden, omdat q en

D

in het algemeen ook functies

van de plaats zijn. In de netwerktheorie neemt men aan, dat er zich in een knooppunt (k) geen lading bevindt voor alle t, zie figuur 2.5.

; gesloten oppervlak

Fig. 2.5.

waaruit de stroomwet van Kirchhoff volgt: b

~ ~ = 0 voor alle t.

n=l

2.2. De condensator als netwerkelement

Uit de wet van behoud van lading (2.5)

en de condensatorformule (1.31) q = Cu waarin q en u functies van t zijn, volgt:

Fig.2.6.

du

i + C -= O. dt

(2.7)

In figuur 2.6 is het gesloten oppervlak getekend, dat de positieve plaat omvat. De stroom is geconcentreerd in de draad, terwijl men gewoonlijk de positieve stroomrichting andersom kiest. Men kan dit uitdrukken door te zeggen:

Spanning en stroom 'horen bij elkaar', waarmee wij bedoelen: de stroom gaat van plus naar min door het element. Zodoende ontstaat de definitie-formule van de condensator:

du

i = C

dt

.

2.3. De wet van Ohm

Een elektrisch veld in een geleider heeft een stromingsveld tot gevolg:

J='YE.

(2.8)

(2.9)

Dit is de elementaire wet van Ohm. Het elektrische veld

E

kan in stand worden gehouden door een batterij of accu (chemisch) of door elektromagnetische toe-stellen (dynamo, generator).

'Y

is de soortelijke geleiding en hangt af van het materiaal. We beschouwen figuur 2.7. Hierin is een geleider geschetst met lengte ~

en met constante doorsnede A. De potentiaal van de onderkant is Vi' die van de bovenkant V₂.

De spanning over de geleider is dus dus

~-

-Fig. 2.7. Verder is de stroomdichtheid ofwel Met I

J =

A

Dus met (2.9) volgt

I

R =

-rA

de weerstand van de geleider, volgt

Dit is de wet van Ohm.

I U₁₂ A =

r-l -43 (2.10) (2.11)

De elementaire ladingen krijgen onder invloed van de veldkrachten geen versnel-ling volgens

F

= mä (wel in eerste instantie), maar een eind-snelheid, de

drift-snelheid (zie ook figuur 2.1). Dit komt, omdat de elementaire ladingen voortdu-rend tegen de vast atomen 'botsen'. Dit gaat gepaard met het optreden van warmte,

disSipatie genoemd.

2.4.

Bewegende lading

Passeert er door een doorsnede in één of ander stromingsveld een lading dq in de tijd dt, dan is de stroom

. dq 1 = -dt·

Beschouwen we de afstand dl tussen twee doorsneden, zie figuur 2.8, we noemen dit een stroom buis (de gebogen wand valt samen met de stroombanen van het stromingsveld), dan zal, als de lading een snelheid v heeft, gelden

dl v = -dt dus idl = dq vdt dt ' dl = vdt. We vinden dus

dus

idl = vdq. (2.12a)

Fig. 2.8.

Deze formule kan ook als vectorformule worden geschreven:

idl = vdq, (2.12b)

waarin dl een vector is in de richting van de snelheidsvector

V

,

ook

Idl = vdq (2.12c)

is mogelijk. Hier is i een vector in de richting van

v

(niet te verwarren met de

een-heids~ector in de x-richting). Merk op, dat dq een scalar is.

Formule (2.12a) kan nog op een andere manier worden geschreven. Beschouw een rechte lijn met lengte I, homogeen geladen met dq, zie figuur 2.9.

I

.,...---i

dq V

Fig. 2.9.

We verplaatsen deze lijn in t seconde over een afstand 1 naar rechts in zijn lengte-richting met constante snelheid v, zie stippellijn. De stroom die punt A passeert, is dan

dl' = dq t . Met 1 = vt vinden we

Idi=vdq. (2.12c)

We leiden nu het verband af tussen de snelheidsvector

v

en de stroomdichtheids-vector J. Is in figuur 2.8 A de gemiddelde doorsnede, dan is het volume

d (vol)

=

Ad/. Volgens (lA) is _{P = d(vol)} dq

We schrijven 'vol' om geen verwarring met de snelheid v te krijgen. Tenslotte is de stroomdichtheid Zo ontstaat i J=-A' dq

=

pd(vol) = pAdl = pdl i J

zodat J dq

=

pidi

=

pvdq en in vectornotatie

J

=

pv

.

(2.l3)

We zijn nu in staat de drift snelheid in een geleider te bepalen. We nemen als voor-beeld een koperdraad van lm lengte en 1 mm2 doorsnede, waardoor een stroom van IA vloeit. De stroomdichtheid is dan J = 106 A/m2.

Er zijn in koper 1029 vrije elektronen per m3.

De lading is dus 1029 • 10-6• 1,6· 10-19 C = 1,6· 104 C.

Dit is een zeer grote lading. Vergelijk dit met de lading van 111 J1.C op een bol' met een straal van lm die een potentiaal van 1 MV heeft (§ 1.10).

De ladingsdichtheid in onze koperdraad is dus

Dus de driftsnelheid is J 106

v - - - = 6·1O-s m/s.

- p - 1,6 • 1010

Een elektron doet er dus 105/6 seconde over om de geleider te doorlopen. Dat is ongeveer 5 uur (! ).

2.S. Krachten tussen stromen

Uit experimenten blijkt, dat tussen twee geleiders, waarin een elektrische stroom vloeit, een kracht optreedt.

Een stroom 1₁ in een draad-elementje dil' geschreven als vector dil' oefent op een stroom 1₂ in een draad-elementje di₂ in vacuüm op een afstand R een kracht uit - 2 - - _ J1.₀ - -d F 1 2 - - - 3 (1₂ di₂ x 1₁ dil x R) . • 41TR (2.l4) Zie figuur 2.10. Fig. 2.10.

De richting van de vectoren is die van de stromen. Het gaat hier om het product Van de differentialen dil en di₂ zodat de kracht een differentiaal van de tweede orde is. De formule is ingewikkelder dan de krachtswerking tussen ladingen, om-dat de onderlinge stand een rol speelt (uitwendige produkten).

De factor J1.₀/41T is een evenredigheidsconstante om te voldoen aan de eenheden

(2.15) Evenals bij het elektrische veld stellen we ons voor, dat een stroom in de om-ringende ruimte een veld teweegbrengt, die we het magnetische veld noemen. Men stelt, dat op grond van (2.14) de stroom I, in een draad-elementje dl} een

magnetische veldsterkte dH} op afstand R tot gevolg heeft volgens de formule

Algemeen - I} _ _ dH} = - - 3 dl} x R. 47TR - 1 - -dH = - -dl x R. 47TR3

Dit is de formule van Biot Savart. Zie figuur 2.11.

R

Fig. 2.11.

Combinatie van de formules voor d2 F },2 en dH} levert op

- 2 - - _

-d F},2 - tLoI2-d/2 x dH}.

(2.16)

Maakt dl} deel uit van een draad I} dan levert elk elementje dl} een bijdrage tot de veldsterkte, die in het beschouwde punt totaal H} wordt:

dF} 2 = tLoI2d/2 x Hl·

Algemeen

(2.17)

2.6. Fluxdichtheid

We voeren nu in de magnetische fluxdichtheid B. Er geldt

(2.18) We stellen

47

J1.r hangt af van de materie, waarin het magnetische veld zich bevindt.

J1.0 heet de absolute permeabiliteit, J1._r heet de relatieve permeabiliteit. In tegenstel-ling tot er kan J1._r kleiner dan 1 zijn; in de meeste gevallen is hij groter dan en soms zelfs veel groter dan 1. Voor vacuum is J1._r = 1.

Hieronder volgt voor enkele stoffen de waarde van J1._{r :}

lucht bismuth koper aluminium 1 + 4.10.7 1 - 1,7· IO-s 1 - I·IO- s I + 2· lO·s ijzer }

cobalt 100 tot 1000 (niet constant) nikkel

Het blijkt dat de kracht, zoals afgeleid in (2.17) afhangt van de materie volgens (2.18), zodat de kracht op een draad-elementje dl, waarin een stroom i vloeit in een magnetisch veld met fluxdichtheid

B

geschreven kan worden als

dF = idl x

B.

Deze formule is ook te schrijven als dF

=

dl ix

B

Is het magnetische veld homogeen, dan resulteert

F

= iTxB,

waarin

ï

de vector is van de rechte geleider I. Met (2.12) kunnen we ook schrijven

dF = dQvx

B,

(2.20a) (2.20b)

(2.21 )

(2.22) hetgeen de kracht is, die een bewegende lading dQ in een magnetisch veld onder-vindt.

Men maakt bij de vaststelling van de eenheid van stroomsterkte gebruik van de krachtwerking tussen twee stroomvoerende evenwijdige geleiders. Zie par. 2.8. Uit het bovenstaande volgt nog, dat B wel en H niet rechtstreeks meetbaar is (ver-gelijk dit met het elektrostatische geval).

2.7. Het hall-effect

In figuur 2.l2a is een geleidend plaatje getekend, waardoorheen een stroom I vloeit. Loodrecht op het plaatje is een magnetisch veld met flux dichtheid B (naar voren gericht). Op de bewegende ladingen, waarvan we aannemen dat ze positief zijn, wordt nu een kracht naar links uitgeoefend (zie figuur 2.l2b).

G-B

c

De linkerkant van het plaatje krijgt hierdoor een hogere potentiaal dan de rechter-kant: er ontstaat een spanning U_cd

>

O.

Dit verschijnsel staat bekend onder de naam hall-effect.

Als de stroom plaatsvindt door middel van negatieve deeltjes (zoals in geleiders) dan is de kracht ook naar links gericht, waardoor het linkervlak negatief wordt. Dit is dus een methode om na te gaan of stroomgeleiding door elektronen of door positieve deeltjes plaatsvindt.

Men kan met zo'n zogenoemd hall-plaatje de grootte van de magnetische flux-dichtheid meten. Een hall-plaatje maakt men bij voorkeur van halfgeleidermate-riaal, omdat dan bij een bepaalde stroomdichtheid de snelheid van de deeltjes groter is dan in een geleider. Daardoor wordt de spanning tussen de zijvlakken groter.

Een hall-plaatje is in principe een gy ra tor, zie figuur 2.13.

Een positieve stroom 1₁ heeft de positieve spanning U cd tot gevolg (bij positieve ladingdragers). Dus

Een positieve stroom 1₂ heeft een negatieve spanning Uab tot gevolg, dus

We hebben zodoende een tweepoort volgens figuur 2.14.

Fig. 2.13. I a 1 b

B

d

₀

I,

a:

~ b Fig. 2.14. We noemen dit een gyrator, waarvoor de formules zijn:

2.8. De regel van Ampère

1₂

Q

gyrator

::

(2.23)

We bepalen de magnetische veldsterkte, die een stroomvoerende rechte geleider met lengte I op afstand R veroorzaakt. Zie figuur 2.15.

We beschouwen het lijnstukje dl. Tengevolge van de stroom 1 in dl ontstaat in P een magnetisch veld met sterkte

Idl

dH = - - cos'P. 41TR2 ₁

-

-

- - - -

-

- - ~~--- -49 'hl 1 - - - . - - - : : .. p 'hl Fig. 2.15. dH = I cos4' dil' 47TR ' dus

H = 2f -'" Id4' cos4' = -SIn4' I .

I'"

= - -Isinet o 47TR 27TR 0 27TR

met

!hl I

sin et = V1f4/2 + R 2 = -"';;:/;<=2 =+=4=R=;:2

dus

Opmerking. De invloed van de toevoerdraden, die I veroorzaken, is buiten beschou-wing gelaten.

Voor I -+ 00 vinden we

H=_I_

27TR R> O. (2.24)

In woorden: Een stroom I in een oneindig lange rechte geleider veroorzaakt in een punt op afstand R een magnetisch veld met veldsterkte H. De veldsterkte is Omgekeerd evenredig met de afstand.

De noemer 27TR is juist de omtrek van de cirkel door een vlak loodrecht op de

geleider, die door het beschouwde punt gaat en met de geleider in het middel-punt.

We kunnen derhalve schrijven <pHdl = I.

Men kan afleiden, dat ook voor willekeurige al of niet in een plat vlak liggende gesloten krommen en zelfs voor een willekeurige stroomverdeling deze formule

geldig blijft, mits we Hdl vervangen door H-dl. We krijgen dan

<PH-di = I. (2.25)

Het teken ~ staat voor gesloten lijnintegraal of kringintegraal zoals in § 1.7. We beschouwen een klein stukje dl van een lus, zie figuur 2.16. Kiezen we de omlooprichting rechtsom, dan kunnen we aan dl een richting toekennen, zodat de vector

dï

vastligt. Ter plaatse van dl heeft het magnetische veld een bepaalde sterkte en een bepaalde richting (H). Het inwendige produkt TI • dl is dus gelijk aan H/dl, waarin Hl de langscomponent van H is.

Tellen we langs de gehele omtrek gaande alle produkt en

H •

dl op, dan ontstaat het linkerlid van formule (2.25).

In het rechterlid staat de som van alle stromen (al of niet homogeen verdeeld), die gaat dóór het oppervlak dat de lus als rand heeft. Omlooprichting en stroomrichting zijn daarbij rechtscyclisch gekoppeld. Met nadruk wijzen wij er op dat het rechterlid van 2.25 een

gesloten stroomkring moet zijn. Formule (2.25) is dus niet geldig als een deel van een stroomkring wordt beschouwd. Uit (2.25) volgt de eenheid van de magnetische veld-sterkte: 1 Alm.

We bepalen opnieuw, maar nu met de regel van Ampère de magnetische

veld-sterkte, die wordt opgewekt door een oneindig lange rechte draad, waardoor een stroom I vloeit, zie figuur 2.17.

Fig. 2.16. ( / " / Fig. 2.17. 1

We kiezen een cirkel met straal R, waarvan het vlak loodrecht op de geleider staat en waarvan het middelpunt op de as van de geleider ligt. We veronderstel-len de geleiderdoorsnede cirkelvormig. De omlooprichting is volgens de pijl. Vanwege de symmetrie heeft de veldsterkte H op deze lijn overal dezelfde waar-de. Verder is de omlooprichting rechtscyclisch met de richting van de stroom I

gekoppeld. Toepassen van (2.25) levert

H • dl = H21TR = 1

dus

hetgeen overeenkomt met (2.24).

In vectornotatie:

-

ÏxR

We beschouwen nu twee oneindig lange evenwijdige, dunne geleiders, waarin stromen 1₁ en 1₂ vloeien. De afstand tussen de geleiders is a. Zie figuur 2.18.

a

~---"J""iï

F

(t.g.v.I

1)

Fig. 2.18.

De stroom 11 wekt ter plaatse van de draad .2 een magnetische fluxdichtheid Bop:

,uIl

B =

-21Ta a*Q

Met (2.21) is de kracht voor een lengte l:

a*Q

De kracht is aantrekkend. Als 1₁ = 1₂ = 1 A, a = I m en de geleiders bevinden zich in vacuum, dan is de kracht

,uo 41T • 10-7

F = - = = 2 • 10-7 _{newton per meter (Nim).}

21T 21T

Dit is de definitie-formule voor de eenheid van stroom.

Om de veldsterkte te berekenen, veroorzaakt door meer geleiders, kan men ge-bruik maken van superpositie. Voorbeeld, zie figuur 2.19.

y

3A