WYKRYWANIE WARSTWY BRZEGOWEJ A POSTERIORI W PROBLEMACH NUMERYCZNYCH POWŁOK ZDOMINOWANYCH GIĘTNIE

43, s. 177-184, Gliwice 2012

WYKRYWANIE WARSTWY BRZEGOWEJ A POSTERIORI W PROBLEMACH NUMERYCZNYCH

POWŁOK ZDOMINOWANYCH GIĘTNIE

Ł

M

, G

Z

1Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie, Wydział Nauk Technicznych e-mail: lukasz.miazio@uwm.edu.pl

2 Instytut Maszyn Przepływowych PAN w Gdańsku e-mail: zboi@imp.gda.pl

Streszczenie. Prezentowane badania dotyczą wykrywania a posteriori warstwy brzegowej w analizie numerycznej struktur cienkościennych na przykładzie powłok zdominowanych giętnie. Poprzednie badania dotyczyły płyt. W niniejszej pracy przedstawione będą metody wykrywania a posteriori efektu brzegu w przypadku dwóch trójwymiarowych modeli powłok: hierarchicznym i Reissnera-Mindlina oraz przypadki brzegu prostoliniowego i zakrzywionego.

W celu potwierdzenia poprawności metody energie lokalne uzyskane za pomocą narzędzia do wykrywania zostaną porównane z rozwiązaniem globalnym.

1. WSTĘP

W artykule przedstawiono kolejny etap badań nad wykrywaniem a posteriori warstwy brzegowej, inaczej efekt brzegu, w analizie numerycznej struktur cienkościennych. W pracy rozważono przypadek powłok zdominowanych giętnie. Przypadek płyt był rozpatrywany w [2, 3].Tematyka pracy stanowi jedną ze ścieżek kontynuacji rozważań prowadzonych przez Zboińskiego [5] nad optymalizacją modelowania układów ciał odkształcalnych z wykorzystaniem metod adaptacyjnych. Metody adaptacyjne wykorzystywane są między innymi w analizie problemów struktur cienkościennych. Specyfika tych struktur, przejawiająca się dużą różnicą pomiędzy wymiarami wzdłużnymi i wymiarem poprzecznym, powoduje różnorodne następstwa natury teoretycznej i numerycznej. W tym kontekście wymienić można efekt brzegu związany z wykładniczym charakterem rozwiązania w sąsiedztwiebrzegu struktury. Jego istnienie wpływa na numeryczne uwarunkowanie rozwiązań problemów struktur cienkościennych.Warto zauważyć, że efekt brzegu badany był analitycznie i numerycznie w licznych pracach [1, 4], ale nigdzie nie zaproponowano narzędzi do wykrywania i przeciwdziałania temu zjawisku.

2. CELE NASZYCH BADAŃ

Ogólnym celem badań jest opracowanie narzędzi do wykrywania zjawiska warstwy brzegowej, skutecznych w przypadku płyt, powłok zdominowanych giętnie, powłok

zdominowanych membranowo i zadań mieszanych. Badania prezentowane w niniejszej pracy dotyczą drugiego z wymienionych przypadków.

Zjawisko efektu brzegu wynika z założenia niedostatecznie dokładnej postaci rozwiązania w kierunku prostopadłym do brzegu struktury. Rozwiązanie większości problemów brzegowych struktur cienkościennych wymaga bowiem sumowania gładkiego rozwiązania we wnętrzu struktury i rozwiązania brzegowego, opisanego funkcjami o dużych gradientach, rosnących wykładniczo w kierunku normalnym do tego brzegu. W przypadku analizy numerycznej omawiane zjawisko można przezwyciężyć, wprowadzając w sąsiedztwie brzegu struktury przestrzeń aproksymującą wzbogaconą wykładniczo w kierunku normalnym (siatka zagęszczona w tym kierunku).

Zauważyć należy, że efekt brzegu opóźnia wejście rozwiązania numerycznego w obszar zbieżności asymptotycznej. Osiągnięcie przez rozwiązanie zakresu zbieżności asymptotycznej jest istotne, gdyż estymatory błędów i oparte na nich procedury adaptacyjne wykorzystują założenie o takiej właśnie zbieżności. Dlatego też pożądana jest taka modyfikacja siatki, aby przed przystąpieniem do adaptacji typu h i p (zmiana, odpowiednio, wymiaru h i stopnia p aproksymacji elementu) rozwiązanie znalazło się w obszarze zbieżności asymptotycznej.

Opracowywane narzędzia wraz z odpowiednimi procedurami zmiany siatki początkowej służą temu celowi.

Niniejsza praca odnosi się do problemu wykrywania a posteriori efektu brzegu w przypadku dwóch (hierarchiczny i Reissnera-Mindlina) trójwymiarowych modeli powłok oraz przypadków brzegu prostoliniowego i zakrzywionego. Zgodnie z teorią te cztery przypadki cechują inne właściwości.

3. ZJAWISKO WARSTWY BRZEGOWEJ I JEGO WYKRYWANIE

Metoda wykrywania efektu brzegu za pomocą zaproponowanego narzędzia polega na porównaniu dwóch energii odkształcenia z rozwiązań lokalnych, uzyskanych dla obszaru przy brzegu. Metoda bierze za punkt wyjścia pracę [5]. W metodzie tej wspomniany obszar jest podzielony na cztery elementy skończone, w sposób arytmetyczny lub wykładniczy (rys. 1).

Rys.1. Idea narzędzi do wykrywania zjawiska

Energia odkształcenia większa w pierwszym przypadku świadczy o braku efektu brzegowego, podczas gdy energia odkształcenia wyższa dla drugiego przypadku świadczy o wystąpieniu zjawiska. Wspomniane energie odpowiadają oszacowaniom rozwiązania dokładnego.Wykrycie występowania efektu brzegu polega na dwukrotnym rozwiązaniu problemu lokalnego w celu uzyskania tych oszacowań. Problemy lokalne są zdefiniowanego w obszarze Vc pary elementów pryzmatycznych tworzącej obszar ograniczony rozważanym

brzegiem struktury oraz dwiema płaszczyznami prostopadłymi i jedną równoległą do brzegu.

Znane są wartości funkcji rozkładu naprężeń międzyelementowych na brzegu takiego obszaru Sc, uzyskane dla wspomnianej pary elementów i gwarantujące równowagę obszaru.

W obszarze tym dokonano podziału w kierunku normalnym n od brzegu na dwa mniejsze podobszary f = 1, 2 (skala podziałuMn = 2). W kierunku stycznym s nie zmieniono podziału (skala podziałuMs = 1). Następnie każdy z podobszarów dzielono na dwa elementy pryzmatyczne (i = 1, 2). Nawiązując do metod residualnych szacowania błędów, problem lokalny do rozwiązania określono następująco [5]:

 



    

2 1 1









 

fi c

i i

n

i i

i i HPQ f

f f Q

P S S

HPQT f HPQ

f f M

i HPQ f

f HPQ

f f L dS

B u u u u r u (1)

gdzie: _u^HPQ_f

 i – oznaczają wariacje przemieszczeń elementu f_i, B –to forma dwuliniowa reprezentująca energięodkształcenia, L–to praca sił zewnętrznych, u–reprezentuje wektor przemieszczenia, r–to reakcyjne naprężenia międzyelementowe.

Rozwiązując pierwszy raz zadanie (1), należy założyć parametry dyskretyzacji problemu lokalnego odpowiadające możliwości wystąpienia efektu brzegu, tj. H H1





h

H_s1  , H _n H_nart

1 , PP₁  p, QQ₁ q. W przypadku drugiego rozwiązania, parametry te przyjmuje się jako odpowiadające sytuacji, kiedy zjawisko warstwy brzegowej nie występuje: H 2





q Q Q

Q ₂  ₁  . Symbole główne H, P i Q odnoszą się do wymiaru elementów oraz ich wzdłużnego i porzecznego stopnia aproksymacji w problemach lokalnych, zaś h, p i q to ich odpowiedniki z problemu globalnego. Wielkości

nexp

H i

nart

H odpowiadają odpowiednio wykładniczemu zagęszczeniu i arytmetycznemu podziałowi na dwa pary elementów wyjściowych w kierunku normalnym tj.   2

art

exp n

n

n M M

M . W tej sytuacji zachodzi:

2 / h

Hnart  , f 1 H 9h/10

nexp 



 i f 2 H h/10

nexp 



 , przy czym f 2 odpowiada parze elementów przyległych do brzegu.

Kryterium oparte na oszacowaniach energii odkształcenia, odpowiadających dwóm powyższych przypadkom, ma postać[5]

     

 

 ²

1 1 2

1 1

1 1 2 1 1 2 1

1 1 1 1

1 ,

2 , 1

2 1

f M i

Q P H f Q P H f f f

M i

Q P H f Q P H f f

n

i i i

n

i

i u i u B u u

B (2)

Spełnienie lub niespełnienie powyższej zależności prowadzić będzie do wniosku, że zjawisko warstwy brzegowej występuje lub też nie.

Elementowy sposób detekcji efektu brzegu może być zastosowany do każdego elementu skończonego, przyległego do rozważanego brzegu. W praktyce obliczeniowej warunek (2) sprawdza się dla jednej lub kilku par elementów skończonych przyległych do tego brzegu.

4. EKSPERYMENT NUMERYCZNY

Obliczenia wykonane zostały dla powłoki zdominowanej giętnie. Ze względu na symetrię analizowana była jedna czwarta powłoki. Powłoka ma wymiary: długośćl = 1,57075 [m], grubość t = 0,03 [m] i promień R = 1 [m]. Wykonana jest z materiału sprężystego o module Younga E = 2,1110¹¹ [N/m²] i współczynniku Poissona v = 0,3. Pod uwagę wzięto dwa

przypadki warunków brzegowych. Najpierw badana była powłoka utwierdzona sztywno na brzegu prostoliniowym, następnie na brzegu krzywoliniowym. Powłoka obciążona została równomiernie siłami powierzchniowymi skierowanymi pionowo ku dołowi, o wartości p = - 4,010⁶ [N/m²]. Zastosowano dwa modele mechaniczne: hierarchiczny model powłokowy (q = 2) i model Reissnera-Mindlina (q = 1). W testach numerycznych wykorzystano siatki równomierne 3x3, 4x4 i 8x8 (rys. 2).

W eksperymencie numerycznym zmieniany był stosunek podziału  w czteroelementowym problemie lokalnym. Odpowiednią wartość energii odkształcenia U4

porównano z wartością U2 otrzymaną w dwuelementowym problemie lokalnym, tj.

% ) 100

) ( (

2 2 4

%  

 U

U U 



 (3)

Rys.2.Siatka regularna: a) 3x3, b) 4x4, c) 8x8

Wyniki przeprowadzonej analizy przedstawiono na rysunkach od 3 do 8, gdzie wartości

% (wrażliwość rozwiązania na zmianę siatki) są wyświetlone jako funkcja współczynnika podziału . Wartość  równa 1 odpowiada równomiernemu (arytmetycznemu) podziałowi, natomiast wartość 10 wskazuje, że dwa elementy znajdujące się na brzegu są dziewięć razy węższe niż dwa pozostałe elementy.

Analizując uzyskane wyniki dla brzegów utwierdzonych (rys. 3 i 5), można zaobserwować jakościową różnicę między przebiegiem krzywych uzyskanych dla modelu Reissnera- Mindlina i hierarchicznego modelu powłokowego. Porównując wartości % dla  równego 1 (podział arytmetyczny) i 10 (podział wykładniczy), można zaobserwować spadek dla pierwszego modelu i wzrost dla tego drugiego. Sugeruje to znaczący wpływ zjawiska warstwy brzegowej na wyniki rozwiązania w przypadku modelu hierarchicznego powłoki i brak takiego wpływu w przypadku modelu Reissnera-Mindlina.

W przypadku brzegów swobodnych (rys. 7 i 8) widać wzrost wartości % dla  równego 10, co świadczy o wystąpieniu efektu brzegu dla obu modeli.

Ponadto, porównując krzywe uzyskane dla trzech różnych siatek,w przypadkach brzegu prostoliniowego i krzywoliniowego, w wersji utwierdzonej i swobodnej, można zauważyć, że wyniki są podobne jakościowo.

W celu oceny efektywności zaproponowanego narzędzia porównano wyniki, odpowiadające brzegom utwierdzonym, z wynikami kontrolnymi uzyskanymi w problemach globalnych (rys. 4i6). Odpowiadają one rezultatom uzyskanym w problemach lokalnych, zaprezentowanych na rys. 3 i 5.Dla brzegu swobodnego wyników z rozwiązania lokalnego nie

porównano z problemem globalnym ze względu na inny sposób utwierdzenia elementów w problemach lokalnych i globalnym.

Rys.3. Wyniki z problemu lokalnego,utwierdzony brzeg prostoliniowy:a) siatka 3x3, b) siatka 4x4, c) siatka 8x8

Rys.4. Wyniki z problemu globalnego, utwierdzony brzeg prostoliniowy:a) siatka 3x3, b) siatka 4x4, c) siatka 8x8

Rys.5. Wyniki z problemu lokalnego, utwierdzony brzeg krzywoliniowy:a) siatka 3x3, b) siatka 4x4, c) siatka 8x8

Rys.6. Wyniki z problemu globalnego, utwierdzony brzeg krzywoliniowy:a) siatka 3x3, b) siatka 4x4, c) siatka 8x8

Porównując wyniki globalne (rys. 4 i 6) i lokalne(rys. 3 i 5), zauważyć można jakościowe podobieństwo w przypadku obu modeli dla trzech siatek o różnej gęstości. Relacje pomiędzy wartościami % i , odpowiadające wynikom globalnym,można scharakteryzować dokładnie w taki sam sposób jak w przypadku wyników lokalnych. W większości przypadków jakościowe podobieństwo wyników lokalnych i globalnych jest zaskakująco wysokie.

Rys.7. Wyniki z problemu lokalnego, swobodny brzeg krzywoliniowy:a) siatka 3x3, b) siatka 4x4, c) siatka 8x8

Rys.8. Wyniki z problemu lokalnego, swobodny brzeg prostoliniowy:a) siatka 3x3, b) siatka 4x4, c) siatka 8x8

Kończąc dyskusję na temat uzyskanych wyników, warto zwrócić uwagę na rozwiązania dla skrajnych wartości . Świadczą one o braku utraty stabilności rozwiązań. Jest to potwierdzone przez wartości %bliskie0,dla  = 0,001 i  = 1000. Można to interpretować jako tożsamość energii odkształcenia uzyskanej z problemu dwuelementowego i odpowiedniej energii z problemu czteroelementowego.

5. WNIOSKI

Dla brzegu utwierdzonego, w przypadku modelu Reissnera-Mindlina, wyniki z wykładniczo podzielonej siatki są gorsze od tych z równomiernej. W problemie tym warstwa brzegowa nie ma wpływu na wyniki. Obserwacja ta jest zgodna z teorią.

W przypadku brzegu utwierdzonego i hierarchicznego modelu powłokowego sytuacja jest odwrotna. Wpływ efektu brzegu jest widoczny.

Wyniki globalne, odpowiadające powyższym przypadkom, potwierdzają skuteczność proponowanego narzędzia do wykrywania.

W przypadku, gdy mamy do czynienia z brzegiem swobodnym oraz modelami Reissnera- Mindlina i hierarchicznym, wyniki z wykładniczo podzielonej siatki są lepsze od tych z równomiernej. W obu przypadkach warstwa brzegowa ma znaczący wpływ na wyniki.

Podsumowując, stwierdza się, że zaproponowana metoda umożliwia efektywne wykrywanie warstwy brzegowej w problemach struktur cienkościennych. Wykrywanie to może być oparte na wynikach z jednej lub kilku par elementów przyległych do brzegu.

LITERATURA

1. Cho J. R., Oden J. T.: Locking and bondary layer in hierarchical models for thin elastic structures.“Comput. Methods Appl. Mech. Engrg” 1997, 149, p. 33-48.

2. Miazio Ł., Zboiński G.: The numerical tool for a posteriori detection of boundary layers in hp-adaptive analysis. ShortPapers2011 CMM, Warszawa, p. 351-352, CD ROM, p. 1-6.

3. Miazio, Ł.: Narzędzia numeryczne do wykrywania a posteriori efektu brzegu i ich przydatność w adaptacyjnych metodach elementów skończonych.Praca magisterska (promotor G. Zboiński). Olsztyn: Uniwersytet Warmińsko – Mazurski, Wydział Nauk Technicznych, 2008.

4. Schwab C., Suri M.: The p and hp versions of the finite element method for problems with boundary layers. “Math. Comput.” 1996, 65, p. 1403-1429.

5. Zboiński, G.:Modelowanie hierarchiczne i metoda elementów skończonych do adaptacyjnej analizy struktur złożonych. Zesz. Nauk. IMP PAN, 520/1479, Gdańsk, 2001.

A POSTERIORI DETECTION OF BOUNDARY LAYERS IN NUMERICAL PROBLEMS

OF BENDING-DOMINATED SHELLS

Summary.The presented research concerns a posteriori detection of boundary layers in the numerical analysis of thin-walled structures. Our previous research dealt with plates. Here we address the case of bending-dominated shells.In this paper we are interested in the a posteriori methods for detecting the edge effect in two 3D-based models of shells: hierarchical and Reissner-Mindlin ones. Straight and curved edges are concerned. In order to confirm correctness of the detection tool,the local solutions obtainedby means of this tool, have been compared with the global solution.