ZAGADNIENIE EFEKTU WARSTWY BRZEGOWEJ

Adres do korespondencji – Corresponding author: Joanna Witkowska-Dobrev, Szkoáa Gáówna Gospodarstwa Wiejskiego, Wydziaá Budownictwa i InĪynierii ĝrodowiska, Katedra InĪynierii Budowlanej, ul. Nowoursynowska 159, 02-776 Warszawa, e-mail: joanna_witkowska@sggw.pl

ZAGADNIENIE EFEKTU WARSTWY BRZEGOWEJ

W LINIOWO-SPRĉĩYSTEJ PRZEGRODZIE BUDOWLANEJ O POPRZECZNEJ GRADACJI WàASNOĝCI

Monika Wągrowska, Joanna Witkowska-Dobrev

Szkoáa Gáówna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie

Streszczenie. Rozpatrzono zagadnienie efektu warstwy brzegowej w wielowarstwowej prze- grodzie budowlanej charakteryzującej siĊ poprzeczną gradacją wáasnoĞci dla zagadnienia stacjonarnego. KaĪda warstwa rozpatrywanej przegrody zbudowana jest z dwóch izotro- powych, jednorodnych, sprĊĪystych materiaáów. Rozwiązanie bez uwzglĊdnienia efektu warstwy brzegowej ograniczono do jednowymiarowego zagadnienia w ramach wariantu asymptotycznego modelowania tolerancyjnego – homogenizacji lokalnej. Równania efektu warstwy brzegowej przedstawiono w ramach modelu tolerancyjnego.

Sáowa kluczowe: poprzeczna gradacja wáasnoĞci, asymptotyczny wariant modelowania tole- rancyjnego – homogenizacja lokalna, efekt warstwy brzegowej

WSTĉP

Materiaáy z funkcjonalną gradacją wáasnoĞci efektywnej (functionally graded ma- terials – FGM) są od dawna przedmiotem zainteresowania mechaniki materiaáów. Ze wzglĊdu na budowĊ materiaáów o strukturze FGM równania równowagi są równaniami o nieciągáych wspóáczynnikach. Aby je rozwiązaü, naleĪy siĊ posáuĪyü metodami przy- bliĪonymi. W pracy zostaá wybrany wariant asymptotycznego modelowania tolerancyj- nego – homogenizacji lokalnej, zaproponowany przez WoĨniaka i innych [2008]. Metoda ta pozwala na wyznaczenie przybliĪonego rozkáadu pola przemieszczeĔ, naprĊĪeĔ i od- ksztaáceĔ.

Korzystając z niej, naleĪy jednak pamiĊtaü, iĪ kaĪdy taki rozkáad nie speánia zadanych warunków brzegowych na brzegach przecinających uwarstwienie. W związku z tym ko- nieczna jest modyfikacja rozwiązania na pole przemieszczenia otrzymanego w ramach metody homogenizacji lokalnej. Polega ona na dodaniu do rozwiązania otrzymanego

w ramach homogenizacji lokalnej skáadnika, który speánia równanie tzw. efektu warstwy brzegowej. Otrzymane w ten sposób przybliĪone rozwiązanie speánia warunki brzegowe.

W artykule rozpatrzono przegrodĊ budowlaną o strukturze wielowarstwowej, cha- rakteryzująca siĊ poprzeczną gradacją wáasnoĞci efektywnych (rys. 1), która w konfigu- racji odniesienia zajmuje obszar: ^{: {}

  

^{0,L u 0,H}



^uR, ^x



^{x ,x ,x1 2 3}



^{:, x1}

 

^{0,L ,}



^{x ,x2 3}



^



^0,H



^uR. KaĪda warstwa kompozytu ma staáą gruboĞü ^L

K p (gdzie: p – liczba warstw, ¹ 1

p ) i skáada siĊ z dwóch izotropowych liniowo-sprĊĪystych, idealnie przy- legających materiaáów. Jeden z materiaáów nazywany jest umownie osnową, oznaczoną na rysunku 1 kolorem biaáym, a drugi – wzmocnieniem, oznaczonym kolorem czarnym.

Rozpatrywany kompozyt charakteryzuje siĊ poprzeczną gradacją wáasnoĞci. Oznacza to, Īe nasycenie w ramach wszystkich warstw zmienia siĊ bardzo wolno w kierunku prostopadáym do uwarstwienia, tj. w kierunku osi Ox². Funkcja ^QR

 

^˜,QR

 

^{x2 }

 

^{0,1 ,}

   > @ 

2 1

0, , ^R 0,

x  H Q C H , jest funkcją opisującą Ğrednią frakcjĊ wzmocnienia w warstwie, natomiast ^QM

 

^˜ , które opisuje Ğrednią frakcjĊ osnowy w warstwie, wynosi

 

^{2 1}

 

^{2 , 2}

^>

⁰

^@

M R

Ȟ x Ȟ x x  ,H .

Rys. 1. Schemat struktury o poprzecznej gradacji wáasnoĞci dla x³ = 0: Ș – gruboĞü warstwy, ī₀^H, ī0O – brzegi kompozytu

Fig. 1. Scheme of FGM structure with transversal gradation of properties for x³ = 0: Ș – thickness of layer, ī₀^H, ī₀^O – boundaries of composite

WáasnoĞci materiaáowe skáadników opisane są staáymi sprĊĪystoĞci Lamego i wynoszą odpowiednio ȝ , ȜM M w osnowie i ȝ , ȜR R we wzmocnieniu. CzĊĞü obszaru kompozytu zajĊta przez materiaá osnowy oznaczona jest jako ȍM, a przez wzmocnienie – jako ȍR.

Páaszczyzna Ğrodkowa j-tej warstwy zdefiniowana jest jako: ²



¹



j 2

x x x^K K j K, j = 1, …, m.

W pracy rozwaĪania zawĊĪono do zagadnienia jednowymiarowego w ramach modelu homogenizacji lokalnej dla páaskiego stanu odksztaácenia.

METODYKA

Zgodnie z procedurą wariantu asymptotycznego modelowania tolerancyjnego – ho- mogenizacji lokalnej [WoĨniak i in. 2008, 2010, Wągrowska i Witkowska-Dobrev 2010]

dla rozpatrywanego kompozytu znajdującego siĊ w páaskim stanie odksztaácenia dla za- gadnienia stacjonarnego poszukiwane pole przemieszczenia w danej warstwie o páasz- czyĨnie Ğrodkowej x² = x przybliĪamy przez funkcjĊ w^x

 

^˜ :



wx^1,wx²



_x   w

       

2

2

2 x 2

wx x u x h x ȣ x (1)

       

1

2

1 x 1

wx x u x h x ȣ x

gdzie: ^u1

 

^{˜ , u2}

     

^{˜ , ȣ1 ˜ , ȣ2 ˜ C1}

 

^: – nieznane pola noszące nazwĊ uĞrednionego pola przemieszczeĔ i amplitudy fluktuacji przemieszczenia,

 

⁰

 

hx ˜ C : – lokalna funkcja ksztaátu, która dla rozpatrywanego kompozytu jest funkcją kawaákami liniową [WoĨniak i in. 2008] i przyjmuje na interfejsach wartoĞci z przedziaáu ,

2 2

§K K·

¨ ¸

© ¹.

W wyniku zastosowania procedury – homogenizacji lokalnej [WoĨniak i in. 2010, Wągrowska i Witkowska-Dobrev 2010] dla rozpatrywanego zagadnienia otrzymujemy

1 0, 1 0, a 2 0 i 2 0

u X u z X z .

Nieznane pole^X2

 

^˜ moĪna przedstawiü za pomocą u2 2,

 

˜:

   

   

 

2

2 2 2 2

2 2

2 2 , ,

R M

M R R M M R

R M

R M

R M

ȣ Ȟ Ȟ

Ȟ ȝ Ȟ ȝ

ȝ ȝ u u

O Q O Q

O O

§ ·

¨ ¸u

¨    ¸

© ¹

ª º

u¬    ¼

(2)

Natomiast równanie na nieznane pole u2

 

˜ redukuje siĊ do postaci:

 



^{2ȝ Ȝ u 2 2, ,}



^{2 0 (3)}

Po rozwiązaniu równania (3) na nieznane ^u2

 

^˜ pole przemieszczenia ^w2

 

^{˜ moĪe byü}

aproksymowane w postaci:

2 2 2 2

w |u hMw u (4)

gdzie:

   

 



^{2 2}



2 2 ^{R M}

R M

M R

R R M M

Ȝ R M

M Ȟ Ȟ

Ȝ ȝ Ȟ Ȝ ȝ Ȟ ^O P P

§ ·

¨ ¸ ª¬  º¼

¨ ¸

© ¹

 

   (5)

oraz ^h

 

^˜ jest globalną fluktuacyjną funkcją ksztaátu.

Z postaci rozwiązania na ^w2

 

^˜ danego związkiem (4) wynika, Īe warunek brzegowy na brzegu:

  ^ `

     ^ ` 

⁰

0 0, 0 0, 0 0^H

ī L u uR ‰ L u H uR ī ‰ī nie jest speániony (rys. 1).

Zgodnie z procedurą zaproponowaną przez WoĨniaka [2010] pole przemieszczenia w obszarze przylegáym do ī0 poszukiwane jest w postaci:

 2

2 2 2 2 2 2

w2 w h q u h Mw u h q (6)

gdzie: ^w2

 

^˜ – rozwiązanie dane wzorem (4) w ramach modelu homogenizacji lokalnej,

 

h ˜ – dana globalna fluktuacyjna funkcja ksztaátu.

Nieznane pole ^q2

 

^˜ wyznacza siĊ z równania tzw. efektu warstwy brzegowej, otrzy- manego w ramach procesu modelowania tolerancyjnego [WoĨniak i in. 2008]. Równanie na nieznane pole [WoĨniak i in. 2010] przyjmuje postaü:



²ȝ Ȝ h q ,



^{2 2}ȟȟ

 

h,^{2 2}ȝ q^{2 0} (7)

gdzie q2

 

˜ na brzegu ī0⁰iī0^H speánia warunki odpowiednio:

0 0

0 0 0 0

2 ī 2 2 ī i 2 īH 2 2 īH

q  wM u q  wM u (8)

Równanie (7) moĪna przedstawiü w postaci:

0 2, 0 2 0

A q [[ B q (9)

gdzie:

 

^{2 2}

0 2 2

A { P O h K12 P O

 

²

0

R M

M R

R M

B P h P Q P Q Q Q

{  (10)

WielkoĞci A₀ i B₀, dane związkami (10), zaleĪą od wspóárzĊdnej x². Równanie (9) jest wiĊc równaniem róĪniczkowym, liniowym, o wspóáczynnikach zaleĪnych tylko od x² (w pobliĪu ī0⁰:[ x¹, ī0^H:[ Hx¹ ).

Po rozwiązaniu równania (9) i speánieniu warunków brzegowych (8) otrzymuje siĊ przybliĪone rozwiązanie na pole przemieszczenia w2

 

˜ w obszarze warstwy brzegowej w postaci:

w obszarze przylegającym do brzegu ī0⁰

 

 

     

     

2 2 2

2 2 2 2 2

0

2 1 3 0 1

2 2 0

0

2 3

0 0 exp

w x w u h x M x u x

h x M u x , , x B x

Ș A

|  w 

§ ·

 w ¨¨© ¸¸¹

(11a)

w obszarze przylegającym do brzegu 0

īH

 

 

     

       

2 2 2

2 2 2 2 2

2 1 3 0 1

2 2

0

exp 2

H H

w x w u h x M x u x

h x M H u x , H, x 3B H x Ș A

|  w 

§ ·

 w ¨¨©  ¸¸¹

(11b)

Z postaci otrzymanych rozwiązaĔ wynika, Īe wraz z oddalaniem siĊ od brzegów ī0⁰

i ^ī0H skáadnik otrzymany z rozwiązania efektu warstwy brzegowej zanika.

WYNIKI BADAē

W pracy rozwaĪana jest struktura wielowarstwowa (przegrody budowlanej) o po- przecznej gradacji wáasnoĞci dla O^{M 0,128,}P^{M 0,055}, OR ^0,5035, PR ^{0, 2594}. WysokoĞü przegrody wynosi H = 200 cm, szerokoĞü L = 54 cm i posiada nieskoĔczoną dáugoĞü w kierunku osi x³.

Kompozyt ma 27 warstw, o staáej gruboĞci K 2 cm. PrzyjĊto nastĊpujące warunki brzegowe: ^u2



^{x , , x1 0 3}



^{u uo, 2}



^{x , L, x1 3}



^0,x1

^>

^0,H

^@

^{, x3}  R. PrzybliĪone rozwiąza- nie na ^w2

 

^{˜ ,} otrzymane w wyniku wariantu asymptotycznego modelowania tolerancyj- nego – homogenizacji lokalnej, otrzymano w postaci: w2|u2hMw2u w2, 1 0.

W pracy zostaáy rozpatrzone dwa przypadki dla róĪnych postaci funkcji nasycenia:

1 – funkcja nasycenia liniowa, 2 – funkcja nasycenia kwadratowa.

Przykáad 1. Opisuje przypadek, gdy rozkáad Ğredniej frakcji nasycenia ^QR

 

^{˜ dany}

jest w postaci funkcji liniowej. Rozkáad poszukiwanego pola przemieszczenia, opisany rozwiązaniem danym wzorem (4), bez uwzglĊdnienia efektu warstwy brzegowej, przed- stawiono na rysunku 2. Rozwiązanie na poszukiwane pole przemieszczenia uwzglĊdnia- jące efekt warstwy brzegowej o postaci (6), oznaczone jako ²

w2 , które speánia warunek brzegowy na brzegu _ī0⁰, dane jest związkami (11a) i (11b).

Rysunek 3 przedstawia przybliĪony rozkáad pola przemieszczenia w₂² , który uwzglĊd- nia efekt warstwy brzegowej. Wykresy te są wykreĞlone dla róĪnych wartoĞci rzĊdnej ȟ (0; 0,25; 2,5) fragmentu kompozytu od brzegu . Wykres ilustruje, Īe wraz ze zbliĪaniem siĊ do brzegu zanikają oscylacje rozkáadu pola przemieszczenia.

–

–

Rys. 2. Wykres w2 bez uwzglĊdnienia efektu warstwy brzegowej

Rys. 3. Wykres w2 z efektem warstwy brzego- wej dla róĪnych wielkoĞci ȟ: 1 – ȟ = 0;

2 – ȟ = 0,25; 3 – ȟ = 2,5 Fig. 2. The graph w₂ without boundary layer

effect

Fig. 3. The graph w₂ boundary layer effect for different sizes ȟ: 1 – ȟ = 0; 2 – ȟ = 0.25;

3 – ȟ = 2.5

Ksztaát i wielkoĞü oscylacji pola przemieszczenia dla ȟ = 0,25 zostaá przedstawiony na rysunku 4 dla pierwszych trzech warstw kompozytu, a na rysunku 5 dla ostatnich trzech warstw kompozytu.

Rys. 4. Wykres dla pierwszych trzech warstw, gdy ȟ = 2,5

Rys. 5. Wykres dla ostatnich trzech warstw, gdy ȟ = 2,5

Fig. 4. The graph for the first layers, when ȟ =

= 2.5 three

Fig. 5. The graph for the last three layers, when ȟ = 2.5

Przykáad 2. Przedstawia przypadek, gdy rozkáad Ğredniej frakcji nasycenia ^QR

 

^˜

dany jest w postaci funkcji kwadratowej

 

2

 

^{2 2}

1 2

R x

Ȟ x  L . Rozkáad poszukiwanego pola przemieszczenia ^w2

 

^{˜ ,} opisany rozwiązaniem danym wzorem (4), bez uwzglĊdnienia efektu warstwy brzegowej, przedstawiono na rysunku 6. Rozwiązanie na poszukiwane pole przemieszczenia uwzglĊdniające efekt warstwy brzegowej o postaci (6), oznaczone

jako w 2² , które speánia warunek brzegowy na brzegu ī0⁰, dane jest związkami (11a) i (11b). Rysunek 7 przedstawia przybliĪony rozkáad pola przemieszczenia w ₂², który uwzglĊdnia efekt warstwy brzegowej.

Rys. 6. Wykres w2 bez uwzglĊdnienia efektu warstwy brzegowej

Rys. 7. Wykres w2 z efektem warstwy brzego- wej dla róĪnych wielkoĞci ȟ: 1 – ȟ = 0;

2 – ȟ = 0,25; 3 – ȟ = 2,5 Fig. 6. The graph of w₂ without boundary

layer effect

Fig. 7. The graph of w₂ with the boundary layer effect for different sizes ȟ: 1 – ȟ = 0;

2 – ȟ = 0.25; 3 – ȟ = 2.5

Wykresy te są powstaáy dla róĪnej wielkoĞci rzĊdnej ȟ(0; 0,25; 2,5) fragmentu kom- pozytu od brzegu ī0⁰. Zmiany wspóárzĊdnej x² wiąĪą siĊ ĞciĞle ze zmianą zawartoĞci materiaáu wtrącenia, które sáabiej siĊ odksztaácają od drugiego skáadnika, którym jest ma- teriaá osnowy. Wykres wykazuje, Īe wraz ze zbliĪaniem siĊ do brzegu zanikają oscylacje rozkáadu pola przemieszczenia.

Rys. 8. Wykres oscylacji dla pierwszych trzech warstw, gdy ȟ = 2,5

Rys. 9. Wykres oscylacji dla ostatnich trzech warstw, gdy ȟ = 2,5

Fig. 8. The graph of oscillations for the first three layers, when ȟ = 2.5

Fig. 9. The graph of oscilations for the last three layers, when ȟ = 2.5

Ksztaát i wielkoĞü oscylacji pola przemieszczenia dla ȟ = 2,5 zostaá przedstawiony na rysunku 8 dla pierwszych trzech warstw kompozytu, a na rysunku 9 dla ostatnich trzech warstw kompozytu.

PODSUMOWANIE

Rozwiązanie na ^w2

 

^{˜ ,} otrzymane w ramach asymptotycznego wariantu modelowa- nia tolerancyjnego – homogenizacji lokalnej, nie speánia warunków brzegowych na brze- gach przecinających warstwy.

W wyniku zastosowania równaĔ tzw. efektu warstwy brzegowej, otrzymane rozwią- zanie na pole przemieszczenia w₂² speánia warunki brzegowe na brzegach przecinają- cych uwarstwienie.

Z postaci rozwiązania (11a) i (11b) wynika, Īe wpáyw efektu warstwy brzegowej na rozkáad przybliĪonego pola przemieszczenia zanika wraz z odlegáoĞcią od brzegu.

MoĪna wykazaü, Īe zasiĊg efektu warstwy brzegowej w omawianych przypadkach zanika po osiągniĊciu 2,5 gruboĞci warstwy od kaĪdego z brzegów, bez wzglĊdu na po- staü funkcji nasycenia i liczbĊ warstw, na jaki podzielono kompozyt.

PIĝMIENNICTWO

Wągrowska M., Witkowska-Dobrev J., 2010. Wpáyw struktury gradientowej na wáasnoĞci sprĊĪyste kompozytów warstwowych. Acta Scientiarum Polonorum, Architectura 9 (4), 5–13.

WoĨniak Cz., 2010. Asymptotic Modelling and Boundary – layer Effect for Functionally Graded Microlayered Composites. Acta Scientiarum Polonorum, Architectura 9 (2), 3–9.

WoĨniak Cz., Michalak B., JĊdrysiak J., 2008. Thermomechanics of Heterogeneous Solids and Structures. Tolerance Averaging Approach. Wydawnictwo Politechniki àódzkiej, àódĨ.

WoĨniak Cz. et al., 2010. Mathematical Modelling and Analysis in Continuum Mechanics of Mi- crosrtructured Media. Professor Margaret WoĨniak pro Memoria. Wydawnictwo Poli- techniki ĝląskiej, Gliwice.

EFFECT OF BOUNDARY LAYER IN A WALL WITH TRANSVERSAL GRADATION OF EFFECTIVE PROPERTIES

Summary. Effect of boundary layer for multilayered wall with transversal gradation of effective properties was investigated. Every layer of considered wall had thickness Ș and was made of two isotropic, homogeneous linear elastic materials. The consideration without effect of boundary layer was reduced to the one dimensional stationary problem within the frames of asymptotic variant of tolerance modelling – local homogenization. The equations of boundary layer effect were presented within the frames of tolerance model.

Key words: transversal gradation of properties, asymptotic variant of tolerance modelling – local homogenization, boundary layer effect

Zaakceptowano do druku – Accepted for print: 21.12.2012