Wykład 2 - model produkcji input-output (Model 1)

(1)

Wykład 2 - model produkcji input-output (Model 1)

1 Wprowadzenie

Celem wykładu jest omówienie (znanego z wcześniejszych zajęć) modelu produkcji typu input-output w postaci pozwalającej na zaprogramowanie w pakiecie GEMPACK. Dla uproszczenia model 1 jest modelem gospodarki zamknietej, tj. nie obejmuje importu i eksportu.

2 Oznaczenia

Przyjęte oznaczenia odpowiadają oznaczeniom stosowanym w modelu MINIMAL (tj.

modelu, na podstawie którego wykonywane będą projekty). Zgodnie z przyjętą kon- wencją, WIELKIMI LITERAMI oznaczane są poziomy zmiennych, natomiast małe litery symbolizują procentowe przyrosty.

W modelu występują dwa zbiory - gałęzi (IN D) oraz nabywców (U SER):

• IN D = {P rodukty, U slugi}

• U SER = {P rodukty, U slugi, F inalny}

W modelu występują następujące :

• ∀_{i∈IN D}X1T OT_i - produkcja globalna w gałęzi i (w ujęciu ilościowym),

• ∀_{i∈IN D}V 1T OTi - produkcja globalna w gałęzi i (w ujęciu wartościowym),

• ∀_{i∈IN D}∀_{j∈U SER}Xij - popyt nabywcy j na produkty gałęzi i (w ujęciu ilościowym),

• ∀_{i∈IN D}∀_{j∈U SER}U SE_ij - popyt nabywcy j na produkty gałęzi i (w ujęciu wartoś- ciowym).

Powyżej zapisano zmienne „na poziomach”; te same symbole zapisywane małymi literami wyrażają procentowe przyrosty poszczególnych zmiennych.

(2)

3 Model

3.1 Postać z poziomami zmiennych

Model składa się z dwóch grup równań. Pierwsza z nich to tzw. równania bilansowe produkcji, mówiące, że produkcja danej gałęzi jest równa sumie popytu na jej wyroby:

∀_{i∈IN D} X1T OT_i = ^X

j∈U SER

X_ij (1)

Druga grupa równań opisuję technologię produkcji. W modelu input-output wyrażają one założenie, że nakłady materiałowe (zużycie pośrednie) na jednostkę produkcji danej gałęzi są stałe (in. nakłady materiałowe są proporcjonalne do produkcji gałęzi). Nakłady materiałowe na jednostkę produkcji wyrażane są przez współczynniki bezpośrednich nakładów, oznaczane w analizie input output symbolem a_ij (uwaga - dla podkreślenia, że współczynniki bezpośrednich nakładów są stałymi, a nie zmiennymi, zapisujemy je jako ¯aij). Równania nakładów materiałowych mają postać:

∀_{i∈IN D}∀_{j∈IN D} Xi,j= ¯aijX1T OTj (2)

3.2 Przekształcenie do postaci z procentowymi przyrostami zmiennych W przekształceniu korzystamy z dwóch elementarnych reguł linearyzacji:

Równanie ”na poziomach” Równanie ”na procentowych przyrostach”

Y = X + Z Y y = Xx + Zz

Y = αX y = x

Na podstawie powyższych reguł możemy przekształcić równania 1-2 do postaci:

∀_{i∈IN D} X1T OTi· x1tot_i = ^X

j∈U SER

Xij · x_ij (3)

∀_{i∈IN D}∀_{j∈IN D} xi,j = x1totj (4)

Warto zauważyć, że w równaniu 4 po linearyzacji znika stała ¯a_ij, co oznacza, że do rozwiązania modelu produkcji input-output w postaci z procentowymi przyrostami zmiennych nie trzeba obliczać współczynników bezpośrednich nakładów materiałowych.

4 Dane

Przykładowe dane do modelu, zapisane w formie I i II„ćwiartki” tablicy input-output, są następujące:

P rodukty U slugi F inalny

P rodukty 1 6 3

U slugi 4 2 8

Powyższa macierz to jednocześnie macierz [U SE_ij]. Warto też zauważyć, że wartość

produkcji globalnej można obliczyć sumując wiersze tej macierzy, tj. V 1T OT_i=^P_{j∈U SER}U SE_ij.

(3)

5 Normalizacja cen i ostateczna postać modelu

W modelu w postaci zlinearyzowanej wielkości zapisywane wielkimi literami należy trak- tować jako stałe (reprezentujące tzw. rozwiązanie początkowe), wyznaczane na podstawie danych. Dla podkreślenia tego faktu będziemy dalej zapisywać Jednak dane za- warte w tablicy input-output wyrażone są w ujęciu wartościowym (pieniężnym), podczas gdy X1T OT_i i X_ij, występujące we wzorach 3-4, wyrażają ilości.

Dane w ujęciu ilościowym nie są zwykle dostępne. W takiej sytuacji rozwiązanie polega na zastosowaniu tzw. normalizacji cen. Przyjmując umownie, że wyjściowe ceny produktów i usług są równe 1 w rozwiązaniu początkowym, mamyX1T OT_i= V 1T OT_i orazXij = U SEij, gdzie kreska nad symbolem zmiennej oznacza jej poziom początkowy, tj. wielkość pochodzącą z danych. Wówczas nieobserwowane ilości można w równaniach 3-4 można zastąpić obserwowanymi wartościami pieniężnymi, uzyskując w ten sposób finalną postać modelu:

∀_{i∈IN D} V 1T OT_i· x1tot_i= ^X

j∈U SER

U SE_ij · x_ij (5)

∀_{i∈IN D}∀_{j∈IN D} x_i,j = x_ij (6)

Zauważmy, że normalizacja cen jest założeniem, które nie wnosi dodatkowej informa- cji, tj. nie pozwala z danych pieniężnych uzyskać ilości produktów i usług w konkretnych jednostkach fizycznych, takich jak np. sztuki, tony, godziny itp. Ponieważ jednak w rozwiązaniu modelu interesują nas tylko procentowe zmiany (produkcji i popytu), jed- nostki fizyczne nie mają znaczenia. Np. gdy mówimy o wzroście produkcji o 10%, nie jest ważne, czy mierzymy tę produkcję w kilogramach czy w tonach - istotne jest natomiast, że mamy na myśli ilość, nie zaś np. wartość.

Równania 5-6 zapisane w kodzie TABLO wyglądają następująco:

Equation E_x1tot # Rownanie bilansowe produkcji #

(all,i,IND) V1TOT(i)*x1tot(i) = sum{j, USER, USE(i,j)*x(i,j)};

Equation E_x # Zuzycie posrednie proporcjonalne do produkcji # (all,i,IND)(all,j,IND) x(i,j) = x1tot(j);

Pliki z pełnym kodem modelu i założeniami symulacji można znaleźć na stronie www.inforum.uni.lodz.pl w materiałach ćwiczeniowych.

6 Przykładowa symulacja

W przykładowej symulacji zakładamy wzrost popytu na Produkty o 20% (w ujęciu iloś- ciowym). Zakładamy, że popyt finalny na Usługi nie zmienia się. Po rozwiązaniu w pakiecie GEMPACK¹ otrzymujemy następujące zmiany procentowe popytu, wyrażone

1Ten niewielki model łatwo rozwiązać także na kartce.

(4)

w postaci zmiennej x_ij:

P rodukty U slugi F inalny

P rodukty 8.57 2.86 20

U slugi 8.57 2.86 0

oraz procentowe zmiany produkcji, wyrażone w postaci zmiennej x1tot_i: P rodukty 8.57

U slugi 2.86

Powyższe liczby stanowią komplet wyników symulacji, wyznaczonych poprzez rozwiązanie układu równań 5-6. Mimo to można pogłębić interpretację wyników i rozumienie modelu dzięki podstawieniu uzyskanych liczb do wybranych równań. Podstawmy np. wyniki do równania bilansowego produkcji (5) dla pierwszej gałęzi (Produkty):

V 1T OT”P rodukty”· x1tot_{P rodukty} = U SE”P rodukty”,”P rodukty”· x”P rodukty”,”P rodukty”

+U SE”P rodukty”,”U slugi”· x”P rodukty”,”U slugi”

+U SE”P rodukty”,”F inalny”· x”P rodukty”,”F inalny”

Pod wartości współczynników podstawiamy liczby z bazy danych:

10 · x1tot”P rodukty”= 1 · x”P rodukty”,”P rodukty”

+6 · x”P rodukty”,”U slugi”

+3 · x”P rodukty”,”F inalny”

Dzieląc obustronnie przez 10 otrzymujemy:

x1tot”P rodukty” = 0.1 · x”P rodukty”,”P rodukty”

+0.6 · x”P rodukty”,”U slugi”

+0.3 · x”P rodukty”,”F inalny”

Z powyższego widać, że procentową zmianę produkcji w gałęzi Produkty można wyz- naczyć jako ważoną sumę procentowych zmian popytu na Produkty ze strony poszczegól- nych nabywców. Podstawiają do powyższego równania wyniki symulacji otrzymujemy:

x1tot”P rodukty”= 0.1 · 8.57 + 0.6 · 2.86 + 0.3 · 20 0.857 + 1.716 + 6 = 8.57

Wynik 8.57 był już oczywiście znany, ale dzięki podstawieniu do równania uzysku- jemy dekompozycję tego wyniku. Interpretacja jest następująca: produkcja gałęzi Pro- dukty wzrasta o 8.57%, przy czym wzrost popytu finalnego na Produkty bezpośrednio przyczynia się do wzrostu produkcji o 6%, wzrost popytu na Produkty ze strony sektora

(5)

Usług przyczynia się do wzrostu produkcji o 1.716%, a wzrost zużycia wewnętrznego w sektorze Produkty - do zwiększenia produkcji o 0.857%.

Podobną dekompozycję można przeprowadzić dla zmian produkcji gałęzi Usługi.

Z kolei równania 6 można zinterpretować następująco: procentowy przyrost zużycia

”materiałów” pochodzących z gałęzi i w produkcji gałęzi j jest równy procentowemu przyrostowi produkcji w gałęzi j. Na przykład:

x”P rodukty”,”U slugi”= x1tot_{”U slugi”}= 2.86

tj. popyt gałęzi Uslugi na Produkty wzrasta o 2.86% - dokładnie o tyle, o ile wzrasta produkcja gałęzi Uslugi.