32, s. 25-30, Gliwice 2006
IDENTYFIKACJA PARAMETRÓW REOLOGICZNYCH STREFY STYKU W WIELOWARSTWOWYM MODELU
NADAWY ZIARNISTEJ
URSZULA BANASZKIEWICZ-BEDA
GRZEGORZ CIEPLOK
Katedra Mechaniki i Wibroakustyki, AGH Kraków
Streszczenie. Praca opisuje praktyczny sposób wyznaczenia współczynników reologicznych strefy styku warstw nadawy sypkiej modelu wielowarstwowego nadawy [1,2,3] opartego na teorii zderzenia lepko-sprężystego Hertza- Sztajermana. Podaje oryginalny sposób rozdzielenia wartości współczynników tarcia materiałowego dla stref korpus maszyny - nadawa oraz warstwa – warstwa materiału, bazując jedynie na bilansie mocy czynnej przetwarzanej w układzie w dwóch charakterystycznych stanach jego pracy.
1. WSTĘP
Modelowanie ruchu nadawy sypkiej stanowiącej obciążenie typowych maszyn wibracyjnych może zostać ujęte w postaci opisu nadawy jako ośrodka warstwowego. Tego typu podejście sformułowane przez J.Michalczyka [2] zostało z powodzeniem zastosowane w modelowaniu ruchu nadawy i jej oddziaływań z korpusem maszyny między innymi dla przenośnika wibracyjnego, kulowego młyna obrotowo-wibracyjnego, stołu wibracyjnego czy przesiewacza.
Na poziomie formułowania modelu matematycznego podejście do nadawy jako ośrodka warstwowego sprowadza się do wyznaczenia zależności na chwilową postać siły rozwijanej podczas zderzania się ze sobą dwóch kolejnych warstw. Opierając się na teorii oddziaływań, które odpowiadają modelowi sił kontaktowych Hertza-Sztajermana, dla których postać zderzenia ma charakter sprężysto-dysypatywny, opisany pętlą histerezy odpowiadającą modelowi tłumienia materiałowego, rys.1a,1b, można wyznaczyć zależność na chwilową wartość siły wzajemnego oddziaływania w postaci:
a) b)
Rys.1: a) Model centralnego zderzenia dwóch ciał.
b) Pętla histerezy opisująca proces zderzenia.
Ψ − −
Ψ +
−
−
= − − − − − −
− sgn( )sgn( )
2 1 2
)
( 1 1, 1, 1 1
1 , 1
, i i i i
i i i i p i i i i i
i k x x x x x x
F & & (1)
gdzie: ψ – współczynnik tłumienia materiałowego, k,p – stałe Hertza-Sztajermana, i –indeks określający numer warstwy.
Tego typu podejście, stojące niejako pomiędzy teorią ruchu nadawy jako punktu materialnego na harmonicznie wzbudzanej do drgań płaszczyźnie, ujmującą zderzenie jako proces bezczasowy charakteryzowany współczynnikiem restytucji a modelami opartymi na teorii elementów skończonych, niesie ze sobą istotny problem natury praktycznej. Mianowicie brak istnienia właściwych współczynników opisujących sparametryzowaną postać siły (1).
Najbardziej istotne znaczenie posiada współczynnik rozproszenia ψ, który odpowiada za restytucję prędkości ciał podczas zderzenia, a tym samym za wartość rozpraszanej energii.
Stosowanie tablicowych wartości tego współczynnika jest rzeczą ryzykowną, zwłaszcza dla niewielkiej ilości warstw przyjętej do modelowania nadawy. Znamienną bowiem rzeczą jest fakt odmiennego sposobu zachowywania się tego samego materiału raz rozumianego jako materiał sypki, a raz jako wstrząsana bryła.
Autorzy, wychodząc naprzeciw potrzebom uzupełnienia modelu o wartości kluczowego dla teorii współczynnika, przeprowadzili serię badań porównawczych pomiędzy obiektem rzeczywistym i odpowiadającym temu obiektowi modelem numerycznym, wytyczając drogę do wyznaczenia i rozdzielenia parametrów rozproszeniowych ψ.
2. STANOWISKO BADAWCZE. MODEL NUMERYCZNY.
Zagadnienie wyznaczenia omówionych we wstępie współczynników zostało sprowadzone do zadania dostrojenia modelu cyfrowego stanowiska badawczego do wyników otrzymanych na drodze pomiarów mocy czynnej pobieranej przez jednostkę napędową i pomiarów dodatkowych pozwalających określić wartości energii rozpraszanych na elementach przenoszenia napędu i zawieszenia maszyny.
Jako maszynę realizującą proces wstrząsania nadawy w eksperymencie wykorzystano stół wibracyjny. Odcinkowa trajektoria ruchu jego korpusu pozbawiona jest składowych ruchu poziomego i związanego z nim rozpraszania pochodzącego od składowych sił stycznych. Fakt ten w znacznym stopniu ułatwia wyznaczenie energii pochodzącej tylko od oddziaływań normalnych, dla których przyjmowany jest opis (1). Stół wibracyjny pokazany na fotografii (rys.2) wzbudzany jest do drgań za pomocą wahadłowego wibratora bezwładnościowego napędzanego przez silnik asynchroniczny, który z kolei zasilany jest z przetwornicy częstotliwości. Stół do fundamentu zamocowany jest za pomocą łączników gumowych.
Rys.2: Fotografia stołu wibracyjnego Rys.3: Model obliczeniowy stołu wibracyjnego
Na rys.3 przedstawiono model fenomenologiczny stołu, w którym przez mk oznaczono masę korpusu stołu, przez mwe moment statyczny wibratora, Jzr – zredukowany na wał silnika moment bezwładności a przez k0 i b0 zastępcze współczynniki sprężystości i tłumienia wiskotycznego podparcia stołu. Nadawę przedstawiono w postaci ośmiu oddziałujących na siebie i stół warstw o równych sobie masach. Równania ruchu przyjmują wtedy postać:
2 0
2 0
0 0
1 1
, 1 ,
1 1
, 1 ,
87 8 8 8
, 1 1 ,
21 10 1 1 1
0
10 0 0 0 2
0
) (
) (
) )(
2 ( 8 2 , 1
) sgn(
) 2 sgn(
1 2 :
) cos(
) sin(
) cos(
) (
ut ut ut
el
i i i
i i i i i i
i i i
i i i i i i i
el w
zr
w w
w k
M M
i
x x x
x k
F gdzie
F g m x m
F F g m x m
F F g m x m
M x
e m J
F kx x b e
m e
m x m m
ω ω ϕ ω
ω ω ϕ ω
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ
− +
−
−
= −
=
Ψ − −
Ψ +
−
=
+
−
=
− +
−
=
− +
−
=
= +
−
= + +
− +
+
−
− −
− −
−
+
−
&
&
K
&
&
&
&
M
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
(2)
gdzie: Mel – moment elektryczny silnika, ω0 – prędkość synchroniczna, ωut – prędkość utyku silnika.
Regulację prędkości obrotowej wibratora w modelu numerycznym, która na stanowisku badawczym realizowana jest za pomocą przetwornicy częstotliwości, uzyskiwano na drodze odpowiedniej zmiany częstości ω0 iωut w opisie momentu elektrycznego Mel.
3.WYNIKI BADAŃ
W eksperymencie mierzono moc czynną pobieraną przez silnik napędowy oraz amplitudę drgań korpusu maszyny w funkcji prędkości obrotowej wibratora bezwładnościowego.
Zauważono, że dla częstości okołorezonansowych, nadawa zachowywała się jak ,,scalona’’
masa wyraźnie odrywając się od korpusu podczas podrzutu oraz jednocześnie uderzając w korpus podczas ponownego kontaktu. Dla częstotliwości ponadrezonansowych, które gwarantowały wysoki współczynnik podrzutu, nadawa rozdzielała się, wykazując silne zróżnicowanie ruchu, łącznie ze zderzeniami warstw ze sobą w fazie lotu po podrzucie. Fakt ten stał się podstawą do przyjęcia założenia o możliwości pominięcia rozproszeń międzywarstwowych dla stanów pracy rezonansowych, dla których wysoka amplituda drgań umożliwia znaczny podrzut przy stosunkowo niskiej częstotliwości drgań, które nie umożliwiają intensywnych zderzeń międzywarstwowych.
Dlatego w symulacji jako pierwszy przypadek modelowano nadawę w postaci pojedynczej masy, wyznaczając w ten sposób współczynnik ψ01 korpus-nadawa, podczas gdy dla drugiego stanu przy znanym już współczynniku ψ01 – wyznaczano współczynnik ψi,i+1 – warstwa- warstwa.
Na rys.5 przedstawiono przebiegi współrzędnych środków mas nadawy i korpusu oraz mocy średnich rozpraszanych przez nadawę i zawieszenie stołu otrzymane z badań symulacyjnych, w których nadawę potraktowano raz jako masę ,,scaloną’’ a raz jako układ ośmiu warstw. Symulację przeprowadzono dla częstotliwości okołorezonansowej.
a) b)
Rys.5: a) Przebiegi współrzędnych środków mas warstw nadawy i korpusu dla n=1 b) Przebiegi współrzędnych środków mas warstw nadawy i korpusu dla n=8
c) Przebiegi czasowe energii dostarczonej nadawie przez korpus (W_w 0-1) oraz rozproszonej w podparciu maszyny (Wb).
Symulacje przeprowadzono dla f = 10[Hz]
c)
Zgodność energii rozpraszanych przez nadawę i tłumik dla dwóch reprezentacji nadawy jest bardzo dobra – co uzasadnia przyjęcie założenia.
Na rys.6, w celu uzupełnienia poglądu na charakter ruchu warstw i wartości rozpraszanych energii, przedstawiono wyniki symulacji dla znamionowej częstotliwości pracy stołu.
Rys.6: a) Przebiegi współrzędnych środków mas warstw nadawy i korpusu b) Przebiegi czasowe energii dostarczonej nadawie przez korpus (W_w 0-1) oraz rozproszonej w podparciu maszyny (W_b). Symulacje przeprowadzono dla n = 8 i f = 22[Hz].
Przykład. Wyznaczenie współczynników restytucji strefy styku dla żwiru budowlanego wzbudzanego do drgań przez stalowy korpus.
Postępując zgodnie z założeniami poprzednich paragrafów stół wibracyjny zasypano żwirem budowlanym o masie 112kg. Na podstawie zarejestrowanego przebiegu drgań własnych wyznaczono zastępcze współczynniki sprężystości i tłumienia zawieszenia stołu. Następnie uruchomiono stół i zmierzono moc pobierana przez silnik napędowy. Zmierzono amplitudę drgań korpusu. Na podstawie wartości współczynnika b0 i amplitudy drgań korpusu wyznaczono moc rozpraszaną w zawieszeniu. Pomiary przeprowadzono dla dwóch częstotliwości, tj. 10[Hz] i 22[Hz]. Usunięto żwir oraz wyznaczono ponownie parametry zastępcze zawieszenia. Analogicznie jak w przypadku z obciążeniem wyznaczono moc rozpraszaną w zawieszeniu i pobieraną przez silnik napędowy, dla dwóch częstotliwości pracy stołu. Pomiary pozwoliły na odizolowanie mocy stałych układu napędowego (nieznacznie zależnych od obciążenia nadawą), a zależnych w głównej mierze od prędkości obrotowej wału napędowego.
Ostatecznie, na podstawie bilansu mocy dla stanu pod obciążeniem skorygowanego mocami stałymi, wyznaczono moc rozpraszaną przez nadawę, dla dwóch różnych częstotliwości pracy. Metodą symulacji komputerowej dobierano współczynnik ψ01 dla stanu pracy przy częstotliwości 10[Hz] i ψi,i+1 dla częstotliwości wyższej, w ten sposób by uzyskać jak największą zgodność wyników z eksperymentem. W tabelach 1 i 2 zebrano wyniki pomiarów i stosownych obliczeń.
Tabela 1. Masa nadawy mn=0 f
[Hz]
PWE
[W]
Pb
[W]
P0
[W]
10 340 88 252
22 870 61 809
Tabela 2. Masa nadawy mn=112[kg]
f [Hz]
PWE
[W]
Pb
[W]
PWE-Pb
[W]
Pn=PWE-Pb-P0
[W]
10 345 44 301 49
22 1050 15 1035 226
gdzie: f – częstotliwość drgań korpusu stołu, PWE – moc czynna pobierana przez silnik napędowy, Pb – moc rozpraszana przez zawieszenie stołu, Pn – moc rozpraszana przez nadawę.
W ten sposób wyznaczono:
ψ01=1.90, ψi,i+1=1.96 4. WNIOSKI
Uzyskane rezultaty pracy uzupełniają teorię modelowania nadawy jako układu wielowarstwowego, czyniąc go bardziej adekwatnym do rzeczywistości, zwłaszcza gdy dotyczy on modelowania typowych maszyn wibracyjnych, takich jak: przenośniki, stoły wibracyjne czy przesiewacze. Model wielowarstwowy ze względu na dobrą zgodność wyników z eksperymentami, zwłaszcza w zakresie zagadnień związanych z bilansowaniem mocy rozpraszanej, może stanowić alternatywę do powszechnie stosowanych modeli jednomasowych opartych na teorii newtonowskiego zderzenia bezczasowego czy wymagających wymiernego nakładu środków i czasu (związanych z przygotowaniem modelu) programów opartych na metodzie elementów skończonych.
LITERATURA
1. Czubak A., Michalczyk J.: Teoria transportu wibracyjnego. Wydawnictwo Politechniki Świetokrzyskiej, Kielce 2001.
2. Michalczyk J., Cieplok G.: Wyznaczenie ruchu rynny maszyny wibracyjnej z uwzględnieniem zakłóceń wywołanych zderzeniami z nadawą. Zeszyty naukowe AGH, Kraków 1998.
3. Michalczyk J., Cieplok G.: Model cyfrowy młyna obrotowo-wibracyjnego. Zeszyty Naukowe Katedry Mechaniki Stosowanej, nr 29, Gliwice 2005.
4. Wajnkof J.: O dwiżenii twiordowo tieła po wibrijuszczej płatformie. Izw. ANSSSR, MMT, 2/1974
IDENTIFICATION OF REOLOGICAL PARAMETERS OF CONTACT ZONES IN THE MULTILAYER MODEL OF GRANULAR FEED
Summary. The paper describes in practical way the method of estimation reological coefficients of contact zone of granular feed layers occurring in a multiplayer model [1, 2, 3] based on the Hertz-Szajerman theory of viscoelastic collision. The research concerns the problem of estimating those coefficients by means of tuning the digital model in relation to the corresponding real model. It provides the original method of separating coefficient values for zones: machine body – material layer and material layer – material layer on the basis of measuring active power consumed by the vibrating machine in two characteristic work states.
It means in the state of an over-resonance work at high coefficient of throw and in a circum-resonance state at low frequency and high amplitude of machine body vibrations.
Praca wykonana w ramach Badań Statutowych na rok 2006.
