Astrofizyka z elementami kosmologii Temat 05: Układy współrz ˛ednych, skale czasu
Tadeusz Jan Jopek jopek@amu.edu.pl
Tel. 061 829 2778 Kom. 607 737 620
Rok Akademicki 2008-2009
(Uaktualniono 2009.04.21)
Plan wykładu
I Sfera niebieska: koncepcja, elementy geometryczne na sferze II Współrz ˛edne punktów na sferze
III Klasyfikacja astronomicznych układów współrzednych IV Astronomiczne układy współrz ˛ednych
V Skale czasu
VI Wektorowe przeliczenia współrz ˛ednych ciał niebieskich
Part I
Sfera niebieska: koncepcja, elementy geometryczne na
sferze
Wst ˛ep Elementy geometryczne na sferze
1 Wst ˛ep
Koncepcja sfery niebieskiej: ´zródło Koncepcja sfery niebieskiej: zastosowanie Definicja sfery
2 Elementy geometryczne na sferze Koło wielkie, koło małe, bieguny kół
Dwuk ˛at sferyczny, k ˛at sferyczny, trójkat sferyczny Długo´sci łuków na sferze
Koncepcja sfery niebieskiej (1)
Zródło koncepcji´
Do koncepcji niebieskiej sfery doprowadzaj ˛a nas nast ˛epuj ˛ace spostrze˙zenia:
wygl ˛ad rozgwie˙zd˙zonego nocnego nieba,
nie potrafimy rozró˙zni´c, które obiekty s ˛a nas bli˙zej, a które dalej,
ruch dobowy gwiazd przebiega tak, jak gdyby były one na sztywno przymocowane do niewidocznej sfery.
Wst ˛ep Elementy geometryczne na sferze
Koncepcja sfery niebieskiej (1)
Zródło koncepcji´
Do koncepcji niebieskiej sfery doprowadzaj ˛a nas nast ˛epuj ˛ace spostrze˙zenia:
wygl ˛ad rozgwie˙zd˙zonego nocnego nieba,
nie potrafimy rozró˙zni´c, które obiekty s ˛a nas bli˙zej, a które dalej,
ruch dobowy gwiazd przebiega tak, jak gdyby były one na sztywno przymocowane do niewidocznej sfery.
Koncepcja sfery niebieskiej (1)
Zródło koncepcji´
Do koncepcji niebieskiej sfery doprowadzaj ˛a nas nast ˛epuj ˛ace spostrze˙zenia:
wygl ˛ad rozgwie˙zd˙zonego nocnego nieba,
nie potrafimy rozró˙zni´c, które obiekty s ˛a nas bli˙zej, a które dalej,
ruch dobowy gwiazd przebiega tak, jak gdyby były one na sztywno przymocowane do niewidocznej sfery.
Powi ˛ekszenie
Wst ˛ep Elementy geometryczne na sferze
Koncepcja sfery niebieskiej (2)
Zastosowanie: wyznaczanie poło˙ze ´n ciał niebieskich
O
Figure:Rzutowanie gwiazd na sfer ˛e niebiesk ˛a.
W celu wyznaczenia poło˙zenia ciała niebieskiego (kierunku propagacji promieniowania E-H) wygodnie jest przyj ˛a´c, ˙ze:
kierunek do rzeczywistego obiektu jest identyczny z kierunkiem do jegorzutu
poło˙zonego na sferze niebieskiej, obserwator znajduje si ˛e w ´srodku sfery niebieskiej,
promie ´n sfery wynosi 1 w dowolnych jednostkach.
Koncepcja sfery niebieskiej (2)
Zastosowanie: wyznaczanie poło˙ze ´n ciał niebieskich
O
Figure:Rzutowanie gwiazd na sfer ˛e niebiesk ˛a.
W celu wyznaczenia poło˙zenia ciała niebieskiego (kierunku propagacji promieniowania E-H) wygodnie jest przyj ˛a´c, ˙ze:
kierunek do rzeczywistego obiektu jest identyczny z kierunkiem do jegorzutu
poło˙zonego na sferze niebieskiej, obserwator znajduje si ˛e w ´srodku sfery niebieskiej,
promie ´n sfery wynosi 1 w dowolnych jednostkach.
Wst ˛ep Elementy geometryczne na sferze
Koncepcja sfery niebieskiej (2)
Zastosowanie: wyznaczanie poło˙ze ´n ciał niebieskich
O
Figure:Rzutowanie gwiazd na sfer ˛e niebiesk ˛a.
W celu wyznaczenia poło˙zenia ciała niebieskiego (kierunku propagacji promieniowania E-H) wygodnie jest przyj ˛a´c, ˙ze:
kierunek do rzeczywistego obiektu jest identyczny z kierunkiem do jegorzutu
poło˙zonego na sferze niebieskiej, obserwator znajduje si ˛e w ´srodku sfery niebieskiej,
promie ´n sfery wynosi 1 w dowolnych jednostkach.
Definicja sfery niebieskiej
O
r
Figure:Jednostkowa sfera o ´srodku w O.
Definicja
Sferajest to powierzchnia, której punkty s ˛a równo odległe od punktu wspólnego zwanego ´srodkiem sfery.
Wektory punktów poło˙zonych na powierzchni sfery spełniaj ˛a równanie:
rTr = 1
gdzie:r oznacza wektor jednostkowy o pocz ˛atku w ´srodku sfery.
Wst ˛ep Elementy geometryczne na sferze
Koło wielkie
X
A O B
r n
Figure:Koło wielkie AX.
Definicja
Przeci ˛ecie sfery płaszczyzn ˛a przechodz ˛ac ˛a przez ´srodek sfery jest kołem wielkim.
Wektory punktów koła wielkiego spełniaj ˛a równanie:
nTr = 0 (1)
gdzie: wektor jednostkowyn wskazuje jeden z biegunów koła wielkiego, natomiast wektorr przebiega punkty koła wielkiego.
Bieguny koła wielkiego
X
A B
P
Q O
Figure:Koło wielkie i jego bieguny PQ.
Definicja
Ko ´nce ´srednicy prostopadłej do koła wielkiego nazywane s ˛abiegunami koła wielkiego. Np. biegunami koła wielkiego AX s ˛a punkty P i Q.
Przez bieguny P, Q mo˙zna wykre´sli´c niesko ´nczenie wiele kół wielkich.
Dwa punkty sfery, które nie s ˛a punktami biegunowymi, np. A i X , wyznaczaj ˛a jedno koło wielkie bowiem ł ˛acznie ze ´srodkiem sfery (punktem O) jednoznacznie okre´slaj ˛a płaszczyzn ˛e, której przeci ˛ecie ze sfer ˛a jest kołem wielkim.
Wst ˛ep Elementy geometryczne na sferze
Koło małe
O P
D
Q
A B
C
kolo male
Figure:Koło małe AB i jego bieguny PQ.
Definicja
Przeci ˛ecie sfery płaszczyzn ˛a nie przechodz ˛ac ˛a przez ´srodek sfery jest okr ˛egiem, tradycyjnie zwanymkołem małym.
Jego bieguny P i Q s ˛a punktami skrajnymi ´srednicy sfery prostopadłej do płaszczyzny koła małego.
Promie ´n koła małego jest zawsze mniejszy od promienia sfery.
Dwuk ˛ at sferyczny
A
A’
Figure:Dwuk ˛aty sferyczne.
Definicja
Przeci ˛ecie sfery dwoma kołami wielkimi wyznacza cztery obszary (powierzchnie) zwanedwuk ˛atami sferycznymi.
Dwuk ˛at sferyczny okre´slony jest k ˛atem sferycznym, np. k ˛atem A.
Pole pwierzchni dwuk ˛ata mo˙zna obliczy´c ze wzoru
S = 2r2A
gdzie A podany jest w radianach.
Wst ˛ep Elementy geometryczne na sferze
K ˛ at sferyczny
O A A
A
A’
Figure:K ˛at sferyczny A.
Definicja
K ˛at liniowy pomi ˛edzy płaszczyznami kół wielkich jestk ˛atem sferycznym.
Jest on identyczny z k ˛atem pomi ˛edzy stycznymi wystawionymi w punkcie wzajemnego przeci ˛ecia si ˛e kół wielkich.
Trójk ˛ at sferyczny
B C
A
c b
a
Figure:Trójk ˛aty sferyczne.
Definicja
Trzy koła wielkie tworz ˛a na sferze osiem obszarów zwanychtrójk ˛atami sferycznymi.
Gdy dost ˛epne s ˛a elementy jednego z tych trójk ˛atów (trzy boki (łuki) a, b, c oraz k ˛aty wewn ˛etrzne A, B, C), mo˙zna łatwo wyznaczy´c elementy wszystkich pozostałych trójk ˛atów.
Dla ciekawych
A na ile obszarów podzieli sfer ˛e n kół wielkich?
Wst ˛ep Elementy geometryczne na sferze
Trójk ˛ at sferyczny
B C
A
c b
a
Figure:Trójk ˛aty sferyczne.
Definicja
Trzy koła wielkie tworz ˛a na sferze osiem obszarów zwanychtrójk ˛atami sferycznymi.
Gdy dost ˛epne s ˛a elementy jednego z tych trójk ˛atów (trzy boki (łuki) a, b, c oraz k ˛aty wewn ˛etrzne A, B, C), mo˙zna łatwo wyznaczy´c elementy wszystkich pozostałych trójk ˛atów.
Dla ciekawych
A na ile obszarów podzieli sfer ˛e n kół wielkich?
Trójk ˛ at sferyczny paralaktyczny: własno´sci (1)
B C
O A
c b
a
Figure:Trójk ˛at sferyczny ABC,
paralaktyczny (eulerowski). Wszystkie boki a, b, c trójk ˛ata paralaktycznego s ˛a mniejsze od π.
Definicja
Dla dowolnego z boków a, b, c i k ˛atów sferycznych A, B, C mamy:
a < b + c a > |b − c|
π <A + B + C < 3π Trójk ˛at płaski posiada tylko jeden k ˛at prosty, trójk ˛at sferyczny niekoniecznie, mo˙ze mie´c ich dwa a nawet trzy.
Wst ˛ep Elementy geometryczne na sferze
Trójk ˛ at sferyczny: własno´sci (2)
C
B
A
B C r
r O rA
a c
b
Figure:Trójk ˛at paralaktyczny ABC.
Definicja Ró˙znica
(A + B + C) − π = ε jestnadmiarem sferycznym.
Pole powierzchni trójk ˛ata sferycznego wynosi
S = r2ε
gdzie r jest promieniem sfery, a k ˛at ε podano w radianach.
Długo´s´c łuku koła wielkiego
N
S
L P
W K
ϕ ϕ
Figure:Ortodromy LW, KP — linie geodezyjne na sferze.
Ortodroma
Na punktach L, W rozpi ˛ete s ˛a dwa łuki koła wielkiego, mniejszy z nich tolinia geodezyjna (ortodroma). Jest to najkrótsza krzywa ł ˛acz ˛aca na sferze punkty L i W .
Linie geodezyjne pełni ˛a na sferze rol ˛e tak ˛a jak linie proste w geometrii euklidesowej.
Poniewa˙z promie ´n sfery niebieskiej r = 1, to długo´s´c łuku LW koła wielkiego równa jest k ˛atowi ´srodkowemu φ (w radianach) jaki ten łuk rozpina wzgl ˛edem ´srodka sfery.
Wst ˛ep Elementy geometryczne na sferze
Długo´s´c łuku koła małego
O P
D
Q
A B
C
E kolo male
Izogona
Na punktach A, E rozpi ˛ete s ˛a dwa łuki koła małego. Krótszy z nich, tzw.
izogonama długo´s´c AE dan ˛a formuł ˛a:
AS = AO · sin AOS rM=sin θ
AE = rM· ASE = ψ sin θ (2)
Długo´s´c łuku koła małego
O P
C D
Q F
rM
A B
E
θ ψ
kolo male θ
ψ S
Izogona
Na punktach A, E rozpi ˛ete s ˛a dwa łuki koła małego. Krótszy z nich, tzw.
izogonama długo´s´c AE dan ˛a formuł ˛a:
AS = AO · sin AOS rM=sin θ
AE = rM· ASE = ψ sin θ (2)
Poło˙zenia ciał niebieskich na sferze
Part II
Współrz ˛edne punktów na sferze.
3 Poło˙zenia ciał niebieskich na sferze
Współrz ˛edne prostok ˛atne ciał niebieskich Współrz ˛edne sferyczne.
Współrz ˛edne sferyczne i prostok ˛atnych.
Poło˙zenia ciał niebieskich na sferze
Poło˙zenie punktów w przestrzeni (1)
Triada
Niech dana jest trójwymiarowa przestrze ´n euklidesowa, a w niej układ osi współrz ˛ednych (x , y , z) rozpi ˛ety na trójce wersorówi, j, k.
Niech mi ˛edzy wersorami spełnione b ˛ed ˛a nast ˛epuj ˛ace zale˙zno´sci:
i = j × k j = k × i k = i × j
iTi = jTj = kTk = 1
(3)
Trójk˛ei, j, k mo˙zemy uj ˛a´c w formie macierzy 3 × 3 zwanejtriad ˛aR
R = [i, j, k] (4)
Jej elementy s ˛a cosinusami kierunkowymi kierunkówi, j, k.
Poło˙zenie punktów w przestrzeni (2)
Triada ortogonalna
Transpozycja triadyR ma posta´c
RT = [i, j, k]T = 2 4
iT jT kT
3
5 (5)
Iloczyn
RTR = 2 4
iTi iTj iTk jTi jTj jTk kTi kTj kTk
3 5=
2 4
1 0 0
0 1 0
0 0 1
3
5 (6)
Co poci ˛aga
R−1=RT czyli triadaR jest macierz ˛a ortogonaln ˛a.
Poło˙zenia ciał niebieskich na sferze
Poło˙zenie punktów w przestrzeni (3)
O Z
A
A’ y x
z
X
Z’
Y r
Wektor poło˙zenia
Stwierdzenie, ˙ze wektorr opisuje
poło˙zenie punktu A oznacza, ˙ze znane s ˛a jego składowe (x , y , z), trzy liczby wyznaczone wzgl ˛edem pewnej triadyR.
Zwi ˛e´zle wyra˙zamy to za pomoc ˛a zapisu
r = R 2 4
x y z
3
5=x ·i + y · j + z · k (7)
Dla sfery jednostkowej prawdziwy jest zwi ˛azek
x2+y2+z2=1 (8)
zatem, w celu ustalenia poło˙zenia ciała niebieskiego wystarczy posłu˙zy´c si ˛e dwiema liczbami.
Poło˙zenie punktów na sferze (1)
O R S
Z
A
Z’
r C
B ψ
ψ
θ
Współrz ˛edne sferyczne (1) Astronomowie lubi ˛a posługiwa´c si ˛e współrz ˛ednymi sferycznymi (r , θ, ψ), bli˙zszymi intuicyjnemu wyczuciu kierunku do punktu A:
r = OA = 1 jestwspółrz ˛edn ˛a radialn ˛a punktu A,
θjestwspółrz ˛edn ˛a polarn ˛apunktu A, (θ = ZOA),
ψjestwspółrz ˛edn ˛a azymutaln ˛a punktu A równ ˛a k ˛atowi sferycznemu pomi ˛edzy płaszczyznami ZOB i ZOC.
Poło˙zenia ciał niebieskich na sferze
Poło˙zenie punktów na sferze (2)
O R S
Z
A
Z’
r C
B ψ
ψ
θ
Współrz ˛edne sferyczne (2)
Poniewa˙z r = 1, zatem poło˙zenie ciała na sferze w pełni wyznaczaj ˛a dwie współrz ˛edne k ˛atowe (ψ, θ).
Dla ustalenia poło˙ze ´n punktów na całej sferze, wystarczy je´sli
współrz ˛edne (ψ, θ) przyjm ˛a warto´sci nale˙z ˛ace do dziedziny
0 ≤ θ ≤ π
0 ≤ ψ ≤ 2π (9)
Uwaga!
A w jaki sposób za pomoc ˛a współrz ˛ednych (θ, ψ) nale˙załoby okre´sli´c poło˙zenie punktów Z , Z0?
Poło˙zenie punktów na sferze (2)
O R S
Z
A
Z’
r C
B ψ
ψ
θ
Współrz ˛edne sferyczne (2)
Poniewa˙z r = 1, zatem poło˙zenie ciała na sferze w pełni wyznaczaj ˛a dwie współrz ˛edne k ˛atowe (ψ, θ).
Dla ustalenia poło˙ze ´n punktów na całej sferze, wystarczy je´sli
współrz ˛edne (ψ, θ) przyjm ˛a warto´sci nale˙z ˛ace do dziedziny
0 ≤ θ ≤ π
0 ≤ ψ ≤ 2π (9)
Uwaga!
A w jaki sposób za pomoc ˛a współrz ˛ednych (θ, ψ) nale˙załoby okre´sli´c poło˙zenie punktów Z , Z0?
Poło˙zenia ciał niebieskich na sferze
Poło˙zenie punktów na sferze (3)
A
O Z
C θ
ψ
Układ współrz ˛ednych sferycznych W celu zdefiniowaniajakiegokolwiek układu współrz ˛ednych sferycznych nale˙zy:
dokona´c wyboru bieguna Z , wzgl ˛edem którego mierzona jest współrz ˛edna — k ˛at polarny θ, dokona´c wyboru koła wielkiego ZC pełni ˛acego rol ˛e płaszczyzny odniesienia, wzgl ˛edem której mierzony jest dwu´scienny k ˛at azymutalny ψ.
ustali´c skr ˛etno´s´c układu,
ustali´c jednostki miary i dziedzin ˛e warto´sci k ˛atów θ i ψ.
Układy współrz ˛ednych sferycznych i prostok ˛ atnych
Z
A
O
Z’
r θ ψ
Y X
B
y z x
Ka˙zdy układ współrz ˛ednych sferycznych ma odpowiednik prostok ˛atny:
o´s Z przechodzi przez biegun układu sferycznego,
o´s X le˙zy w płaszczy´znie koła
odniesienia współrz ˛ednej azymutalnej ψ, o´s Y dobrana jest tak by zapewni´c zgodno´s´c skr ˛etno´sci obu układów.
W praktyce wykorzystane s ˛a współrz ˛edne sferyczne jak i prostok ˛atne. Podej´scie sferyczne jest zwykle oszcz ˛edniejsze rachunkowo, podej´scie wektorowe jest ogólniejsze i eleganckie.
Poło˙zenia ciał niebieskich na sferze
Przemiany współrz ˛ednych sferycznych i prostok ˛ atnych
Z
O A
Z’
r θ ψ
Y X
B
y z x
Zwi ˛azki (xyz) ↔ (r , θ, ψ) Składowe (x , y , z) s ˛a cosinusami kierunkowymi odcinka OA wzgl ˛edem osi X , Y , Z
x = cos XA y = cos YA z = cos ZA
(10)
Dla współrz ˛ednych x , y , z oraz ψ, θ tego samego punktu A mamy zwi ˛azki
x = sin θ cos ψ y = sin θ sin ψ z = cos θ
(11)
Part III
Klasyfikacja astronomicznych układów współrzednych.
Wst ˛ep Dygresja.
4 Wst ˛ep
5 Dygresja.
Współrz ˛edne sferyczne na powierzchni Ziemi
Klasyfikacja układów współrzednych (1)
Definicja
Układ współrz ˛ednych definiujemy poprzez wybór bieguna wspólrz ˛ednej polarnej φ oraz płaszczyzny odniesienia współrz ˛ednej azymutalnej ψ.
Ale nie do ko ´nca, potrzeba jeszcze umiejscowienia pocz ˛atku układu, identycznego ze ´srodkiem sfery. Wyró˙zniamy tu:
układ współrz ˛ednychtopocentrycznych, o pocz ˛atku na powierzchni Ziemi,
układ współrz ˛ednychgeocentrycznych, o pocz ˛atku w ´srodku masy Ziemi,
układheliocentryczny, o pocz ˛atku w centrum Sło ´nca,
układbarycentryczny, o poczatku w barycentrum Układu Słonecznego, układlunocentryczny, o pocz ˛atku w centrum Ksi ˛e˙zyca,
układgalaktocentryczny, o pocz ˛atku w ´srodku mas Galaktyki, . . . .
Wst ˛ep Dygresja.
Klasyfikacja układów współrzednych (2)
Definicja
W ka˙zdym z tych pocz ˛atków mo˙zna dokona´c wyboru bieguna układu i płaszczyzny odniesienia i w rezultacie otrzyma´c:
układ horyzontalny, układ godzinny, układ równikowy, układ ekliptyczny, układ galaktyczny.
Ka˙zdy układ współrz ˛ednych sferycznych mo˙zne by´c zast ˛apiony przez jego prostok ˛atny ekwiwalent (odpowiednio lewo lub prawo skr ˛etny).
Klasyfikacja układów współrzednych (2)
Definicja
Układy współrz ˛ednych wykorzystywane s ˛a zale˙znie od potrzeby, np.:
katalogi zestawiane s ˛a we współrz ˛ednych równikowych,
nastaw ˛e teleskopu przygotowuje si ˛e w układzie horyzontalnym lub godzinnym,
ruch ciał Układu Słonecznego dogodnie jest bada´c w układzie ekliptycznym,
etc.
Wobec takiej ro˙znorodno´sci, w celu ułatwienia astronomom współpracy koniecznym było wprowadzenie pewnych standardów.
Wst ˛ep Dygresja.
Klasyfikacja układów współrzednych (2)
Definicja
Układy współrz ˛ednych wykorzystywane s ˛a zale˙znie od potrzeby, np.:
katalogi zestawiane s ˛a we współrz ˛ednych równikowych,
nastaw ˛e teleskopu przygotowuje si ˛e w układzie horyzontalnym lub godzinnym,
ruch ciał Układu Słonecznego dogodnie jest bada´c w układzie ekliptycznym,
etc.
Wobec takiej ro˙znorodno´sci, w celu ułatwienia astronomom współpracy koniecznym było wprowadzenie pewnych standardów.
Klasyfikacja układów współrzednych (2)
Definicja
Układy współrz ˛ednych wykorzystywane s ˛a zale˙znie od potrzeby, np.:
katalogi zestawiane s ˛a we współrz ˛ednych równikowych,
nastaw ˛e teleskopu przygotowuje si ˛e w układzie horyzontalnym lub godzinnym,
ruch ciał Układu Słonecznego dogodnie jest bada´c w układzie ekliptycznym,
etc.
Wobec takiej ro˙znorodno´sci, w celu ułatwienia astronomom współpracy koniecznym było wprowadzenie pewnych standardów.
Wst ˛ep Dygresja.
Dygresja: współrz ˛edne na powierzchni sferycznej Ziemi
K
X G
N
S równik ziemski
φ λ
Na powierzchni Ziemi poło˙zenie wyznaczone jest za pomoc ˛a pary (λ, φ) — długo´sci i szeroko´sci geograficznej. S ˛a to współrz ˛edne okre´slone wzgl ˛edem układu o:
biegunie w północnym biegunie N ziemskiej sfery,
płaszczy´znie odniesienia NGK
pokrywaj ˛acej si ˛e z płaszczyzn ˛a południka podstawowego instrumentu w
Obserwatorium Greenwich.
Współrz ˛edne λ, φ zdefiniowane s ˛a jako k ˛aty:
λ =GNX , φ = 90◦− NX przyjmuj ˛ace warto´sci z przedziałów:
−180◦≤ λ ≤ 180◦ − 90◦≤ φ ≤ 90◦ Ujemna warto´s´c długo´sci geograficznej dotyczy punktów poło˙zonych na zachód od Greenwich.
Part IV
Astronomiczne układy współrzednych.
Astronomiczne układy współrz ˛ednych.
6 Astronomiczne układy współrz ˛ednych.
Układ współrz ˛ednych równikowych α, δ.
Układ współrz ˛ednych horyzontalnych a, h.
Układ współrz ˛ednych godzinnych H, δ.
Dygresja: ruch dobowy sfery niebieskiej.
Dygresja: rozwi ˛azanie trójk ˛ata paralaktycznego PZG.
Współrz ˛edne ekliptyczne
Układ współrz ˛ednych równikowych (1)
A
P
N
C
S
δ B
Q γ
X α
południk równik świata
równoleżnik
Astronomiczny układwspółrz ˛ednych równikowychzdefiniowany jest w sposób bardzo podobny do omówionego wy˙zej dla powierzchni Ziemi.
Rysunek ilustruje sfer ˛e niebiesk ˛a oraz umieszczon ˛a w jej wn ˛etrzu kul ˛e ziemsk ˛a.
Przedłu˙zenie osi obrotu Ziemi NS, przebija sfer ˛e niebiesk ˛a w P i Q — północnym i południowymbiegunie
´swiata.
Rozci ˛agni ˛eta w przestrzeni płaszczyzna równika ziemskiego przecina sfer ˛e niebiesk ˛a wzdłu˙z koła wielkiego zwanego równikiem ´swiata.
Koła małe równoległe do równika s ˛a równole˙znikami, a wszystkie koła wielkie przecinajace si ˛e w biegunach ´swiata s ˛a południkami.
Astronomiczne układy współrz ˛ednych.
Układ współrz ˛ednych równikowych (1)
A
P
N
C
S
δ B
Q γ
X α
południk równik świata
równoleżnik
Astronomiczny układwspółrz ˛ednych równikowychzdefiniowany jest w sposób bardzo podobny do omówionego wy˙zej dla powierzchni Ziemi.
Rysunek ilustruje sfer ˛e niebiesk ˛a oraz umieszczon ˛a w jej wn ˛etrzu kul ˛e ziemsk ˛a.
Przedłu˙zenie osi obrotu Ziemi NS, przebija sfer ˛e niebiesk ˛a w P i Q — północnym i południowymbiegunie
´swiata.
Rozci ˛agni ˛eta w przestrzeni płaszczyzna równika ziemskiego przecina sfer ˛e niebiesk ˛a wzdłu˙z koła wielkiego zwanego równikiem ´swiata.
Koła małe równoległe do równika s ˛a równole˙znikami, a wszystkie koła wielkie przecinajace si ˛e w biegunach ´swiata s ˛a południkami.
Układ współrz ˛ednych równikowych (1)
A
P
N
C
S
δ B
Q γ
X α
południk równik świata
równoleżnik
Astronomiczny układwspółrz ˛ednych równikowychzdefiniowany jest w sposób bardzo podobny do omówionego wy˙zej dla powierzchni Ziemi.
Rysunek ilustruje sfer ˛e niebiesk ˛a oraz umieszczon ˛a w jej wn ˛etrzu kul ˛e ziemsk ˛a.
Przedłu˙zenie osi obrotu Ziemi NS, przebija sfer ˛e niebiesk ˛a w P i Q — północnym i południowymbiegunie
´swiata.
Rozci ˛agni ˛eta w przestrzeni płaszczyzna równika ziemskiego przecina sfer ˛e niebiesk ˛a wzdłu˙z koła wielkiego zwanego równikiem ´swiata.
Koła małe równoległe do równika s ˛a równole˙znikami, a wszystkie koła wielkie przecinajace si ˛e w biegunach ´swiata s ˛a południkami.
Astronomiczne układy współrz ˛ednych.
Układ współrz ˛ednych równikowych (1)
A
P
N
C
S
δ B
Q γ
X α
południk równik świata
równoleżnik
Astronomiczny układwspółrz ˛ednych równikowychzdefiniowany jest w sposób bardzo podobny do omówionego wy˙zej dla powierzchni Ziemi.
Rysunek ilustruje sfer ˛e niebiesk ˛a oraz umieszczon ˛a w jej wn ˛etrzu kul ˛e ziemsk ˛a.
Przedłu˙zenie osi obrotu Ziemi NS, przebija sfer ˛e niebiesk ˛a w P i Q — północnym i południowymbiegunie
´swiata.
Rozci ˛agni ˛eta w przestrzeni płaszczyzna równika ziemskiego przecina sfer ˛e niebiesk ˛a wzdłu˙z koła wielkiego zwanego równikiem ´swiata.
Koła małe równoległe do równika s ˛a równole˙znikami, a wszystkie koła wielkie przecinajace si ˛e w biegunach ´swiata s ˛a południkami.
Układ współrz ˛ednych równikowych (2)
P
90−δ
C δ
B
Q γ
α X
A południk
równik
Definicja układu równikowego (1)
biegun ´swiata P jest biegunem układu, płaszczyzn ˛a odniesienia rektascensji jest płaszczyzna południka PΥQ,
współrz ˛edne równikowe punktu X definiujemy jako k ˛aty:
δ =90◦− PX
α = ΥPX (12)
rektascensjaαmierzona jest wzdłu˙z równika w kierunku antyzegarowym dla obserwatora znajduj ˛acego si ˛e na północnym biegunie ´swiata P.
deklinacj ˛eδmierzymy w płaszczy´znie południka obiektu X
Astronomiczne układy współrz ˛ednych.
Układ współrz ˛ednych równikowych (2)
P
90−δ
C δ
B
Q γ
α X
A południk
równik
Definicja układu równikowego (1)
biegun ´swiata P jest biegunem układu, płaszczyzn ˛a odniesienia rektascensji jest płaszczyzna południka PΥQ,
współrz ˛edne równikowe punktu X definiujemy jako k ˛aty:
δ =90◦− PX
α = ΥPX (12)
rektascensjaαmierzona jest wzdłu˙z równika w kierunku antyzegarowym dla obserwatora znajduj ˛acego si ˛e na północnym biegunie ´swiata P.
deklinacj ˛eδmierzymy w płaszczy´znie południka obiektu X
Układ współrz ˛ednych równikowych (2)
P
90−δ
C δ
B
Q γ
α X
A południk
równik
Definicja układu równikowego (1)
biegun ´swiata P jest biegunem układu, płaszczyzn ˛a odniesienia rektascensji jest płaszczyzna południka PΥQ,
współrz ˛edne równikowe punktu X definiujemy jako k ˛aty:
δ =90◦− PX
α = ΥPX (12)
rektascensjaαmierzona jest wzdłu˙z równika w kierunku antyzegarowym dla obserwatora znajduj ˛acego si ˛e na północnym biegunie ´swiata P.
deklinacj ˛eδmierzymy w płaszczy´znie południka obiektu X
Astronomiczne układy współrz ˛ednych.
Układ współrz ˛ednych równikowych (2)
P
90−δ
C δ
B
Q γ
α X
A południk
równik
Definicja układu równikowego (1)
biegun ´swiata P jest biegunem układu, płaszczyzn ˛a odniesienia rektascensji jest płaszczyzna południka PΥQ,
współrz ˛edne równikowe punktu X definiujemy jako k ˛aty:
δ =90◦− PX
α = ΥPX (12)
rektascensjaαmierzona jest wzdłu˙z równika w kierunku antyzegarowym dla obserwatora znajduj ˛acego si ˛e na północnym biegunie ´swiata P.
deklinacj ˛eδmierzymy w płaszczy´znie południka obiektu X
Układ współrz ˛ednych równikowych (2)
P
90−δ
C δ
B
Q γ
α X
A południk
równik
Definicja układu równikowego (1)
biegun ´swiata P jest biegunem układu, płaszczyzn ˛a odniesienia rektascensji jest płaszczyzna południka PΥQ,
współrz ˛edne równikowe punktu X definiujemy jako k ˛aty:
δ =90◦− PX
α = ΥPX (12)
rektascensjaαmierzona jest wzdłu˙z równika w kierunku antyzegarowym dla obserwatora znajduj ˛acego si ˛e na północnym biegunie ´swiata P.
deklinacj ˛eδmierzymy w płaszczy´znie południka obiektu X
Astronomiczne układy współrz ˛ednych.
Układ współrz ˛ednych równikowych (3)
P
90−δ
C δ
B
Q γ
α X
A południk
równik
Definicja układu równikowego (2)
współrz ˛edne α, δ przyjmuj ˛a warto´sci z przedziałów:
−90◦≤ δ ≤ 90◦
0◦≤ α ≤ 360◦ (13) tradycyjn ˛a miar ˛a rektascensji s ˛a jednostki czasu a nie stopnie. Pami ˛etaj ˛ac, ˙ze 24h=360◦, mamy mi ˛edzy nimi zale˙zno´sci:
1h=15◦ 1◦=4m 1m=150 10=4s 1s=1500 100=1/15s
(14)
Układ współrz ˛ednych równikowych (3)
P
90−δ
C δ
B
Q γ
α X
A południk
równik
Definicja układu równikowego (2)
współrz ˛edne α, δ przyjmuj ˛a warto´sci z przedziałów:
−90◦≤ δ ≤ 90◦
0◦≤ α ≤ 360◦ (13) tradycyjn ˛a miar ˛a rektascensji s ˛a jednostki czasu a nie stopnie. Pami ˛etaj ˛ac, ˙ze 24h=360◦, mamy mi ˛edzy nimi zale˙zno´sci:
1h=15◦ 1◦=4m 1m=150 10=4s 1s=1500 100=1/15s
(14)
Astronomiczne układy współrz ˛ednych.
Układ współrz ˛ednych równikowych (4)
δ
Q P
γ C
α δ α
G
X
Y Z
x z
y
Definicja układu równikowego (3) Obok sferycznych stosowane s ˛a równikowe współrz ˛edne prostok ˛atne (x , y , z) okre´slone wzgl ˛edem układu osi XYZ .
Dla sfery jednostkowej, współrz ˛ednym (α, δ)punktu G odpowiadaj ˛a
współrz ˛edne (x , y , z):
x = cos δ cos α y = cos δ sin α z = sin δ
(15)
Współrz ˛edne rownikowe α, δ oraz x , y , z maj ˛a bardzo po˙z ˛adan ˛a własno´s´c — ich warto´sci nie zmieniaj ˛a si ˛e w efekcie ruchu wirowego Ziemi.
Układ współrz ˛ednych horyzontalnych (1)
S
P Z
N
Q O E
W
Na
Poludnik miejscowy
Horyzont Almukantarat
φ
Wertykał
Definicje
Dana jest sfera rozpi ˛eta nad obserwatorem O gdzie´s na północnej półkuli ziemskiej:
kierunek lokalnej grawitacji (kierunek pionu) a ´sci´slej jego przedłu˙zenie, przebija sfer ˛e wzenicieZ inadirzeNa, koło wielkie o biegunach w Z i Na nazywamyhoryzontem,
koła wielkie przecinaj ˛ace si ˛e w Z i Na nazwanokołami wierzchołkowymialbo wertykałami,
koła małe o biegunach w Z i Na nazywane s ˛aalmukantaratami,
prosta przechodz ˛aca przez O, równoległa do ziemskiej osi rotacji tzw.o´s ´swiata przebija sfer ˛e w P i Q, północnym południowym biegunie ´swiata,
Astronomiczne układy współrz ˛ednych.
Układ współrz ˛ednych horyzontalnych (1)
S
P Z
N
Q O E
W
Na
Poludnik miejscowy
Horyzont Almukantarat
φ
Wertykał
Definicje
Dana jest sfera rozpi ˛eta nad obserwatorem O gdzie´s na północnej półkuli ziemskiej:
kierunek lokalnej grawitacji (kierunek pionu) a ´sci´slej jego przedłu˙zenie, przebija sfer ˛e wzenicieZ inadirzeNa, koło wielkie o biegunach w Z i Na nazywamyhoryzontem,
koła wielkie przecinaj ˛ace si ˛e w Z i Na nazwanokołami wierzchołkowymialbo wertykałami,
koła małe o biegunach w Z i Na nazywane s ˛aalmukantaratami,
prosta przechodz ˛aca przez O, równoległa do ziemskiej osi rotacji tzw.o´s ´swiata przebija sfer ˛e w P i Q, północnym południowym biegunie ´swiata,
Układ współrz ˛ednych horyzontalnych (1)
S
P Z
N
Q O E
W
Na
Poludnik miejscowy
Horyzont Almukantarat
φ
Wertykał
Definicje
Dana jest sfera rozpi ˛eta nad obserwatorem O gdzie´s na północnej półkuli ziemskiej:
kierunek lokalnej grawitacji (kierunek pionu) a ´sci´slej jego przedłu˙zenie, przebija sfer ˛e wzenicieZ inadirzeNa, koło wielkie o biegunach w Z i Na nazywamyhoryzontem,
koła wielkie przecinaj ˛ace si ˛e w Z i Na nazwanokołami wierzchołkowymialbo wertykałami,
koła małe o biegunach w Z i Na nazywane s ˛aalmukantaratami,
prosta przechodz ˛aca przez O, równoległa do ziemskiej osi rotacji tzw.o´s ´swiata przebija sfer ˛e w P i Q, północnym południowym biegunie ´swiata,
Astronomiczne układy współrz ˛ednych.
Układ współrz ˛ednych horyzontalnych (1)
S
P Z
N
Q O E
W
Na
Poludnik miejscowy
Horyzont Almukantarat
φ
Wertykał
Definicje
Dana jest sfera rozpi ˛eta nad obserwatorem O gdzie´s na północnej półkuli ziemskiej:
kierunek lokalnej grawitacji (kierunek pionu) a ´sci´slej jego przedłu˙zenie, przebija sfer ˛e wzenicieZ inadirzeNa, koło wielkie o biegunach w Z i Na nazywamyhoryzontem,
koła wielkie przecinaj ˛ace si ˛e w Z i Na nazwanokołami wierzchołkowymialbo wertykałami,
koła małe o biegunach w Z i Na nazywane s ˛aalmukantaratami,
prosta przechodz ˛aca przez O, równoległa do ziemskiej osi rotacji tzw.o´s ´swiata przebija sfer ˛e w P i Q, północnym południowym biegunie ´swiata,
Układ współrz ˛ednych horyzontalnych (1)
S
P Z
N
Q O E
W
Na
Poludnik miejscowy
Horyzont Almukantarat
φ
Wertykał
Definicje
Dana jest sfera rozpi ˛eta nad obserwatorem O gdzie´s na północnej półkuli ziemskiej:
kierunek lokalnej grawitacji (kierunek pionu) a ´sci´slej jego przedłu˙zenie, przebija sfer ˛e wzenicieZ inadirzeNa, koło wielkie o biegunach w Z i Na nazywamyhoryzontem,
koła wielkie przecinaj ˛ace si ˛e w Z i Na nazwanokołami wierzchołkowymialbo wertykałami,
koła małe o biegunach w Z i Na nazywane s ˛aalmukantaratami,
prosta przechodz ˛aca przez O, równoległa do ziemskiej osi rotacji tzw.o´s ´swiata przebija sfer ˛e w P i Q, północnym południowym biegunie ´swiata,
Astronomiczne układy współrz ˛ednych.
Układ współrz ˛ednych horyzontalnych (2)
S
P Z
N
Q O E
W
Na
Poludnik miejscowy
Horyzont Almukantarat
φ
Wertykał
Definicje
nachylenie osi ´swiata do horyzontu jest równe szeroko´sci geograficznej φ obserwatora O,
koło wielkie ZP nosi mianopołudnika miejscowegoalbopołudnika
obserwatora,
południk miejscowy przecina horyzont w punktach północy i południaN i S le˙z ˛acych na tej samej ´srednicy, punkty wschodu i zachodu(E , W ) znajduj ˛a si ˛e w odległo´sci k ˛atowej 90◦od S i N,
Punkty N, E , S, W nazywane s ˛a punktami kardynalnymihoryzontu, wertykały przechodz ˛ace przez punkty W i E nazwanopierwszymi wertykałami.
Układ współrz ˛ednych horyzontalnych (2)
S
P Z
N
Q O E
W
Na
Poludnik miejscowy
Horyzont Almukantarat
φ
Wertykał
Definicje
nachylenie osi ´swiata do horyzontu jest równe szeroko´sci geograficznej φ obserwatora O,
koło wielkie ZP nosi mianopołudnika miejscowegoalbopołudnika
obserwatora,
południk miejscowy przecina horyzont w punktach północy i południaN i S le˙z ˛acych na tej samej ´srednicy, punkty wschodu i zachodu(E , W ) znajduj ˛a si ˛e w odległo´sci k ˛atowej 90◦od S i N,
Punkty N, E , S, W nazywane s ˛a punktami kardynalnymihoryzontu, wertykały przechodz ˛ace przez punkty W i E nazwanopierwszymi wertykałami.
Astronomiczne układy współrz ˛ednych.
Układ współrz ˛ednych horyzontalnych (2)
S
P Z
N
Q O E
W
Na
Poludnik miejscowy
Horyzont Almukantarat
φ
Wertykał
Definicje
nachylenie osi ´swiata do horyzontu jest równe szeroko´sci geograficznej φ obserwatora O,
koło wielkie ZP nosi mianopołudnika miejscowegoalbopołudnika
obserwatora,
południk miejscowy przecina horyzont w punktach północy i południaN i S le˙z ˛acych na tej samej ´srednicy, punkty wschodu i zachodu(E , W ) znajduj ˛a si ˛e w odległo´sci k ˛atowej 90◦od S i N,
Punkty N, E , S, W nazywane s ˛a punktami kardynalnymihoryzontu, wertykały przechodz ˛ace przez punkty W i E nazwanopierwszymi wertykałami.
Układ współrz ˛ednych horyzontalnych (2)
S
P Z
N
Q O E
W
Na
Poludnik miejscowy
Horyzont Almukantarat
φ
Wertykał
Definicje
nachylenie osi ´swiata do horyzontu jest równe szeroko´sci geograficznej φ obserwatora O,
koło wielkie ZP nosi mianopołudnika miejscowegoalbopołudnika
obserwatora,
południk miejscowy przecina horyzont w punktach północy i południaN i S le˙z ˛acych na tej samej ´srednicy, punkty wschodu i zachodu(E , W ) znajduj ˛a si ˛e w odległo´sci k ˛atowej 90◦od S i N,
Punkty N, E , S, W nazywane s ˛a punktami kardynalnymihoryzontu, wertykały przechodz ˛ace przez punkty W i E nazwanopierwszymi wertykałami.
Astronomiczne układy współrz ˛ednych.
Układ współrz ˛ednych horyzontalnych (2)
S
P Z
N
Q O E
W
Na
Poludnik miejscowy
Horyzont Almukantarat
φ
Wertykał
Definicje
nachylenie osi ´swiata do horyzontu jest równe szeroko´sci geograficznej φ obserwatora O,
koło wielkie ZP nosi mianopołudnika miejscowegoalbopołudnika
obserwatora,
południk miejscowy przecina horyzont w punktach północy i południaN i S le˙z ˛acych na tej samej ´srednicy, punkty wschodu i zachodu(E , W ) znajduj ˛a si ˛e w odległo´sci k ˛atowej 90◦od S i N,
Punkty N, E , S, W nazywane s ˛a punktami kardynalnymihoryzontu, wertykały przechodz ˛ace przez punkty W i E nazwanopierwszymi wertykałami.
Układ współrz ˛ednych horyzontalnych (2)
S
P Z
N
Q O E
W
Na
Poludnik miejscowy
Horyzont Almukantarat
φ
Wertykał
Definicje
nachylenie osi ´swiata do horyzontu jest równe szeroko´sci geograficznej φ obserwatora O,
koło wielkie ZP nosi mianopołudnika miejscowegoalbopołudnika
obserwatora,
południk miejscowy przecina horyzont w punktach północy i południaN i S le˙z ˛acych na tej samej ´srednicy, punkty wschodu i zachodu(E , W ) znajduj ˛a si ˛e w odległo´sci k ˛atowej 90◦od S i N,
Punkty N, E , S, W nazywane s ˛a punktami kardynalnymihoryzontu, wertykały przechodz ˛ace przez punkty W i E nazwanopierwszymi wertykałami.
Astronomiczne układy współrz ˛ednych.
Układ współrz ˛ednych horyzontalnych (3)
Horyzont
Poludnik
S
P Z
N
Q
Na E
X
A W
O A
z
h h
Definicja układu horyzontalnego (1) biegunem układu jest zenit Z , płaszczyzn ˛a odniesienia azymutu jest płaszczyzna południka ZPNaQS, współrz ˛edne horyzontalne A, z, h punktu X definiujemy jako k ˛aty:
z = ZX h = 90◦− z A = PZX
(16)
azymutA mierzony jest od punktu północy N w stron ˛e punktu wschodu E , odległo´s´c zenitaln ˛az iwysoko´s´ch mierzymy w płaszczy´znie wertykału ZX obiektu X ,
Układ współrz ˛ednych horyzontalnych (3)
Horyzont
Poludnik
S
P Z
N
Q
Na E
X
A W
O A
z
h h
Definicja układu horyzontalnego (1) biegunem układu jest zenit Z , płaszczyzn ˛a odniesienia azymutu jest płaszczyzna południka ZPNaQS, współrz ˛edne horyzontalne A, z, h punktu X definiujemy jako k ˛aty:
z = ZX h = 90◦− z A = PZX
(16)
azymutA mierzony jest od punktu północy N w stron ˛e punktu wschodu E , odległo´s´c zenitaln ˛az iwysoko´s´ch mierzymy w płaszczy´znie wertykału ZX obiektu X ,
Astronomiczne układy współrz ˛ednych.
Układ współrz ˛ednych horyzontalnych (3)
Horyzont
Poludnik
S
P Z
N
Q
Na E
X
A W
O A
z
h h
Definicja układu horyzontalnego (1) biegunem układu jest zenit Z , płaszczyzn ˛a odniesienia azymutu jest płaszczyzna południka ZPNaQS, współrz ˛edne horyzontalne A, z, h punktu X definiujemy jako k ˛aty:
z = ZX h = 90◦− z A = PZX
(16)
azymutA mierzony jest od punktu północy N w stron ˛e punktu wschodu E , odległo´s´c zenitaln ˛az iwysoko´s´ch mierzymy w płaszczy´znie wertykału ZX obiektu X ,
Układ współrz ˛ednych horyzontalnych (3)
Horyzont
Poludnik
S
P Z
N
Q
Na E
X
A W
O A
z
h h
Definicja układu horyzontalnego (1) biegunem układu jest zenit Z , płaszczyzn ˛a odniesienia azymutu jest płaszczyzna południka ZPNaQS, współrz ˛edne horyzontalne A, z, h punktu X definiujemy jako k ˛aty:
z = ZX h = 90◦− z A = PZX
(16)
azymutA mierzony jest od punktu północy N w stron ˛e punktu wschodu E , odległo´s´c zenitaln ˛az iwysoko´s´ch mierzymy w płaszczy´znie wertykału ZX obiektu X ,
Astronomiczne układy współrz ˛ednych.
Układ współrz ˛ednych horyzontalnych (3)
Horyzont
Poludnik
S
P Z
N
Q
Na E
X
A W
O A
z
h h
Definicja układu horyzontalnego (1) biegunem układu jest zenit Z , płaszczyzn ˛a odniesienia azymutu jest płaszczyzna południka ZPNaQS, współrz ˛edne horyzontalne A, z, h punktu X definiujemy jako k ˛aty:
z = ZX h = 90◦− z A = PZX
(16)
azymutA mierzony jest od punktu północy N w stron ˛e punktu wschodu E , odległo´s´c zenitaln ˛az iwysoko´s´ch mierzymy w płaszczy´znie wertykału ZX obiektu X ,
Układ współrz ˛ednych horyzontalnych (4)
Horyzont
Poludnik
S
P Z
N
Q
Na E
X
A W O
A
z h h
Definicja układu horyzontalnego (2) współrz ˛edne A, z, h przyjmuj ˛a warto´sci z przedziałów:
0 ≤ z ≤ 180◦
−90◦≤ h ≤ 90◦ 0◦≤ A ≤ 360◦
Współrz ˛edne horyzontalne maj ˛a lokalny, miejscowy charakter, co oznacza zale˙zno´s´c A, z, h od wyboru poło˙zenia punktu O na powierzchni Ziemi. Dla ustalonego miejsca O, w wyniku ruchu dobowego sfery warto´sci
współrz ˛ednych horyzontalnych ulegaj ˛a zmianom w czasie.
Astronomiczne układy współrz ˛ednych.
Układ współrz ˛ednych prostok ˛ atnych horyzontalnych (5)
Horyzont
Poludnik
S
P
Q
Na z
W O
A
A G
N
E X
Z
Y z
x y
h
Definicja układu horyzontalnego (3) Dla sfery jednostkowej współrz ˛ednym (A, h) punktu G odpowiadaj ˛a współrz ˛edne (x , y , z):
x = cos h cos A y = cos h sin A z = sin h
(17)
Układ horyzontalny jest układem lewoskr ˛etnym, czego nie da si ˛e unikn ˛a´c je´sli współrzedna A ciała niebieskiego ma wzrasta´c zgodnie z kierunkiem
dobowego ruchu sfery.
Układ współrz ˛ednych godzinnych (1)
Układ współrz ˛ednych godzinnych jest hybryd ˛a układu równikowego i horyzontalnego. Jego biegunem jest północny biegun ´swiata a płaszczyzn ˛a odniesienia współrz ˛ednej azymutalnej jest południk miejscowy PZSQ.
R
Q E
O V
U
P
W N S
Poludnik Rownik
Z
Równoleżnik
Horyzont
Koło godzinne
G
Definicje
koła wielkie przechodz ˛ace przez bieguny ´swiata np. PGQ, nazwanokołami godzinnymi, koła małe o biegunach w P i Q, nosz ˛a mianorównole˙zników deklinacji.
Astronomiczne układy współrz ˛ednych.
Układ współrz ˛ednych godzinnych (1)
Układ współrz ˛ednych godzinnych jest hybryd ˛a układu równikowego i horyzontalnego. Jego biegunem jest północny biegun ´swiata a płaszczyzn ˛a odniesienia współrz ˛ednej azymutalnej jest południk miejscowy PZSQ.
R
Q E
O V
U
P
W N S
Poludnik Rownik
Z
Równoleżnik
Horyzont
Koło godzinne
G
Definicje
koła wielkie przechodz ˛ace przez bieguny ´swiata np. PGQ, nazwanokołami godzinnymi, koła małe o biegunach w P i Q, nosz ˛a mianorównole˙zników deklinacji.
Układ współrz ˛ednych godzinnych (2)
R
Q E
O X H
Rownik
Z P
W
S
N δ H
Poludnik
Horyzont
Definicja układu godzinnego (1) biegunem układu jest północny biegun ´swiata P,
płaszczyzn ˛a odniesienia k ˛ata godzinnego jest płaszczyzna południka PZeSQ,
współrz ˛edne godzinne H, δ punktu G definiujemy jako k ˛aty:
δ = 90◦− PG
H = ZPG (18)
a ich warto´sci nale˙z ˛a do przedziałów:
−90◦≤ δ ≤ 90◦ (19) 0 ≤ H ≤ 24h
Astronomiczne układy współrz ˛ednych.
Układ współrz ˛ednych godzinnych (2)
R
Q E
O X H
Rownik
Z P
W
S
N δ H
Poludnik
Horyzont
Definicja układu godzinnego (1) biegunem układu jest północny biegun ´swiata P,
płaszczyzn ˛a odniesienia k ˛ata godzinnego jest płaszczyzna południka PZeSQ,
współrz ˛edne godzinne H, δ punktu G definiujemy jako k ˛aty:
δ = 90◦− PG
H = ZPG (18)
a ich warto´sci nale˙z ˛a do przedziałów:
−90◦≤ δ ≤ 90◦ (19) 0 ≤ H ≤ 24h
Układ współrz ˛ednych godzinnych (2)
R
Q E
O X H
Rownik
Z P
W
S
N δ H
Poludnik
Horyzont
Definicja układu godzinnego (1) biegunem układu jest północny biegun ´swiata P,
płaszczyzn ˛a odniesienia k ˛ata godzinnego jest płaszczyzna południka PZeSQ,
współrz ˛edne godzinne H, δ punktu G definiujemy jako k ˛aty:
δ = 90◦− PG
H = ZPG (18)
a ich warto´sci nale˙z ˛a do przedziałów:
−90◦≤ δ ≤ 90◦ (19) 0 ≤ H ≤ 24h
Astronomiczne układy współrz ˛ednych.
Układ współrz ˛ednych godzinnych (2)
R
Q E
O X H
Rownik
Z P
W
S
N δ H
Poludnik
Horyzont
Definicja układu godzinnego (1) biegunem układu jest północny biegun ´swiata P,
płaszczyzn ˛a odniesienia k ˛ata godzinnego jest płaszczyzna południka PZeSQ,
współrz ˛edne godzinne H, δ punktu G definiujemy jako k ˛aty:
δ = 90◦− PG
H = ZPG (18)
a ich warto´sci nale˙z ˛a do przedziałów:
−90◦≤ δ ≤ 90◦ (19) 0 ≤ H ≤ 24h
Układ współrz ˛ednych godzinnych (3)
R
Q E
O X H
Rownik
Z P
W
S
N δ H
Poludnik
Horyzont
Definicja układu godzinnego (2)
k ˛at godzinnyH jest k ˛atem dwu´sciennym pomi ˛edzy płaszczyznami kół godzinnych PZSQ i PGQ; warto´sci H wzrastaj ˛a w stron ˛e punktu zachodu W , zgodnie z dobowym ruchem sfery,
deklinacj ˛eδmierzymy w płaszczy´znie koła godzinnego obiektu G, poczynaj ˛ac od płaszczyzny równika; na półsferze północnej δ > 0.
Układ godzinny jest zwi ˛azany z miejscem obserwacji ale w mniejszymm stopniu, bowiem jedynie k ˛at godzinny zale˙zy od wyboru miejsca obserwacji i czasu. Warto´s´c deklinacji obiektu nie ulega zmianie na wskutek ruchu wirowego sfery.
Astronomiczne układy współrz ˛ednych.
Układ współrz ˛ednych godzinnych (3)
R
Q E
O X H
Rownik
Z P
W
S
N δ H
Poludnik
Horyzont
Definicja układu godzinnego (2)
k ˛at godzinnyH jest k ˛atem dwu´sciennym pomi ˛edzy płaszczyznami kół godzinnych PZSQ i PGQ; warto´sci H wzrastaj ˛a w stron ˛e punktu zachodu W , zgodnie z dobowym ruchem sfery,
deklinacj ˛eδmierzymy w płaszczy´znie koła godzinnego obiektu G, poczynaj ˛ac od płaszczyzny równika; na półsferze północnej δ > 0.
Układ godzinny jest zwi ˛azany z miejscem obserwacji ale w mniejszymm stopniu, bowiem jedynie k ˛at godzinny zale˙zy od wyboru miejsca obserwacji i czasu. Warto´s´c deklinacji obiektu nie ulega zmianie na wskutek ruchu wirowego sfery.
Układ współrz ˛ednych godzinnych (3)
R
Q E
O X H
Rownik
Z P
W
S
N δ H
Poludnik
Horyzont
Definicja układu godzinnego (2)
k ˛at godzinnyH jest k ˛atem dwu´sciennym pomi ˛edzy płaszczyznami kół godzinnych PZSQ i PGQ; warto´sci H wzrastaj ˛a w stron ˛e punktu zachodu W , zgodnie z dobowym ruchem sfery,
deklinacj ˛eδmierzymy w płaszczy´znie koła godzinnego obiektu G, poczynaj ˛ac od płaszczyzny równika; na półsferze północnej δ > 0.
Układ godzinny jest zwi ˛azany z miejscem obserwacji ale w mniejszymm stopniu, bowiem jedynie k ˛at godzinny zale˙zy od wyboru miejsca obserwacji i czasu. Warto´s´c deklinacji obiektu nie ulega zmianie na wskutek ruchu wirowego sfery.
Astronomiczne układy współrz ˛ednych.
Układ współrz ˛ednych godzinnych prostok ˛ atnych (4)
Q Rownik
N δ H S
Poludnik
O
P
R
Ze
G H
Horyzont
Z
Y z X
y x
Definicja układu godzinnego (3) Dla sfery jednostkowej współrz ˛ednym (H, δ)punktu G odpowiadaj ˛a współrz ˛edne (x , y , z):
x = cos δ cos H y = cos δ sin H z = sin δ
(20)
Układ godzinny jest układem lewoskr ˛etnym, czego nie da si ˛e unikn ˛a´c je´sli współrzedna KG ciała niebieskiego ma wzrasta´c zgodnie z kierunkiem dobowego ruchu sfery.
Dygresja: ruch dobowy sfery na szeroko´sci φ
R
Q E
O
T
δ X R
L
H
V Y
U
Rownik
Z P
W
S N
D
Poludnik
Ruch dobowy gwiazd
sfera obraca si ˛e jednostajnie wokół osi ´swiata PQ z szybko´sci ˛a ω =15 [◦/godz],
dobowe trajektorie gwiazd s ˛a równole˙znikami np. UYV , LRTD, albo równikiem ´swiata ERW , punkt T równole˙znika gwiazdy G o najwi ˛ekszej wysoko´sci nazywamy punktemkulminacji górnej, punkt o najmniejszej wysoko´sci nazywamy punktem kulminacji dolnej,
punkty o zerowej wysoko´sci to miejscawschoduizachodu obiektu, wypadaj ˛ace po stronie punktów E i W odpowiednio.
Astronomiczne układy współrz ˛ednych.
Dygresja: ruch dobowy sfery na szeroko´sci φ
R
Q E
O
T
δ X R
L
H
V Y
U
Rownik
Z P
W
S N
D
Poludnik
Ruch dobowy gwiazd
sfera obraca si ˛e jednostajnie wokół osi ´swiata PQ z szybko´sci ˛a ω =15 [◦/godz],
dobowe trajektorie gwiazd s ˛a równole˙znikami np. UYV , LRTD, albo równikiem ´swiata ERW , punkt T równole˙znika gwiazdy G o najwi ˛ekszej wysoko´sci nazywamy punktemkulminacji górnej, punkt o najmniejszej wysoko´sci nazywamy punktem kulminacji dolnej,
punkty o zerowej wysoko´sci to miejscawschoduizachodu obiektu, wypadaj ˛ace po stronie punktów E i W odpowiednio.
Dygresja: ruch dobowy sfery na szeroko´sci φ
R
Q E
O
T
δ X R
L
H
V Y
U
Rownik
Z P
W
S N
D
Poludnik
Ruch dobowy gwiazd
sfera obraca si ˛e jednostajnie wokół osi ´swiata PQ z szybko´sci ˛a ω =15 [◦/godz],
dobowe trajektorie gwiazd s ˛a równole˙znikami np. UYV , LRTD, albo równikiem ´swiata ERW , punkt T równole˙znika gwiazdy G o najwi ˛ekszej wysoko´sci nazywamy punktemkulminacji górnej, punkt o najmniejszej wysoko´sci nazywamy punktem kulminacji dolnej,
punkty o zerowej wysoko´sci to miejscawschoduizachodu obiektu, wypadaj ˛ace po stronie punktów E i W odpowiednio.
