Układ współrz ˛ednych

Mechanika ruchu obrotowego

Fizyka I (Mechanika)

Wykład X:

• Przypomnienie, ruch po okr ˛egu

• Oscylator harmoniczny, wahadło

• Ruch w jednorodnym polu elektrycznym i magnetycznym

• Prawa ruchu w układzie obracaj ˛acym si ˛e

Poj ˛ecia podstawowe

Układ współrz ˛ednych

Słu˙zy do okre´slenia poło˙zenia ciała w danym układzie odniesienia Poło˙zenie mo˙zemy zapisa´c na wiele

ró˙znych sposobów:

• układ współrz ˛ednych kartezja ´nskich:

~

r = x ·~i_x + y ·~i_y + z ·~i_z

≡ (x, y, z)

• układ współrz ˛ednych biegunowych:

~r = (r, Θ, φ)

• układ współrz ˛ednych walcowych:

~

r = (l, φ, z)

r

l i

i i

P Z

z

Θ

X

Y

x

φ y

x

y z

Ruch po okr ˛egu

Poło˙zenie ciała mo˙ze by´c opisane jedn ˛a zmienn ˛a:

• k ˛at w płaszczy´znie XY - φ

• długo´s´c łuku okr ˛egu - s = r · φ Pr ˛edko´s´c:

V = ds

dt = r dφ

dt = r ω

X Y

s r φ

V

pr ˛edko´s´c k ˛atowa ω = ^dφ_dt Przyspieszenie k ˛atowe: α = dω

dt = d²φ dt²

Ruch jednostajny po okr ˛egu: α = 0 ⇒ ω = const ⇒ V = const

ale V 6=~ const ⇒ ~a 6= 0 !?

Ruch po okr ˛egu

Pr ˛edko´s´c w zapisie wektorowym:

V = ~ ~ ω × ~ r

Przyspieszenie:

~a = d~V

dt = d~ω

dt × ~r + ~ω × d~r dt

= α~ × ~r + ~ω × V~

= a~_t + a~_n

Z

X

Y

V r

s φ

ω

Oprócz przyspieszenia stycznego a~_t ↑↑ ~V , opisuj ˛acego zmian ˛e |~V |,

jest te˙z przyspieszenie normalne a~_n, odpowiedzialne za zmian ˛e kierunku V~ w czasie.

~

a_n = ~ω × (~ω × ~r) = −ω² · ~r A × (B × C) = (A · C) · B − (A · B) · C przyspieszenie do´srodkowe

Ruch po okr ˛egu

W ruch jednostajnym po okr ˛egu przyspieszenie styczne z definicji znika:

|~V | = const ⇒ a~_t = 0

Jednak w ruchu po okr ˛egu przyspieszenie nigdy nie znika (je´sli |~V | 6= 0).

Przyspieszenie normalne pojawia si ˛e na skutek zmian kierunku pr ˛edko´sci:

~a = ~a_n = −ω² · ~r

X Y

s r φ

V Ruch jednostajny po okr ˛egu jest zło˙zeniem dwóch niezale˙znych ruchów harmionicznych:

x = r · cos(ω · t) = r · sin(ω · t + π 2) y = r · sin(ω · t)

Ruch po okr ˛egu ⇐⇒ ró˙znica faz ∆φ = ±^π₂

Równania ruchu

Podstawowym zagadnieniem dynamiki jest rozwi ˛azywanie równa ´n ruchu, czyli okre´slanie ruchu ciała ze znajomo´sci działaj ˛acych na nie sił.

Siła działaj ˛aca na ciało mo˙ze zale˙ze´c od poło˙zenia i pr ˛edko´sci cz ˛astki oraz czasu

⇒ równanie ruchu:

m d²~r(t)

dt² = ~F (~r, ~v, t) Ogólne rozwi ˛azanie ma sze´s´c stałych całkowania:

~r = ~r (t, C₁, C₂, . . . , C₆)

Aby ´sci´sle okre´sli´c ruch ciała musimy poza rozwi ˛azaniem równa ´n ruchu wyznaczy´c warto´sci wolnych parametrów (w ogólnym przypadku sze´sciu) Najcz ˛e´sciej dokonujemy tego okre´slaj ˛ac warunki pocz ˛atkowe:

~

r₀ = ~r (t₀)

~v₀ = ~v (t₀) t₀ ^{- wybrana  hwila po z¡tkowa}

Rówanania ruchu

Wahadło matematyczne.

Tym razem opiszmy poło˙zenie kulki w zmiennej s (pozycja wzdłu˙z łuku toru).

θ l

F=mg F_R

y z

a

s

Rzut przyspieszenia na kierunek ruchu:

a_s = d²s

dt² = −g · sin θ

W przybli˙zeniu małych k ˛atów (sin θ ≈ θ) otrzymujemy:

d²s

dt² = −g · θ = −g l · s

⇒ oscylator harmoniczny cz ˛esto´s´c ω = ^qg_l.

W chwili t = 0 puszczamy z wychylenia A (V (0) = 0):

⇒ s(t) = A · cos(ωt)

W chwili t = 0 nadajemy pr ˛edko´s´c V₀ (s(0) = 0):

⇒ s(t) = V₀

ω · sin(ωt)

Ruch harmoniczny

Równanie oscylatora harmonicznego:

d²x

dt² = −ω² x ^{(ru h w jednym wymiarze)} d²~r

dt² = −ω² ~r ^{(posta¢ ogólna)}

Równanie oscylatora dobrze opisuje zachowanie bardzo wielu układów fizycznych: ci ˛e˙zarek na spr ˛e˙zynie, wahadło matematyczne (dla małych wychyle ´n), kamerton, struna, itp...

Równanie oscylatora harmonicznego jest przykładem równania ró˙zniczkowego.

Ogólna posta´c rozwi ˛azania:

1D: x = A · sin(ωt + φ) = A · cos(ωt) + B · sin(ωt)

3D: ~r = A~ · cos(ωt) + B~ · sin(ωt)

W ogólnym przypadku ruch b ˛edzie płaski, w płaszczy´znie wyznaczonej przez pocz ˛atkowe poło˙zenie i pr ˛edko´s´c: A = ~~ r(0) = ~r₀ ω ~B = ~v(0) = ~v₀.

Rówanania ruchu

Pole elektryczne

Rozwa˙zmy cz ˛astk ˛e naładowan ˛a o masie m i ładunku q poruszaj ˛ac ˛a si ˛e w jednorodnym polu elektrycznym o nat ˛e˙zeniu E~ (np. wewn ˛atrz kondensatora płaskiego).

+ + + + + + + + + + + + + + +

− − − − − − − − − − − − − − −

x

y V

E

F

q>0

E = (0, −E, 0)~

Na cz ˛astk ˛e działa stała siła (z definicji nat ˛e˙zenia):

F~_E = q · ~E

Ruch odbywa si ˛e ze stałym przyspieszeniem:

~a = F~_E

m = q

m · ~E Pełna analogia do pola grawitacyjnego:

~g ⇔ q

m · ~E Np. energia potencjalna:

E_p^g = mgy ⇔ E_p^E = qEy

Rówanania ruchu

Pole elektryczne

+ + + + + + + + + + + + + +

− − − − − − − − − − − − − − − +

x L

y

V

E

q<0

F

Stałe jednorodne pole elektryczne E = (0, E, 0)~ W chwili t₀ = 0 w punkcie ~r₀ = (0, 0, 0) w pole wlatuje z pr ˛edko´sci ˛a v~₀ = (v₀, 0, 0) cz ˛astka o masie m i ładunku Q

F~_E = Q ~E

Równania ruchu:

m d²x

dt² = 0 m d²y

dt² = Q E

Całkowanie + warunki pocz ˛atkowe

⇒ x(t) = v₀ · t y(t) = Q E

2m · t²

⇒ równanie toru: y = ^{Q E}

2mv²₀ · x² K ˛at odchylenia:

tan θ = dy dx

_x=L

= Q E L m v₀²

Rówanania ruchu

Pole magnetyczne

x

z y

V

B

Stałe jednorodne pole B = (0, 0, B)~

W chwili t₀ = 0 w punkcie ~r₀ = (0, 0, 0) w pole wlatuje z pr ˛edko´sci ˛a v~₀ = (0, v₀, 0) cz ˛astka o masie m i ładunku Q

F~_B = Q · ~v × ~B ^{siªa Lorenza}

Z definicji iloczynu wektorowego

m d²~r

dt² = Q ·











~i_x ~i_y ~i_z

dxdt

dy

dt dz dt

0 0 B











Układ dwóch równa ´n:

m d²x

dt² = Q B dy dt m d²y

dt² = −Q B dx dt Całkuj ˛ac pierwsze równanie

m dx

dt = Q B (y − y_c)

⇒ d²y

dt² = −

Q B m

2

(y − y_c)

Rówanania ruchu

Pole magnetyczne

Otrzymujemy równania ruchu:

d²y

dt² = −ω² (y − y_c) ^{os ylator} dx

dt = ω (y − y_c) ω = Q B m

⇒ ruch po okr ˛egu ω - cz ˛esto´s´c cyklotronowa

B Q

V F

y

x

B

r

Rozwi ˛azanie:

x = r · sin(ωt + φ₀) + x_c y = r · cos(ωt + φ₀) + y_c gdzie r - promie ´n cyklotronowy:

r = m v₀ Q B Z warunków pocz ˛atkowych (~r(0) = ~r₀ i ~v(0) = ~v₀):

x = r · (1 − cos ωt) y = r · sin ωt

Ruch w polu magnetycznym jest jednostajny: v = const

r = m v

Q B = p Q B

Rówanania ruchu

W fizyce cz ˛astek pole magnetyczne powszechnie wykorzystywane jest do pomiaru p ˛edu cz ˛astek. Wszystkie długo˙zyciowe cz ˛astki naładowane maj ˛a ładunek ±1e...

Komora p ˛echerzykowa w CERN Detektor CDF w Fermilab

Rówanania ruchu

Pole magnetyczne

W ogólnym przypadku pr ˛edko´s´c cz ˛astki V~ nie musi by´c prostopadła do wektora indukcji pola magnetycznego B~.

Jednak siła Lorenza zawsze prostopadła do B~ ⇒ na kierunku równoległym do pola znika!

W kierunku wektora pola ruch cz ˛astki jest ruchem jednostajnym.

W ogólnym przypadku torem ruchu jest spirala.

Rówanania ruchu

Pole magnetyczne

y

L

x V

B

r

Odchylenie cz ˛astki przelatuj ˛acej

przez w ˛aski obszar jednorodnego pola zakładamy ωt ≪ 1:

x ≈ r · ωt y ≈ r ·

"

1 − (ωt)² 2

!

− 1

#

= − x² 2 r

K ˛at odchylenia:

tan θ =

dy dx

_x=L = L

r = Q B L m v₀

Rówanania ruchu

Spektroskop Thomsona

jednorodnych pól E~ i B~

E ↑↓ ~~ B

Pozycja cz ˛astki na ekranie d ≫ L y_e ≈ d · tan θ_B = Q B L d

m v₀ z_e ≈ d · tan θ_E = Q E L d

m v₀²

⇒ z_e = m

Q · E

B² L d · y_e²

y

L

L+d

0 z x y

z

x

B

E V

m m

1 2

Cz ˛astki o róznych v₀ układaj ˛a si ˛e na parabolach odpowiadaj ˛acych ich ^m_Q

⇒ separacja izotopów o ró˙znych masach - spektroskopia masowa

Rówanania ruchu

Selektor pr ˛edko´sci

y z

x

V=V

V>V

V<V

Q > 0 B

E V

Cz ˛astka w skrzy˙zowanych jednorodnych polach E~ ⊥ B~

F~_E = Q · ~E

F~_B = Q · ~v × ~B

Dla pr ˛edko´sci V₀ = _B^E

wypadkowa sił F~_E + ~F_B = 0

⇒ tor prostoliniowy

⇒ metoda selekcji cz ˛astek o ustalonej pr ˛edko´sci

niezale˙znie od ich Q i m

Rówanania ruchu

Spektrometr Bainbridge’a

B B

E

r wiazka jonow

selektor predkosci

klisza fotograficzna o

Mierzymy promie ´n cyklotronowy r = ^{m v}_{Q B}⁰ dla cz ˛astek o ustalonej pr ˛edko´sci v₀ = ^E_B

⇒ pomiar ^m_Q

1 2 3

2 3

1

m <m <m

m m

m

Cz ˛astki o ró˙znych masach zaczerni ˛a klisz ˛e w ró˙znych odległo´sciach od szczeliny

Ruch po okr ˛egu

Zasada bezwładno´sci

“Ka˙zde ciało trwa w swym stanie spoczynku lub ruchu prostoliniowego i jednostajnego, je´sli siły przyło˙zone nie zmuszaj˙z ciała do zmiany tego stanu.” I.Newton

⇒ aby ciało pozostawało w ruchu po okr ˛egu konieczne jest działanie siły ⇒ siła do ´srodkowa

B Q

V F

y

x

B

r

Ruch po okr ˛egu mo˙ze by´c wynikiem działania ró˙znego rodzaju sił:

• siły zewn ˛etrzne

⇒ siła Lorenza (pole magnetyczne)

⇒ siły spr ˛e˙zysto´sci

• siły reakcji wi ˛ezów (kulka na nitce)

• wypadkowej sił reakcji i sił zewn ˛etrznych (regulator Watta, kulka w wiruj ˛acym naczyniu...)

Ruch po okr ˛egu

Siła do´srodkowa

Cz ˛astka naładowana w polu magnetycznym

B Q

V F

y

x

B

r

Promie ´n cyklotronowy:

r = m v

Q B = p Q B

Siła Lorenza:

F~_B = Q · ~v × ~B

Dla ~v ⊥ ~B:

F_B = Q v B

⇒ F_B = Q B

m v m v² = 1

r m v²

F_B = m v²

r = m ω² r

Ruch po okr ˛egu

Siła do´srodkowa

Regulator Watta

ω R

mg

F

Kulka w wiruj ˛acym naczyniu

ω R

mg

F

Siła do´srodkowa jest wypadkow ˛a siły reakcji i siły ci ˛e˙zko´sci:

F = ~ m~g + R ~

Ruch po okr ˛egu

Siła do´srodkowa

Z

X

Y V r

s φ

ω

x = r · cos(ω · t) y = r · sin(ω · t) z ≡ 0

⇒ a_x = −ω² r · cos(ω · t) a_y = −ω² r · sin(ω · t)

⇒ ~a = −ω² ~r

⇒ F~ = −m ω² ~r

~a = d~v dt

dv = v · dφ = v ω dt a = v ω = ω² r = v²

r

V dV

r φ = ω dt d

φ d

W zapisie wektorowym: ~ω = const

~a = dV~

dt = d(~ω × ~r)

dt = ~ω × d~r dt

= ~ω × V~ = ~ω × (~ω × ~r)

= −ω² · ~r_⊥ ~r_⊥ = (x, y, 0)

Ruch po okr ˛egu

Siła do´srodkowa

Kulka w wiruj ˛acym naczyniu

α r ω

mg

F R

F =~ m~g + R~

Siła do´srodkowa skierowana poziomo ze składania sił:

⇒ R · cos α − mg = 0 F = R · sin α = mg · tan α Z równania ruchu:

F = m ω²r_⊥ = m ω²r · sin α

⇒ cos α = g ω² r

Kulka odchyli si ˛e dopiero dla ω > ^qg_r = ω_◦ ω_◦ - cz ˛esto´s´c drga ´n wahadła

matematycznego o długo´sci r

Układy nieinercjalne

Prawa ruchu

Niech układ O’ porusza si ˛e wzgl ˛edem układu inercjalnego O.

Osie obu układów pozostaj ˛a cały czas równoległe (brak obrotów)

Niech ~r_◦(t) opisuje poło˙zenie układu O’ w O. Przyspieszenie: ~a_◦ = ^d2~r◦

dt²

Prawa ruchu w układzie inercjalnym O:

m~a = ~F (~r, ~v, t) + ~F_R

⇒ w układzie nieinercjalnym O’:

m~a ^′ = ~F (~r ^′, ~v ^′, t) + ~F_R − m~a_◦

⇒ w układzie nieinercjalnym musimy wprowadzi´c sił ˛e bezwładno´sci F~_b = −m~a_◦ Czy mo˙zemy to podej´scie zastosowa´c tak˙ze w przypadku,

gdy układy obracaj ˛a si ˛e wzgl ˛edem siebie?

Problem komplikuje si ˛e, bo przyspieszenie wzgl ˛edne zale˙zy od poło˙zenia...

Układ obracaj ˛ acy si ˛e

Niech układ O’ obraca si ˛e z pr ˛edko´sci ˛a k ˛atow ˛a ~ω wzgl ˛edem układu inercjalnego O.

Dla uproszenia przyjmijmy, ˙ze pocz ˛atki obu układów pokrywaj ˛a si ˛e.

Rozwa˙zmy ruch punktu materialnego spoczywaj ˛acego w układzie O’:

Z punktu widzenia obserwatora O ciało porusza si ˛e po okr ˛egu i musi na nie dziala´c siła do´srodkowa:

F = −m ω~ ² ~r_⊥

W układzie O’, aby opisa´c równowag ˛e sił ( ciało pozostaje w spoczynku) musimy wprowadzi´c sił ˛e bezwładno´sci:

F~_b = +m ω² ~r_⊥

⇒ siła od´srodkowa

Siły bezwładno´sci s ˛a siłami pozornymi, wynikaj ˛acymi z nieinercjalnego charakteru układu odniesienia

Układ obracaj ˛ acy si ˛e

Siła od´srodkowa

Regulator Watta

B

ω=0 F

R

mg

Kulka w wiruj ˛acym naczyniu

B

ω=0 R

mg F

Równowaga sił w układzie obracaj ˛acym si ˛e:

m~g + R ~ + F ~

= m~a

= 0

Układ obracaj ˛ acy si ˛e

Siła od´srodkowa

Ciecz w wiruj ˛acym naczyniu

Powierzchnia cieczy przyjmuje kształt paraboliczny

y

r α

ω=0

R

F

mg

Równowaga drobiny na powierzchni cieczy:

mg sin α − mω²r cos α = 0

(rzut na powierzchnie cieczy) dy

dr = tan α = ω² g r

⇒ y = ω²

2g · r²+y_◦

Układ obracaj ˛ acy si ˛e

Ruch obrotowy Ziemi

ω ≈ 2π

23^h 56^m 04^s ≈ 7.3 · 10⁻⁵ 1 s

Ciała nieruchome wzgl ˛edem powierzchni Ziemi.

Zmiana efektywnego przyspieszenia ziemskiego zwiazana z ruchem obrotowym Ziemi:

∆g = − ω²r_⊥ cos φ = − ω²r_Z cos² φ

≈ −0.033m

s² · cos² φ φ − ^{szeroko±¢ geo.}

Wyniki pomiarów:

biegun N g = 9.83216 ^m

s²

Warszawa g = 9.81230 ^m

s²

równik g = 9.78030 ^m

s²

Efekt wi ˛ekszy ze wzgl ˛edu na spłaszczenie Ziemi

Układ obracaj ˛ acy si ˛e

Układ O’ obraca si ˛e z pr ˛edko´sci ˛a k ˛atow ˛a ~ω wzgl ˛edem układu inercjalnego O.

Rozwa˙zmy teraz ruch punktu materialnego spoczywaj ˛acego w układzie O:

Z punktu widzenia obserwatora O’ ciało porusza si ˛e po okr ˛egu i musi na nie dziala´c siła do´srodkowa:

F = −m ω~ ² ~r_⊥

W układzie O’ działa tymczasem pozorna siła od´srodkowa F~_b = +m ω² ~r_⊥

⇒ musimy wprowadzi´c kolejn ˛a sił ˛e ?!

Aby “uratowa´c” równania ruchu potrzebujemy

F~_c = −2 m ω² ~r_⊥

⇒ czy to w ogóle ma sens ?...

Układ obracaj ˛ acy si ˛e

Punkt materialny poruszaj ˛acy si ˛e po okr ˛egu w układzie O, siła do´srodkowa F_d = m^V_r². W układzie obracaj ˛acym si ˛e O’ pr ˛edko´s´c punktu wynosi V ^′ = V − ω r

Układ O

v

F_d y

x

ω

Układ O’

v’

x’

y’

ω F_d F_b

Siła wypadkowa w O’:

F_d^′ = mV ^′2

r = m(V ^′ + ωr)²

r − 2mωV ^′ − mω²r = F_d − F_c − F_b

Dodatkowa siła pozorna F~_c (siła Coriolisa) konieczna do opisania ruchu po okr ˛egu w O’

Układ obracaj ˛ acy si ˛e

Rozwa˙zmy teraz punkt materialny poruszaj ˛acy si ˛e radialnie w układzie O’.

W inercjalnym układzie O zbli˙zaj ˛acy si ˛e do centrum układu punkt materialny zaczyna

“wyprzedza´c” punkty układu O’, gdy˙z ich pr ˛edko´s´c w ruchu obrotowym maleje...

Układ O’

x’

y’

v’ F ^c

ω

Układ O

v

y

x

ω

Pozorna siła Coriolisa pojawia si ˛e w układzie obracaj ˛acym si ˛e (nieinercjalnym), ˙zeby opisa´c odchylenie od toru prostoliniowego...

Układ obracaj ˛ acy si ˛e

Układ O’ obraca si ˛e z pr ˛edko´sci ˛a k ˛atow ˛a ~ω wzgl ˛edem układu inercjalnego O.

Z

Y r

X

Z ω

Y

X

V’

V V_rot

i

Dodawanie pr ˛edko´sci:

~v = ~v ^′ + ~v_rot = ~v ^′ + ~ω × ~r ^′ Przyspieszenie:

~a = d~v

dt = d~v ^′

dt + d~ω

dt × ~r ^′ + ~ω × d~r ^′ dt Pochodna dla wektora o z układu O’: (~r ^′ i ~v ^′)

d~o ^′

dt = d~o ^′

dt^′ + ω × ~~ o ^′

pochodna w O’ + obrót osi O’

⇒ ~a = ~a ^′ + d~ω

dt × ~r ^′ + ~ω × (~ω × ~r ^′) + 2 · ~ω × ~v ^′

przysp. w O’ przysp. O’ przysp. do´srodkowe przysp. Coriolisa

Układ obracaj ˛ acy si ˛e

Równanie ruchu

W układzie inercjalnym O:

m~a = ~F (~r, ~v, t) + ~F_R

⇒ w układzie nieinercjalnym O’:

m~a ^′ = ~F (~r ^′, ~v ^′, t) + ~F_R − m ~ω × (~ω × ~r ^′) − 2 · m ~ω × ~v ^′

W układzie obracaj ˛acym si ˛e wprowadzamy dwie pozorne siły bezwładno´sci:

• sił ˛e od´srodkow ˛a F~_o = −m ~ω × (~ω × ~r ^′) = +m ω² ~r_⊥ ^′

• sił ˛e Coriolisa F~_c = −2 · m ~ω × ~v ^′

Układ obracaj ˛ acy si ˛e

Ruch obrotowy Ziemi

Spadek swobodny z du˙zej wysoko´sci

Siła Coriolisa odchyla tor ciała

w kierunku wschodnim (obie półkule!)

Spadek swobodny z wysoko´sci h=5.5 km, zaniedbuj ˛ac opory powietrza:

y = h − gt²

2 , v_y = −g t Zaniedbuj ˛ac odchylenie od pionu:

a_c = 2 ω |v_y| cos φ = 2 ω g cos φ · t Ruch w poziomie (całkuj ˛ac a_x = a_c):

v_x = ω g cos φ · t² , x = 1

3ω g cos φ · t³ Ko ´ncowe odchylenie toru od pionu:

t =

s2h

g ≈ 33s ⇒ ∆ ≈ 9 m · cos φ w Warszawie około 5.5 m

Układ obracaj ˛ acy si ˛e

Ruch obrotowy Ziemi

Spadek swobodny z du˙zej wysoko´sci

Siła Coriolisa odchyla tor ciała

w kierunku wschodnim (obie półkule!)

Opory powietrza ⇒ przez wi ˛ekszo´s´c czasu spadek z pr ˛edko´sci ˛a v ≈ 55 m/s:

a_c = 2 ω v cos φ

≈ 0.008 m

s² · cos φ

Spadek z 5.5 km zajmie t ≈ 100 s.

Ko ´ncowe odchylenie toru od pionu:

∆ = a_c t²

2 ≈ 40 m · cos φ

w Warszawie około 25 m

Układ obracaj ˛ acy si ˛e

Siła Coriolisa

0000 1111

ω

000

V

F

W

Wiatry zakr ˛ecaj ˛a “w prawo”; wy˙z “kr ˛eci si ˛e”

zgodnie z ruchem wskazówek zegara

Półkula południowa

0000

1111

ω

W

V F

Wiatry zakr ˛ecaj ˛a “w lewo”; wy˙z “kr ˛eci si ˛e”

przeciwnie do ruchu wskazówek zegara

Układ obracaj ˛ acy si ˛e

Wahadło Foucault’a

E N

S W

pólkula pólnocna

start z wychylenia maksymalnego

Dla obserwatora na Ziemi płaszczyzna ruchu wahadła obraca si ˛e z pr ˛edko´sci ˛a k ˛atow ˛a

ω₁ = ω · sin φ

w Warszawie (φ = 52^◦): ω₁ ≈ 12^◦/h

dla startu z poło˙zenia równowagi:

Projekt Fizyka wobec wyzwa ´ n XXI w.

współfinansowany ze ´srodków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego