ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: TRANSPORT z. 10
______ 1990 Nr kol. 988
Jerzy DRYNDOS v
Ludwik MULLER
BADANIA NUMERYCZNE NAD MOŻLIWOŚCIĄ, ZMNIEJSZENIA NIERÓWNOMIERNOŚCI ROZKŁADU OBCIĄŻENIA NA SZEROKOŚCI KOŁA ZĘBATEGO PRZEZ ZASTOSOWANIE MIMOŚRODOWEGO OSADZENIA ŁOŻYSK
1. Wprowadzenie
Wszystkie metody obliczeń wytrzymałościowych kół zębatych uwzględniają nlerównomlerność rozkładu obciążenia na szerokości koła (L. 1-10). Nowo
czesne technologie wykonywania kół zębatych umożliwiają wprowadzenie mody
fikacji linii zęba w celu usunięcia niekorzystnych skutków odkształceń sprężystych, wywołujących nierównomierny rozkład obciążenia. Jednakże pod
stawowym wymogiem zastosowania modyfikacji Jest bardzo dokładne wykonanie przekładni, tj. zarówno kół zębatych, jak też wałów, łożysk itd. W wielu praktycznych przypadkach, szczególnie w przekładniach dużych mocy i roz
miarów, występują bardzo duże trudności w uzyskaniu wymaganej dla modyfi
kacji dokładności wykonania.
W pracy przedstawiono niektóre wyniki obliczeń komputerowych rozkładu obciążenia względnie maksymalnych wartości współczynnika nierównomlernoś- cl rozkładu w przypadku zastosowania mimośrodowego osadzania łożysk. Pełny program obliczeń udostępniany będzie zainteresowanym po ukończeniu przewo
du doktorskiego.
2. Zasada działania mlmośrodu
W uproszczeniu problem nierównomierności rozkładu obciążenia można zilu
strować na przykładzie przedstawionym na rys. 1 (L. 7). Na skutek sprężys
tych odkształceń wałów i zębnika Jednostkowe obciążę zębów
P - i (1)
nie Jest wielkością stałą na całej szerokości koła, lecz zmienia się w za
leżności od:
dfg1 - przyrostu odkształcenia skrętnego zębnika, dfs5 - przyrostu odkształcenia skrętnego koła,
42 J. Dryndos, L. Muller
dfg^ - przyrostu odkształcenia giętkiego zębnika,
dfg2 “ przyrostu odkształcenia giętkiego koła współpracującego,
■f - kąta zawartego pomiędzy zębami w stanie nie obciążonym, co można zapisać w postaci uproszczonego równania:
_ a 2p
"<3P " ’ C^d f s1 + d fs 2 + d f 8 1 + d f 8 2 + ^ d X ^ ’ ^
gdzie c - sztywność zazębienia zależna od parametrów zazębienia (L, 6),
Rys, 1, Szkic zębnika do analitycznych obliczeń rozkładu obciążenia, u do
łu: współrzędne liniowe, u góry: współrzędne bezwymiarowe, moment skręca
jący od strony prawej
Fig. 1, Leafed pinion sketch for analytic calculations of load distrubu- tion, bottom: linear co-ordinates, top: nondimensional co-ordinates, tor
que from the right side
Kąt f zależy od dokładności wykonania wyrażającej się odchyłką kierunku zęba, nierównołegłości osi i ich wichrowatości. Nierównoległość osi i ich wichrowatość może być dodatkowo sterowana za pomocą mimośrodów umożliwiają
cych przemieszczenie środka łożyska względem obudowy przekładni. Przez od
powiedni dobór mimośrodowości osadzenia łożysk można skompensować nie tyl
ko nierównoległość i wichrowatość osi, ale także:
a) liniową część odchyłki kierunku zęba,
b) liniową część sumy przyrostów odkształceń wywołanych skręceniem i zgi
naniem wałów i kół.
Badania numeryczne nad możliwością.. 43
Łatwo bowiem zauważyć, że przez odpowiedni dobór wartości kąta ■£ w rów
naniu (2) można zmniejszyć' prawą stronę równania, a tym samym zmiany Jed
nostkowego obciążenia zębów.
W praktyce można dokonać wyboru optymalnej mlmośrodowości łożysk przez obserwację śladu przylegania zębów. Zadaniem opracowanego programu obli
czeniowego Jest zbadanie w każdym konkretnym przypadku projektowanej (lub remontowanej) przekładni wpływu wprowadzenia mlmośrodowości osadzenia ło
żysk na wyrównanie rozkładu obciążenia i wyznaczenie maksymalnej resztko
wej wartości współczynnika nlerównomiemości rozkładu obciążenia dla celów obliczeń wytrzymałościowych.
3. Model przekładni
W pracy przyjęto następujące założenia obliczeniowe;
1 ) przekładnia zawiera wyłącznie walcowe koła zębate,
2) odkształcenia wałów i kół spowodowane są wyłącznie ich zginaniem i skrę
caniem,
3) sztywność wałów może być zmienna stosownie do zmian średnic, 4) odkształceniu ulegają wszystkie wały w sposób istotny,
5) oprócz obciążeń działających na analizowanym odcinku mogą Jeszcze wy
stępować dodatkowe obciążenia (momenty skupione, obciążenia rozłożone), 6) obciążenie zęba w rozpatrywanym miejscu jest proporcjonalne do Jego u-
glęcia 1 sztywności w danym punkcie,
7) ząb może być zastąpiony pakietem bardzo wąskich zębów o całkowitej sze
rokości równej szerokości zazębienia, przy czym sztywność każdego ele
mentu pakietu może być inna,
8) podatność każdej z podpór może być inna, ale znana w rozpatrywanej płaszczyźnie,
9) podpory są przegubowe,
1 0 ) rozpatrywane są tylko te odchyłki wykonawcze zazębienia 1 wałów, które w stanie nieobclążonym wywołują Jedynie zmianę kąta pochylenia współ
pracujących zębów,
1 1 ) długość linii kontaktu zębów może być mniejsza od całkowitej szerokości kół.
4. Ograniczenia programu obliczeniowego
W stosunku do wyżej podanych cech modelu przekładni przyjęto ze wzglę
dów obliczeniowych następujące ograniozenia:
1 ) w każdym 2cfOku obliczeniowym analizowane są wyłącznie dwa wały prze
kładni wielostopniowej, pozostałe traktowane są Jako nieskończenie sztywne,
J. Dryndoa, L. Muller
2 ) sumaryczna ilość odcinków obciążonych obu wałów nie może być większa od 4, przy czymś
.1 a) odcinki, na których zęby 3 lę kontaktują, traktowane są Jako Jeden odcinek,
b) w przypadku kół daszkowych każda bieżnia zębata traktowana Je3t Jak j oddzielny odcinek,
3) przekładnia musi mieć dwie podpory, przy czym, Jeżeli długość wału Jest większa od odległości podpór, to przynajmniej Jeden odcinek znajdujący się poza podporami musi być wolny od innych obciążeń niż moment skręca
jący»
4) średnice wałów mogą zmieniać się tylko skokowo,
5) sumaryczna ilość odcinków obliczeniowych wału nie może być większa od 1 0 } granicami odcinków są miejsca:
a) zn. leny średnicy, b) przyłożenia obciążenia, c) podparcia wału,
d) przyłożenia skupionego momentu skręcającego.
6) jedynym ograniczeniem liczby skupionych momentów są warunki podane w punkcie 2 1 5 »
7) ugięcia podpór (łożysk) są funkcją obciążenia, określoną wielomianem 2 stopnia,
8) sztywność zazębienia może być opisana najwyżej wielomianem trzeciego stopnia.
Pomimo tych ograniczeń program obejmuje najszerszy zakres przypadków spotykanych w praktyce w stosunku do znanych opisów literaturowych.
5. Przykłady obliczeń
Dla zilustrowania korzyści wynikających z zastosowania mimośrodowego osadzenia łożysk przeprowadzono stosowne obliczenia, których wyniki przed
stawiono na rysunkach. Przyjęto na nich następujące oznaczenia zgodne z ryk. 1 s
1 /b - względna odległość pomiędzy podporami, a/b - względna odległość od podpory.
łt » bsd - względna szerokość zębnika, v pmax
K ro m —-—p - współczynnik koncentracji obciążenia wywołanej odkształce
niami wałów,
pmax - maksymalna wartość lokalnego obciążenia zęba,
pm - średnia wartość obciążenia zęba, wynikająca z wielkości siły międzyzębnej 1 szerokości zębnika.
Badania numeryczne nad możliwością.. 45
u/ a j
Rys. 2. Wartości współczynnika Kr0 dla 1/b « 5 w funkcji »położenia zębnika między podporami 1 jego szerokości
Fig. 2. Values of the coefficient KrQ for 1/b - 5 as a functlon of a leafed plnlon position between bearing^->and lts wldth
Wszystkie rysunki wykonano pęzy założeniu braku odchyłek wykonawczych, tj. założeniu, że jedyną przyczyną nierównomiemoścl rozkładu są sprężyste odkształcenia wału zębnika. Przyjęto więcs brak istotnych odkształceń koła współpracującego, stałą średnicę wału zębnika, odkształcenia gięte wału i odkształcenia skrętne zębnika. Oczywiście zaproponowany program oblicze
niowy umożliwia uwzględnienie wielu innych wpływów, co wymaga ograniczenia rozważań do konkretnej przekładni, inaczej bowiem liczba potrzebnych wy
kresów Jest bardzo duża. O
Na rys. 2 przedstawiono wartości współczynnika Kr^ dla przekładni o względnej odległości pomiędz^cpodporami 1 /b ^--5 Tjkvfunkcjl położenia zęb
nika między podporami wyrażonej stosunkienPa/b.
46 J. Dryndos, L. Muller
a /b
Rys, 3. Wartości współczynnika Kr0 dla 1/b - 4 Fig, 3. Values of the coefficient Kr0 for 1/b - 4
W przypadku gdy zębnik usytuowany Jest przy lewej podporze (a/b « 0) a moment skręcający przyłożony Jest od prawej stropy, skutki zginania są w pewnym stopniu równoważone przez odkształcenia skrętne. Gdy natomiast zębnik znajduje się przy prawej podporze (a/b «= 4), to, jak łatwo sobie wyobrazió, lewa strona zębnika uchyla się od pracy zarówno wskutek skręca
nia zębnika, jak też ugięcia wałka. Odsuwanie zębnika od podpór zwiększa na ogół zukosowanie zębnika. Gdyby zębnik nie ulegał skręceniu lub gdyby skręcenie zębnika skorygowano odpowiednio dobraną modyfikacją linii zęba, to najkorzystniejsze położenie wypadałoby na środku między podporami, gdyż wtedy występuje symetria odkształceń. Przy Jednoczesnym wystąpieniu od
kształceń skrętnych korzystniej jest odsunąć nieco zębnik w stronę wolnej podpory, aby przynajmniej szęściowo zrównoważyć skutki skręcania przez
Badania numeryczne nad możliwością... 47
Rys. 4. Wartości współczynnika Kro dla 1/b » 3 Fig. 4. Values of the coefficient Kro for 1/b « 3
zakosowanie osi zębnika. Z tego powodu minimum wartości współczynnika tL, Q na rys. 2 leży poniżej wartości a/b « 2 .
Linią pełną przedstawiono wartości współczynnika KrQ przy równoległym położeniu osi wałów, natomiast linią przerywaną wartości tegoż współczynni
ka przy optymalnym zakosowaniu za pomocą mimośrodów. Jak widać na rysunku, przebieg tej linii zasadniczo różni się od przypadku przebiegu dla osi rów
noległych. Wartości współczynnika Kr0 są znacznie niższe, przy czym wystę
puje tylko Jedna wartość maksymalna w okolicy a/b ■» 2, gdzie poprzednio występowała wartość minimalna. W tym miejscu bowiem ze względu na symetrię odkształcenia glętnego głównym powodem nierównomierności rozkładu są od
kształcenia skrętne.
W miarę zmniejszania wartości współczynnika = b/d wartości współczyn
nika nierównomierności rozkładu KrQ maleją, przy czym zawsze zastosowanie mimośrodowego osadzenia łożysk Jest korzystne.
Rysunek 3 przedstawia analogiczne zależności przy 1/b *■ 4, rys. 4 doty
czy przypadku 1 /b = 3 , rys. 5 - przypadku 1 /b - 2 .
48 J. Dryndos, L. Muller
Rys. 5. Wartości współczynnika KrQ dla 1/b ■ 2 Fig. 5. Values of the coefficient K for 1/b - 2
ro '
Rysunek 6 przedstawia wartości Kro dla 1/b - 1 w funkcji X « b/d; tak
że w tym przypadku zastosowanie mimośrodowego osadzenia łożysk wpływa ko
rzystnie na rozkład obciążenia szczególnie przy dużych wartościach b/d.
Rysunki 7, 8 i 9 dotyczą kół daszkowych, gdzie przez b oznaczono całko
witą szerokość zębnika (obu bieżni zębatych). We wszystkich przypadkach zastosowanie mimośrodowego osadzenia łożysk Jest korzystne nawet przy ide
alnym wykonaniu zazębnlenia. Jeszcze większe korzyści wystąpią w przypadku niskich kla3 dokładności wykonania zazębienia, kiedy za pomocą mimośrodo
wego osadzenia łożysk można całkowicie zlikwidować liniową część odchyłki wykonawczej.
Na rys. 10 przedstawiono wartości współczynnika nierównomierności roz
kładu obciążenia KrQ w szczególnym przypadku sytuacji przedstawionej na rys. 2 dla X » b/d - 1 ,2 , przy złożeniu stałej wartości modyfikacji linii zęba uwzględniającej wyłącznie skręcanie zębnika. W tym przypadku zakoso-
Rys. 6. Wartości współczynnika KrQ dla 1/b - 1 w funkcji względnej szero
kości zębnika Wi « b/d
Fig. 6. Values of the coefficient Kr0 for 1/b « 1 as a function of the leafed pinion relative width Hi ■ b/d
Badanianumerycznenad możliwością
a/b
Rys. 7. Wartości współczynnika KrQ dla kół daszkowych przy 1/b » 4 Fig. 7. Values of the coefficient Kr0 for herringbone gears at l/b = 4
Dryndos,L.Müller
Badania numeryczne nad możliwością..._______________________________51_
2.0
alb
Rys. 8. Wartości współczynnika KrQ dla kół daszkowych przy 1/b *» 3 Fig. 8. Values of the coefficient Kr0 for herringbone gears at 1/b » 3
Rys, 9. Wartości współczynnika Kro dla kół daszkowych przy 1/b - 2 Fig. 9. Values of the coefficient KrQ for herringbone gears at 1/b - 2
Rys. 10. Wartości współczynnika Kr0 dla przypadku jak na rys. 2 przy za
stosowaniu dodatkowej modyfikacji linii ze względu na skręcanie; linia a) - osie równoległe bez modyfikacji, linia b) - osadzenie mimośrodowe bez modyfikacji, linia o) - osadzenie mimośrodowe i modyfikacja linii zęba ze
względu na odkształcenia skrętne
Fig. 10. Values of the coefficient Kro for the case as in Fig. 2 when using additional modification of the line considering torsiona: line a) - paral
lel axes without modifications, line b) - eccentric mounting without modi
fication, line c - eccentric mounting and flank pitch line modification considering torsinal strains
wanle osi wałów ma na celu usunięcie skutków zginania wałów oraz ewentual
nych odchyłek wykonawczych wywołujących zakosowanle linii zęba.
6. Podsumowanie
Mimośrodowe osadzenie łożysk umożliwia znaczne obniżenie wartości współ
czynnika nlerównomiemoścl rozkładu, wywołanej zarówno przez odchyłki wyko
nawcze Jak też odkształcenia sprężyste elementów przekładni.
Badania numeryczne nad możliwością«. 53
LITERATURA
[1] Dlekhans G., Theissen J.: Breltenlasttragen in Zahneingriffen und Möglichkeit der Beeinflussung. VDI-Berichte.
[2] DIN 3990, Entwurf März 1980 Teil 1s Grundlagen für die Tragfähigkeits
berechnung von Gerad- und Schrägstimrädem.
[3] Dudley D.H., Winter H. Zahnräder - Berechnung, Entwurf und Herstellung nach amarikanischen Erfahrungen. Springer Verlag Berlin 1961.
[V]
Hoesel Th.: Einfluss von Wellenverlagerungen und Taumelfehlern in Stirnradgetrieben auf die erforderliche Flankenrichtungkorrektur und die Tragbildprüfung bei geringer Teilast. Antriebstechnik 25(1986) nr 6, ss. 43-46.| M ü l l e r L.: Przekładnie obiegowe. PWN, Warszawa 1983.
[ö] Müller L.: Przekładnie zębate-dynamlka. V/NT, Warszawa 1986,
[7] Müller L.: Przekładnie zębate - projektowanie. WNT, Warszawa 1979.
fal Weck M., Gold P.: Stand der Berechnungsmöglichkeiten in Zahnradge- triebebau. VDI-Berichte nr 332 (1979), ss. 13-24.
[9] Projekt normy RWPG "Przekładnie zębate - walcowe. Obliczenia wytrzy
małościowe.
[10] Weck M., Salje H.: Leistungsteigerung an hochbelasteten Getrieben dur durch gezielte Zahnflankenkorrekturen. 2-eme Congr. aond. engren.
Paris 3-5 mars 1986. Textes conf. VOD 1, ss. 161-171.
HHCJEEHHUE HCCJEflOBAHHSI 303M0HH0CTH mEHBfflEHHH HEPABHCMEPHOCTH PACIIEEÄEJIEHHH HAPPySKH HA IHHPHHE 3YEA 3yBHAT0r0 KOJIECA IDTEM BBEÄEHHH SKCIfEHTPHCHTETA B OHOPAX
P e 3 io m e
B BHxy H eT ov Ho c iu b H3roroBjxeHHH, y n p y r n x aeiJtopMaiíHÍÍ saJiKOB, xoaec e onop, pacnpeae a eH ae Ha rpy3XH Ha m a pE He Ko aeca HepaBHOMepHoe, PacnpeaeaeHHe o t o bo M H o r ou 3aBHCHT oí no a ox eH HH Koae ca no oxHomeHEio onop e a p y r s x k o h - c i p y K i o p c K H X napaüeipoB. CoBpe Me im H e rexHoaorzE E 3r ox oBaeHEH 3 y Ö v a x u x xoaec aa » I BO 3MOXH0CTB BBOAHXb M Oa H$ HK a HE H aHHHH 3y(5a C H e a b » a E X B E S E pO Ba HE H H e- y a o C H u x nocae^cTBHfi y n p y r n x fle$opnsu;Hä. Bo u h o tx x npax iH He c xH X c a y v a n x bh-
CTynarox xp ya Hocxn b noayvennH x p e Ö y e M o ö t o h h o c i e h 3 T o xoBaeHHE c n e a s » BBe-
aeHEE MOflHÍxfHKaUHH.
B padoxe n p e a c x a B a e H H p e 3 y a b x a x n H H c a eH Hu x p acvexoB pacnpsaeaeHHii na- rpy3 KH H a mapEHe 3y6a 3y dH axoro x o a e c a b cayvae npaueneHE/i ax cu e HXpncHiexa onop. Ta Ko e peneHHe b 3HavHTeaBH0it uepe ,aaex b o 3 m o h h o c i l h e k b h ^ h p o baxb y n p y r u e rrocaeacxBEa, a vxo caHoe Baxuoe w p e^yKiopoB öozbmHX p aauepoB - a U K B E a M p O B a l b no c ae ^ c i B E H H8I0VH 0C X E H3rOTOBaeHHH.
IIporpaMMa aaex b o 3M o s h o c x b a H a a H 3 a np odaevm h b c k p h x e k MaxcEMaabHott n o a b 3 u noayveHHOtt b npiinnioi} xoHCTpyxuHH. OxoHHaxeasHoe noaosenae o k o u b k - T p E C H C i e x a BLiöHpaexcH Ha ocHOBaHHK cae#a n pa a er aH HH 3y6se3 so B p e u a npoö uoHiasca pe^yxiopa.
J. Dryndos, L. M ül l er
N U M E R I C A L T E S TS ON THE INFLUENCE OF STRUCT U RA L CHANGES
ON T H E POSSIBILITY O F REDUCTION IN LO AD DIST RI BU T IO N UNEVE NN E SS O N A GE AR W HE EL WI D TH B Y USING ECCENTRIC B E A R IN G M O U N T I N G
S u m m a r y
In consequence of working tolerances and elastic strains in shafts, w heals and bearings the load d i s t ri bu ti o n on the w h ee l w id th is uneven.
This di s tr ibution depends in great measure on the wheel p o s i t i o n in r e l at io n to the b earings and on other structural parameters. M o d e m t e c hn ol o
gies of gear wheels p roduction enables m o di f i c a t i o n of the t o o t h profile in order to eliminate unfavourable effects of elastic strains.
In m an y pr ac ti ca l cases it is d i ff ic ul t to achieve the quality of wo rk required for the modification.
The results of numerical calculations of the load d i s tr ib u ti on on the g ea r w leel w i d t h i n case of u si ng eccentric bea ri n gs m o u n ti n g have bee n presented in the paper.
Su c h a design enables in g re at measure elimi n at io n of the e l as ti c strain effects but it al so enables to eliminate the effects of w o r k i n g tolerances w h i c h is especially Important in large size tr an s m i s s i o n gears.
The progr a m enables the p r o b le m analysis and d e t e ct io n of m a x i m u m a d v a n tages achieved from the assumed design. T he final p o s i ti o n o f eccentric is chosen on the basis of teeth abutting traces through the tests w h e n a ssembling the t ra ns mission gear.
