Z E SZ Y T Y N A U K O W E PO L IT EC H N IK I ŚLĄ SK IEJ Seria: T R A N S P O R T z. 41
2000 N r kol. 1491
Andrzej W ILK
M arek K O C H A Ń C ZY K
METODA WYZNACZANIA WSPÓŁCZYNNIKA NIERÓWNOMIERNOŚCI ROZKŁADU OBCIĄŻENIA Z UWZGLĘDNIENIEM ODCHYŁEK WYKONAWCZYCH
S treszczenie. W artykule zam ieszczono niektóre w yniki num erycznych obliczeń w spółczynnika nierów nom iem ości rozkładu obciążenia w zdłuż linii styku, w których uw zględniony został w pływ odchyłek w ykonaw czych (odchyłka składow a linii styku w ynikająca z błędów w ykonania, odchyłka składow a w ynikająca z luzów i odkształceń w łożyskach), odkształceń sprężystych elem entów przenoszących obciążenie (odchyłek składow ych linii styku w ynik ający ch z odkształceń sprężystych w ału i korpusu zębnika) oraz procesu docierania.
THE METHOD OF DETERMINE UNEQUALITY LOAD DISPOSITION COEFFICIENT IN THE BASE ON EXECUTIVE DEVIATIONS
Sum m ary. The unequality load disposition coefficient on the contact line was determ ined by the num erical m ethod countings. The influence o f executive deviations and elastic deform ations w ere considered in the research. The counting’s results show possibility o f reduction the unequality load disposition by non-centric bearings position.
1. W P R O W A D Z E N IE
W skutek odchyłek w ykonaw czych oraz odkształceń sprężystych elem entów przenoszących o b ciążenie rozkład obciążenia w zdłuż linii styku nie je s t rów nom ierny. W zależności od obciążen ia nom inalnego i odchyłek w ykonaw czych obciążenie m oże być przenoszone na całej długości linii styku lub tylko na jej części. G łów nym pow odem nierów nom iem ości rozkładu obciążenia na szerokości koła je s t w ypadkow a odchyłka linii styku w płaszczyźnie przyporu, która w ystępuje w w yniku działania siły obw odow ej, odchyłek w ykonaw czych oraz odkształceń sprężystych ja k rów nież term icznych. Część tych odchyłek daje prostoliniow e odchylenie linii styku (odchyłki w ykonaw cze, odkształcenia i przem ieszczenia czopów , odchyłki k ąta linii zęba), a część odchylenie krzyw oliniow e
50 A. W ilk, M . K ochańczyk
(odkształcenia sprężyste w ałów i korpusów kół, odkształcenia term iczne). Do wyżej w ym ienionych o dchyłek d o d ają się jeszcze m iejscow a falistość boków , odchyłki kształtu zarysu i odchyłki kształtu linii zęba. N a tak określone w ypadkow e odchylenie linii styku w pływ a następnie proces docierania, w w yniku którego w ypadkow e odchylenie linii zęba m oże ulec zm niejszeniu.
2. C Z Y N N A W Y P A D K O W A O D C H Y Ł K A LINII STY K U F Py
Zgodnie z n o rm ą ISO /D IS 6336 cz y n n ą w ypadkow ą odchyłkę linii styku m ożna w yznaczyć ze w zoru:
FPy = Fp , - y , j .
gdzie: F„x - początkow a odchyłka linii styku bez uw zględniania docierania,
y p - w ielkość dotarcia, która w ynika ze zm niejszenia się początkow ej odchyłki linii sty k u w w yniku docierania się zębów podczas eksploatacji.
W ielkość Fpy w ynika z odchyłek w ykonaw czych, odkształceń sprężystych elem entów przenoszących obciążenie, procesu docierania i m a decydujący w pływ na wartość w spółczynnika nierów nom iem ości rozkładu obciążenia K//yj.
P oczątkow a odchyłka linii styku Fpx je s t bezw zględną su m ą odchyłek w ykonaw czych uzębienia zębnika i koła, odkształceń sprężystych w ałów i korpusów koła i zębnika oraz przem ieszczeń w ynikających z luzów w łożyskach, odkształceń obudow y, a także z różnicy tem peratur na szerokości w ieńca. W szystkie w yżej w ym ienione odchyłki składow e pow inny być obliczane w płaszczyźnie przyporu w przekroju czołow ym . Odchyłkę
Fpx w yznaczyć m ożna ze wzoru:
F p , - \fm a + f s h \ + f . M + f h ' + f c a + f c \ >
gdzie: f ma - o dchyłka linii styku w ynikająca z błędów w ykonania,
f M j - odchyłka linii styku w ynikająca z odkształceń sprężystych w ału i korpusu zębnika, koła,
f tc - o dchyłka linii styku pow stała w w yniku luzów i odkształceń w łożyskach, f ca - o dchyłka linii styku pow stała w w yniku odkształceń obudow y,
f u - o dchyłka linii styku spow odow ana różnicą tem peratur na szerokości wieńca.
W ielkości w chodzące w skład początkow ej odchyłki linii styku Fpx m ogą w ystępow ać z przeciw nym znakiem , co oznacza, iż będ ą się w zajem nie znosić lub dodawać.
Praktycznie oznacza to, że przebieg sum arycznej odchyłki w określonych przypadkach (np.
celow e dopasow nie poszczególnych odchyłek składow ych) m oże być dość znacznie w yrów nany lub m oże osiągać w artości m aksym alne. N iekorzystny w pły w w ypadkow ej odchyłki linii styku zęba na rozkład obciążenia na szerokości zęba m ożna korygow ać stosując je d n ą z p rzykładow ych m etod:
- m odyfikację linii zęba,
- m im ośrodow e osadzenie łożysk, na k tórych podparty je s t wał,
M etoda w yznacznika w spółczynnika nierów nom iem ości.. 51
- odpow iedni dobór param etrów dużego koła przekładni o konstrukcji tarczow ej, głów nie param etru określającego położenie tarczy koła w zględem je g o w ieńca [2 ],
O dkształcę- . n ie s p r ę iy s- te zębnika
(f»h2 mP -
- w s p ó łp r a cu ją c e koło l w a ł s z t y w n e )
łb.
C zynna w y p a d k o w a o d c h y łk a lln łl s ty k u Fj,y
Rys. 1. W pływ po sz czeg ó ln y ch odchyłek składow ych n a c z y n n ą w y p ad k o w ą odch y łk ę linii styku zębów w g [1]
Fig. 1. T he influence o f consisting deviations on resultant contact line deviation
P ierw sza m etoda je s t operacją w y m agającą dużej dokładności w ykonania przekładni, co niekiedy m oże być trudne do uzyskania, a także m oże podw yższać koszty w ykonania przekładni. D w ie pozostałe m etody m o g ą być rów nie skuteczne ja k pierw sza (szczególnie w przekładniach o duży ch w ym iarach geom etrycznych), a także mniej kosztow ne.
2.1. O dchyłka składow a linii styku w ynikająca z błędów w ykonania f ma
W ypadkow a odchyłka w ykonania f ma w ynika z sum ow ania się odchyłek kierunku linii zęba zębnika i koła oraz odchyłek w ynikających z nierów noległości i przekoszenia osi kół. D latego d la dużych przekładni odchyłka m oże być czynnikiem decydującym o w artości odchyłki linii styku F' O dchyłkę f ma oblicza się n a podstaw ie pom iaru odpow iednich odchyłek składow ych bądź też na podstaw ie w ym iarów stykow ego śladu w spółpracy (bez obciążenia lub w stanie częściow ego obciążenia).
Z nając w artości poszczególnych odchyłek składow ych m ożna odchyłkę składow ą / mo w yznaczyć z następującego rów nania [ 1]:
/ „ « , = f n p \ + f n p j + J ( / , s i n « » , + / * c o s ) ,
52 A. W ilk, M. Kochańczyk
gdzie: b - szerokość w ieńca zębatego, 1 - rozstaw łożysk,
f H/n 2 - o dchyłka położenia linii zęba zębnika, koła; w norm ach PN m ożna w jej m iejsce przyjm ow ać odchyłkę kierunku linii zęba Fp ,
w g PN -7 9 /M -88522,
f x - nierów noległość osi w g PN -79/M -88522, f y - przekoszenie osi w g PN -79/M -88522, a M - toczny kąt przyporu w płaszczyźnie czołowej.
Jak w y n ik a z w łasności funkcji trygonom etrycznych, w artość odchyłki około 2,5 razy w ięcej zależy od nierów noleglości osi f x niż od przekoszenia osi / .
a / b
Rys. 2. Z ależn o ść w artości w sp ó łc zy n n ik a K ,tp w funkcji położenia zębnika a/b i w artości stosunku b/d z u w zg lęd n ien iem składow ej odchyłki linii styku f nla w ynikającej z błędów w y k o n an ia. 1 - przebieg bez u w zg lęd n ien ia o d ch y łk i f ma, 2,3 - przebiegi z uw zględnieniem odchyłki f ma w raz ze znakiem Fig. 2. The value o f co efficien t d épend on driving g car lagont a/b and b/d proportion took into considevation o f
co n tact line d éviation fm,. 1 - w ithout fa,,, 2,3 - with -± fml
P rzyjm ując w artości poszczególnych odchyłek składow ych f ma w ynikające z 8 klasy dokładności w y k onania przekładni w g PN -7 9 /M -88522, na rysunku 2 przedstaw iono w pływ odchyłki na w artość w spółczynnika nierów nom iem ości rozkładu obciążenia na szerokości koła Khjs- W ykres zam ieszczony na rysunku 2 ja k rów nież pozostałe wykresy w spółczynnika KHfi w ykonano zgodnie z m odelem obliczeniow ym zam ieszczonym w [9].
M etoda w yznacznika w spółczynnika nierów nom iem ości. 53
Zależności przedstaw ione na rysunku 2 przedstaw iają ekstrem alne w artości odchyłki f ma z uw zględnieniem znaku.
W ielkości składow e odchyłki f ma s ą w ielkościam i losow ym i, co oznacza, że praw dopodobieństw o w ystąpienia przebiegów przedstaw ionych rysunku 2 je s t bardzo niew ielkie. P rzyjm ując w ielkości składow e f nw ja k o niezależne, m ożna założyć, że rozkład odchyłki f ma je s t rozkładem norm alnym [ 1], o w artości oczekiwanej w ynoszącej sum ę w artości oczekiw anych oraz w ariancji równej sum ie w ariancji rozkładów składow ych.
ah
Rys. 3. Z ależn o ść w artości w sp ó łc zy n n ik a K up w funkcji położenia zęb n ik a a/b i w artości stosunku b/d z u w zg lęd n ien iem składow ej odchyłki linii styku f ma w ynikającej z błędów w y k o n an ia. 1 - przebieg bez u w zg lęd n ien ia o d ch y łk i f ma, 2,3 - przebiegi z uw zględnieniem odchyłki f m<] w raz ze znakiem Fig. 3. T he value o f co efficien t depend on driving gear layout a/b and b/d proportion took into considevation o f
c o n tact line d eviation fral. 1 - w ithout fm„ 2,3 - w ith -± fml
U w zględniając pow yższe założenie m ożna przyjąć, że odchylenie standardow e takiego rozkładu w y raża się zależnością:
54 A. W ilk, M. K ochańczyk
z dobrym przybliżeniem m ożna przyjm ow ać:
° 7 _ = fn p = max {f , f 2}.
Z godnie z reg u łą 3cr m ożna założyć, że m aksym alna odchyłka f ma będzie w ystępow ać w zakresie:
fm a ~ = ^ f l i p ■
W artość oczekiw ana sum arycznego rozkładu w w yniku sym etrycznego tolerow ania odchyłek składow ych w yniesie zero. Z godnie z badaniam i statystycznym i, ja k rów nież zaleceniam i zaw artym i w [6 ] oraz [ 1] z dobrym przybliżeniem m ożna przyjm ow ać:
fm a = F fi •
gdzie: Fp - o dchyłka kierunku linii zęba w g PN -79/M -88522, zaleca się przyjm ow ać f ma = ma* { f m , f m }.
Z godnie z pow yższym i zależnościam i, na rysunku 3 przedstaw iono w ykres zależności w spółczynnika K„fi, z uw zględnieniem odchyłki f ma przyjm ując = m a x { f m , f Hfi2) dla 8 klasy dokładności w ykonania.
2.2. O dchyłka sk ładow a łinii styku f be pow stała w w yniku luzów i odkształceń w łożyskach
O dchyłkę sk ład o w ą f he p ow stałą w w yniku luzów i odkształceń w łożyskach w yznacza się dla dw óch przypadków p ołożenia koła zębatego:
koło zębate położone je s t m iędzy łożyskam i, koło zębate ułożyskow ane je st w spom ikow o.
O dchyłka f bc je s t su m ą w zględnych przem ieszczeń łożyskow ań zębnika i koła, dlatego przy jej w yznaczaniu należy uw zględnić kierunek i znak poszczególnych przem ieszczeń zębnika i koła. D la przypadku z jed n y m zębnikiem na w ale obow iązuje następująca zależność:
gdzie: f M 2 -w zględne przem ieszczenie łorzyskow ań zębnika, koła.
Jeżeli zębnik um ieszczony je st m iędzy łożyskam i (rys. 3) to odchyłka obliczana je s t zgodnie z w zorem :
Ą e = ^ S\ ~ s 2> '
jeżeli natom iast zębnik je st łożyskow any w spom ikow o (rys. 4):
f be = V 6\ + 5 2 >»
gdzie: <5, 2 - odkształcenie łożyska w kierunku działania obciążenia {¡jm ].
M etoda w yznacznika w spółczynnika nierów nom iem ości.. 55
Rys. 4. S k ład o w a o d c h y łk a linii styku f bc w g ISO /D IS 6336/1 dla zębnika położonego m iędzy łożyskam i Fig. 4. T he contact line deviation f bc accovding to ISO /D IS 6336/1 when driving g ear is betw een bearings
Rys. 5. S k ład o w a o d ch y łk a linii styku f be w g ISO /D IS 6336/1 dla zębnika u ło ży sk o w an eg o w spom ikow o Fig. 5. T he contact line deviation f be accovding to ISO /D IS 6336/1 w hen driving gear is outside
W przypadku zastosow ania łożysk tocznych odkształcenie prom ieniow e w ału 8 m ożna w yznaczyć z zależności:
A
<5 = dla 8 > 10 [[Wi ], gdzie: s - odkształcenie łożyska bez luzu,
a - lu z prom ieniow y łożyska w stanie zabudow anym .
r
Dla łożysk kulkow ych odkształcenie łożyska bez luzu s w yznacza się z rów nania:
2 /3
<S = 1 ,2 6 kSL---
0 < W 2,34 /3
gdzie: f - obciążenie prom ieniow e [N],
ber
n - liczba kulek w rzędzie, n r - liczba rzędów w łożysku, d - średnica kulki [mm].
56 A. W ilk, M. K ochańczyk
R ysunek 5 przedstaw ia w ykres w spółczynnika nierów nom iem ości rozkładu obciążenia na szerokości koła K Hj s, w którym dodano odchyłkę sk ład o w ą f be = f M + f r2.
O dchyłkę sk ła d o w ą f be w yznaczono dla przypadku, gdy koło zębate położone je s t między łożyskam i (zgodnie z m odelem zam ieszczonym w [6]), dla przypadku zastosow ania łożysk tocznych, w których a > 0 .
r
a/b
Rys. 6. Z ależn o ść w artości w sp ó łc zy n n ik a K Hf w funkcji położenia zębnika a/b i w artości stosunku b/d z u w zg lęd n ien iem składow ej o dchyłki f b t . 1 - przebieg z uw zględnieniem odchyłki f be , 2 - przebieg bez u w zg lęd n ien ia o d c h y łk if be
Fig. 6. T he value o f Knp coefficient depend on driving gear layout a/b and b/d proportion took into considevation o f f b e • 1 - w ith fb e > 2 - w ithout f bc
2.3. O dchyłka linii styku pow stała w w yniku odkształceń obudow y f ca
O dchyłkę spow odow aną odkształceniam i obudow y w yznacza się na podstaw ie pom iarów odkształceń przekładni bądź też obliczając za p o m o c ą m etody elem entów skończonych. W ielkość ta m a znaczenie w przekładniach o m ało sztyw nych korpusach, w przypadku przekładni posiadającej obudow ę o dużej sztyw ności, odchyłkę f ca m ożna pom inąć. O dchyłkę f ca m ożna obliczać stosując M ES, bądź też poprzez pom iar odkształceń obudow y przekładni pod łożyskam i. Z nając w artości przem ieszczeń pod łożyskam i odchyłkę
f ca w yznaczyć m ożna stosując form uły obliczeniow e tak ja k dla odchyłki f ht, przy czym:
M etoda w yznacznika w spółczynnika nierów nom iem ości.. 57
gdzie: f - obciążenie prom ieniow e [N],
ber 1,2
k/ 2 - sztyw ności obudow y przekładni pod łożyskam i.
2.4. Proces docierania
W czasie eksploatacji w spółpracujące elem enty p o dlegają procesow i zużycia, w w yniku czego początkow e błędy i odchyłki zostają pom niejszone o w ielkość dotarcia yp.
G łów nym i czynnikam i decydującym i o procesie docierania są:
- m ateriał zębnika i koła, - tw ardość pow ierzchni,
- prędkość obw odow a na okręgu podziałow ym , rodzaj sm aru,
- obróbka w arstw y w ierzchniej, - cząstki ścierne oleju,
- początkow a odchyłka linii styku F ^ .
N ajdo k ład n iejszą m eto d ą w yznaczania w ielkości yp s ą bezpośrednie pom iary i badania lub w przypadku braku tych danych, w ielkość tę m ożna w yznaczać analitycznie bądź w ykreślnie.
Jak w cześniej pow iedziano, jed n y m z głów nych czynników decydujących o wartości w spółczynnika yp je s t m ateriał zębnika i koła. I tak np. dla stali utw ardzanych pow ierzchniow o oraz żeliw a sferoidalnego hartow anego pow ierzchniow o obow iązują następujące zależności:
gdzie: FAmax - 4 0 [/rm ],
yfimax - 6 [ yim ]; dla w szystkich zakresów prędkości.
W przypadku zastosow ania różnych m ateriałów dla koła i zębnika, do obliczenia w artości w spółczynnika dotarcia w ykorzystuje się w artości średnie:
W = 0,15
)/f i = yfimax
yji - (yjn+yfi2)i2,
gdzie: yjj/,2 - w ielkość dotarcia dla m ateriału zębnika, koła.
58 A. W ilk, M . K ochańczyk
ayb
Rys. 7. Z ależn o ść w arto ści w sp ó łc zy n n ik a KHp w funkcji położenia zęb n ik a a/b i w artości stosunku b/d z u w zg lęd n ien iem składow ej odchyłki linii styku f ma w ynikającej z błędów w ykonania, f b ' w ynikającej z luzów i p rzem ieszczeń w łożyskach oraz procesu docierania. 1 - przebieg bez u w zg lęd n ien ia o d ch y łek , 2 - przebieg z uw zględnieniem odchyłek fma, fhe, 3 - przebieg z u w zg lęd n ien iem w artości odch y łek o raz procesu docierania
Fig. 7. T he value o f coefficient depend on driving gear layout a/b and b/d proportion took into consideration o f the co m p o n en t contact line executive deviation f ma, f hc deviation caused by clearance and bearing d eform ations and break-in process deviation. 1 - w ithout deviations, 2 - w ith 3 - with
f m a ’ f b e • anc^ break-in process deviation
W ykres na rysunku 7 przedstaw ia przebieg w spółczynnika K H/s, na którym uw zględniono w pły w procesu docierania ( /„ ,„ = m a x { //V| , / w^2}, dla 8 klasy dokładności w ykonania). W artość w spółczynnika yp została w yznaczona na podstaw ie o zależności obow iązujących dla stali utw ardzanych pow ierzchniow o oraz żeliw a sferoidalnego hartow anego pow ierzchniow o.
M etoda w yznacznika w spółczynnika nierów nom iem ości.. 59
3. W N IO SK I
Jak w ynika z przedstaw ionych pow yżej w yników obliczeń, w pływ poszczególnych odchyłek składow ych n a cz y n n ą w ypadkow ą odchyłkę linii styku Fpy m oże być bardzo znaczący. W zależności od w artości i znaków poszczególnych odchyłek składow ych, przebieg końcow y w spółczynnika nierów nom iem ości rozkładu obciążenia m oże być dość znacznie zróżnicow any dla ty c h sam ych rozw iązań konstrukcyjnych (ze w zględu na losowy charakter odchyłki f ma poszczególne składow e m o g ą się w zajem nie znosić lub wzm acniać).
N iezależnie je d n a k od w pływ u uw zględnionych w obliczeniach odchyłek składow ych, niekorzystny w pły w nierów nom iem ości rozkładu obciążenia m oże zostać obniżony poprzez m im ośrodow e osadzenie łożysk.
4. P O D SU M O W A N IE
P rzedstaw ione w yniki num erycznych obliczeń w spółczynnika nierów nom iem ości rozkładu obciążen ia w zdłuż linii styku w sk a z u ją iż niekorzystny w pływ odchyłek w ykonaw czych i odkształceń sprężystych elem entów przenoszących obciążenie na rozkład o bciążenia m oże zostać obniżony poprzez m im ośrodow e osadzenie łożysk.
Literatura
l/J a ś k ie w ic z Z ., W ąsiew ski A.: Przekładnie w alcow e. W K Ł, W arszaw a 1992.
2. K rasiński M ., S tachoń S.: W pływ odkształceń korpusu tarczow ego ko ła zębatego na w artość w spółczynnika rozkładu obciążenia w zdłuż szerokości w ieńca. X IX Sym pozjon PK M 1999.
3. M üller L.: P rzekładnie zębate. W NT, W arszaw a 1994.
4. M üller L.: P rzekładnie zębate - badania. W NT, W arszaw a 1984.
5. M üller L.: P rzekładnie zębate - projektow anie. W NT, W arszaw a 1996.
6. K acperski T ., K urkow ski A., M arkusik S., O zim ow ski W.: Podstaw y konstrukcji m aszyn.
Pod red a k cją M D ietricha. W N T, W arszaw a 1995, t. 1-3.
7. Płoch M.: D eterm ination o f the effect o f non-uniform adherence o f the teeth on the excessive load in toothed gears. Zagadnienia Eksploatacji M aszyn, Z. 4(56), 1983.
8. P łoch M .: M etoda badania w pływ u nierów nom iernego dolegania zębów na nośność przekładni zębatej. P raca doktorska. G liw ice 1978
9. W ilk A ., K ochańczyk M.: M im ośrodow e osadzenie łożysk ja k o m etoda w yrów nania rozkładu obciążen ia na szerokości koła. X IX Sym pozjon PK M 1999.
10. N orm y:D IN 3990/1, ISO /D IS 6336/1,
PN - 79/M - 88522, P N -85/M -86100,PN -85/M -86452.
Recenzent: Prof. d r hab. inż. Z bigniew D ąbrow ski
60 A. W ilk, M. K ochanczyk
A bstract
S elected results o f num erical m ethod research o f unequality load disposition coefficient on contact line are described in this paper. The countings took into consideration o f influence executive deviation, elastic deform ations o f loaded elem ents and break-in process. T he resultant executive deviation is consisted o f the contact line executive deviation, and deviation caused by clerance and bearing deform ations.
The resultant deviation o f elastic deform ations o f loaded elem ents is consisted o f contact line deviations caused by shaft and driving gear elastic deform ations.
