ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: AUTOMATYKA z. 150
2008 N r k o l. 1796
Joanna JÓ Z E F O W S K A , Łuka sz J Ó Z E F O W S K I P o lite c h n ik a Poznańska
W ie s ła w K U B I A K M e m o ria l U n iv e rs ity
Z A S T O S O W A N IE M E T O D T E O R I I P O D Z IA Ł U W S Z E R E G O W A N IU P R O C E S Ó W D Y S K R E T N Y C H W S Y S T E M A C H C Z A S U R Z E C Z Y W IS T E G O
S treszczenie. W n in iejszej p ra cy zaproponow ano transform ację pro ble m u szeregow ania zadań w systemach czasu rzeczyw istego do p ro ble m u p ro po rcjo na lne go p o d zia łu m ie jsc w parlam encie. K o rzystają c z w y n ik ó w te o rii p od zia łu, w ykazano, że uszeregow ania dopuszczalnego rozw ażanego p ro ble m u nie m ożna uzyskać za pom ocą m etod d z ie ln ik o w y c h . Podano w łasn ości uszeregować dopuszczalnych o trzym a nych za p om ocą m etod p o d zia łu m ie jsc w parlam encie.
A P P L I C A T I O N O F T H E A P P O R T IO N M E N T M E T H O D S I N S C H E D U L IN G T A S K S I N H A R D - R E A L - T I M E S Y S T E M S
S u m m a ry . T he p ro ble m o f scheduling tasks in h ard-re a l-tim e systems is transform ed to the p ro b le m o f a p p o rtio n in g seats in a parliam ent. U sin g the results proved w ith in the th eo ry o f a pportionm ent it is show n that there exist no d iv is o r m ethod that constructs a feasible schedule o f discrete, d iv is ib le processes in hard real tim e systems. The properties o f feasible schedules generated b y a pportionm ent m ethods w ere exam ined.
1. W s tę p
W szerokiej klasie procesów dyskre tnych m ożna w y o d rę b n ić p ew ną w ażną podklasę, k tó rą tw o rz ą procesy dyskretne działające w systemach sztyw nego czasu rzeczyw istego. Procesy te m uszą się zakończyć w ściśle o kre ślo n ym o kn ie czasow ym . P rzekroczenie ram czasow ych narzuconych na realizację procesu je s t k ry ty c z n e dla dzia łan ia całego systemu.
W n in ie js z y m a rty k u le a n a lizu je m y p ro b le m szeregow ania dyskretnych i p o d z ie ln y c h procesów czasu rzeczyw istego w y k o rz y s tu ją c teorię p o d zia łu m iejsc w parlam encie. Zastosow anie te o rii p o d zia łu m ie js c u m o ż liw ia w ykaza nie pew nych w łasn ości m etod stosow anych w szeregow aniu dyskre tnych procesów czasu rzeczyw istego, a także analizę w łasności o trzym a nych uszeregować.
A r ty k u ł je s t z o rg an izow an y następująco. W rozdziale 2 zd efin io w a n o problem szeregow ania procesów dyskre tnych w systemach czasu rzeczyw istego. R o zd zia ł 3
58 J. Józefowska. Ł. Józefowski, W. Kubiak
zaw iera s fo rm u ło w a n ie p ro ble m u p o d zia łu m ie jsc w parlam encie. W rozdziale 4 o m ó w io n o transform ację pro ble m u szeregowania d yskre tnych procesów czasu rzeczyw istego do p ro ble m u p o d zia łu m ie jsc w parlam encie. W rozdziale 5 przedstaw iono w łasności p ro b le m u szeregowania d yskre tnych procesów czasu rzeczyw istego w ykazane na podstaw ie przeprow adzonej tra n sfo rm a cji. R o z d z ia ł 6 p odsum ow uje uzyskane w y n ik i.
2. P ro b le m s ze re go w an ia d y s k re tn y c h p ro ce só w w system ach czasu rz e czyw iste g o
Jednym z fundam entalnych p ro b le m ó w szeregow ania w systemach sztyw nego czasu rzeczyw istego je s t p roblem L iu -L a y la n d a [4 ], Problem ten polega na znalezieniu dopuszczalnego uszeregow ania z b io ru N p o d z ie ln y c h , niezależnych i okresow ych zadań p rzed lin ia m i k ry ty c z n y m i. Każde zadanie i, rozum iane je s t ja k o p o d z ie ln y proces dyskretny o czasie w y k o n a n ia Cj- oraz okresie T-t. Oznacza to, że w każdym z następujących po sobie okresów o d ługości 7’ proces i m usi być w y k o n y w a n y d okład nie w C,- jednostkach czasu, któ re ze w zg lę d u na podzielność procesu nie m uszą następować po sobie. W p raktyce istn ie je w ie le system ów , które m ożna opisać za pom ocą m odelu L iu -L a y la n d a . P rzykładem m oże b yć system radarow y, k tó ry m o n ito ru je przestrzeń p o w ie trz n ą nad lo tn iskie m . Jeśli o bliczen ia położenia o b ie k tó w na radarze nie zakończą się w o kre ślo n ym czasie, to m oże dojść do katastro fy. In n y m p rzykła d e m m oże b yć sterow anie pracą e le k tro w n i ją d ro w e j, gdzie k ry ty c z n y m procesem je s t c y k lic z n y p o m ia r tem peratury, k tó ry m usi się odbyć w ściśle o kre ślo n ym o kn ie czasow ym . Przekroczenie czasu re a liz a c ji takiego procesu ró w n ie ż m oże m ie ć pow ażne konsekw encje d la całego systemu. Ł a tw o zauw ażyć, że w s zystkie opisane w p rzykład a ch procesy ch arakte ryzują się okre sow o ścią i p ew nym narzuco nym z g ó ry czasem w ykon an ia, zatem p ro b le m znalezienia dopuszczalnego uszeregow ania ta kich procesów je s t p roblem em L iu -L a y la n d a .
3. P ro b le m p o d z ia łu m ie js c
P roblem p o d zia łu m ie jsc został s fo rm u ło w a n y ja k o p ro b le m p o d zia łu określonej lic z b y m andatów w parlam encie m ię d z y poszczególne g ru py w y b o rc ó w [6 ], T eo ria p o d z ia łu m ie jsc ro z w ija ła się szczególnie w Stanach Z jed no czon ych, gdzie m ia ła bardzo p raktyczne zastosowanie w p od zia le ograniczonej lic z b y m ie jsc w Izbie R eprezentantów p o m ię d zy poszczególne stany, p ro p o rcjo n a ln ie do p o p u la c ji każdego stanu.
F o rm a ln ie p ro b le m p o d zia łu m ie jsc m ożna z d e fin io w a ć w następujący sposób.
D a n y je s t z b ió r N stanów i parlam ent o lic z n o ś c i h > 0 m iejsc. D la danego w e k to ra p p o p u la c ji stanów
P = { p vPv - . P s ) 0 )
należy znaleźć w e k to r a p rz y d z ia łu m ie jsc p oszczególnym stanom
a {av a2,...,ct N)
(
2)
Zastosow anie m etod te o rii p o d zia łu . 59
w ta k i sposób, b y spełnione b y ło następujące ograniczenie:
t - , - * (3)
;=i
gdzie: a,-jest n ie uje m n ą lic z b ą ca łko w itą .
3.1. M e to d y ro z w ią z a n ia p ro b le m u p o d z ia łu
M e to d a rozw iąza nia p ro b le m u p o d z ia łu je s t to pew na reguła, k tó ra zastosowana do każdego dodatniego w e k to ra p o p u la c ji p i parlam entu o lic z n o ś c i h w yznacza w e k to r p o d zia łu a spełniający ograniczenia (3). W a rto zauw ażyć, że naw et s p ra w ie d liw a m etoda p o d zia łu m oże w yzna czyć z b ió r w e k to ró w . W y n ik a to z faktu, że w p rzyp a d ku d w ó ch stanów o ide n tyczn ych p op ulacjach i parlam encie o lic z b ie 2 k +1 m ie jsc sp ra w ie d liw a m etoda p o w in n a w yzn a czyć dw a m o ż liw e p o d z ia ły (k, kń-1) oraz (k +1, k). M e to d a p o d z ia łu je s t zatem w ie lo w a rto ś c io w ą fu n k c ją M w yznaczającą z b ió r w e k to ró w . K o n kre tn e A-Z-rozwiązanie je s t p o je d yn czym w ektorem pod zia łu m ie jsc a e M ( p , h ) , k tó re w sposób a rb itra ln y rozstrzyga opisane w yżej niejednoznaczności. W k o le jn y c h p unktach o m ó w io n o n ie któ re w łasności m etod podziału.
3.1.1. Metody zachowujące kwotą
Jedno z p od sta w o w ych w ym a ga ń staw ianych ro zw ią za n io m problem u pro po rcjo na lne go p o d z ia łu m iejsc je s t opisane za p om ocą następującego w arunku:
(4) hPi < ¿7 . < hp,
\<
i
— i — N
I . P .
Im1
L e w a strona n ie ró w n o ści (4 ) je s t nazyw ana d o ln ą k w o tą i je s t n ajw yższą lic z b ą naturalną, nie w ię k s z ą od a,. Prawa w artość n ie ró w n o ści (4 ) je s t zwana górna k w o tą i je s t n ajm n ie jszą lic z b ą n aturalną nie m niejszą n iż a,. M etoda spełniająca w arun e k (4) je s t m etodą zachow ującą k w otę. P rzykła d a m i m etod zachow ujących kw o tę je s t m etoda k w o to w a zaproponow ana przez B a liń s k ie g o i Y o un g a w [1 ] oraz ogólna m etoda zaproponow ana przez S tilla w [5 ].
3.1.2. M etody dzielnikowe
M e to d y d z ie ln ik o w e p oleg ają na zn alezie niu ta kiej lic z b y x, któ ra spełnia następujące w a ru n k i:
r o u n d ( — ) = a i
( 5 )
60 J. Józefowska, Ł. Józefowski. W. Kubiak
¿ « - * < 6 )
1=1
gdzie round() je s t p e w n ą fu n k c ja zaokrąglającą. B a liń s k i i Y o u n g p oka za li w [1 ], że każda m etoda d z ie ln ik o w a daje się p rze dsta w ić za p om ocą pew nej m on oto n iczn ej, rosnącej fu n k c ji d(a), zd e fin io w a n e j d la w s z y s tk ic h n ie u je m n ych lic z b c a łk o w ity c h a, d la któ re j a < d(a) < a +1 oraz nie istn ie je para lic z b b > 0, c > 1, taka, że d(b) — ó + l i d{ć) = c. F unkcja taka zwana je s t k ry te riu m d z ie ln ik o w y m . M eto da d z ie ln ik o w a oparta na fu n k c ji d m oże b yć opisana re k u re n cyjn ie w następujący sposób:
1. M (p ,0 ) = 0 ,
2. Jeśli a e M ( p , h) i dla pew nego stanu k zachodzi w arun e k - ^ k— = m a x - y ' . , d \a k) ' Ą o , ) to b e
M(p,h
+1) i bk = ak+ 1 i ó, = a, d la i * k .B a liń s k i i Y o u n g w [1 ] w y k a z a li, ze ty lk o m eto dy d z ie ln ik o w e m a ją w łasność m on oto n iczn ości ze w zg lę d u na liczno ść p o p u la c ji. Oznacza to, że m eto dy d z ie ln ik o w e gw arantują, że g dy p opulacja stanu i w zrośnie, a stanu j zm aleje, to nie będzie m ia ła m iejsca sytuacja, w któ re j lic z b a m ie jsc a,- p rzyd zie lo n a stanow i i zm aleje, a ilo ś ć m ie jsc aj p rzyd zie lo n a stanow i j w zrośnie.
B a liń s k i i Y o u n g w [1 ] w y k a z a li, że n ie istn ie je metoda, któ ra b y ła b y jednocześnie m onotoniczna ze w zglę du na liczno ść p o p u la c ji i za cho w yw a ła kw otę
dla d ow oln ej instan cji problem u. Jest to tzw . twierdzenie o niemożliwości.
4. T ra n s fo r m a c ja p ro b le m u L iu - L a y la n d a do p ro b le m u p o d z ia łu m ie js c w p a rla m e n c ie
Z w ią z e k m ie d zy param etram i ch a ra kte ryzu ją cym i p ro ble m L iu -L a y la n d a a param etram i odpow iadającego m u p ro ble m u p o d zia łu przedstaw ia tabela 1.
Tabela 1 Z ależności m ię d zy p ro ble m e m L iu -L a y la n d a a p roblem em pod zia łu
Param etr w p ro ble m ie L iu -L a y la n d a Param etr w p ro ble m ie podziału
proces
i,i= \,...,N
stan /,/=c y k l
L=NWW(ThT
2. TN), gdzie N W W oznacza n ajm n iejszą w s p ó ln ą
w ie lo k ro tn o ś ć
parlam ent o liczno ści
h
m iejscN w w (r t, T
2,...,Tn )C:
T,
PiW sytu acji g dy podczas w y k o n y w a n ia z b io ru procesów d yskretnych w ystą p ią je d n o s tk i czasu, w k tó ry c h nie będzie się w y k o n y w a ł żaden proces, dodajem y jed en sztuczny proces o czasie w y k o n a n ia C
v+1
ró w n y m sum ie n ie w ykorzysta nych je d n o ste k czasu i okresie w y k o n a n ia Tn+j= L , gdzie L je s t c y k le m z d e fin io w a n y mw tabeli 1.
Zastosowanie metod teorii podziału 61
5. R o z w ią z a n ie p ro b le m u L iu - L a y la n d a za p o m o cą m e to d p o d z ia łu
M ó w im y , że m etoda p o d z ia łu M ro zw ią zu je p ro b le m L iu -L a y la n d a je ś li dla d o w o ln e j instan cji procesów o param etrach C „ Th i= \ , . . . , N istnieje d o w oln a niem alejąca sekw encja p o d z ia łó w a, < a 2 < .... < a L taka, że:
„ „ L C , L Cn . , r (7)
a j e M ( ( — - ) ,j ) ,j = \ , . . . L . l, l 2
Po raz p ie rw s z y m o ż liw o ś ć rozw ią za n ia p ro b le m u L iu -L a y la n d a za pom ocą m etod p o d zia łu m ie jsc w parlam encie pokazał K u b ia k w [2 ], U d o w o d n ił on, że w a ru n k ie m dostatecznym rozw iąza nia p ro b le m u L iu -L a y la n d a je s t zachow anie k w o ty przez m etodę p od zia łu. In te re sują cym zagadnieniem b y ło sprawdzenie, czy is tn ie ją m eto dy d z ie ln ik o w e , któ re ró w n ie ż ro z w ią z u ją p ro b le m L iu -L a y la n d a . Józefow ska, Jó zefo w ski i K u b ia k u d o w o d n ili w [3 ] następujące T w ie rdze nie.
T w ie rd z e n ie :
N ie istnieje m etoda d z ie ln ik o w a , k tó ra ro z w ią z u je p ro b le m L iu -L a y la n d a .
W pracy [3 ] pokazano ponadto, że w arunek dostateczny s fo rm u ło w a n y przez K u b ia k a w [2 ] nie je s t w a ru n k ie m ko nieczn ym . Ze w zglę du na fa kt, że ty lk o m etody d z ie ln ik o w e m a ją w łasność m on oto n iczn ości ze w zg lę d u na liczność p o p u la c ji, z T w ie rd z e n ia w y n ik a ponadto, że naw et gdy czas C; w y k o n a n ia procesu i je s t w ię k s z y n iż czas w y k o n a n ia Cj procesu j , to c a łk o w ity czas w y k o n a n ia procesu i m oże b yć m n ie jszy n iż c a łk o w ity czas w y ko n a n ia procesu j w p e w n y m przedziale [0 ,t],
6. W n io s k i
W n in ie js z y m a rty k u le pokazano sposób tra n sfo rm a cji p ro b le m u L iu -L a y la n d a do p ro b le m u p o d z ia łu m ie jsc w parlam encie. N a podstaw ie a n a lizy p ro b le m u L iu - Laylan da za pom ocą m etod te o rii p o d z ia łu m ożna w ykazać, że nie istn ie je m etoda d z ie ln ik o w a , za pom ocą któ re j m ożna o trzym a ć dopuszczalne uszeregowanie procesów w systemach czasu rzeczyw istego. Z d ru gie j strony w ia d o m o , że uszeregow anie ta kie m ożna otrzym a ć, stosując d o w o ln ą m etodę p o d z ia łu , k tó ra zachow uje kw otę [2 ]. Pam iętać je d n a k należy o tym , że w takie m eto dy nie są m onotoniczne ze w zg lę d u na liczność p o p u la c ji.
B IB L IO G R A F IA
1. B a liń s k i M ., Y o u n g H .: F a ir representation. M e e tin g the ideal o f one man, one vote. Y a le U n iv e rs ity Press; 1982.
2. K u b ia k W .: S o lu tio n o f the L iu -L a y la n d p ro b le m v ia b ottleneck J u st-in -T im e sequencing. Journal o f S cheduling 2005;8; 2 9 5 -3 0 2 .
62 J. Józefowska, Ł. Józefowski, W. Kubiak
3. Józefow ska J., Jó zefo w ski Ł ., K u b ia k W .: A p p o rtio n m e n t m ethods and the L iu - L a y la n d p roblem . European Journal o f O p erational Research, D O I:
h ttp ://d x .d
0
i.0
r g /l 0.1016 /j.e jo r.2 0 0 7 .11.007.4. L iu C .L ., L a y la n d J.W .: S cheduling A lg o rith m s fo r M u ltip ro g ra m m in g In H ard- R e a l-T im e E n viro n m e n t. Journal o f the A sso cia tio n fo r C o m p u tin g M a c h in e ry , v o l. 20, no. 1, 1973, p. 46-61.
5. S till J.W .: A class o f new m ethods fo r congressional apportionm ent. S IA M Journal on A p p lie d M athem atics 1979;37; 4 0 1 -4 1 8 .
6. Y o u n g H .P.: S p ra w ie d liw y pod zia ł. W y d a w n ic tw o N a u ko w e S C H O L A R , W arszaw a 2003.
R ecenzent: P ro f, d r hab. inż. K o n ra d W a la
A b s tr a c t
In this paper w e studied the L iu -L a y la n d p ro b le m o f sequencing d iv is ib le , discrete processes in the hard real tim e e nvironm ent. W e showed that the L iu -L a y la n d p ro b le m can be tran sfo rm ed to the a pp ortion m e n t p roblem . The a pportionm ent p ro b le m is a p ro b le m o f a p p o rtio n in g fix e d num ber o f seats in a p a rlia m e n t am ong certain num ber o f states p ro p o rtio n a lly to the p o p u la tio n o f each state. B asing on this tran sfo rm atio n w e show ed that no d iv is o r m ethod o f a pp ortion m e n t can be used to b u ild a feasible sequence s o lv in g the L iu -L a y la n d p roblem . O n the other hand the L iu -L a y la n d p ro b le m can be solved u sin g m ethods sa tis fy in g the quota. In consequence no m ethod s o lv in g the L iu -L a y la n d p ro b le m is p o p u la tio n m onotone.
