Mieczysław Lubański
Neue Konzeptionen in Logik und
Erkenntnistheorie
Studia Philosophiae Christianae 17/2, 99-112
1981
S tu d ia P h ilo so p h iae C h ristian a e ATK
17(1981)2
M IECZY SŁA W LU B A Ń SK I
NEUE KONZEPTIONEN IN LOGIK UND ERKENNTNISTHEORIE
1. E in fü h ru n g . 2. D er B e g riff d er fuzzy Menge. 3. E inige fuzzy M en genop eratio n en . 4. F u z z y e rsc h e in u n g . u n d U n sch a rfh e it. 5. S tatisch e un d d y n am isch e E rfa ssu n g d er W irklichkeit. 6. E in e E rw e ite ru n g sp ro b e des A n w en d u n g sb ereich es d e r w isse n sch a ftlic h en S prachen. 7. S ch lu ssb e
m erkungen. 1. EIN FÜ H R U N G
Die U m gangssprache ist A u sg an g sp u n k t fü r die w issen schaftliche S prache. Diese b e stim m t sow ohl die A rt d e r V er ständigung, w ie auch den B ereich der A usdrücke, die aus d er U m gangssprache en tn om m en w urd en . Dieses bezieht sich im b esonderen au f die N am en h Es h a t sich angenom m en den B ereich d er N am en in dichotom ischer F orm anzunehm en, das b ed eu tet, dass ein G egenstand zum B ereich des N am ens ge
h ö rt, oder auch nich t gehört. D er B ereich des
N am ens, oder die M enge se in e r D esignate w ird auch
als seine D enotation bezeichnet. Die D en otatio n ist
also eine M enge. D er B egriff d er M enge dagegen ist
eng miit dem B egriff d er E igenschaft v erb u n d en . E lem ent e in e r M enge zu sein b e d e u te t gew isse E ig enschaften zu besitzen. Die M enge bezeichnet m an als B ündel von G egenständen, b e 1 W'ir e rin n e rn , dass in d er S em iotik u n te rsc h e id e t m a n so g en a n n te sy n ta k tisc h e K ate g o rien . Es siind: A ussagen, N am en u n d F u n k to re n .
D er N am en w ird als u n s c h a rfe r N am en bezeiichnet w en n d er S p ra c h g e b ra u c h b eziehungsw eise die K o n v en tio n seinen B ereich n ic h t zuordnen, obw ohl er e rla u b t ü b e r gew isse G eg e n stä n d e zu entscheiden, dass’· sie seine D esignaten sind u n d ü b e r an d e re, dass sie es n ic h t sind. Es b esteh e n also G egenstände ü b e r die w ir n ic h t, au ssag en können, dass sie D esig n aten sin d a b e r au c h n ic h t, dass sie solche n ic h t siind. Ü ber diese G eg e n stä n d e sa g t m an, dass sie den B ereich d e r U n sch ä rfe des ■ gegebenen N am ens bilden. M an k a n n also k o n se q u en t in den S ätzen, in denen u n sc h a rfe N am en a u ftre te n , a u f solche S ätzen h in - w eisen, ü b e r die w ir g ru n d sä tz lic h n ic h t en tsch eid en k ö n n en ob sie w a h re oder falsch e S ätze sind. S ätze d ie ser A rt soll m a n als S ätze
ziehungsw eise von B egriffen, die in ein Ganzes d u rc h gem ein sam e E igenschaften v e rb u n d e n sind. M it an d e re n W orten ein G egen stan d g eh ö rt zu e in e r gew issen M enge, w en n e r be stim m te E igenschaften besitzt, g eh ö rt ab e r macht zu ih r w en n e r diese E ig enschaften n ic h t besitzt. Es w ird h ie r die A n schauung angenom m en, dass ein k o n k re te r G egen stand diese E igenschaft besitzen k a n n oder sie n ic h t besitzt. Das E in n eh m en ein er solchen S tellu n g n ah m e k a n n au sreich en d sein w en n m an m it b e g rifflic h e r E rfassung von sta tisc h e n u n v e r ä n d erlich en E lem en ten zu tu e n h at. Die uns um gebende W ir k lic h k e it ist ab e r eine solche nicht. Sie w ird d u rc h D y nam is m us u nd V e rä n d erlic h k e it c h ra k te risie rt. D eshalb ersc h e in t es zw eckm ässig zu sein es zuzulassen, dass ein G egenstand ein gew isses M erkm al, eine gew isse E igenschaft in n u r gew issem G rade u n d n ich t n u r ih re r „ F ü lle ” b esitzt. In e x tre m e n F ä ll en w erd en das zw ei b ish er b eh a n d elte M öglichkeiten sein: das volle B esitzen d er gegebenen E igenschaft d u rc h den G egen sta n d , oder das volle „N ich tb esitzen ”. Die E igenschaften, die auf dichotom ische W eise e rfa sst w erden, fü h re n zum B egriff d e r M enge in klassischem Sinne. D agegen fü h re n die E igen sch aften , die als M erkm ale b eh a n d elt w erden, die den G egen stä n d e n in n u r gew issem G rade zukonm m en, zum a u sserk las- sischen B egriff d er M enge.
Ziel des A rtik e ls ist es die K onzeption d e r so g enan nten fuzzy M e n g e n 2 v o rzu stellen u n d a u f M öglichkeit ih re r N u tzu n g fü r die V ersin n reich u n g u n sc h a rfe r N am en im B ereich ih re r U n sch arfh eit hinzuw eisen. D ank dessen v e rg rö sse rt sich das G ebiet d e r Sätze, denen sach lich er In h a lt zugeschrieben w e rd e n kann.
2. DER BEGRIFF DER FUZZY MENGE
Eine volle M enge w erd en w ir m it dem B u ch staben R b e zeichnen. W ir w erd en sie au ch als R au m benennen.
2 D en B e g riff d e r fuzzy M enge f ü h rte L. A. Z adeh ein (F u zzy sets, „ In fo rm a tio n an d C o n tro l” 8(1965), 338—353). E ine gew isse V erallg e m e in e ru n g dieses B egriffes schlug J. A. G oguen vo r (L -F u z z y sets, „ J o u rn a l of M a th em atic al A nalysis a n d A p p lic atio n s” 18(1967), 145— — 174), Die T heorie d er fuzzy M engen ist ein a u s g e b a u te r T eil d e r M a th e m a tik u n d fin d e t v ie le A nw en d u n g en . M an sp ric h t ü b e r fuzzy S ystem e, ü b e r fuzzy A u to m a te, fuzzy S p ra ch e n u n d so w e ite r. E ine g u te O rie n tie ru n g in diesem B ereich g ib t das B uch: C. V. N egoita, D. A. R alescu, A p p lic a tio n s o f fu z z y sets to sy ste m s analysis, B irk h ä u s e r V erlag, B asel u n d S tu ttg a r t 1975. D arin is t a u c h u m fa n g re ic h e B i b lio g ra p h ie des G egenstandes e n th alten .
Als fuzzy M enge A im R au m R v e rs te h t m an die auf R de fin ie rte F u n k tio n f, w elche die W erte aus dem geschlossenem In te rw a ll von N ull bis eins annim m t.
M it an d e re n W orten ist die fuzzy M enge eine gew isse U n term en g e des k artesisch en P ro d u k ts des R aum es R d u rch den geschlossenen A b sch n itt m it den E nden in den P u n k te n N ull u nd eins.
Die F u n k tio n f m an ch m al n e n n t m an als ch a ra k te ristisc h e F u n k tio n d er fuzzy M enge. Sie bezeich net die „Z ugehörig- k e itsstu ffe ” des E lem ents z u r fuzzy M enge. Die g enan nte Zu g ehörig k eitsstu fe ist in den G renzen zw ischen den Z ah len N ull u n d eins e n th a lte n . W enn die c h a ra k te ristisc h e F u n k tio n f n u r zw ei W erte a n n im t u n d zw ar N ull u n d eins, so h ab e n w ir es m it ein er M enge in gew öhnlichem S inne zu tu en . Also jede M enge in gew öhnlichem (klassischem ) Sinine ist au ch eine M en ge in fuzzy B edeutung. Also e n th ä lt die K lasse von fuzzy M en gen, die K lasse d er M engen in b ish e rig e r B edeutung.
Die M enge a lle r dieser E lem en te des R aum es R, fü r die die F u n k tio n f positive W erte a n n im t h e isst T rä g er d er gegebe nen fuzzy Menge.
Es sei die fuzzy M enge A gegeben w erden. B ehan deln w ir ih re ch a ra k te ristisc h e F u n k tio n f. Im allgem einen F all k a n n m an d rei K lassen d e r E lem en te des R aum es R im Bezug z u r fuzzy M enge aussondern. Z u r e rste n K lasse w erd en w ir die E lem ente des R aum es R rech n en , fü r die die F u n k tio n f den W ert eins an nim t. Z u r zw eiten K lasse — die E lem en te fü r die die F u n k tio n f positiv, ab e r k lein e r als eins ist. Die d ritte b e ste h t aus den R au m elem en ten f ü r die die c h a ra k te ristisc h e F u n k tio n gleich N u ll ist. E lem en te die B estan d teile d e r Zw ei te n K lasse sind, w e rd e n w ir als fuzzy Teil d e r fuzzy M enge bezeichnen, a b e r die E lem en te d e r e rste n K lasse — als sc h a r fen Teil d e r fuzzy M enge A. Die d ritte K lasse b e ste h t aus E lem ente des R aum es R rech n en , fü r die die F u n k tio n f den F a ll von M engen in gew öhnlichem Sinne ist die zw eite K lasse leer. Die E lem ente d e r e rste n K lasse bilden die gegebene M enge, die E lem ente d e r d ritte n K lasse a b er — seine E rg ä n zung. Es ist sich tb ar, dass den T rä g er d e r fuzzy M enge A E lem ente d e r e rste n u n d zw eiten K lasse bilden.
W ir illu s trie re n je tz t den B egriff d e r fuzzy M engen an zwei k o n k re te n Beispielen.
B e tra c h te n w ir das P ro b le m d e r K lassifik atio n e in e r gew is sen K lasse von D okum enten. In tu itiv die A n g elegen heit
be-h a n d e ln ist k la r, dass w ir zwei D okum ente als v e rw a n d te Do k u m en te a n e rk e n n e n w erden, w enn sie ähnliche B egriffe e n t h a lte n w erden. A uf dieser G ru nd lag e k a n n m an ü b e r die K o r re la tio n sprechen, die zw ischen den b e tra c h te te n D okum enten besteh t. A bhängig von ih re m W ert w erd en w ir sie in die eine beziehungsw eise in eine an d ere G ruppe einrechn en. A uf die se W eise e rh a lte n w ir eine fuzzy M enge, die eine R ealisieru n g d e r uns in te ressiere n d en .K la ssifik atio n b i ld e t 3. W ir gehen h ier in eine präzise B ezeichnug d e r c h a ra k te ristisc h e n F u n k tio n aus re in techn isch en G rü n d en n ich t ein, die fü r das Ziel u n w esentlich sind das dem .Artikel vorliegt.
B ehandeln w ir die M enge von M enschen im m itte ie re n A lter. F ü r die V ereinfachu n g n eh m en w ir n u r volle ganze J a h re der g en a n n te n P erso n en an. Diese M enge b estim m en w ir d u rch A ngabe ihre T rägers: A rg u m en te d er c h a ra k te ristisc h e n F u n k tion w rd e n Z ahlen sein, die das A lte r d er P erso n en bezeich nen. W erte dieser F u n k tio n sollen folgende G leich heiten b e zeichnen: f(40) = 0,3, f(41) = 0,5, f(42) = 0,8, f(43) = 0,9, f(44) = 1, f(45) = 1, f (46) = 1, f (47) = 1, f(48) = 1, f(49) = = 0,9, f(50) = 0,8, f (51) = 0,7, f(52) = 0,5, f(53) = 0,3. A uf diese W aise e rh a lte n w ir eine fuzzy M enge die M enschen im sog en an n ten m ittle re m A lte r u m fa s s t4.
In diesem F alle b ild en den sch arfen b e h a n d elte n Teil der fuzzy M enge die J a h re 44, 45, 46, 47 u n d 48. Sie sin d in „F ü l le ” das m ittle re r A lter. Den fuzzy Teil b ilden h ie r die J a h re 40, 41, 42, 43, 49, 50, 51, 52 u n d 53. K o n seq uen t dan n w erden P erso n en im A lte r von 39 J a h re n u n d d a ru n te r, wie auch von 54 J a h re n u n d d a rü b e r n ic h t zu P erso n en im m ittle re n A lter gerechnet.
3. E IN IG E FU ZZY M EN G EN O PERATIO NEN
Es seien zwei fuzzy M engen A u n d В gegeben w erden. W ir sagen, dass diese M engen gleich sind, w as w ir au fschreiben А = B, w enn ih re ch a ra k te ristisc h e F u n k tio n e n gleich sind, dass heisst, dass sie die gleiche W erte fü r jeden E lem ent des
3 T h e S M A R T R e t r i e v a l S y s t e m , E x p e r i m e n t s in A u t o m a t i c D o c u m e n t P rocess in g, P re n tic e -H a ll, Inc., E nglew ood Cliffs, N ew Je rse y 1971.
4 M. P. R ebrow a, R a z m y t y j e m n o ż e s t w a w tieorii k lassijikacii, N au - cz n o -tiec h n ic zesk aja in fo rm a c ija , S e rija 2: I n f o r m a c i o n n y je p ro c ie ssy
|5J N E U E K O N Z E P T I O N E N IN L O G I K 103
R aum es R an neh m en, also fA(x) = fB(x), wo x ein beliebiges E lem ent von R ist.
W ir fü h re n noch den B egriff der lee ren fuzzy M enge ein. Die fuzzy M enge A heisst leere M enge w enn die c h a ra k te ristische F u n k tio n f iden tisch gleich m it N ull ist, das ist fA(x) = О fü r jedes x das zum R aum R gehört.
W ir bestim m en jetz t die E rgän zu n g d er fuzzy M enge A. W ir w erden sie d u rch ein en S tric h oben bezeichnen, also m it dem Sym bol A.
Als E rgänzung d er fuzzy M enge A w erd en w ir die fuzzy M enge v ertseh en , d e re n ch a ra k te ristisc h e F u n k tio n fÄ = 1 — — fA ist. M it an d e re n W orten: die ch a ra k te ristisc h e F u n k tio n der E rgänzung d er fuzzy M enge ist d e r E rg änzu ng z u r E in h e it d er c h a ra k te ristisc h e n F u n k tio n d er erg än zend en A usgan gsm enge gleich· Es w e rd e n also die E lem ente der e rs te n K lasse d er M enge in die E lem ente dee d ritte n K lasse d e r E rgänzung ü bergehen, die E lem ente d e r d ritte n K lasse d e r erg ä n z e n den M enge w e rd e n in E lem ente d er e rste n K lasse d er E rgän zung u n d die E lem ente der zw eiten K lasse w erd en in sich selbst ü berg eh en , n u r m it dem V orbehalt, dass ih re Zugehö rig k eitsstu fe ein er Ä n d eru n g u n terlie g e n w ird, aus der u rsp rü n g lich en w ird sie in die E rgänzung zur E inheit übergehen. W ir sehen also, dass der fuzzy Teil der fuzzy M enge bei der Ergänzungsoperatioin in den fuzzy Teil der Ergänzung der gegebenen M enge ü b erg eh t.
Es ist sichtb ar, dass im F all von M engen in gew öhnlichen Sinne w ir eine Ü b erein stim m un g m it d e r d o rt angenom m enen D efinition d er E rgänzung erh a lte n . U nd ist A = R — A.
Es seien je tz t zwei fuzzy M engen A u n d В angegeben w e r den. N ehm en w ir an, dass fü r jedes E lem en t x, das zum
T r ä g e r d er M enge A gehört, d er W ert d e r ch a ra k te ristisc h e n F u n k tio n d e r M enge A n ich t grösser als d e r W ert d e r cha ra k te ristisc h e n F u n k tio n d er M enge В fü r dieses E lem ent ist. W ir w erd en d an n sagen, dass die fuzzy M enge A die T eilm en ge d er M enge В ist.
Beispiel: Es soll А = {(x, 0,5), i(y, 0,2)} sein, dagegen В = {f(x, 0,7), (y, 0,4), (z, 0,3)}. D an n ist A e n th a lte n in B.
Es ist k lar, dass die T rä g e i d e r M engen A u n d В gleich sein k ö nnen oder ab er auch, dass d e r e rste in dem zw eiten e n th a lte n sein k a n n (das E n th a lten v e rs te h t m an h ie r ev iden t in gew öhnlichen Sinne).
heisst fuzzy M enge С, d eren ch a ra k te ristisc h e F u n k tio n f t als m ax (fA, fB) b e stim m t ist.
A nders k a n n gesagt w erd en, dass die V ereinigungsm enge zw eier fuzzy M engen die k lein ste fuzzy M enge ist, die sowohl die eine wie auch die an d ere M enge e n th ä lt.
W ir e rin n e rn d aran , das die M enge die klein ste M enge heisst, die eine gew isse E ig en schaft E besitzt, w en n sie in je d e r M enge e n th a lte n ist, die diese E igenschaft E besitzt.
D er gem einsam e Teil i(oder d e r D u rch sch n itt) d er zw ei fuzzy M engen A u nd В h eisst fuzzy M enge C, d eren c h arak teristisch e F u n k tio n fc als m in (fA, f B) b e stim m t w ird.
Ä hnlich wie v o rh er, kanin gesagt w erd en , dass d er D u rc h sc h n itt zw eier fuzzy M engn die grösste fuzzy M enge ist die sow ohl in d e r einen, w ie auch in d er an d e re n M enge e n th a l te n ist.
W ir e rin n e rn auch d aran , dass diie M enge die grösste M en ge heisst, die eine gewisse E igenschaft E besitzt, w enn sie jede M enge e n th ä lt die diese E igenschaft E besitzt.
M an k a n n machweisen, dass die V erem ig un g so peratio n der fuzzy M engen k o m m u tativ u n d assoziativ ist. Ä hnlich ist auch die O peratio n d er B ildung des gem einsam en Teiles d e r fuzzy M engen k o m m u tativ u nd assoziativ.
Z u tre ffe n d sind auch fü r die fuzzy M enge die de M organ- -G esetze. Es ist also das K o m p lem en t d er V ereinigungsm enge dem D u rc h sch n itt d e r K om p lem ente d e r S u m an den d e r S u m m e gleich. Ä hnlich ist auch das K o m plem ent des gem einsam en Teiles d e r V ereinigungsm enge d e r K om plem ente d e r e in zelnen G lieder des gem einsam en Teiles gleich.
' M an k a n n noch einige algebraische O p eration en in Bezie h u n g a u f die fuzzy M engen definieren . Ich e rw äh n e n u r als B eispiel die ab solute D ifferenz, das algebraische P ro d u k t .und die algebraische Sum m e zw eier fuzzy M engen.
4. FUZZYERSCHEINUNG UND UNSCHARFHEIT
Bei d e r A ngabe d e r D efinition d er fuzzy M enge so n d erten w ir in ih r den „scharfen T eil” u n d den „fuzzy T eil” aus. D er e rste Teil e n th ä lt die E lem ente die z u r M enge in d e r S tufe gehören die d e r E in h eit gleich ist, d e r zw eite Teil dagegen b esteh t aus E lem enten des R aum es, d e re n Z ugehörig h eitsstufe d u rc h einen ech ten B ru ch a u sg ed rü c k t w ird.
S chauen w ir uns n ä h e r den „fuzzy T eil” an. Seine positive C h a ra k te ristik w u rd e vor k u rzem in E rin n e ru n g gebrach t. W ir
bezeichnen sie als positive C h a ra k te ristik , da sie ü b e r die Z u g eh ö rig k eitsstu fe des E lem ents z u r fuzzy M enge spricht.
W enn w ir d a rin ü b erein stim m en , dass die Z ug ehö rigk eits stu fe, die gleich eins ist, d e r v ollen Z u geh örig keit des Ele m en ts z u r M enge e n tsp ric h t u n d die k lein ere als eins ■— d e r n ich t vollen, n ic h t ganzen en tsp rich t, so k ö nn en w ir a u f das ganze P ro blem au ch von der a n d e re n entgeg eng esetzten Seite schauen, bezeichnen w ir sie als n ich t positive. Es g eh t d aru m , dass im F all d e r n ich t vollen, n ich t ganzen Z u g ehö rig keit des gegebenen E lem ents m an au ch v o n sein er N ichtzugehörigkeit in gew isser S tu fe sp rech en kann. Es m öge d e r O b jek t a ein E lem en t d e r fuzzy M enge m it Z u g eh ö rig k eitsstu fe gleich x sein. Danin scheint es b e g rü n d et zu sein au ch zu sagen, dass das g en an te E lem ent a n ich t zur gegebenen fuzzy M enge m it S tu fe eins m inus x gehört. W ir h ä tte n in diesem F a ll also zur V erfügung zw ei Term inologien: die positive u nd die n ic h t po sitive. E n tsp rech en d d er e rste n en tsch eid en w ir ü b e r die Z u g ehö rig k eit des E lem ents z u r fuzzy M enge, n ach d e r zw eiten T erm onoligie ü b e r die N ichtzugehörigkeit. Die Sum m e der Z u g eh ö rigk eitsstu fe u n d d er N ich tzü g eh ö rig k eitsstu fe des Ele m en ts ist im m er d er E in h eit gleich.
W enn d e r soeben v o rg estellte V orschlag ric h tig ist, so gibt d er B egriff d e r fuzzy M enge, besonders seines „fuzzy T eiles”, die G ru n dlag e fü r die Z uschreib u n g gew issen E lem enten zw e ier C h a ra k te ristik e n : des B esitzens e in e r gew issen E igenschaft in irg en d ein er S tu fe u n d das N ich tb esitzen in e in e r S tu fe die das K o m p lem en t z u r E in h eit b ildet. A u f diesem W ege gehen w ir ü b e r das tra d itio n elle te r tiu m non d atu r hinaus.
Weinn w ir je tz t die u n sc h arfen N am en in B e tra c h t nehm en, so h ab en w ir es m it e in e r ziem lich äh n lich en S itu a tio n zu tu en wie sie im F a ll von fuzzy M engen a u ftritt. Es lässt sich also auf Bezug a u f m anche G egenstände en tscheiden, dass sie D e sig naten des b e h a n d elte n N am ens sin d u n d in Bezug a u f a n dere festzu stellen , dass sie es n ich t sind; e st b e ste h t jedoch eine K lasse von G eg enständen in V e rh ä ltn is zu d enen w ir n ich t im S tand e sind, au f g ru n sätzlich e W eise, ih n en M erk m ale zu zuschreiben, dass sie D esig n aten des gegebenen N a m ens sind oder ab e r es n ich t sind. Die g en a n n te K lasse von G egenständen w ird als U n sch ärfeb ereich des gegebenen N a m ens bezeichnet. D er U n sch ärfeb ereich des N am ens e n th ä lt also G egenstände, die m it dem M erkm al „N ichtaussagem ö g lic h k e it” c h a ra k te ris ie rt w erd en können. M an k a n n im V er h ä ltn is zu ih n en n ich t en tsch eid en fü r oder gegen ein M erk
m al. D eshalb besitzen Sätze, die u n sch arfe N am en e n th a lte n u n d gleichzeitig a u f G egenstände bezogen w erd en die zum U n sch ärfeb ereich gehören, k ein en sachlichen I n h a l t 5.
Es e n tste c h t die F ra g ob diese soeben b eschriebene S itu a tion n ic h t ü b e rw in d a b a r ist. Ob d er einzige A usw eg die Be n u tzu n g ein er K o nvention w äre, die den gegenbenen u n sc h a r fen N am en ni einen sc h arfen N am en u m w andeln w ürde? A ber dan n m üsste m an sich a u f eine gew isse A rt von A prio rism u s v ere in b are n . Das ist jedoch keine L ösung die einen zu grössen E n th u siasm us vom sachlichen S ta n d p u n k t auslösen k önnte. W enn w ir in K ollision m it D aten n ich t eingehen w ol len, die au f uns aus der Seite d er W irklich keit eingehen, dann soll m an den In h a lt u n se re r T erm ini, A u sdrücke au f d er G rund lag e d e r g en a n n te n W irk lich k eit g estalten u n d n ich t ziem lich a rb itra l ü b e r sie d e k re tie ren . A chtu n g fü r die W irklich k eit, A chtung fü r das w as b esteh t, was sich en tw ick elt, evo- lv ie rt usw. zw ingt u:ns zum S u ch en ein er a n d e re n Lösung als die v o re rst beschriebene. Es ersch ein t die P rob e b e g rü n d et zu sein, den B ereich selbst d er U nschärfe des gegebenen N a m ens sininbar zu zestalten. M an sollte diesen W eg g ehen um die Lösung dieses P roblem s zu ‘erh alten . Das e rw ä h n te sin- nbare G estalten des U nscharfeb ereiches k a n n d u rch Bezug a u f E lem ente d er W irklich k eit des „ sch arfen ” In h alts des ge g eb enen N am ens n u r in gew issen G rade erfolgen, der fü r v erschiedene E lem ente v ersch ied en sein kanin. Das ist eine Sugestiion die von der K onzeption der fuzzy M engen ausgeht. W ir v erk ü n d e n gar niioht, dass es der einzige Weg ist d er zum Ziele fü h rt. Es ist ab er u n zw eifelh aft ein er d er W ege die dahin fü h rte n . U nd das ist schon viel. Es scheint, dass dieser Weg zw ei E igenschaften besitzt. 1° e r e rte ilt P rio ritä t d e r W ir klich k eit in V erh ältn is zu u n se re n Erkenntndskonzeptionen, 2° er ist n ic h t im eng v e rsta n d e n e n klassischen Schem a der zw eiw ertig en Logik e n th a lte n . W as die letzte E igenschaft b e trifft, so den ken w ir h ie r a n die M öglichkeit der A usasagen von d er Form : „das E lem ent a besitzt die E igenschaft E in S tu fe x ” , „das E lem ent a besitzt die E igenschaft E in S tu fe 1— x n ic h t” dagegen die U nm öglichkeit der gleisedtigen A n e r k en n u n g d er Sätze: „das E lem ent a b esitzt E igenschaft E in S tu fe x ” , sowie „das E lem ent a besitzt die E igenschaft E in S tu fe x n ic h t” 6.
5 W ir e rin n e rn d a ra n , dass die h ie r b e h a n d e lte n A n g ele n h eiten schon in F u ssn o te 1 sig n a lisie rt w u rd en .
Die v o rg estellten E igenschaften fü h re n zum P ro b lem d er statisch en wie auch d er dyn am isch en E rfassun g der W irk lichkeit. W ir w ollen jestz t zu diesem P ro b lem übergehen.
5. STATISCHE UND DYNAMISCHE ERFASSUNG DER WIRKLICHKEIT
Es b esteh en zwei allgem eine g ru n sätzlich e M odelle d er W irk lichkeit: das statische M odell u n d das dynam ische M odell.
Das statisch e M odell e rfa sst die W irk lich k eit als In d iv id u en b ün del m it k o n sta n te r „ N a tu r” u n d k o n s ta n te r , W irk un gs art. In d iv idu en k ö nnen e n tste h en u n d v erg eh en a b er in der Z eit ihres B estehens w erd en sie von e in e r „W esens” — B est än d ig k eit c h a ra k te risie rt. Eine solche K onzeption d e r W irk lich k eit f ü h rt auf n a tü rlic h e W eise zu A nnah m e als e n tsp re chende die zw eiw ertige klassische Logik. Im b esonderen sind w ir also gew illig t als rich tig die Sätze zu b e tra c h te n die fest stellen, dass d er gegebene G egenstand p b e ste h t oder auch n ich t b esteh t, dass e r eine gewisse E igenschaft b e sitz t oder auch n ich t besitzt. N icht rich tig zu sein erschein en die K on ju n k tio n en d e r Form : G egenstand p h a t die E igenschaft E u n d G egenstand p h a t die E igenschaft E nicht.
Das zw eite d e r e rw ä h n te n M odelle e rfa sst die W irklich keit n ich t als B ündel von Individuen, so nd ern als G em einschaft gew isser Prozesse. In d er W elt erfolgen doch u n u n terb ro ch e n e Ä nderungen. Sie fin den au f dem A tom gebiet, dem S u b ato m gebiet, u n te r dem Lebew esen und auch im K osm osm asstab s ta tt. Das V e rä n d erlich k eitsasp ek t ersc h e in t in Bezug auf die W irk lichk eit w esentlich zu sein. Sich etw as p a ra d o x a l au s d rü ck en d k a n n m an sagen, dass es keine W irk lich k eit gibt, dass sie es w ird u n d das bestän dig im m er von neuem . N icht so „ w irk lic h ” sind die einzelnen E tap p en d e r Ä n d erun gen , w ie d er Prozess d er g en an n ten Ä n derungen.
Von diesem S ta n d p u n k t aus erz e u g t die A n e rk en n u n g des N ich tausreich en s d er zw eiw ertig en L ogik keine Einw ände. Noch m ehr, es e n ts te h t die N otw en d ig keit d e r A nnahm e d er vielw ertig en Logik. W ir bekom m en d a n n einen logischen A p p a ra t z u r H and, d er es e rla u b t m eh r a d ä q u a t die W irklich k e it w iederzugeben als es m it H ilfe d er zw eiw ertigen Logik m öglich ist.
W ir w erd en die oben angegebenen ziem lich allgem einen
B em erk un gen an einem k o n k rete n Beispiel illu strie ren . N eh m en w ir einen M enschen in B etrach t. Die statische E rfassung sie h t in ihm die G em einschaft von zw ei E lem enten: dem an i
m alen u n d dem in te le k tu e llen . D am it fü h re n w ir jedoch eine P e trifik a tio n d er reichen, v e rä n d e rlich e n W irk lich k eit des M enschen durch. Eine bessere A n n ä h e ru n g des w irk lichen S achzustand es ersc h e in t die K onzeption des M enschen als G eschöpf zu erscheinen, das n ich t soviel v e rstä n d ig ist, wie v ielm eh r v erstän d ig w ird (oder noch b esser gesagt v e rstä n d ig w erd en kann). G ew öhlich doch v e rlä u ft das V e rh a lten d e r M enschen n ach gew issen Schem en, Schablonen, G ew ohnhei ten. M an b ra u c h t e in e r grossen in te le k tu e lle n A bstregung. um zu w ollen u n d zu k ö nnen eine eigene, k ritisch e S tellu n g n ah m e einzunehm en. M an m uss in sich eine k ritisch e H altu n g des G eistes au sarb eiten . Sie ist uns n ich t „gegeben”. D er M ensch ist ein reiches, zusam m engesetztes G eschöpf, das sich im L a u fe seines L ebens g estalten sollte.
W ir k ö n n en also ko n k lu d ieren , dass fü r das statisch e M odell d e r W irk lich k eit die zw eiw ertige L ogik au sreich en d ist, fü r das dynam ische M odell dagegen — nicht. F ü r die ad äq u ate B eschreibung d er E ig ensch aften von Prozessen, die sich in d e r W elt vollziehen, A st das einfache Schem a d e r zw eiw erti- gn Logik n ich t ausreich en d. Die Logik erschein t etw as S e k u n d ä re s im V erh ältn is z u r W irk lich k eit u n d ih res E rk en nen s d u rch u ns zu sein 1. D eshalb sollte sie b e re ic h e rt w e rd e n im Masse d e r V ergrö sseru n g des R eichtum s u n d d e r V ielfältig k e it u n se re r E rk en n tn is. D as ö ffnet vor u n serem G edanken b re ite H orizonte.
A uf d e r G run dlag e d e r oben a n g e fü h rte n B em erk un gen schauen w ir je tz t au f die K onzeption d e r fuzzy M engen u n d die sich d arau s ergeb en den K onsequenzen in Bezug zu dem P ro blem , dem dieser A ufsatz gew idm et ist.
6. E IN E E R W E IT E R U N G S P R O B E D E S A N W E N D U N S B E R Ę IC H Ę S D E R W IS S E N S C H A F T L IC H E N S P R A C H E N
W ir w erd en von einem Beispiel ausgehen, das d e r M etro logie en tn om m en ist. Ich m eine d am it den B egriff des Mes sens.
Als M essen v e rs te h t m an eine G em einschaft von T ätigkei ten, nach d eren D u rc h fü h ru n g m an feststellen kan n , dass im M om ent d er D u rc h fü h ru n g des M essverfah ren s u n te r b estim m te n B edingungen, also bei d e r A nw en du n g b e stim m te r M ess m itte l u n d D u rc h fü h ru n g b e stim m te r T ä tig k e ite n die gem es-7 A. G rz e g o rc z y k , Z a r y s lo g i k i m a t e m a t y c z n e j (G r u n d r i s s d e r m a t h e m a t i s c h e n Logik ), W a rs z a w a 1069,66.
N E U E K O N Z E P T I O N E N IN L O G I K 109
sene Grösse den W ert h a tte d er zw ischen den Z ahlen r u n d s e n th a lte n ist- Als M essergebnis b ezeichnet m an die F e stste l lu n g dass die gem essene Grösse n ich t k lein e r als r u n d gleich zeitig n ic h t grösser als s ist. Das M essergebnis f ü h rt m an n ic h t z u r G leichheit r = s, da das V e rm in d e rn d er D iffe ren z s — r = t unm öglich oder n ic h t zw eckm ässig i s t 8. Die A nnahm e, dass die D ifferenz t po sitiv ist b ild e t das g ru n d sätzliche P o stu la t d e r M etrologie. G run d sätzliche U rsache sein e r E in fü h ru n g ist, w ie leich t zu v e rm u te n ist, die b e g re n tzte V ollkom m enheit u n se re r Sinne u n d G eräte, d e re n w ir u ns bei d e r D u rc h fü h ru n g d e r M essung bedienen. Die Schw elle d er V E m p fin d lich k eit b e ste h t im m er sow ohl in Bezug auf unsere Sinne, w ie auch auf die G eräte. Ih re n a tü rlic h e G ru n dlag e ist d e r Q u a n te n c h a ra k te r d e r E rs c h e in u n g e n 9. Das P o stu lie re n d e r M öglichkeit ab so lu t genaue M essergebnisse zu besitzen ist ein unm öglich re a lisie rb a re r W unsch. Das M essen ist von N a tp r aus im m er m it einem gew isen F e h le r b e la stet oder besser gesagt: e r ist in einem gew issen W e rtin te rv a ll e n th a l ten , oder e r ist fuzzy in h ö h erem oder k lein e re m G rade.
Das M essen soll m an fü r eine d e r g ru n d sätzlich en w issen sch aftlich en T ätig k eiten b e tra ch te n . Ü b erall wo das M essen a u f tr itt ersch ein en die Folgen sein er E igenschaften. M it an d e re n W orten m an m uss das B edürfnis, Z w eckm ässigkeit u nd N o tw end ig k eit u n sc h a rfe r B egriffe, u n sc h a rfe r N am en a n e r kenn en . Das M essergebnis ist u n d m uss eine „ u n sch a rfe ” Grösse sein. U nd das w irk t a u f den C h a ra k te r u n se re r S p ra che, au f den C h a ra k te r d e r T erm in i u n d besonders d e r N a m en ein.
S elbsv erstän dlich , m uss m an dam it ein v e rsta n d e n sein, dass die U nschärfe selb st als solche, n ich t u n se r Ideal sein m uss (und auch n ich t sein kann), das die in te lle k tu e lle D em obilisie ru n g erzeug en w ürde. In gew issen F ä lle n k a n n die U nschärfe n ich t an d ers b e h a n d elt w erd en als n u r ein A u sd ru ck u n se re r U nw issenschaft in Bezug auf die W irk lichkeit. Das ist u n zw eifelhaft. M an k an n jedoch a u f eine grosse Z ahl von F ä l len hinw eisen, wo die U nschärfe w ed er ein gew öhnlicher F e h le r u se re r S prach e ist, w ed er auch ein A u sd ru ck des F e h lens e n tsp re ch e n d e r W irk lic h k e itserk e n n tn is a b er das K e n n zeichen u n se re r W irklichkeitsw iderspiegelns. D ann ersch ein t die U nschärfe „ u n h e ilb a r” u n d gleichzeitig „ o b je k tiv ” zu
8 J. P io tro w sk i, P o d sta w y m etrologii (E lem en te der M etrologie), W a r szaw a 1976, 16.
sein. D er Besitz n u r sc h arfer N am en und die M öglichkeit sich m it ih n en zu b edienen k a n n also eh e r als ziem lich e n tfe rn te s Ziel b e tra c h te t w erden , zu dem w ir stre b e n ab e r n ic h t 'als unabköm m liche E rfü llu n g sb ed in g u n g h ie r u n d jetzt. Die U n scharfe, die in „ v e rn ü n ftig e n ” G renzen g eh alten w ird, ge n ü g t z u r Pflege d e r W issenschaft u n d g ibt gleichzeitig re la tiv tre u , so k a n n m an es w enigstens p o stu lieren , die reich e v e r än d erlich e u n d zusam m engesetzte W irk lich k eit w ieder.
Es d rä n g t sich d e r G edanke auf von d e r K onzeption d e r fuzzy M engen G ebrauch zu m achen u m den u n sc h arfen N a m en S inn beizufügen. D er B ereich d e r U nschärfe k an n d u rch B eziehen auf den ,,fuzzy T eil” d er fuzzy M enge s in n b a r gest a lte t w erden. D ank dessen ist es m öglich sich m it u n sch ar fen N am en in ih rem vollen B ereich zu bedienen. K onsequent v e rg rö ssert sich die K lasse d er Sätze m it sachlichem In h alt.
Es ist eine einfache u n d sic h tb a re A ngelegenheit festzu stel len auf w elche W eise es m öglich ist, dem B ereich d e r U n schärfe, g e stü tz t au f den v o rg este llte n B egriff d e r fuzzy M en ge un d d e r au sg ew äh lten einfachen O perationen m it fuzzy M engen, Sinn zu verleihen.
A nderseits ist es auch ersich tlich , daśs „g u tes” präzisieren des In h altes in Bezug zum U n sch ärfeb ereich des N am ens g ar n ich t einfach ist. „ G u t” b e d e u te t h ie r ü b erein stim m ed m it dem w irk lich en Z u stan d d er Dinge, also üb erein stim m ed m it d er W irk lich k eit selbst, wie auch m it d er schon frü h e r festgelęg- te n u nd allgem ein angenom m enen S prach ko nv en tio n en. Dazu gibt es keine B edenken. Das b e d e u te t jedoch nicht, dass als n ich t d u rc h fü h rb a r w äre, dass es ein hoffnungsloses U n te r nehm en w äre.
Das ist zusam m engesetztes P ro b lem , Es ist m it dem P ro blem d e r K onvention, d e r v ielw ertig en Logik v erbu nden. es re ic h t bis zu den g ru n d sätzlich en P ro b lem en hin, die sich auf die O ntologie u n d E rk e n n tn isth e o rie beziehen. D adurch e r schein t es ein typ isch philosophisches P ro b lem zu sein. Je m eh r neue G edanken a u ftre te n w erd en die die L ösung dieses P ro blem s b e tre ffe n w erden, desto b esser w erd en w ir dąs ganze P ro b lem sehen. Das w ird die M öglichkeit d e r A u sarb eitu n g des S ta n d p u n k te s a n n ä h ern , d e r allgem eine A p p ro b atio n upd A nnahm e find en w ürde. Es ersc h e in t w ichtig zu sein, dass, diese A ngelegenheit ein er sch arfsin n ig en F orsch ungsbeachtu n g
7. S C H L U S S B E M E R K U N G E N
Die d u rc h g e fü h rte n B e tra c h tu n g e n zu sam m enfassend ste l len w ir fest, dass das P ro b lem d er u n sc h arfen N am en nich t n u r als E rsch einun g des F eh lers u n se re r S prache v e rsta n d en w erden muss. Die U nschärfe d e r N am en, wie es scheint, reic h t tiefer, bis in die G ru n d sätze des Seins u n d u n se re r E rk en n tn is hinein. Es ist eine A ngelegenheit d er M öglichkeit den U n sch ärfeb ereich u n sc h arfer N am en sin n b a r zu gestalten. E iner d e r W ege, d e r zu diesem Ziele fü h rt, k a n n die K onzeption der fuzzy M enge sein. Dieses vollzieht sich d u rch teilw eise A n e r k en n u n g den E lem enten, der ih n en zugehörigen E igenschaf ten, n u r in gew issem Grade.
Das P ro b lem d er U nschärfe, wie es sig n alisiert w u rde, ist eng m it dem P ro b lem der nichtk lassischen L ogiken v e rb u n den. Als eine offene F rag e t r i t t das P ro b le m auf, ob unsere jetzige S prache n ic h t zu „sta tisc h ” ist. W enn es gelingen sollte eine „d y nam isch e” S prache zu k o n stru ie re n m üsste m an d an n v ielleich t das ganze P ro b lem d er U nschärfe ganz and ers stellen.
Wie w ir ums d a ra n e rin n e rn erzu g ten die fuzzy Memgen eine Explosion v ersch ied en er „fuzzy” K onzeptionen. Im besonde re n sp ric h t m an auch ü b e r fuzzy Logiken, fuzzy T heorien, fuzzy A u to m aten u n d so w eiter. L etzten s w ird die fuzzy Lo gik fü r P ro b lem s der E rk e n n u n g d e r H a n d sc h rift g e n u tz t10. M an m uss n ich t h inzufügen, dass das P ro b lem n ich t n u r w is sensch aftlich sond ern auch philosophisch in te re sa n t ist. Es be- sitztz auch w eltan schaulich e Aussage. Sein p rak tisch es A spekt erzeu g t keine B edanken. Es fin d e t d ire k te A nw en du ng beim Bau von E in g an g seinrich tu n g en beim D ig italrechn er.
Es kom m t eine einfache Schlussfolgerung in B e tra c h t: die fuzzy K onzeption e rö ffn et vor dem F o rsch u ng sged ank en b reite H orizonte u n d edin d an k b ares F eld fü r schöpferische A rbeit.
N O W E K O N C E P C J E W L O G IC E I T E O R II P O Z N A N IA
(Streszczenie)
P rz y jm u ją c m odel dyn am iczn y rzeczyw istości, a w ięc ro zw ażając ją ja k o zespół ró żn o ro d n y ch procesów , k o n sta tu je m y ndew ystarczalność logiki dw u w arto ścio w ej. P rz y jej pom ocy nie d a się bow iem a d e k w a t
10 P ep e Siy, C. S. C hen, F u zzy logic fo r h a n d w r itte n n u m era l ch a
racter recognition, IEEE T ra n sa c tio n on S ystem s, M an, a n d C y b e rn e
n ie ujm o w ać b o g atą i zm ien n ą rzeczyw istość. K onieczne s ta je się w y jś cie poza logikę klasyczną.
W a rty k u le p rze d staw io n o p ojęcie zbioru rozm ytego, pochodzące od L. A. Z adeha, a ta k ż e w y b ra n e o p era cje n a zbiorach ro zm y ty ch ; n a stę p n ie w skazano n a jego zasto so w an ia do logiki i te o rii poznania. L ogika „ro z m y ta ” czyni sensow nym i stw ie rd z e n ia p o staci: „elem en t a m a w łasność A w sto p n iu p ”, „e le m en t a n ie m a w łasności A w sto p n iu 1-p” . W ykluczona je st je d n a k konüunkcja d w u n a stę p u ją c y c h zdań: „ elem en t a m a w łasność A w sto p n iu p ” oraz „ e le m en t a n ie m a w ła s ności A w sto p n iu p ”.Na te j drodze u zy sk u je się poszerzenie z a k resu stosow alności ję zy k a naukow ego. S ensow nym i o k a z u ją się bo w iem ró w nież (p rz y n ajm n iej n ie k tó re) z d a n ia za w ie ra ją c e te rm in y n ie o stre, „roz m y te”. A tego ro d z a ju stw iierdzena w y d a ją siię dobrze o d d aw a ć np. z jaw isk a z z a k re su fizy k i atom ow ej (kw antow ej), zag ad n ien ie k la sy fik a c ji i w iele innych.
