J. Szantyr - Wykład 5 – Pływanie ciał

J. Szantyr - Wykład 5 – Pływanie ciał

Prawo Archimedesa

Na każdy element pola dS działa elementarny napór

d P = n ρ gzdS

Napór całkowity ⁼

∫

S

zdS n

g P

ρ

Główny wektor momentu siły naporu

∫

=

S

zdS n

r g M

ρ

Αρχίµηδης ο Σΰρακοσιος

Rzuty poziome naporu na osie Ox i Oy są równe zeru. Całkowity napór sprowadza się do siły pionowej

działającej na dwie części

powierzchni o wspólnym konturze:

dolną BAD i górną BCD.

Archimedes z Syrakuz 297 – 212 pne

Αρχίµηδης ο Σΰρακοσιος

Napór na dolną powierzchnię

⁼ ∫ ⁼

1

1 1

S

z

g zdS gV

P ρ ρ

Napór na górną powierzchnię

⁼ ∫ ⁼

2

2 2

S

z

g zdS gV

P ρ ρ

Napór wypadkowy

^P

^{= P}

^{− P}

^{= − ρ g} ( ^V

^{− V}

) ^{= − ρ gV}

Ostatecznie wypór hydrostatyczny

W = − P

= ρ gV

Siła wyporu hydrostatycznego działająca na ciało zanurzone w płynie jest równa ciężarowi płynu wypartego przez to ciało. Linia działania siły wyporu przechodzi przez środek masy płynu

wypartego przez ciało, zwany środkiem wyporu.

Wyznaczenie linii działania siły wyporu.

Składowe głównego momentu siły wyporu

( ) ^{( )}

∫

∫

∫

∫

=

S V V V

z C C

y z

x dV g ydV gy V y P

y g z

z dV g yz

zdS ydS

z g

M ρ ρ ρ ρ ρ

2

∫

=

V

C ydV

y V1

współrzędna y środka objętości V

( )

( )

gdzie

( ) ( )

∫

∫

∫

∫

=

V

S V V

z x

y dV g xdV

z g xz

z dV g z

xdS zdS

z g

M ρ ρ ρ ρ

2

gdzie: ⁼

∫

V

C xdV

x V1

współrzędna x środka objętości V

Linia działania siły wyporu hydrostatycznego jest skierowana pionowo i przechodzi przez punkt o współrzędnych

x,

y

z C

CV x P

gx = −

−

= ρ

Przykład 1: Stożek o wysokości h wykonany z materiału o ciężarze właściwym pływa w cieczy wierzchołkiem w dół.

Obliczyć zanurzenie stożka jeżeli ciężar właściwy cieczy wynosi γ.

γ1

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy pole podstawy stożka , a pole wodnicy pływania , to siła ciężkości wynosi:

A

A

3 1

1 A h

γ

W A

z γ

3

= 1

γ Z warunku równowagi wynika: A

γ γ γ

γ₁ ¹

z h z

h A

h A z

z A h

A W

G = → = → =

Ponieważ:

2 2

z h A

A

z

h

=

3 1

γ h γ

z =

Stateczność ciał pływających

Stateczność ciała całkowicie zanurzonego

Równowaga trwała – środek wyporu znajduje się powyżej środka ciężkości – rysunek a) i b). Przy wychyleniu z położenia równowagi powstaje moment pary sił przywracający poprzednie położenie.

Równowaga nietrwała (chwiejna) – środek wyporu znajduje się poniżej środka ciężkości – rysunki c) i d). Przy wychyleniu z

położenia równowagi powstaje moment pary sił powiększający wychylenie.

Równowaga obojętna – rysunek e) – w dowolnym położeniu ciała siły wyporu i ciężkości równoważą się nie dając momentu ciała siły wyporu i ciężkości równoważą się nie dając momentu wpływającego na położenie ciała

Wniosek: w przypadku ciała całkowicie zanurzonego dla zapewnienia równowagi trwałej konieczne jest

umieszczenie środka wyporu powyżej środka ciężkości.

Stateczność ciała częściowo zanurzonego

Założenie: kąt przechyłu jest mały W przypadku ciała częściowo

zanurzonego przy przechyle środek wyporu zmienia swoje położenie.

Analiza stateczności polega na

określeniu położenia środka wyporu określeniu położenia środka wyporu po przechyleniu ciała o kąt φ

Moment przechylający: M₀ = Gasin

ϕ gV

G = ρ

ρ sin

0 gaV

M =

Moment prostujący (przywracający)

1

1

ydW

dM =

ϕ ρ sin

1

gydS

dW =

ϕ ρ

1 gy dS

dM =

∫

=

1

2

1 sin

S

dS y g

M ρ ϕ ⁼

∫

2

2

2 sin

S

dS y g

M ρ ϕ

ϕ ρ

ϕ

ρ ² =

= +

=

∫

po prawej stronie przechylonego obiektu

ϕ ρ

ϕ

ρ sin ² sin

2

1 x

S

gI dS

y g

M M

M = + =

∫

Definiuje się wysokość metacentryczną m (patrz rysunek):

ϕ ρ

ϕ

ρ

0 gI gaV

M

M − = _x −

V a m = I^x −

2

1 S

S S = +

Ix - moment bezwładności wodnicy - pole wodnicy

V – objętość części zanurzonej

Możliwe są trzy przypadki:

Wysokość metacentryczna jest dodatnia – równowaga trwała - przy wychyleniu z położenia równowagi powstaje przywracający moment pary sił.

Wysokość metacentryczna jest równa zeru – równowaga obojętna Wysokość metacentryczna jest ujemna – równowaga nietrwała (chwiejna) – przy wychyleniu z położenia równowagi powstaje (chwiejna) – przy wychyleniu z położenia równowagi powstaje moment pary sił pogłębiający wychylenie.

Wniosek: ciało częściowo zanurzone może znajdować się w równowadze trwałej nawet jeśli środek ciężkości znajduje się powyżej środka wyporu. Środek ciężkości może znajdować się tym wyżej im większy jest moment bezwładności wodnicy

(czyli im „szersze” jest ciało).

Przykład 2

Walec kołowy o promieniu podstawy R i wysokości H=2R pływa w położeniu pionowym (rysunek a). Środek ciężkości walca

pokrywa się z jego srodkiem geometrycznym. Dla jakiej głębokości zanurzenia h równowaga walca będzie trwała?

Przekrój pływania (wodnica) walca jest kołem, którego moment bezwładności wynosi:

4 R

I

π

=

Objętość wypartej przez walec cieczy wynosi:

h R V = π

Odległość pomiędzy środkiem ciężkości walca a środkiem wyporu wynosi:

2 2

2

R h h

a = H − = −

Podstawienie powyższych zależności do wzoru na wysokość metacentryczną prowadzi do:

2 4

2 h

h R a R

V

m = I^x − = − +

Co można przekształcić do postaci:

2

2 4 2

4mh = R − Rh + h

Wykresem tej funkcji jest parabola (rysunek b), której miejsca Wykresem tej funkcji jest parabola (rysunek b), której miejsca zerowe można wyznaczyć przyrównując prawą stronę do zera.

0 4

2 h

− Rh + R

=

Powyższe równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki:

R R

h 0 , 29

2 2 2

1

− ≈

= h R 1 , 7 R

2 2 2

2

+ ≈

=

Z wykresu na rysunku b wynika, że równowaga trwała walca występuje przy płytkim zanurzeniu spełniającym warunek:

R h < 0 , 29

oraz przy zanurzeniu głębokim:

R h > 1 , 7 R h > 1 , 7

Dla pośrednich zanurzeń walca równowaga jego jest nietrwała (chwiejna).