Siła spr ˛e˙zysta

Prawa ruchu: dynamika

Fizyka I (Mechanika)

Wykład IV:

• Siły spr ˛e˙zyste i opory ruchu

• Zasady dynamiki (przypomnienie)

• Równania ruchu

• Wi ˛ezy

• Prawa ruchu w układzie nieinercjalnym

Siła spr ˛e˙zysta

Prawo Hooke’a

Opisuje zale˙zno´s´c siły spr ˛e˙zystej od odkształcenia ciała:

∆ L L

S

F

F = E S ∆L L

E - moduł Younga [N/m²]

napr ˛e˙zenie odpowiadaj ˛ace dwukrotnemu wydłu˙zeniu

Prawo Hooke’a jest prawem empirycznym Jest słuszne tylko dla małych napr ˛e˙ze ´n.

granica proporcjonalno´sci ↑ (P r) granica wytrzymało´sci ↓

Cu: E = 1.2 · 10^{11 N}_m2

P r = 1.9 · 10^{8 N}_m2

P r ∼ 10⁻³ E

Siła spr ˛e˙zysta

Relaksacja

Prawo Hooke’a odnosi si ˛e do sytuacji statycznej.

Od momentu przyło˙zenia siły do osi ˛agni ˛ecia odpowiedniego odkształcenie mija sko ´nczony czas - czas relaksacji

podobnie gdy siła przestanie działa´c

Histereza

Przyło˙zenie du˙zej siły, nawet na krótki czas mo˙ze powodowa´c trwałe

odkształcenie

⇒ trzeba przyło˙zy´c sił ˛e przeciwnie skierowan ˛a

Tarcie

Tarcie kinetyczne

T

N R

v

Siła pojawiaj ˛aca si ˛e mi ˛edzy dwoma powierzchniami

poruszaj ˛acymi si ˛e wzgl ˛edem siebie, dociskanymi sił ˛a N.

Scisły opis sił tarcia jest bardzo skomplikowany.´

⇒ Prawo empiryczne:

T = −µ~ _k~i_v N ~i_v = ~v v Siła tarcia kinetycznego:

• jest proporcjonalna do ⊥ siły dociskaj ˛acej

• nie zale˙zy od powierzchni zetkni ˛ecia

• nie zale˙zy od pr ˛edko´sci

Prawo empiryczne ⇒ przybli˙zone !!!

Tarcie

Obraz mikroskopowy

Tarcie wywołane jest przez oddziaływanie elektromagnetyczne cz ˛astek stykaj ˛acych si ˛e ciał.

Powierzchnie nigdy nie s ˛a idealnie równe na poziomie mikroskopowym cz ˛astki

jednego ciała “blokuj ˛a drog ˛e” cz ˛astkom drugiego ciała

⇒ musz ˛a zosta´c “odepchni ˛ete”

wypolerowana mied´z ⇒

Tarcie

Zale˙zno´s´c od nacisku

Powierzchnia rzeczywistego (mikroskopowego) styku ciał jest w normalnych warunkach wiele rz ˛edów wielko´sci mniejsza ni˙z powierzchnia geometryczna:

siła ułamek

dociskaj ˛aca powierzchni 1 N/cm² 0.00001 2.5 N/cm² 0.000025

50 N/cm² 0.0005 250 N/cm² 0.0025 (płytki stalowe)

⇒ efektywna powierzchnia styku proporcjonalna do nacisku

⇒ liczba oddziaływa ´n na poziomie atomowym proporcjonalna do nacisku

Tarcie

Odst ˛epstwa od praw empirycznych

Przy du˙zych pr ˛edko´sciach mo˙ze si ˛e pojawi´c zale˙zno´s´c µ_k od pr ˛edko´sci v:

stal i mied´z

Przy bardzo du˙zych pr ˛edko´sciach mied´z ulega chwilowemy stopieniu...

Przy du˙zych siłach dociskaj ˛acych mog ˛a si ˛e pojawi´c odst ˛epstwa od zale˙znosci liniowej:

mied´z i mied˙z

Przy du˙zym nasisku zniszczeniu ulega warstwa tlenków na powierzchni miedzi...

Tarcie

Scieranie ´

Na poziomie mikroskopowym tarcie prowadzi trwałych zmian w stykaj ˛acych si ˛e powierzchniach.

Fragmenty miedzi przył ˛aczone do powierzchni stali:

Smarowanie

Tarcie zmniejszamy wprowadzaj ˛ac smar mi ˛edzy poruszaj ˛ace si ˛e powierzchnie.

Powierzchnie nie stykaj ˛a si ˛e ⇒ brak tarcia

⇒ pojawia si ˛e jednak nowa siła oporu zwi ˛azana z lepko´sci ˛a

Tarcie

Tarcie statyczne

T R

N mg

Ciało pozostaje w równowadze dzi ˛eki działaniu tarcia statycznego

Siła działaj ˛aca mi ˛edzy dwoma powierzchniami

nieruchomymi wzgl ˛edem siebie, dociskanymi sił ˛a N.

Maksymalna (!) siła tarcia statycznego T_S^max jest równa najmniejszej sile F jak ˛a nale˙zy przyło˙zy´c do ciała, aby ruszy´c je z miejsca.

Prawo empiryczne:

T~_S^max = −µ_s~i_F N ~i_F = F~ F

Tarcie

Tarcie statyczne

Póki przyło˙zona siła F~ jest mała, tarcie statyczne utrzymuje ciało w spoczynku:

T~_s = − ~F

⇒ siła tarcia ro´snie proporcjonalnie do przyło˙zonej siły.

Gdy przyło˙zona siła przekroczy warto´s´c T_S^max = µ_s · N ciało zaczyna si ˛e porusza´c ⇒ tarcie kinetyczne

T_s

Tarcie kinetyczne naogół słabsze od spoczynkowego: µ_k < µ_s

Tarcie

K ˛ at graniczny

R

Q T

α α

N

Jest to maksymalny k ˛at nachylenia równi, przy którym siła tarcia pozwala na utrzymanie go w równowadze. Z warunku równowagi:

T = Q sin α N = Q cos α

Z definicji współczynnika tarcia statycznego:

T_S^max = µ_S · N Otrzymujemy:

Q sin α_gr = µ_S · Q cos α_gr µ_S = tan α_gr

Tarcie

Współczynniki tarcia

Przykładowe współczynniki dla wybranych materiałów:

Hamowanie samochodu:

wa˙zne aby koła nie zacz ˛eły si ˛e ´slizga´c

• po´slizg ⇒ µ_k

• dobry kierowca lub ABS ⇒ µ_s

zysk ∼40% na drodze hamowania

Tarcie

Tarcie toczne

r µ

F

Q R

N

Tocz ˛ace si ˛e ciało odkształca zawsze powierzchni ˛e po której si ˛e toczy.

Poza tarciem statycznym i kinetycznym (po´slizgowym) mamy tarcie toczne:

T~_t = −µ_t~i_F N r

Współczynnik tarcia tocznego µ_t jest zwykle bardzo mały

Przykładowo:

• drewno + drewno ⇒ µ_t= 0,0005 m

• stal hartowana + stal ⇒ µ_t= 0,00001 m (wymiar długo´sci!)

I zasada dynamiki

Zasada bezwładno´sci

“Ka˙zde ciało trwa w swym stanie spoczynku lub ruchu prostoliniowego i jednostajnego, je´sli siły przyło˙zone nie zmuszaj˙z ciała do zmiany tego stanu.” I.Newton

Układ w którym obowi ˛azuje I zasada dynamiki nazywamy układem inercjalnym.

Je´sli istnieje jeden układ inercjalny to istnieje niesko ´nczenie wiele układów inercjalnych.

ka˙zdy inny układ poruszaj ˛acy si ˛e wzgl ˛edem niego z pr ˛edko´sci ˛a V = const~

Zasada bezwładno´sci jest równowa˙zna z postulatem:

Istnieje układ inercjalny

II zasada dynamiki

II prawo Newtona

“Zmiana ruchu jest proporcjonalna do przyło˙zonej siły poruszaj ˛ acej i odbywa si ˛e w kierunku prostej, wzdłu˙z której siła jest przyło˙zona”

Zmiana ruchu ciała (w układzie inercjalnym) jest zawsze wynikiem oddziaływania otoczenia (innych ciał).

Oddziaływanie to opisujemy ilo´sciowo wprowadzaj ˛ac poj ˛ecie siły Siła jest wielko´sci ˛a wektorow ˛a (kierunek zmiany ruchu)

Siły mo˙zemy porównywa´c ilo´sciowo niezale˙znie od ruchu ciał

naogół wykorzystujemy przy tym I zasad ˛e dynamiki (równowaga sił)

np. porównywanie ci ˛e˙zaru poprzez wa˙zenie ciał, pomiar siły dynamometrem...

III zasada dynamiki

Zasada akcji i reakcji

F

F = −F

“Ka˙zdemu działaniu towarzyszy równe i przeciwnie skierowane przeciwdziałanie.

Wzajemne oddziaływania dwóch ciał s ˛ a zawsze równe sobie

i skierowane przeciwnie.”

F ~ ₁₂ = − ~ F ₂₁

Zasady dynamiki

Przykład

Klocek na równi bez tarcia

R

Q

F

m

α α

N

Na klocek działaj ˛a siły ci ˛e˙zko´sci i reakcji równi:

F~_wyp = ~Q + ~R

W kierunku prostopadłym do powierzchni równi nie ma ruchu ⇒ nie ma przyspieszenia ⇒ siły równowa˙z ˛a si ˛e:

R = Q · cos α

Siła wypadkowa działa równolegle do równi:

F_wyp = Q · sin α

⇒ ma = mg · sin α a = g · sin α

Równania ruchu

Podstawowym zagadnieniem dynamiki jest rozwi ˛azywanie równa ´n ruchu, czyli okre´slanie ruchu ciała ze znajomo´sci działaj ˛acych na nie sił.

Posta´c ogólna

Siła działaj ˛aca na ciało mo˙ze zale˙ze´c od poło˙zenia i pr ˛edko´sci cz ˛astki oraz czasu F = ~~ F (~r, ~v, t)

⇒ równanie ruchu:

m d

~ r(t)

dt

= ~ F (~ r, ~ v, t)

Układ trzech równa ´n ró˙zniczkowych drugiego rz ˛edu m(^d_dt²₂^x, ^d_dt²₂^y, ^d_dt²₂^z) = (F_x, F_y, F_z) Ogólne rozwi ˛azanie ma sze´s´c stałych całkowania:

~r = ~r (t, C₁, C₂, . . . , C₆)

Równania ruchu

Warunki pocz ˛ atkowe

Aby ´sci´sle okre´sli´c ruch ciała musimy poza rozwi ˛azaniem równa ´n ruchu wyznaczy´c warto´sci wolnych parametrów (w ogólnym przypadku sze´sciu) Najcz ˛e´sciej dokonujemy tego okre´slaj ˛ac warunki pocz ˛atkowe:

~

r₀ = ~r (t₀)

~v₀ = ~v (t₀) t₀ ^{- wybrana  hwila po z¡tkowa}

W mechanice klasycznej obowi ˛ azuje “zasada przyczynowo´sci”

Je´sli znamy równania ruchu oraz dokładnie poznamy warunki pocz ˛atkowe mo˙zemy jednoznacznie okre´sli´c stan układu w przeszło´sci i w przyszło´sci.

Zachowanie obiektów mikro´swiata (np. cz ˛astek elementarnych) nie jest deterministyczne.

Granice stosowalno´sci mechaniki klasycznej okre´sla warto´s´c stałej Plancka h = 6.626 · 10⁻³⁴ J · s

Rówanania ruchu

Przykład

W ogólnym przypadku siła spr ˛e˙zysta mo˙ze by´c przedstawiona w postaci:

F = −k ~~ r

Siła centralna - działaj ˛aca zawsze w kierunku ´srodka układu

(zawsze mo˙zemy tak wybra´c), stara si ˛e przywróci´c ciało do poło˙zenia równowagi.

Równanie ruchu sprowadza si ˛e do postaci:

d²~r

dt² = −ω² ~r , ^gdzie: ω =

s k m

⇒ oscylator harmoniczny.

Ogólne rozwi ˛azanie równania ruchu:

~r(t) = A · cos ωt + ~~ B · sin ωt

Rówanania ruchu

Oscylator harmoniczny

Warto´sci A~ i B~ mo˙zemy wyznaczy´c z warunków pocz ˛atkowych:

~r₀ = ~r(0) = ~A

~v₀ = ~v(0) = ω ~B

⇒ ~r(t) = ~r₀ · cos ωt + ~v₀

ω · sin ωt

Ruch jest płaski, odbywa si ˛e w płaszczy´znie wyznaczonej przez ~r₀ i ~v₀. Torem ruchu w ogólnym przypadku jest elipsa.

W szczególnym przypadku torem ruchu mo˙ze by´c:

• odcinek, je´sli ~r₀||~v₀ (albo ~r₀ = 0 albo ~v₀ = 0)

• okr ˛ag, je´sli ~r₀ ⊥ ~v₀ i v₀ = ω · r₀

Równania ruchu

Do tej pory rozwa˙zali´smy ruch ciała, które mo˙ze si ˛e przemieszcza´c

bez ogranicze ´n w całej trójwymiarowej przestrzeni - trzy stopnie swobody: f=3.

W ka˙zdej chwili stan ciała opisuje sze´s´c parametrów (dwa wektory: ~r i ~v)

Wi ˛ezy

V

x

y z

W wielu przypadkach ruch ciała jest jednak ograniczony ⇒ cz ˛astka nieswobodna

⇐ powierzchnia wi ˛ezów

Ogólny warunek opisuj ˛acy powierzchnie:

h(x, y, z, t) = 0

⇒ dwa stopnie swobody f=2 cztery parametry pocz ˛atkowe

Równania ruchu

Wi ˛ezy

x

y z

V

⇐ krzywa wi ˛ezów

Krzyw ˛a w przestrzeni mo˙zemy opisa´c porzez dwa warunki:

h₁(x, y, z, t) = 0 h₂(x, y, z, t) = 0

⇒ jeden stopie ´n swobody f=1, dwa parametry pocz ˛atkowe

Do równania ruchu musimy wprowadzi´c dodatkow ˛a sił ˛e reakcji wi ˛ezów

m d

~ r(t)

dt

= ~ F (~ r, ~v, t) + F ~

gdzie: F (~~ r, ~v, t) - siły zewn ˛etrzne, F~_R - reakcja wi ˛ezów

Rówanania ruchu

Wi ˛ezy

Przy braku oporów ruchu (wi ˛ezy idealne) siła reakcji wi ˛ezów jest zawsze prostopadła do powierzchni lub krzywej wi ˛ezów.

Wi ˛ezy mog ˛a by´c stacjonarne

(skleronomiczne), niezale˙zne od czasu:

h(x, y, z) = 0

lub zale˙zne od czasu (reonomiczne):

h(x, y, z, t) = 0

Przykład

θ l

F=mg F_R

y z

V

Równania wi ˛ezów:

l² − x² − y² − z² = 0 ^{- sfera}

x = 0 ^- pªasz zyzna

Rówanania ruchu

Wahadło

θ l

F=mg F_R

y z

V

Warunki narzucone przez wi ˛ezy najłatwiej uwzgl ˛edni´c opisuj ˛ac poło˙zenie kulki przez k ˛at Θ:

y = l sin Θ z = −l cos Θ

O sile reakcji F_R(t) wiemy, ˙ze działa wzdłu˙z nici:

d²y

dt² = − F_R

m sin Θ d²z

dt² = −g + F_R

m cos Θ

⇒ przyspieszenie styczne nie zale˙zy od F_R: a_Θ ≡ cos Θ d²y

dt² + sin Θ d²z

dt² = −g · sin Θ

Rówanania ruchu

Wahadło

θ l

F=mg F_R

y z

V

W przybli˙zeniu małych k ˛atów (sin θ ≈ θ) otrzymujemy:

a_Θ = l d²Θ

dt² = −g · Θ

⇒ równanie oscylatora harmonicznego:

d²Θ

dt² = −g

l · Θ Cz ˛esto´s´c drga ´n:

ω =

rg l okres drga ´n:

T = 2π

sl g

Rówanania ruchu

Wahadło

Rozwi ˛azanie równania oscylatora harmonicznego:

Θ(t) = Θ₀ · cos(ωt)

Siła reakcji wyznaczona przez pod- stawienie rozwi ˛azania do równa- nia ruchu (w przybli˙zeniu małych k ˛atów):

F_R(Θ) = mg



1 + Θ²₀ − 3

2Θ²(t)



°] Θ [

−30 −20 −10 0 10 20 30

[mg] RF

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

Maksymalne wychylenie

° 30

° 20

° 10

Układ inercjalny

Zasada bezwładno´sci

“Ka˙zde ciało trwa w swym stanie spoczynku lub ruchu prostoliniowego i jednostajnego, je´sli siły przyło˙zone nie zmuszaj˙z ciała do zmiany tego stanu.” I.Newton

Układ odniesienia w którym spełniona jest zasada bezwładno´sci nazywamy układem inercjalnym

Zasada bezwładno´sci jest równowa˙zna z postulatem itnienia układu inercjalnego W układzie inercjalnym ruch ciała jest jednoznacznie zadany przez

działaj ˛ace na nie siły zewn ˛etrzne (równanie ruchu) + warunki pocz ˛atkowe m d²~r(t)

dt² = ~F (~r, ~v, t) + ~F_R

~r(t₀) = ~r₀ ~v(t₀) = ~v₀

Układy nieinercjalne

Opis ruchu

Wózek porusza si ˛e z przyspieszenien ~a wzgl ˛edem stołu

a

Z punktu widzenia obserwatora zwi ˛azanego ze stołem kulka pozostaje w spoczynku.

Wynika to z zasady bezwładno´sci - siły działaj ˛ace na kulk ˛e równowa˙z ˛a si ˛e

F = 0~ ⇔ ~a = 0

−a

Z punktu widzenia obserwatora zwi ˛azanego z wózkiem kulka porusza si ˛e z przyspieszeniem −~a

⇒ prawa Newtona nie s ˛a spełnione ! Oba układy nie mog ˛a by´c inercjalne.

Prawa ruchu w układzie nieinercjalnym wymagaj ˛a modyfikacji

Układy nieinercjalne

Prawa ruchu

Przyjmijmy, ˙ze układ O’ porusza si ˛e z przyspieszeniem wzgl ˛edem układu inercjalnego O.

Osie obu układów pozostaj ˛a cały czas równoległe (brak obrotów)!

Niech ~r_◦(t) opisuje poło˙zenie układu O’ w O. Przyspieszenie: ~a_◦ = ^d2~r◦

dt²

Poło˙zenie punktu materialnego mierzone w układach O i O’: (geometria)

~

r(t) = ~r ^′(t) + ~r_◦(t)

Poło˙zenie jest funkcj ˛a czasu t, który nie zale˙zy od układu odniesienia.

Przyspieszenie punktu materialnego mierzone w układach O i O’: (pochodna)

~a = ~a ^′ + ~a_◦

Przyspieszenie w ruchu wzgl ˛ednym układów decyduje o relacji mierzonych warto´sci przyspiesze ´n!

Układy nieinercjalne

Prawa ruchu

Prawa ruchu w układzie inercjalnym O:

m~a = ~F (~r, ~v, t) + ~F_R

Przyspieszenie mierzone w układzie O’ mo˙zemy teraz wyrazi´c przez przyspieszenie w układzie O:

m~a ^′ = m~a − m~a_◦

⇒ w układzie nieinercjalnym O’:

m~a ^′ = ~F (~r ^′, ~v ^′, t) + ~F_R − m~a_◦ W układzie nieinercjalnym mo˙zemy korzysta´c z równania ruchu, ale musimy uzupełni´c je o sił ˛e bezwładno´sci (siła pozorna)

F~_b = −m~a_◦

Układy nieinercjalne

Prawa ruchu

Wahadło w układzie nieinercjalnym poruszaj ˛acym si ˛e z przyspieszeniem

~a wzgl ˛edem układu inercjalnego

−a

Θ R

mg F

o

Oprócz siły ci ˛e˙zko´sci m~g i reakcji R~ musimy uwzgl ˛edni´c pozorn ˛a sił ˛e bezwładno´sci F~_b = −m~a_◦

Opis ruchu mo˙zna upro´sci´c wprowadzaj ˛ac efektywne przyspieszenie ziemskie:

~g ^′ = ~g − ~a_◦

siły bezwładno´sci ≡ siły grawitacji

⇒ odchylenie poło˙zenia równowagi:

tan θ = a_◦ g Przyspieszenie drga ´n:

ω^{′ 2} = g^′ l =

q

g² + a² l

Układy nieinercjalne

Prawa ruchu

Je´sli a_◦ ≪ g ⇒ w układzie poruszaj ˛acym si ˛e z przyspieszeniem ~a_◦ ⊥ ~g obserwujemy pozorn ˛a zmian ˛e kierunku działania siły ci ˛e˙zko´sci:

Ciecz w naczyniu:

~a = 0 ~a 6= 0

Balon z helem:

~a = 0 ~a 6= 0

Układy nieinercjalne

Równia

α −a

F

o

R mg

siły działaj ˛ace w układzie wózka

Wózek zsuwa si ˛e bez tarcia po równi pochyłej.

Zaniedbuj ˛ac ruch obrotowy kół przyspieszenie wózka:

a_◦ = g sin α

W układzie zwi ˛azanym z wózkiem działa- j ˛aca na wahadło siła bezwładno´sci jest równa co do warto´sci (lecz przeciwnie skierowana) równoległej składowej ci ˛e˙zaru.

Na wahadło działa pozorna siła ci ˛e˙zko´sci prostopadła do powierzchni równi.

g^′ = g_⊥ = g cos α < g

⇒ spowolnienie drga ´n

Układy nieinercjalne

Spadek swobodny

W układzie odniesienia poruszaj ˛acym si ˛e z przyspieszeniem ~a_◦||~g obserwujemy pozorn ˛a zmian ˛e warto´sci przyspieszenie grawitacyjnego:

~g ^′ = ~g − ~a_◦

W układzie zwi ˛azanym z ciałem spadaj ˛acym swobodnie ~a_◦ = ~g

~g ^′ = 0

⇒ stan niewa˙zko´sci

Egzamin

Przykładowe pytania testowe:

1. Dwa klocki o masach m1 = 2 m2 zsuwaj ˛a si ˛e z tej samej wysoko´sci po równi pochyłej. Stosunek ich pr ˛edko´sci na ko ´ncu równi v1/v2 wynosi

A 2 B 1/2 C 1 D 1/4

2. Na poziomie mikroskopowym proporcjonalno´s´c siły tarcia do siły nacisku wi ˛a˙ze si ˛e ze

A wzrostem rzeczywistej powierzchni styku B odkrztałceniem spr ˛e˙zystym powierzchni C zmniejszeniem odległo´sci mi ˛edzy atomami D silniejszym elektryzowaniem ciał

3. Ciało spoczywa na równi nachylonej pod k ˛atem α. Warto´s´c tarcia statycznego wynosi

A Q sin α B µsQ cos α C µsQ D µsQ sin α

4. Okres drga ´n wahadła w rakiecie, lec ˛acej pionowo blisko powierzchni Ziemi z przyspieszeniem~a 6= 0 jest taki sam jak w nieruchomej rakiecie. Wynika z tego, ˙ze

A ~a = −2 ~g B ~a = 2 ~g C ~a = −~g D ~a = ~g

Projekt współfinansowany ze ´srodków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego