Grondwatermechanica

Afdeling der Civiele Techniek

College b 90

GRONDWATERMECHANICA

1 uitgave

ongew. herctr.

1977 lt C ₁₉₇₉

Handleiding bij het college b90

GRONDWATERMECHANICA

A" Verruijt

Technische Hogeschool Delft

Afdeling der Civiele Techniek

3,--Inleiding

Deze handleiding bevat de stof behandeld in het college b90,

Grondwatermeclianica, van de Afdeling der Civiele Techniek van de Technische Hogeschool Delft.

Bij het college behoren drie oefeningen, waarvoor de opgaven zijn opge-nomen in Appendix C van deze handleiding.

Het tentamen wordt mondeling afgenomen. Afspraken kunnen worden gemaakt bij de secretaresse, Mej. E.M. Olsthoorn, kamer 2.33.

1. Basisbegrippen 1. 1 Wet van Darcy

1.2 Continuiteitsvergelijking

1.3 Differentiaalvergelijking van Laplace 1.4 Randvoorwaarden

2. Elementaire problemen

2.1 Volkomen spanningswater (confined aquifer)

2.2 Onvolkomen spanningswater (semi-confined aquifer) 2,3 Freatisch water (unconfined aquifer)

3, Systemen van putten

3,1 Superpositie

3,2 Spiegelbronnen

4.

De complexe rekenwijze

4.1 Potentiaal en stroomfunktie

4.2 Funk.ties van een complexe variabele

4.3

Toepassingen

5.

Benaderjngsmethoden 5,1 Vierkantennet 5,2 Differentie-methode

6.

Niet-stationaire stroming 6.1 Freatische berging 6.2 Elastische berging

7.

Analogons

7.

1 Elektrische analogon

7,2

Spleetmodel

Appendix A. Bessel funkties Appendix B. Literatuur Appendix

c.

Oefeningen

4

5

6

8 8 11 17 21 21 24 27 27 30

34

40

40

44

47

47

51 56 56 59 61

64

66

- 1

-1. Basisbegrippen

I'n dit hoofdstuk worden de basisvergeli.jkingen van de stationnaire stroming van een vloeistof door een onvervormbaar poreus medium beschreven. Later (in hoofdstuk

6)

zal worden ingegaan op de stroming van een vloeistof door een wel-vervormbaar poreus medium.

De basisvergelijkingen zijn opgebouwd uit twee delen: een algemeen principe, namelijk het beginsel van behoud van massa, en een bewegingsverge-lijking die op grond van experimenten is opgesteld: de zogenaamde wet van Darcy.

1.1 Wet van Darcy

Beschouwd wordt een poreus medium, waarvan de poriënruimte gevuld is met een zekere vloeistof. De dichtheid van de vloeistof is p, en de druk in de vloeistof is p. De vloeistof kan door de poriënruimte bewegen of in rust verkeren. In het laatste geval is de drukverdeling hydrostatisch: de druk neemt met de diepte toe, en wel is de toename van de druk met de diepte gelijk aan pg, als g de versnelling van de zwaartekracht is,

In een cartesisch assenstelsel (met de z-as vertikaal naar boven gericht) geldt dan:

ll2

= 0 ax geen stroming:

ll2

= 0 ay

l.12.

= -pg az (1.1.1)

Als de drukverdeling niet hydrostatisch is treedt er een stroming op. Uit experimenten is gebleken dat het verband tussen de stroomsnelheid en de afwijking van de druk.gradiënt van de hydrostatische verdeling lineair is. Voor een isotroop poreus materiaal wordt dit lineaire verband, de zogenaamde wet van Darcy, als volgt geschreven

qx

-

-

~~ _{µ ax}

~

- -

~lE.

µ ay (1.1.2)

Hierin ziJn q , q en q de componenten van de volumestroomdichtheid (ook wel

X y Z

genoemd: het specifike debiet, dat is de afvoer per eenheid van oppervlakte van het poreuze materiaal; ook wel filtersnelheid genoemd). De grootheidµ is de dynamische viskositeit van de vloeistof (voor water van 20°c is

µ = 1.01 x 10- 3 kg/m s), en de grootheid Kis een karakteristieke grootheid voor het poreuze materiaal, de zogenaamde (intrinsieke) doorlatendheid.

De dimensie van Kis m2 . Men kan bewijzen (zie b.v. Lamb, Hydro-dynamics, par. 331) dat voor de laminaire stroming van een viskeuze vloeistof door een lange rechte buis met een uniforme cirkelvormige doorsnede de wet van Darcy exakt geldt, met

waarin R de straal van de buis is. Dit leidt tot de formule van Poiseuille (voor een horizontale buis: Q

=

n R2 q

= -

(n R4/8µ)),waarmee de wet van Darcy dus in overeenstemming is.

Voor een materiaal als grond, met onregelmatiGe poriën, kan geen goede uitdrukking voor de doorlatendheid worden gegeven. Wel kan verwacht worden dat K ongeveer evenredig zal zijn met d2 , als d de effektieve poriëndiameter

is (bijvoorbeeld gedefinieerd als 6/M, waarin M het specifieke oppervlak is, dat is het totale oppervlak per eenheid van volume). In de literatuur vindt men vele formules, allen ongeveer van de vorm van die van Kozeny-Carman,

n3

- - - - a2

( 1-n) 2

waarin n de porositeit is. Voor de konstante c worden waarden omstreeks 0.005 geciteerd. De waarde van dit soort formules is gering omdat de onzekerheid in de konstante groot is. Bovendien is een direkte experimentele bepaling van de doorlatendheid eenvoudig.

Voor een homogene, onsamendrukbare vloeistof geldt dat het soortelijk gewicht pg konstant is.

Dan kan men de wet van Darcy ook schrijven als é) cp qx = - k élx = - k ëlcp ~ ëly d cp qz = - k

h

(1.1.3)

waarin k de doorlatendheidscoëfficiënt is (ook wel hydraulische geleidbaarheid genoemd),

K = .!'.:..J2.& = ~

3

-(~ is de kinematische viskositeit, v =

µ/p);

en waarin 4> de stijghoogte is, 4> = z + ...E..

pg ( 1. 1.5)

De doorlatendheidscoëffic:i.ënt k hangt af van de grond (door de afhankelijk-heid van K) en van de vloeistof (door de afhankelijkheid van de kinematische viskositeit v). De stijghoogte kan men meten met behulp van een stijgbuis

(zie fig. 1). De stijghoogte in een bepaald punt is gelijk aan de plaats-hoogte plus de drukplaats-hoogte.

p/p~ 1 1 4> z

~

z X - - - - referent.ie-vlak (b.v. HAP)

fig. 1. Stijghoogte= plaatshoogte+ drukhoogte

De gemiddelde snelheid van de vloeistofdeeltjes is de afvoer per eenheid van oppervlakte van het water alleen.

Omdat dit oppervlak een faktor n kleiner is dan het totale grondoppervlak van een elementair vlakje is het verband met de volumestroomdichtheid

-+ -+

V = q/n

De werkelijke snelheid is vooral van belang als men geïnteresseerd is in de weg die een bepaald waterdeeltje als funktie van de tijd aflegt. Voor vele civiel-technische problemen is de volumestroomdichtheid meer van belang.

1.2 Continuiteitsvergelijking

Als de stroming stationair (onafhankelijk van de tijd} is moet op grond van het principe van )ehoud van massa de totale massastroom uit elk in de ruimte gefixeerd volume nul zijn. Een beschouwing van deze balansvergelijking voor een elementair blokje (zie fig. 2) geeft

z

l

a(p~

-->

1 :]llo pqy +

ait-

(

tiy) + •.• 1 / / / / } - - - . . > - - - - Y / tw / 1 -x

fig. 2. Behoud van massa

a(pqz}

+ - - - = O

az

(1.2.1)

Als de dichtheid van de vloeistof een konstante is (vloeistof homogeen en onsamendrukbaar) reduceert (1.2.1) tot

+ ~

ay

aq

+ ~ = 0

az

(1.2.2)

Dit is de continuiteitsvergelijking voor stationnaire stroming van een vloei-stof met konstante dichtheid. Indien niet uitdrukkelijk anders vermeld zal in het vervolg steeds worden aangenomen dat de dichtheid van de vloeistof konstant is, en dat de stroming stationnair is.

5

-1.3 Differentiaalvergelijking van Laplace

Substitutie van de wet van Darcy (1.1.3) in de continuiteitsvergelijking (1.2.2) geeft als fundamentele differentiaalvergelijking voor stationnaire grondwaterstroming

~

(k ~) + --1._ (k ~) + --1._ (k ~) = 0

dX dX 3y 3y dZ dZ (. 1 . 3. 1)

Als de doorlatendheidscoëfficiënt k konstant is (homogene grond) reduceert deze vergelijking tot

32~ + a2d> + 32d> =

W

ay'T

W

O ( 1.3.2)

Men schrijft dit vaak in verkorte vorm als

'i]2~ = 0 (1.3,3)

1.4

Randvoorwaarden

Bij de differentiaalvergelijking (1.3.2)~ of de meer algemene vorm

(1,3,1)

behoren nog randvoorwaarden gegeven te zijn om een eenduidige oplos-sing te garanderen.

Veel voorkomende randvoorwaarden zijn de twee volgende typen:

1. Gegeven stijghoogte

In dit geval is langs de rand de stijghoogte overal gegeven. Wiskundigen spreken dan van een Dirichlet-probleem. De mathematische formulering van de randvoorwaarde is

~ = f, op S

waarin f een op S gegeven funktie voorstelt.

2. Gegeven volumestroomdichtheid

In dit geval is de volumestroomdichtheid door het oppervlak overal gegeven.

+

Als de richting van de (uitwendige) normaal op het oppervlak met n wordt aangegeven (zie fig. 3) dan is de component

'\i

van de volumestroomdichtheid

z 1

l0

.,L--··---

..

. , . fig.

3

X

gegeven. De mathematische formulering van de randvoorwaarde is in dit geval, met behulp van de wet van Darcy,

op S

waarin geen op S gegeven funktie is. Men spreekt in dit geval van een Neumann-probleem.

7

-3. Gemengde randvoorwaarden

Meestal is langs een deel van de rand de stijghoogte gegeven, en elders de volumestroomdichtheid door het oppervlak. Men spreekt dan van een gemengd~

l

randvoorwaarde-probleem (of Hilbert-probleem). De mathematische formulering van de randvoorwaarde is dan

~ = f, op 81

-k ~ = _{g, op 82}

dn

waarin S1 en S2 tezamen het gehele oppervlak van het beschouwde gebied vormen, en f gegeven lS op S1 eng op 82 ,

Men kan bewijzen dat (onder zekere regulariteitskondities) de differenti-aalvergelijking (1.3.1) met een van de drie hierboven genoemde randvoorwaarden juist één oplossing heeft, mits de doorlatendheidscoëfficiënt k overal bekend is. Het vinden van die oplossing is in het algemeen een moeilijke zaak, In veel gevallen is het mogelijk de werkelijkheid aanzienlijk te schematiseren, en redelijke veronderstellingen te doen omtrent het te verwachten gedrag van de oplossing. Daardoor worden de problemen vaak wiskundig veel eenvoudiger: van de drie onafhankelijke veranderlijken x, yen z blijven er vaak maar een of twee over. Vele voorbeelden hiervan worden in de volgende hoofdstukken gegeven.

2. Elementaire problemen

In dit hoofdstuk wordt aandacht besteed aan een aantal belangrijke elementaire problemen. In alle gevallen betreft het stroming in een goed doorlatende laag (b.v. een zandlaag) waarin de vertikale snelheidscomponent veel kleiner is dan de componenten in het horizontale vlak. In dergelijke gevallen is het mogelijk het probleem zodanig te schematiseren dat de veran-deringen van de stijghoogte in vertikale richting verwaarloosd worden. Men moet er daarbij wel goed op letten dat in het geschematiseerde probleem het principe van behoud van massa geen geweld wordt aangedaan.

2.1 Volkomen spanningswater (Confined aquifer)

In het geval van een goed doorlatende watervoerende laag (een zandlaag) van konstante dikte opgesloten tussen twee ondoorlatende lagen kan men de stroming loodrecht op het vlak van de laag verwaarlozen, zie fig.

4.

De dif-ferentiaalvergelijking

(1.3,2)

wordt dan, omdat a2$/az2 = O,

a2<P a2<P ;-::-z-+-;:;:-:7=0

_ax

ay

(2.1.1)

,, '/'v~<",,,,~X~&<Y'<VVV:~ /';,.r·_,<'/ .. / J J ' L ~ J ' : ' Y L X ~ ; ; ;

.·

...

·

.

. .

.

. . . .

.

.

.

.

..

:

:

·.·. :

.·

... .

fig.

4

Als ook nog bekend is, uit de vorm van het gebied en de daarbij behorende randvoorwaarden, dat de stroming in de laag slechts in één richting plaats kan vinden, reduceert

(2.1.1)

nog tot

f!

= 0

dx

(2.1.2)

Deze vergelijking is van toepassing op het geval van een pakket bestaande uit een zandlaag opgesloten tussen twee ondoorlatende lagen, als het pakket doorsneden wordt door twee lange rechte kanalen met verschillend peil (fig. 5),

9

-l

fig. 5

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking (2.1.2) is <j>=Ax+B

hetgeen betekent dat de stijghoogte lineair met de afstand verloopt. De konstanten A en B kan men bepalen uit de randvoorwaarden:

x

=

0: </>

=

H1

x = 1: <j> = H2

De oplossing van het probleem wordt dan

(2.1.3) Men spreekt in problemen van dit type van spanningswater omdat overal in de watervoerende laag in het water een zekere overdruk heerst (ten opzichte van de atmosferische druk). In Engelstalige literatuur spreekt men van een confined aquifer, of ook wel van een artesian aquifer.

In latere hoofdstukken zal worden ingegaan op min of meer algemene

oplossingsmethoden voor de tweedimensionale differentiaalvergelijking (2.1.1). Hieronder wordt alleen een elementair voorbeeld gegeven.

Voorbeeld: Radiale stroming naar put

In het geval van radiale stroming naar een put in een cirkelvormig

eiland, omringd door een meer met konstante waterstand <j> (zie fig.

6)

is het 0

zinvol in plaats van cartesische coördinaten pool-coördinaten in te voeren .

.. o,.___

, ... ...._ ... _ _.._. -... , 1 • • • • • 1

1,

-·''

De d~fferentiaalvergelijking

a2<t>

a2<t>

-~+äyT-0

wordt, met X = r COS 8, y = r sin 6 omgezet in

Omdat vanwege de radiale symmetrie

a~/ae

=

O

reduceert deze vergelijking tot

(2.1.4)

(2.1.5)

De algemene oplossing van deze gewone differentiaalvergelijking is

~ = A ln r + B (2.1.6)

De konstanten A en B moeten uit de randvoorwaarden bepaald worden. Deze zijn

r = R r = r w ~ = ~ 0 27îrHq r = -Q 0 _{ZîîrH -}

y__

-r;, r . _cl'f

~

-=-_'2..--WL<.t1

~

-:::o

A -

_- Q" i Ti h H

Hierin is r de straal van het filter, en Q

W 0 is de produktie van de put. Men

vindt nu

B = ~o - A ln R

A = Q /(27îkH) 0

De uiteindelijke oplossing wordt

Qo

~ = et>

0 + 21fkH ln(r/R)

Dit is een erg belangrijke elementaire komen zal worden.

1""""'"'

r'::. ... _•

ol,11

_{:.l"-::.'f'·-:;;A} A Y.: L..

<"'-v.l

w L--r-' ~~

Il'\

rJt

<

o

oplossing, waar Ó.' (" (2.1.7) later nog op

terugge-- 11

-2.2 Onvolkomen spanningswater (Semi-confined aguifer)

In

sommige gevallen van een zandlaag opgesloten tussen slecht doorlatende

lagen is het niet verantwoord de afdek.kende lagen als volkomen doorlatend te beschouwen, Dit kan bijvoorbeeld het geval zijn als het een heel dunne klei-laag betreft die de zandklei-laag scheidt van een andere zandklei-laag (fig.

7).

Men spreekt dan van onvolkomen spanningswater (Engels: semi-confined aquifer, leaky artesian aquifer).

T _{. ,f .}

.. ·.

fig. 7

Gesteld wordt dat in de bovenste zandlaag de grondwaterstand konstant is en blijft. (konstant polderpeil), Als in de onderste zandlaag de stijghoogte~ niet overeen komt met dit polderpeil .zal er door de kleilaag een vertikale stroming kunnen optreden, Ook al kan men in veel gevallen de stroming in de onderste zandlaag (waaruit bijvoorbeeld drinkwater gewonnen wordt) wel als voornamelijk horizontaal beschouwen, men zal wel rekening moeten houden met de bijdrage van de kwel door de kleilaag.

Er zijn twee methoden om de geschematiseerde differentiaalvergelijking voor dit geval af te leiden.

Bij de eerste methode gaat men uit van de aanname dat de stijghoogte~ in de zandlaag onafhankelijk is van de vertikale coördinaat z, en beschouwt dan de continuïteit voor een elementje met afmetingen dx en dy in het hori-zontale vlak, en een hoogte H (fig.

8)

X

,,---····

1 1

f---;-~~-1 1

tfl __

,I / 1

~

; --- :J fig. 8 De continuiteitsvergelijking voor dit elementje is

_l__ (Hq ) + _l__ (Hq _ _) - L = 0

ax

x

ay

-y

waarin L de kwel (Engels: leakage) is.

Hiervoor geldt, met de wet van Darcy voor de kleilaag, L = k'

4>1 - q>

d

(2.2.1)

(2.2.2)

waarin k' de doorlatendheid van klei is, end de dikte van de kleilaag. Verder is 4>1 de stijghoogte in de bovenste zandlaag (zie ook fig. 5), Met behulp van de wet van Darcy in de

x-

en y-richtingen wordt

(2,2.1),

als ken H konstant zijn,

kH ( ~ + ~ ) -

p -

pi

= 0

ax

ay

c

(2.2.3)

Hierin is c een nieuw-ingevoerde konstante, die volgens

(2.2.2)

gelijk is aan d/k'

C = d/k1

(2.2.4)

Men noemt dit de weerstand van de kleilaag,

Vergelijkt men

(2.2.3)

met de algemene differentiaalvergelijking

(1,3,2)

dan ziet men dat de term

a

2qi/3z 2 vervangen is door een term -(qi - 4> 1 )/kllc, Dit is natuurlijk een grote simplificatie, omdat er een tweede afgeleide verdwenen

is. Om het verband tussen de algemene differentiaalvergelijking

(1.3,2)

en de

hier gevonden benadering

(2.2,3)

te legg~n is het zinvol nog een andere aflei-ding van

(2.2.3)

te bekijken.

Bij deze tweede methode gaat men uit van de algemene differentiaalverge-lijking

8

2 32d) c32,i,

- + ~ + 'Y=O

- 13

-Ingevoerd wordt nu de over de hoogte gemiddelde stijghoogte~' H

~(x, y) =

½

f

~(x, y, z) dz 0

Omdat H konstant verondersteld wordt geldt nu

H a2~ =

l

f

a2<1>

W

H Wdz 0 H

a

2

~

=

l

f ,

g

dz ay H ay 0

(2.2.6)

Vermenigvuldigt men vergelijking

(2,2,5)

met dz/H en integreert men dan van o tot H, dan vindt men

De laatste term is nul omdat de zandlaag aan de onderkant begrensd wordt door ~

een ondoorlatende laag. De derde term kan uitgedrukt worden in de kwel,

{q } =

..l!...

kH z z=H kH

Met behulp van

(2.2.2)

verkrijgt men nu kH ( a2~ + a2~) -

i:h

= o

ax ay c

(2.2.7)

Hierin is~ de stijghoogte aan de bovenkant van de zandlaag, en~ (zoals

gesteld) de gemiddelde stijghoogte. In vergelijking

(2.2,3)

zijn deze twee

waarden blijkbaar aan elkaar gelijk. Dat zal in vele gevallen een toelaatbare aanname zijn.

Voorbeeld 1: Kwel in half-oneindige polder

In het geval van een zeer grote polder begrensd door een zeer lang recht kanaal kan men de stroming evenwijdig aan het kanaal verwaarlozen (fig.

9)

('. i .

~T~-1--V----c--~

. .

()

. lil

i

t>: . .

™

0XxX\x~~

- - x

In dit geval is in de differentiaalvergelijking (2.2.3) de term

a

2

~/ay

2 ver-waarloosbaar. Men krijgt dan

waarin À de zogenaamde lekfaktor is (leakage factor),

À2 = kHc

De randvoorwaarden zijn

X = 0

X -+ oo

De algemene oplossing van (2.2.8) is

~ = <b1 + A exp (x/À) + B exp (-x/À)

(2.2.8)

(2.2.9)

Met behulp van de randvoorwaarden kan men de konstanten A en B bepalen. De uit-eindelijke oplossing is dan

<b = <b1 + (<J> - ~1) exp (-x/À)

0 (2.2.10)

De lekfactor À, die een karakteristieke grootheid voor het pakket is, bepaalt in feite over welke breedte het kanaal de stijghoogte in de diepe laag doet afwijken van het polderpeil.

Opgave: Teken het verloop van de stijghoogte volgens (2,2.10). Bereken ook de totale kwel vanuit het kanaal naar de polder, als de lengte van het kanaal L is ( L » À).

Voorbeeld 2: Radiale stroming naar put

In het geval van een put in een diepe zandlaag die gevoed wordt vanuit een andere zandlaag waarin de stijghoogte konstant is (fig. 10) is het weer zinvol poolcoördinaten te gebruiken,

, - - - - ; i i . , . Q 0

---~-c---

-·-_;.--=-. - - - · --·--'-... .,,,,..,,.,.,,. -...

,

... ; ' 11 l 1 · 11. . . Il

De differentiaalvergelijking (2.2,3) wordt dan

g

+

..!. .M -

<b-<I>, = 0

dr r dr ~

fig. 10

15

-met als randvoorwaarden

r = rw 2nrH4r=

-Q

₀

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking (2.2.1) is

~ = ~l +AI (r/À) + B K (r/À)

0 0 (.2. 2. 12)

waarin I (x) en K (x) de gemodificeerde Bessel-funkties van de nulde orde en

0 0

de eerste en tweede soort zijn (zie Appendix-1).

Met behulp van de randvoorwaarden kan men de konstanten A en B bepalen. De oplossing wordt dan

(2.2.13)

In het algemeen is de lekfaktor À zeer groot ten opzichte van de straal r w van het filter. Dan kan men de Bessel-funktie K

1(rw/À) benaderen door de eerste term van zijn reeksontwikkeling, De formule wordt dan

~

= ~l -

..JkL.

K (r/À)

2nkH o (2.2.14)

Met behulp van een tabel of een grafiek voor de Bessel-funktie K (x) kan men 0

nu eenvoudig de stijghoogte op een afstand r van de put berekenen. In de tabellen (zie Appendix-1, of bijvoorbeeld Abramowitz

&

Stegun, Handboek of Mathematical Functions) vindt men meestal geen waarden voor kleine waarden van de veranderlijke (in (2.2.14) is dat r/À).

Voor kleine waarden van r/À is het daarom nodig ook de Bessel-funktie Ko te benaderen, bijvoorbeeld door de eerste term van zijn reeksontwikkeling. Dit geeft

r << À _~

-

..JkL.

(

r )

- ~l + 2nkH ln 1.123À (2.2.15)

Dicht bij de put is het gedrag van de stijghoogte dus weer volgens een logaritme, zie ook (2.1.7).

..Qi>gave: Geef een formule voor de totale kwel vanuit een cirkelvormige ring-vaart naar de omsloten polder, als bekend is dat de laagopbouw van de grond

f--- -- ---

2H

fig. 11

in de polder is zoals aangegeven in fig. 11, dat de hoogte van het water in de ringvaart ~o is, en dat de stijghoogte in de bovenste zandlaag ~l is.

/

17

-~.3

Freatisch water (Unconfined aquifer)

Een klasse van belangrijke problemen wordt gevormd door die waarbij de grondwaterstroming plaats vindt in een goed doorlatende laag die aan de onder-zijde begrensd wordt door een ondoorlatende laag, en waarbij aan de bovenonder-zijde geen afdekking aanwezig is, zodat er een zogenaamde vrije grondwaterspiegel is. Eieronder verstaat men het (geschematiseerde) grensvlak tussen lucht. en water in de grond. In werkelijkheid is er steeds een min of meer geleidelijke over-gang, waarbij de verzadigingsgraad (het relatieve poriënvolume gevuld met water) verloopt van 1 in de verzadigde zone tot een zeer lage waarde bovenin de grond. De grondwaterspiegel is dus niet goed te definiëren.

Wel goed te definiëren is het zogenaamde freatisch vlak, dat is het vlak waar de druk in het grondwater gelijk is aan de atmosferische druk (omdat die druk meestal als referentie-druk wordt genomen is dan p = 0). Door capillaire ver-schijnselen ligt de grondwaterspiegel altijd hoger dan het freatisch vlak .. Ter vereenvoudiging zal hier de capillaire opstijging verwaarloosd worden, zodat de __ grondwaterspiegel geacht kan worden samen te vallen met het freatisch vlak.

Voor problemen met een vriJe grondwaterspiegel is een speciale oplos-methode ontwikkeld (door Dupuit), die. zich het gemakkelijkst laat illustreren aan de hand van een eenvoudig voorbeeld (fig. 12).

1 • .

fig. 12

Het voorbeeld heeft betrekking op de stroming door een strook land (met een zeer grote lengte in de richting loodrecht op het papier), begrensd door twee kanalen met verschillende waterstand.

In het algemeen zal de breedte b van de strook zeer veel groter ziJn dan het verval (H1 - H_{2 ).} Dan lijkt het redelijk te veronderstellen dat in een vertikale doorsnede de stijghoogte konstant is (aanname van Dupuit). Omdat ter plaatse van het freatisch vlak de druk nul is, is de stijghoogte daar gelijk aan de plaatshoogte, en dus geldt nu overal, althans bij benadering,

Op grond van de wet van Darcy is nu

(2.3.2)

Het totale debiet door een doorsnede ter hoogte hen met een breedte b (lood-recht op het papier) is nu

Q = b h

~

= - k b h :

(2,3,3)

Op g:rond van continuïteit is dit een konstante, dat wil zeggen dQ/dx = O, en dus

~ (h dh) = 0

dx dx

(2.3.4)

Dit is een niet-lineaire differentiaalvergelijking. Dupuit zag in dat deze vergelijking eenvoudig is op te lossen door h2 als afhankelijk veranderlijke te beschouwen in plaats van h. Met vergelijking

(2.3.4)

is immers equivalent de vergelijking

d2(h2)

=

0

dx2

De algemene oplossing hiervan J.S

h2

=

Ax Met behulp van

X = 0

X = 1

krijgt men dan de + B randvoorwaarden

(2,3,5)

(2.3.6)

(2,3,7)

Deze formule geeft het verloop van het freatisch vlak, dat een parabool blijkt

te ZJ.Jn,

Het totale debiet vindt men met behulp van

(2,3,3),

die men ook kan schrijven als Q

=

-

1 2 k b d(h2 ) _dx Dit geeft k b (H12

-

H72)

(2.3.8)

Q

=

2 1

Men noemt dit de formule van Dupuit. Merkwaardig is dat deze formule welis-waar is afgeleid onder verwelis-waarlozing van.de afhankelijkheid van de stijghoogte van de vertikale coördinaat, maar dat zij toch exakt geldig is. Voor een

exakte afleiding (voor het eerst gegeven door Charny in 1951) zie men bij-voorbeeld Bear, Dynamics of fluids in poreus media, pag.

367.

19

-Voor het meer algemene geval van stromïng in twee richtingen, en met een infiltratie N (door regenval) kan men op analoge wijze een benaderingsverge-lijking afleiden. Dit gaat als volgt. Men stelt allereerst weer dat de stijg-hoogte overal gelijk is aan de stijg-hoogte van het freatisch vlak,

<t,(x, y, z) = h(x, y) (2,3,9)

Met Darcy geldt dan k êJh dX q__ = - k êJh ---Y

ay

(2.3.10) en de continuiteitsvergelijking is nu

/x (

h qx ) +

a: (

h qy ) - N = 0 (2,3.11)

Met behulp van (2.3.10) wordt dit, als de doorlatendheid k konstant is, k _l_ ( h é3h ) + k _l_ ( h é3h ) + N = 0

ax

~

ay

ay

Voert men weer h 2 als variabele in dan wordt de vergelijking lineair in h 2 , (2,3, 12) Bij wiJze van voorbeeld wordt het geval van een put in een cirkelvormig eiland bekeken (fig. 13)

H

' . . . 1 1,

2R

fig. 13 In dit geval is het, in verband met de radiale symmetrie, weer zinvol pool-coördinaten in te voeren. De differentiaalvergelijking (2,3.12) wordt, omdat h alleen een funktie van de radiale coördinaat ris, als er geen infiltratie

is (N=O),

d2(h2) 1 d(h 2 )

=

0

d'P

+ -r dr (2.3.13)

De algemene oplossing hiervan is

De randvoorwaarden zijn

h

=

H

r = R : r = r :

w

2wrh~

= -

Q

0

Na bepaling van de konstanten A en Buit de randvoorwaarden wordt de uiteinde-lijke oplossing

(2,3,15) Van deze oplossing van een belangrijk basisprobleem zal later nog gebruik

'

gemaakt worden om meer ingewikkelde problemen op te lossen.

Opgave: In veel gevallen brengt men rondom de filterbuis een omstorting van grind aan. Bereken het verloop van de stijghoogte in een dergelijk geval als de straal van het filter r is, de straal van de omstorting r is, en R de

w

g

21

-3, Systemen van putten

In dit hoofdstuk worden enige algemene principes behandeld waarmee men bepaalde problemen (die betrekking hebben op systemen van putten in gebieden van eenvoudige vorm) kan oplossen.

3.1. Superpositie

Zoals uit de wiskunde bekend is geldt voor lineaire homogene differenti-aalvergelijkingen het superpositie-principe: de som van twee oplossingen is zelf weer een oplossing, Hiervan kan men met vrucht gebruik maken door oplos-singen die ieder voor zich zekere karakteristieken hebben bij elkaar op te tellen. De som bezit dan de eigenschappen van alle samenstellende delen, en met enige handigheid is het vaak mogelijk de basis-oplossingen zodanig te kiezen, dat aan alle randvoorwaarden van het uiteindelijk op te lossen pro-bleem voldaan wordt.

Voorbeeld 1: Systeem van n putten nabij het centrum van een ongeveer cirkel-vormig eiland, met volkomen spanningswater (fig. 14).

\

\

\

y

In dit geval is de differentiaalvergelijking a2<1> a2<1>

-w

+

äyT -

0 X / / fig. 14 (3,3, 1) De randvoorwaarde aan de buitenrand (die geacht wordt zeer ver weg te liggen)

lS

De randvoorwaarden aan de rand van het filter van put nummer j (die een pro-ductie Q. heeft, en zich bevindt in het punt x

=

x., y

=

y.) kan het best

J J J

uitgedrukt worden met behulp van lokale poolcoördinaten rondom die put, Stelt men

r . = / {(x - x.)2 + (y - y.)2}

J J J (3, 1 ,3)

dan is de randvoorwaarde ter plaatse van put numme~ j (als de straal van het filter verwaarloosbaar klein is)

r.=

O :

J 2Tir,Hq J r.

J

- - Q.

J (3, 1.4)

Een dergelijke randvoorwaarde geldt voor iedere put.

De oplossing van het probleem kan men verkrijgen door superpositie van elementaire oplossingen van het type behandeld in paragraaf 2.1, zie formule (2.1.7), Deze oplossing is 1 n ~ = ~o + 2nkH t j=1

Q.

ln

(r./R)

J J (3, 1.5)

Deze oplossing bestaat uit een term voor de buitenrandvoorwaarde en n termen voor de putten. Dat dit inderdaad de goede oplossing is. kan men uiteraard nagaan door substitutie in (3,1,1), (3,1,2) en (3,1,4). Dat is echter veel werk, en gedeeltelijk onnodig, Men kan ook als volgt redeneren.

Dat (3.1,5) aan(3.1,1) voldoet is een direkt gevolg van het superpositie-principe. Aan (3,1,2) wordt voldaan doordat op de buitenrand de waarden van de grootheden r. alle praktisch gelijk aan R worden (de putten bevinden zich

J

dicht bij het centrum van het eiland) en de logaritmen dus allemaal praktisch nul worden. Dat aan (3,1,4) voldaan wordt volgt tenslotte uit de omstandighe-den dat de je term een produktie Qj geeft ter plaatse x = xj' y = yj, en alle anderen - 1 termen daar ter plaatse aan de continuiteitsvergelijking voldoen (en dus geen bijdrage leveren tot de putopbrengst).

De hier geschetste procedure kan ook gebruikt worden voor een aantal andere problemen van systemen van putten. Men dient daarbij wel steeds achter-af na te gaan of inderdaad aan alle te stellen voorwaarden voldaan wordt. Speciaal de buitenrandvoorwaarde en een eventueel benodigde partikuliere oplossing (als de differentiaalvergelijking niet homogeen is) verdienen de aandacht.

23

-Voorbeeld 2: Systeem van n putten in een onèindig uitgestrekte laag met onvol-komen spanningswater (semi-confined aquifer; fig. 15),

-:--.--.. ..:.... ... . . '\ . 1 1 ...

! . .

1 : : 1 1. . . ·. 1 1 ... . · . · ·, 1 . ï ~ ·. '1>, 11 . · . 11 · · . . · . fig. 15

Voor dit geval vindt men de oplossing door superpositie van elementaire oplos-singen van de vorm (2.2,14).De oplossing is

n

~ = ~l - k E Q. K

(r./À)

2n H j=₁ J o J (3, 1.6)

Men kan eenvoudig nagaan dat deze uitdrukking aan alle te stellen eisen vol-doet (op het oneindige is bijvoorbeeld~= ~_{1 )} en dus de korrekte oplossing is.

Voorbeeld 3: Systeem van n putten nabij het centrum van een ongeveer cirkel-vormig eiland, met freatisch water.

In dit geval is de oplossing, uitgaande van de elementaire oplossing (2.3.15),

n

h2 = H2 + E Q. ln (r./R)

nk j= 1 J J (3,1.7)

Hierin heeft r. dezelfde betekenis als in het eerste voorbeeld, zie (3,1,3) en

J

fig. 14, het is de afstand tussen het punt waar de hoogte van de grondwater-spiegel moet worden berekend en het punt waar de je put staat,

3,2 Spiegelbronnen

Men kan het principe van superpositie ook gebruiken om problemen van grondwaterstroming naar putten in gebieden van andere vorm dan een oneindig of bijna oneindig vlak op te lossen. Eenvoudige voorbeelden hiervan zijn ge-bieden begrensd door een recht kanaal of een rechte ondoorlatende rand. Voorbeeld 1: Put nabij recht kanaal 1.n laag met volkomen spanningswater

(confined aquifer, fig. 16).

y

fig. 16 De wiskundige formulering van het probleem van de bepaling van de stijghoogte

~ in het rechterhalfvlak x > 0 is, als de waterstand in het kanaal onverander-lijk~ is, als volgt.

0

De differentiaalverg·elijking waaraan de stijghoogte in het halfvlak x > 0 (behalve in het punt x = p, y = 0) moet voldoen is de vergelijking van Laplace

~:~

+

~~~

= 0

met als randvoorwaarden:

r = v'(x2 + y2) -+ 00 ~ = ~o X = 0 : ~ = <Po X -+ p, y -+ 0 27T r H _qr = -Q 0 0 0

25

-waarin r de afstand tot het punt x = p, y = 0 is, 0

Aan alle hierboven gegeven eisen voldoet de funktie

~ = A + _Jk_ ln

V{(x

p)2

+

y2}

~ ~o 2nkH /{(x + p)2 + y2} (3.2.1)

zoals men gemakkelijk kan nagaan. De formule ( 3. 2. 1) is eigenlijk de· oplossing van het probleem van een put in x = p, y = 0 en een bron van hetzelfde debiet

( Qo) in het punt X = -p, y =

o.

Omdat dit juist het beeldpunt van het punt

X = p, y = 0 is als de rand x = 0 een spiegel is, spreekt

men

wel van·

een spiegel bron, De gedachtengang leidend tot de oplossing (3,2.1) is dat men het gebied uitgebreid denkt tot een oneindig gebied, en in het gespiegelde punt een put van het tegengestelde debiet denkt. De randvoorwaarde ter plaatse van de rand x = 0 wordt dan automatisch vervuld door de symmetrie.

Voorbeeld 2: Put nabij rechte ondoorlatende rand in laag met onvolkomen span-ningswater (semi-confined aquifer, fig. 17),

y

--·-

. ....______

·,~

'·

'\

1 + - - - + 0

+

1

~t--~~x

i---a--c--L..i

~ ) , - - - , - - - - , - - , - .

.---.

-;-. .----:- . . . . . fig. 17 In dit geval kan de ondoorlatende rand x = 0 als het ware gecreëerd worden door in het gespiegelde punt .(x = -p, y = 0) een put van hetzelfde debiet te denken.

De oplossing is dus

~

-

~

_SkL_ {K (r1/À) + K (r2/À)}

~ ~o 2nkH o o

(3.2.2)

waarin

r2 = /{(x + p)2 + y2}

en waarin À de gebruikelijke notatie is voor de lekfactor, À= lkHc.

De methode der spiegelbronnen kan ook voor ingewikkelder problemen worden gebruikt. Een eerste voorbeeld hiervan is het volgende,

Voorbeeld 3: Put nabij recht kanaal en loodrecht daarop staande ondoorlatende

rand in _freatisch water (fig. 18)

Î l,11 l ( "' ,, ( i Il (-L,f , /,f f ,,, -)

t /

~-0-~ 1 'ljf y

,/1.

r., ,.-· //1

_,,

/ ' ' . /~''

,,/ U\

/-•-11·

/

t '

3 'rit / fig. 18 In dit geval kan men spiegelbronnen gebruiken om symmetrie ten opzichte van de as y = 0 en anti-symmetrie ten opzichte van de as x = 0 te verkrijgen. De spiegelbronnen ziJn getekend in fig. 18. De oplossing wordt

h2 = tt2 +

Sfil.

ln (rl r3)

nk r2 r4

(3.2.3)

waarin r 1 , r2 , r 3 en r 4 de afstanden tot de verschillende putten en bronnen

ZiJn, Opgaven

1. Wat wordt de oplossing voor het geval van een put in een laag met volkomen spanningswater begrensd door twee loodrecht op elkaar staande kanalen?

.

2. Kan men ook met spiegelbronnen werken als de kanalen uit de vorige opgave elkaar niet onder een hoek van

90°

maar onder een hoek van

45°

snijden?

27

-4.

De comple.rn rekenwi,j ze

In dit hoofdstuk wordt de zogenaamde complexe rekenwijze behandelë.. Dit is een methode die van toepassing is op stationnaire grondwaterstroming in een vlak (beschreven door de differentiaalvergelijking a2~/ax2 + a2~/ay2 = 0).

Omdat een volledige behandeling te ver zou voeren wordt alleen ingegaan op een paar eenvoudige toepassingen. Allereerst worden echter, in paragraaf 4.1, nog e:0ige belangrijke algemene begrippen geïntroduceerd.

4.1 Potentiaa: en stroomfunktie

Stel dat beschouwd worit een geval van grondwaterstroming in een plat vlak (het x, y-vlak), en stel dat de doorlatendheidscoëfficiënt k constant is. Voor dit type problemen is het zinvol een funktie ~ in te voeren, die gedefi-nieerd wordt als

(4.1.1) De wet van Darcy kan nu, omdat keen konstante is, ook geschreven worden als

d~

~

- -

dX

(4.1.2)

d~

'¾,

~

-

_ay

Men noemt~ de grondwaterpotentiaal (of kortweg: de potentiaal).

De continuiteitsvergelijking voor stationnaire stroming van een onsamen-drukbare homogene vloeistof is

aqx +

~

= 0

ax ay (4.1.3)

Substitutie van (4.1.2) in (4.1.3) toont aan dat de potentiaal aan de verge-lijking van Laplace in twee dimensies moet voldoen,

a2~

a2~

w+ay-7=0

(4.1.4)

Uiteraard behoren bij deze differentiaalvergelijking nog randvoorwaarden gegeven te zijn. De meest voorkomende randvoorwaarden zijn dat~ gegeven is of dat de volumestroomdichtheid ~ (loodrecht op de rand) gege ren is

(bijvoor-beeld~= 0 als de rand ondoorlatend is).

In veel gevallen is het zinvol naast de potentiaal~ nog een andere funktie in te voeren, namelijk een funktie ,, die (op een willekeurige kon-stante na) gedefinieerd.wordt door de relaties

Dat het uitdrukken van de componenten van de volumestroomdichtheid in een funktie ~ op de wijze van·

(4.1,5)

inderdaad mogelijk is, volgt uit de

con-tinuïteitsvergelijking

(4.1.3)

waaraan nu automatisch voldaan wordt.

Uit

(4.1.2)

en

(4.1.5)

volgt cl4> d~ - = dX cly d <P cly d~ dX

(4.1.6)

Differentiatie van de eerste vergelijking naar yen van de tweede naar x geeft, als de resultaten van elkaar worden afgetrokken,

(4.1.7)

Ook de funktie ~ moet dus aan de tweedimensionale vergelijking van Laplace voldoen.

De betekenis van de funktie ~, die hierboven als een mathematische groot-heid ingevoerd is, wordt wat duidelijker uit de volgende beschouwing.

In een geval van stationnaire stroming in een vlak kan men in dat vlak lijnen van konstante potentiaal tekenen (zie fig. 19). Men noemt dat potenti-aallijnen.

!

1 (, !\ 'V

___j__ --

_{-· _ _ _ _ _ _ x} 6~ ' i) ,·, ' "' .\ <P '.'.\ 'i' fig. 19 De afgeleide van de potentiaal <Pin een bepaalde richting geeft (afgezien van het teken) de grootte van de component van de volumestroomdichtheid in die rich-ting, zie

(4.1.2).

De .component in de richting van de potentiaallijn is dus nul, en daarom is in elk punt de stroomrichting loodrecht op de potentiaallijn door dat punt. Men kan nu ook stroomlijnen definiëren als lijnen zodanig dat in elk punt de stroomrichting raakt aan de lijn. De stroomlijnen_staan dus loodrecht op de potentiaallijnen.

29

-Beschouw nu twee punten (A en Bin fig. 20) met dezelfde y-coÖrdinaat. De hoeveelheid wa~~er die door de verbindingslijn AB stroomt is

XA

QAB = H

f

'1y

d.x XB

waarin H de dikte van de laag is (loodrecht op het vlak van de tekening).

y

('

- - - x

Met de tweede van (4.1.5) krijgt men nu

XA

=

f

~

_ax

dx =

De hoeveelheid water door, een vertikale lijn BC (zie fig. 20) is

Yc

f

d'Y dy =

ay

fig. 20

Op grond van continuïteit is de hoeveelheid water die door een willekeurige verbindingslijn tussen de punten A en C stroomt gelijk aan QAB + ~C (zie fig. 20) . Dus

(4.1.8)

Dit betekent:

Het totale debiet (per eenheid van dikte) door een willekeurige lijn tussen twee willekeurige. punten A en Cis 'YA - 'YC, De richting van het debiet is van links naar rechts door de lijn AC positief gerekend.

Een van de consequenties van deze eigenschap is dat de stroomfunktie 'Y

4.2

Funkties van een complexe variabele

Oplossingen van de vergelijking van Laplàce in twee dimensies kunnen vaak het eenvoudigst worden geschreven als gebruik gemaakt wordt van een complexe variabele, Daartoe worden de twee reële variabelen x en y gecombineerd tot een complexe variabele z,

Z = X + iy·

(4.2,1)

waarin i een algebraïsche grootheid is met de bijzondere eigenschap dat

i2 _{= -1}

_(4.2.2.)

De complex toegevoegde z van het getal z is

Z = X - 1.y

(4.2.3)

Als men in plaats van de cartesische coördinaten x en y poolcoördinaten ren 6 invoert (fig.

21)

kan men z ook schrijven als

z = r(cos e + i sine) y / r _, / z /

i

/'\o

·----f- ...

L .. ---- --- ····- ---x 1 1

(4.2.4)

fig.

21

In plaats van ren 6 schrijft men ook vaak lzl en ,.arg (z), en spreekt dan van de absolute waarde (of modulus) van zen het argument van z.

Indien op een of andere wijze een voorschrift gegeven is waarmee aan elke waarde van zeen waarde van een andere complexe variabele w wordt toegekend, dan spreekt men van een complexe funktie,

w = f (z)

(4.2.5)

Als z = x + iy en w = u + iv betekent dit dat u en v (reële)funkties van de twee (reële) variabelen x en y zijn, Men kan nu op dezelfde ·wijze als bij reële funkties begrippen als continuïteit en differentieerbaarheid invoeren. De definitie van de afgeleide is bijvoorbeeld

dw ₌ f' (z) = dz lim 6z-+ 0 f (z + 6z) - f (z) 6z

(4.2.6)

Hierbij moet nog wel als extra eis gesteld worden dat de waarde van de limiet dezelfde moet zijn voor alle mogelijke paden in het x, y-vlak waarlangs 6z

- 31

-Me~ kan bewijzen dat als w = f (z) een differentieerbare funk.tie is (in plaats van "differentieerba8:1'" gebruikt men ook vaak het adjectief "analytisch") dat dan zowel het reële deel u van wals het imaginaire deel v van

w

voldoen aan de vergelijking van Laplace. Voor een volledig bewijs van deze stelling wordt verwezen naar de literatuur (bijvoorbeeld C.R. Wylie: Advanced Engineering Mathematics, of L. Kuipers en R. Timman: Handboek der Wiskunde, deel I). Een verkort bewijs is het volgende.

Men kan schrijven

en omdat z Omdat w = aw - = ax = X + iy lS dw aw = - =

-dz ax u + iv vindt au av = ax ay au ay

-

-av ax

az/ax = 1 en az/ay = l , Hieruit volgt dus

aw

l

ay

(4.2.7)

men nu uit de laatste gelijkheid

(4.2.8)

Men noemt dit de vergelijkingen van Cauchy-Riemann. Uit deze vergelijkingen. volgt direkt (door eliminatie van v, .respectievelijk u) dat u en vaan de vergelijking van Laplace

a

2_u

_a

2_u + - 0 ~ ay'L-voldoen,

a

2_v

_a

2_v ' a;?"+ayT=O

(4.2.9)

Het is deze eigenschap van complexe funkties die ze voor toepassing op

grondwaterstromingsproblemen zo geschikt maakt. Allereerst worden echter nog enige complexe functies nader bekeken.

Voorbeelden van analytische funkties

1 • w = z. In dit geval is u = x en v = y.

De afgeleide bepaalt men het eenvoudigst met behulp van de eerste formule van

(4.2.7),

die men ook kan schrijven als

dw

=au+

i

av

dz dX dX

Dit geeft dan: d

- (z) = 1

dz

2. w = z2 . In dit geval-is u = x2 - y2 en v = 2xy. Men vindt, met

(4.2.10)

~

(z2 ) = 2z

dz

(4.2.10)

(4.2.11)

Men kan bewijzen dat voor de afgeleide van het produkt van twee analytische funkties dezelfde regel geldt als voor reële funkties,

~ (w1 w2) = dw2 + dw,

dz wi dz w2 dz

Met behulp van deze stelling kan men, gebruik makend van volledige induktie, bewijzen dat

n-1

z (4.2.13)

3, w = exp (z). Zonder nadere definitie is nu niet duidelijk wat hiermee bedoeld wordt. Opdat de funktie analytisch zij moet aan de Cauchy-Riemann-condities (4.2.8) voldaan worden, en als z reëel is (z = x, dus y = 0) moet de funktie reduceren tot exp

( x).

Aan deze eisen

exp ( z) = exp

(x)

{cos (y) Nu is dus u = exp

(x)

cos (y) en Voor de afgeleide vindt men, met d { exp ( z ) } = exp ( z ) dz

+ i sin

V = exp (4.2,10)

Als z zuiver imaginair is krijgt men exp (iy) = cos (y) + i sin (y)

( y)}

( x)

sin voldoet de definitie (4.2.14) (y). (4.2.15) (4.2.16) Met behulp van deze relatie (die voor alle reële waarden van y geldt) kan men de voorstelling van het complexe getal z door middel van poolcoördinaten, zie

(4.2.4), ook schrijven als

z = r exp (ie) (4.2. 17)

4.

Sinus en cosinus. De siri.us- en cosinus-funkties worden gedefiniëerd als

sin (z) 1

2i {exp (iz) - exp

(-iz)}

(4.2.18)

cos (z) =

~

{exp (iz) + exp (-iz)} (4.2.19)

Ook voor deze funkties (die generalisaties zijn van de bekende trigonometrische funkties) gelden dezelfde regels als voor de reële funkties, bijvoorbeeld

d _{{sin ( z)} ( z) (4.2.20)} = cos dz d {cos ( z)} = ( z) (4.2.21) dz sin sin 2 (z) + cos 2(z) = 1 (4.2.22)

33

-5,

Hyperbolische funkties. Deze worden gedefinieerd als

sinh ( z) = ~ { exp ( z) • exp (-z)} cosh (z) = ~ {exp (z) + exp (-z)}

(4.2.23)

(4.2.24)

6.

De logaritme. De logaritmische funktie w = ln (z) wordt gedefinieerd als de inverse van de exponentiële funktie. Er geldt dan dus z = exp (w). Schrijft men nu zin poolcoördinaten, z = r exp (ie), en win cartesische coördinaten,

w

= u + iv, dan krijgt men

r exp (ie)= exp (u) exp (iv)

Gelijkstelling van de absolute waarden en de argumenten geeft nu r = exp (u)

6 = V

en inversie hiervan geeft u = ln r

V = 6

Blijkbaar geldt er

ln (z) = ln

(r)

+ ie Voor de afgeleide vindt men

d

dz { ln ( z)} = -1 z

(4.2.25)

(4.2.26)

Men zal opmerken dat alle hierboven gegeven formules voor complexe funkties en hun afgeleiden formeel identiek zijn aan de relaties die gelden voor reële funkties.

4,3 Toepassingen

In deze paragraaf worden enige elementaire voorbeelden van toepassingen van complexe funkties op grondwaterstromingsproblemen.

Dat complexe funkties van belang zijn voor de stroming van grondwater is een gevolg van de omstandigheid dat het reële deel en het imaginaire deel van een analytische funktie voldoen aan de vergelijking van Laplace, zie

(4.2.9).

Stelt men de potentiaal<!> en de stroomfunktie ~ samen tot een complexe poten-tiaal Q volgens

Q = <!> + i~

(4.3.1)

en stelt men dat Q een analytische funktie van z is, dan voldoen<!> en~ aan

de vergelijking van Laplace, en dat moet ook juist, zie

(4.1.4)

en

(4.1.7).

Een tweedimensionaal probleem van stationnaire grondwaterstroming door een homogeen isotroop poreus materiaal is opgelost als men de van toepassing zijnde complexe potentiaal Q gevonden heeft. Van de funktie Q hoeft men alleen te eisen dat hij analytisch is en aan de randvoorwaarden voldoet. Men kan in principe twee manieren onderscheiden, een indirekte en een direkte, om de geschikte funktie Q te vinden. Bij de indirekte methode kiest men een funktie

n,

gaat na welke bijzondere eigenschappen hij heeft, en bepaalt op grond van die eigenschappen welk probleem men nu heeft opgelost. Als men van een bepaald probleem de oplossing zoekt is deze procedure nogal omslachtig (en in feite ondoenlijk), en zal men de voorkeur geven aan een direkte methode, waarbij uitgaande van de randvoorwaarden op een rechtstreekse wijze de funktie Q

berekend wordt. In dit college wordt alleen de indirekte methode behandeld. Voor meer direkte methoden zie men de literatuur (Bear: Dynamics of fluids in porous medià; Polubarinova-Kochina: Theory of groundwater movement; Verruijt: Theory of groundwater flow).

Voorbeeld 1 : Stroming onder een ondoorlatende dam.

Beschouwd wordt de complexe potentiaal

Q = kH arccos ( ~)

(4,3.2)

1T 1

waarin k, H en 1 zekere reële konstanten zijn. Voor de analyse van de eigen-schappen van deze funktie is het het handigst de formule te,inverteren. Dit geeft

(4.3,3)

Nu kan men de relatie namelijk eenvoudig splitsen in een reëel en imaginair deel.

35

-Men vindt, met behulp van de definitie van de cosinus, zie (4.2.19),

X - = 1 Y... = 1 ( îfq>). (îT'l') cos kH cosh kH

(4,3.4)

- SJ..n ( îfq>). _{kH sinh kH} (îT'l')

(4,3.5)

Men kan nu nagaan hoe een aantal speciale stroomlijnen en potentiaallijnen er uit gaan zien. De potentiaallijn 4> = 0 heeft als eigenschappen:

~ = cosh (·îT'l') ·

1 kH

Y... - 0

1

-De potentiaallijn~=~· kH heeft als eigenschappen:

"{ ~- = 0 1: Y... -1 . ( îî'l') s1.nh kH

De potentiaallijn 4> = kH heeft als eigenschappen:

X

- =

1 - cosh (1r'l') kH Y... = 0

1

De stroomlijn 'l' = 0 heeft als eigenschappen:

~= 1 cos

Y... = 0

1

Neemt men nu aan dat 4> varieert tussen de grenzen O ·~gi

i

kH en dat 'l' varieert tussen de grenzen O ~ 'l' ~ 00 , dan blijkt dat de gestelde oplossing voldoet aan

de randvoorwaarden voor het geval van stroming onder een ondoorlatende dam door, als de doorlatende laag zich tot in het oneindige uitstrekt (zie fig.22) In dit geval moet langs de rand AB immers 4> = kH, langs CD moet qi = O, en langs BC moet 'l' konstant zijn.

A IH ~ - , - - _ _ _ J L . _ _ _ _ _ _::.,hc.L~..L.>..L:,..,(_::...C..j,<:.>..,C..,.:>...<:>-"'-"'-",._(_: _ _ _ _ _ _ - - , _ _ '_' - X ' _\ / / \ -1 ,, +] \ ',,--·" / / fig. 22 In veel gevallen is het handig ook een grafische voorstelling van het 1, ~-vlak te maken. Men zie hiervoor in dit geval fig. 23,

A / ,,· / / kH

-

-1/ / / / R fig. 23

De randvoorwaarden definiëren lijnen in het n-vlak, Men zegt wel dat de funktie

(4.3,3)

een conforme afbeelding van het gearceerde gebied in het n-vlak op het onderhalfvlak y ~ 0 in het z-vlak voorstelt.

Het adjectief conform betekent dat kleine elementjes in'het ene vlak ongeveer hun vorm behouden bij de afbeelding,

Opgave: Bewijs, uit de formules

(4,3.4)

en

(4,3.5),

dat de.stroomlijnen (dat

zijn lijnen met~= konstant) ellipsen zijn, en dat de potentiaallijnen hyper-bolen zijn. In het n-vlak vormen de potentiaallijnen en stroomlijnen exacte vierkantjes (mits de intervallen 61 en 6~ gelijk gekozen worden). In het z-vlak worden het gekromde vierkantjes, zoals men kan nagaan door de lijnen in het z-vlak te tekenen (voor een volledige schets zie men bijvoorbeeld

Lamb: Hydrodynamics, 6th edition, par. 66, pag.

73,

of Harr: Groundwater and Seepage, pag.

88).

37

-Voorbeeld 2: Stroming in een hoek

Als tweede voorbeeld wordt besch0uwd de funktie

n/a

g_

= (~)

C a

(4,3.6)

waarin a, c en a reële konstanten zijn. In dit geval is het handigst zowel z als

n

in poolcoödinaten uit te drukken~

z = r e:x:p

(ie)

n

= R exp (iw) Men vindt dan

R = C (r/a)TI/CJ.

w

=

(n/a)e

Het blijkt dat rechte lijnen door de oorsprong in het Q-vlak (w = konstant) overeenkomen met rechte lijnen door de oorsprong in het z-vlak (8 = konstant). Door de faktor

n/a

wordt een openingshoek 68 =

a

getransformeerd in een hoek 6w = n. De stroomlijn~= 0 (die bestaat uit een deel waar w = 0

en

een deel waar w = n) vertoont in het z-vlak een hoek ter grootte a. Voor de gevallen data= n/2 en a = 2n zijn een aantal potentiaal- en stroomlijnen getekend in fig.

24

en fig.

25,

y

[gJ

._ ...

~~·1 ~~·1 ~~·1

-n

- = C (~)2 a fig.

24

@]

n

-

-C

fig. 25 Voorbeeld 3: Stroming met een vrij oppervlak in een gedraineerde dam,

Door Vreedenburgh werd ingezien dat door een geschikte keuze van de konstanten c en a uit het geval geïllustreerd in fig. 25 deze oplossing ook gebruikt kan worden voor de stroming met een vrij oppervlak nabij een horizon-tale drainagelaag die in het verlengde van een ondoorlatende laag ligt

(fig. 26). Gesteld wordt dat de oplossing is

rl = /( 2 k Q z)

(4.3,7)

waarin k de doorlatendheidscoëfficiënt is, en waarin Q het totale debiet

Q

C

fig. 26 (per eenheid van lengte loodrecht op het vlak van stroming) is. In dit geval

vindt men, na splitsen in reële en imaginaire delen,

X =

~2 _ ljl2

2kQ y =

~Ijl

39

-De lijn DC is een stroomlijn (f=O), waarlangs de potentiaal~ varieert van 0 tot 00 • Met behulp van de formules vindt men dan y=O en O<x<00 • Dat is

inder-daad de lijn DC in het z-vlak. AD is een potentiaallijn (~=O, O<f<Q). Met

be-hulp van de formules vindt men dan y=O en -Q/2k<x<O. Dat is inderdaad de lijn AD in het z-vlak, Punt A ligt blijkbaar op een afstand Q/2k links van de oor-sprong.

De lijn AB is een stroomlijn f=Q, Men vindt dan uit de tweede van (4,3,8)

~ = ky

en dit is juist de extra konditie die er langs een vrij oppervlak moet gelden (p = O, dus <p = y, dus~= ky). De vergelijking van het vrije oppervlak AB is

(4.3.9)

Dit is een parabool.

Een van de meest interessante aspekten van de complexe rekenwijze voor grondwaterstromingsproblemen is dat men voor sommige problemen met een vrij oppervlak een exakte oplossing kan vinden. Daarbij gebruikt men verschillende hulpvlakken, in het bijzonder de zogenaamde hodograaf, Men zie hiervoor de literatuur.

5,

Benaderingsmethode~

In dit hoofdstuk worden twee benaderingsmethoden besproken, namelijk de grafische methode met een vierkantennet~ en de numerieke methode gebaseerd op eindige differenties. Een moderne en zeer krachtige numerieke methode, de zogenaamde elementen-methode, wordt hier, vanwege de vrij moeilijke theore-tische achtergrond, niet behandeld (zie V=rruijt: Theory of groundwater flow; of Zienkiewicz: The finite element method ir structural and continuum mechanics).

5,1

Vierkantennet

In paragraaf

4.1

is al gezien dat de potentiaallijnen en de stroomlijnen voor tweedimensionale stationnaire stroming in homogene isotrope grond lood-recht op elkaar staan, zie fig. 19, Er is ook gezien dat in het algemeen

d<l>

~ = - - = _ay +

a

_ax

'l'

Beschouwt men nu een punt waar de stromingsrichting (des-richting) juist samenvalt met de x-richting, dan geldt, als men de richting van de

potentiaal-y

lijnen aangeeft met n (zie fig. 27),

'èJ<I> 'èJ'I' q_s = -

as

= -

an

=

q q n

~

= 0

as

X fig. 27 (5.1.1) (5.1.2) VergelijkiLg (5,1,2) drukt uit dat <l> niet varieert in den-richting, en~

niet varieert in des-richting, Dat is niets nieuws (<l> is konstant op een

Uit (5.1.1) volgt a<1> aq, - =

as an

41

-Tekent men potentiaallijnen met interval il<!> en stroomlijnen met interval 6'1'

dan ge:dt, bij benadering, M . 6'1'

- =

6s tin

Kiest :nen nu 6<1> = ti'I', dan moet, bij benadering 6s =tin.Dit betekent dat de onderlinge afstand van potentiaallijnen en stroomlijnen in elk punt ongeveer gelijk is. De stroomlijnen en potentiaallijnen vormen elementaire, gekromde vierkantjes, zoals 'bij de voorbeelden van complexe potentialen in paragraaf

4.3

ook al bleek.

Men kan van de eigenschap dat stroomlijnen en p:>tentiaallijnen een vierkan-tennet vormen gebruik maken om benaderingsoplossingen te construeren. Een

dergelijk vierkantennet laat zich namelijk in veel gevallen eenvoudig sbhet-sen. Men zie fig. 28, die betrekking heeft op de stroming onder een fu.~dament van bijvocrbeeld een stuw, met een damwand.

fig. 28 Een goed vierkantennet moet aan de volgende eisen voldoen

1. Potentiaallijnen en stroomlijnen overal orthogonaal,

2. Potentiaallijnen en stroomlijnen vormen overal elementaire vierkantjes (te controleren door de diagonalen te tekenen: die moeten ook orthogo-naal zijn).

3, Het net sluit aan op de rar.dvoorwaarden.

Uit het voltooide net kan men overal de potent ia~ ·t, (en dus de stijg-hoogte _~ = <l>/k, en de·druk p =

_(~

-

y) pg) bepalen, omdat nu het interval

Ook het totale debiet is nu te berekenen, omdat 6f = 6~ en het verschil in f-waarden het debiet geeft, zie

(4.1.8).

In het geval van fig.

28

is

Q = 3.1 b6l = 0.31 b(~1 - ~2)

waarin b de lengte loodrecht op het vlàk van tekening is.

Men merke op dat het in het algemeen onmogelijk is potentiaallijnen en stroomlijnen zodanig te tekenen dat zowel het aantal vierkantjes in de rich-ting van stroming als loodrecht daarop juist een geheel getal is. Langs de randen houdt men in het algemeen een rij rechthoekjes (met konstante verhou-ding tussen lengte en breedte) over,

De grafische methode kan men ook, met iets meer moeite, toepassen op problemen met een vriJ oppervlak. Hierbij treedt een extra moeilijkheid op, doordat de positie van het vrije oppervlak (dat een stroomlijn is) onbekend is. Langs het vrije oppervlak. geldt als tweede randvoorwaarde nog dat de druk pin het water er nul moet.zijn. Dit betekent dan~= y. De procedure wordt:

1. Schat positie vriJ oppervlak,

2. Teken vierkantjes; behandel het vrije oppervlak hierbij als stroomlijn, 3, Verifieer of overal langs het vrije oppervlak~= y;

4.

Indien aan voorwaarde

3

voldaan is: stop. Indien niet aan de voorwaarde voldaan is: verbeter schatting vrij oppervlak, en ga terug naar 2.

r

Een voorbeeld van een voltooid vierkantennet voor de stroming door een dam vindt men in fig. 29,

fig. 29 Het gedeelte DE van het benedenstroomse talud vormt een zogenaamd kwelopper-vlak. Het water treedt daar uit het talud, en stroomt dan langs het talud naar beneden (er wordt gesteld dat het bij E wordt opgevangen). Langs het kweloppervlak moet ook gelden~= y.

De controle van de condities~= y langs het vriJe oppervlak BD en het kweloppervlak DE gaat het eenvoudigst door het hoogteverschil 6H tussen de snijpunten van deze randen met twee opvolgende potentiaallijnen te bepalen.

43

5,2

Differentie-methode

De differentiaalvergelijking

d1-

+

~

=

0

dX dY (5.2,1)

kan men benaderen met eindige differenties. De partiële afgeleiden worden daarbij benaderd door ze uit te drukken in de waarden in enige dicht bij elkaar gelegen punten.

' ) T ·m

t

-~

1: 1 ) m 4 . >--j_

--

m ·

-Men kan afleiden dat bij benadering geldt dat

d2$ -

Pz -

2

~o

+ p4

a7-

m2

fig. 30

waarin m de (konstant veronderstelde) maaswijdte is in een over het veld gelgd.netwerk van rechte lijnen (fig. 30).

De benadering van de differentiaalvergelijking (5.2.1) wordt

(5.2,2)

Dit betekent dat in elk punt van het netwerk de lokale waarde van de stijg-hoogte~ het gemiddelde moet zijn van de waarden in de vier naastliggende punten.

In punten van de rand kan bijvoorbeeld de stijghoogte gegeven

zijn. Dat betekent dat in die punten de waarde van~ al bekend is. Als een deel van de rand ondoorlatend is krijgt men in die punten een iets andere uitdrukking, omdat er als extra konditie bijkomt dat de afgeleide van~ loodrecht op de rand nul is, zie fig. 31.

45

--+---"'-'-1 - - - L , 1 --t-__ 3 _ _ 0-t _ _ ...:

1-·

1:

! 1t 1

-+---- -- - ,

fig. 31 Denkt men zich het netwerk (tijdelijk)voortgezet tot buiten de rand dan is de extra konditie dat ~l = _{~3'. In dat geval wordt de vergelijking vöor ~0}

(5.2,3)

Omdat voor elk punt van een netwerk waar de stijghoogte onbekend is, een vergelijking van het type

(5,2,2)

of

(5.2,3)

geldt, krijgt men evenveel ver-gelijkingen als onbekenden. Er zijn in principe twee methoden om het verkre-gen stelsel van lineaire vergelijkinverkre-gen op te lossen: met een computer, of met de hand.

In het geval van oplossing "met de hand" kan men het beste als volgt te werk gaan:

1. Schat waarden voor~ in elk kriooppunt (zo goed mogelijk; de methode werkt altijd, maar wel veel vlugger als de beginschatting goed is), 2. Kies een knooppunt, en ga na of aldaar aan de van toepassing zijnde vergelijking,

(5.2.2)

of

(5.2,3)

voldaan is. Is dat niet het geval, verander dan de plaatselijke waarde van~,

3, Kies een nieuw knooppunt, en herhaal opdracht 2, totdat voldoende nauwkeurigheid is bereikt.

De procedure werkt het snelst als de onder 2 en 3 genoemde keuze geschiedt 1

door te bepalen 1n welk knooppunt de fout E = ~O -

₄

(~1 + ~2 + ~3 + ~4) het grootst is. Men spreekt dan wel van de relaxatie-methode, In veel gevallen 1s het voldoende het gehele netwerk bijvoorbeeld

5

maal te doorlopen.

De hierboven beschreven methode kan op vrij eenvoudige manier geschikt

gemaakt worden voor berekeningen met behulp van een computer. In dat geval zal men ter vereenvoudiging de keuze genoemd onder 2 en 3. laten geschieden volgens een tevoren vastgesteld schema (bijvoorbeeld van links naar rechts, en dan van boven naar beneden). Maakt men een computer-programma voor de op-lossing van grondwaterstromingsproblemen, dan zal men het programma veelal zo algemeen mogelijk maken. Dat betekent dat men de vorm van het gebied be-trekkelijk vrij wil laten, evenals de te stellen randvoorwaarden.