Wykład IX i X
• Funkcje próbne,
• Definicja i przykłady dystrybucji,
• Ciągi dystrybucyjne, ciągi deltopodobne,
• Mnożenie dystrybucji przez funkcję,
• Różniczkowanie dystrybucji, laplasjan dystrybucyjny,
• Splot dystrybucji,
Przestrzeń funkcji próbnych D
Przestrzeń funkcji klasy , całkowalnych, o ograniczonym nośniku
C
( )
Przykład
( )
−
=
1
,
0
1
,
1
1
exp
2x
x
x
N
x
Dystrybucje
Funkcjonały liniowe, ciągłe na przestrzeni D
( )
=
=
( ) ( )
→
−dx
x
x
T
T
T
T
:
,
• Funkcja całkowalna
T =
f
( )
x
( ) ( )
−=
f
x
x
dx
f
,
• Wartość główna całki
x
P
T
=
1( )
( )
+
=
− − →
dx
x
x
dx
x
x
x
P
0lim
,
1
Podobnie dla całek podwójnie niewłaściwych, np.
0
1
lim
1
2 2+
=
+
=
− → − A A Ax
dx
x
x
x
P
Przykłady dystrybucji
Również zwykłą funkcję 𝑓(𝑥) można traktować jako dystrybucję
Uwaga: ważne, żeby przy obliczaniu całek niewłaściwych w sensie wartości głównej wyłączenie
osobliwości funkcji podcałkowej lub przejście graniczne do
nieskończoności następowało symetrycznie, jak w definicjach powyżej i obok ; por. zad. 4(b) w serii C10-C11 w skrypcie do zadań
• Delta Diraca
T
=
( )
x
,
=
( ) ( )
=
( )
0
−dx
x
x
Podobnie dla delty scentrowanej w punkcie x=a
(
x
a
) ( )
x
dx
( )
a
a
=
−
=
−,
• Dystrybucja
0
1
i
x
T
+
=
,
lim
( )
0
0
1
0+
=
=
+
− →x
i
dx
x
i
x
• Ważny związek
( )
x
i
x
P
i
x
+
=
−
1
0
1
Najbardziej znana dystrybucja
Ciągi dystrybucyjne
lim
,
,
lim
T
T
D
T
nT
n n n→=
→=
• Ciągi deltopodobne
f(x) – całkowalna funkcja ciągła spełniająca warunek
( )
=
1
−
dx
x
f
Przykłady
( )
( )
( )
x
x
x
f
x
x
f
e
x
f
x,
1
sin
1
1
1
,
1
2 2
=
+
=
=
−Można wykazać że
( )
( )
( )
x
nf
( ) ( )
nx
x
f
x
x
f
x
f
n n n
=
=
=
=
→ → → →lim
lim
1
lim
lim
0 0Mnożenie dystrybucji przez funkcję
fT
,
=
T
,
f
Przykład
x
,
=
,
x
=
0
( )
0
=
0
x
=
0
Różniczkowanie dystrybucji
T
,
=
−
T
,
Przykłady
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
1
,
0
,
,
0
,
sgn
,
sgn
,
n n nx
x
x
x
−
=
−
=
−
=
=
=
=
=
Oczywiste uogólnienie wzoru dla funkcji 𝑓𝑔, 𝜑 = −∞∞ 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝜑 𝑥 𝑑𝑥 = −∞∞ 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝜑 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑔, 𝑓𝜑
Oczywiste uogólnienie wzoru na całkowanie przez części dla funkcji 𝑓′, 𝜑 = න −∞ ∞ 𝑓′ 𝑥 𝜑 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑎 𝑛 = 𝑓 𝑥 𝜑 𝑥 | −∞ ∞ − න −∞ ∞ 𝑓 𝑥 𝜑′(𝑥)𝑑𝑥 = − න −∞ ∞ 𝑓 𝑥 𝜑′(𝑥)𝑑𝑥 = − 𝑓, 𝜑′ (↑=0, ponieważ 𝜑 𝑥 → ±∞ = 0) Wyprowadzenia na kolejnej transparencji sgn 𝑥 = ቊ1 dla 𝑥 ≥ 0 −1 dla 𝑥 < 0 𝜃 𝑥 = ቊ1 dla 𝑥 ≥ 0 0 dla 𝑥 < 0
Splot dystrybucji
• Splot funkcyjny
(
)( )
(
) ( )
( ) (
)
− −−
=
−
=
f
x
f
x
y
f
y
dy
f
y
f
x
y
dy
f
1 2 1 2 1 2Operacja splotu często występuje w matematyce, np.
• w rachunku prawdopodobieństwa (gęstość prawdopodobieństwa sumy niezależnych zmiennych losowych jest splotem gęstości poszczególnych zmiennych),
• w teorii sygnałów (odpowiedź filtra dolno- bądź górnoprzepustowego na pobudzenie jest splotem pobudzenia i funkcji przenoszenia filtra)…
Obliczanie splotu łatwiejsze jest przy użyciu transformat Fouriera (por. następny wykład)
• Splot dystrybucyjny
T
1
T
2,
=
T
1( ) ( ) (
x
,
T
2y
,
x
+
y
)
Przykłady
( ) ( ) (
)
( ) ( )
( )
( )
(
)
( ) ( ) (
)
( ) ( ) (
)
(
1 2)
1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
T
T
T
T
T
T
T
T
y
x
y
T
x
T
y
x
y
T
x
T
T
T
T
T
T
T
T
T
x
x
T
y
x
y
x
T
T
n n
=
=
=
+
=
+
−
=
−
=
=
=
=
+
=
Superpozycja delty Diraca
z funkcją różniczkowalną
Niech
f
( )
x
j=
0
,
j
=
1
,
2
,
n
( )
(
)
( ) (
−
)
=
j j jx
x
x
f
x
f
1
(
)
(
x
a
) (
x
a
)
a
a
x
−
=
−
+
+
2
1
2 2Przykład
Wyprowadzenia na kolejnej transparencji.
Przy wyprowadzeniu warto zauważyć, że również 𝛼𝛽𝛿 𝑥 − 𝑎 𝜑 𝑥 𝑑𝑥 = ቊ 𝜑 𝑎 jeżeli 𝛼 < 𝑎 < 𝛽 0 jeżeli 𝑎 < 𝛼 lub 𝑎 > 𝛽
Jest to stwierdzenie ścisłe, ponieważ dowolną funkcję próbną o nośniku ograniczonym można „jeszcze bardziej” ograniczyć do funkcji próbnej o nośniku na przedziale 𝛼, 𝛽 , odpowiednio ją „obcinając” do zera poza tym przedziałem i wygładzając na krańcach przedziału, by była nieskończenie wiele razy różniczkowalna.
