1
Wykład
Uzupełnienie
Wprowadzimy teraz nową klasę funkcji, których prawdopodobnie nie mieliście Państwo okazji spotkać na wcześniejszych etapach poznawania matematyki.
Są to funkcje cyklometryczne, które są w pewnym sensie odwrotne do funkcji trygonometrycznych.
W pewnym sensie, ponieważ, aby funkcje trygonometryczne odwrócić, trzeba je najpierw nieco
„poprawić” tak, aby to odwrócenia stało się możliwe. Funkcje trygonometryczne nie są bowiem różnowartościowe, każdą ze swoich wartości przyjmują nieskończenie wiele razy (tj. dla nieskończenie wielu argumentów). A tylko funkcje różnowartościowe można odwracać.
Ale możemy zawęzić dziedzinę funkcji sinus (i każdej z trzech pozostałych funkcji trygonometrycznych) do takiego zbioru, w którym jest ona już funkcją różnowartościową.
Funkcję odwrotną do funkcji sinus z dziedziną zawężoną do zbioru będziemy nazywać arcus sinus (czytaj: arkus sinus) oznaczenie symboliczne powyżej.
x z
z x sin
arc sin
Na przykład:
Poniżej tabela wartości funkcji dla szczególnych jej argumentów.
x -1 0 1
arcsin x 0
I poniżej wykres:
Postępując podobnie jak z funkcją sinus można zawęzić dziedziny funkcji cosinus, tangens i cotangens i zdefiniować funkcje arcus cosinus, arcus tangens i arcus cotangens.
1
; 1
; 0 :
cos
; 0 1
; 1 :
arccos
x -1 0 1
arccos x 0
3 R
tg
;2 : 2
;2
: 2
R arctg
R ctg: 0;
0; :R arcctgProszę według powyższych wzorów opracować tabelki wartości i naszkicować wykresy pozostałych funkcji cyklometrycznych.
I ciąg dalszy uzupełnienia dotyczącego funkcji cyklometrycznych i jednocześnie powrót do głównego nurtu wykładu czyli wzory na pochodne funkcji cyklometrycznych.
x arc x
f( ) sin
1 2
) 1 ( '
x x
f
x arc x
f( ) cos
1 2
) 1 ( '
x x
f
x arc x
f( ) tg
1 ) 1
(
' 2
x x f
x arc x
f( ) ctg
1 ) 1
(
' 2
x x f
Funkcje cyklometryczne będą się nam pojawiać szczególnie często, kiedy przejdziemy do rachunku całkowego.
Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej- ciąg dalszy
Oblicz pochodną funkcji f(x)=x w punkcie x=0x x x
x x
x f x x f
x x
x
0 0
0 0 lim
0) lim ( ) lim (
Ta granica będzie zależała od znaku x, więc rozsądne jest przejście na granice jednostronne.
Otrzymujemy wówczas dwie różne granice jednostronne.
Jakie?
Jaka jest w takim razie pochodna funkcji f(x)=x w punkcie x=0?
Pochodne jednostronne
Definicja 3.Pochodną lewostronną funkcji f w punkcie x0 nazywamy granicę lewostronną )
) ( ( )
lim ( '
0
x x f
x f x x f
x
, o ile istnieje i jest skończona.
Definicja 3’
Pochodną prawostronną (uzupełnij)…
Zatem pochodna funkcji f(x)=x w punkcie x=0 nie istnieje, istnieją tylko jednostronne pochodne w tym punkcie.
Przyrost funkcji
Niech f:(a,b)R oraz x0(a,b) a także x0x(a,b) Wówczas przyrost funkcji będzie równy:
) ( ) (
)
(x f x0 x f x0
f
y
Twierdzenie 17.
Jeżeli funkcja y=f(x) ma w punkcie x0 pochodną skończoną f’(x0) to przyrost funkcji można przedstawić w postaci:
x x
x f x
f
( 0) '( 0)
gdzie jest wielkością zależną od x i dążącą wraz z xdo zera.
Z wzoru przytoczonego w tw.1 można wywnioskować:
Twierdzenie 18
Jeśli funkcja y=f(x) ma pochodną skończoną w punkcie x0, to funkcja f jest w tym punkcie ciągła.
Określenie
Jeżeli funkcja y=f(x) ma pochodną skończoną w punkcie x0, to mówimy, że jest ona różniczkowalna w punkcie x0
5 Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego
Twierdzenie 19 Fermata
Niech funkcja f(x) określona w pewnym przedziale (a,b)osiąga w punkcie wewnętrznym c tego przedziału największą (najmniejszą) wartość. Jeśli istnieje w tym punkcie obustronna pochodna skończona f’(c ) to f’(c) =0.
Pierre de Fermat
17 VIII 1601-12 I 1665
źródło: https://mahenaunews.wordpress.com/2011/08/17/pierre-de-fermat
Twierdzenie 20 Darboux
Jeśli funkcja f(x) ma pochodną skończona w przedziale <a,b>, funkcja f’(x) przybiera co najmniej raz każdą wartość pośrednią miedzy f’(a) i f’(b).
Gaston Darboux
14 VIII 1842 23 II 1917
Źródło: http://mathshistory.st-andrews.ac.uk
Twierdzenie 21 Rolla Niech:
1. funkcja y=f(x) będzie określona i ciągła w przedziale domkniętym <a,b>
2. istnieje skończona pochodna f’(x) w przedziale otwartym (a,b)
3. f(a)=f(b)
Wówczas między a i b można znaleźć taki punkt c (a<c<b), że f’(c)= 0
Michel Rolle
1652-1719
Źródło: https://www.math24.net/rolles-theorem
Twierdzenie 22 Lagrange’a Niech
1. funkcja y=f(x) będzie określona i ciągła w przedziale domkniętym <a,b>
2. istnieje skończona pochodna f’(x) w przedziale otwartym (a,b)
Wówczas między a i b istnieje taki punkt c (a<c<b) dla którego spełniona jest następująca równość:
a b
a f b c f
f
( ) ( ) )
( '
Joseph-Louis Lagrange
25 I 1736-10 IV 1813
źródło https://www.nndb.com/people/380/000087119
Wniosek
Jeżeli funkcja f jest określona i ciągła w przedziale X oraz różniczkowalna wewnątrz1 tego przedziału i jej pochodna jest nieujemna f'(x)0, to funkcja f jest słabo rosnąca w tym przedziale.
Analogicznie formułujemy wniosek w przypadku pochodnej niedodatniej:
Pochodna drugiego rzędu.
Definicja 19.Niech f:X R będzie funkcją różniczkowalną na X.
Otrzymujemy wówczas funkcję pochodną: f':X R.
Jeśli ona także jest różniczkowalna w X, to jej pochodną (f’(x))’ nazywamy druga pochodną funkcji f.
Oznaczenia: 2
2
, ' ' , ) ( '
' dx
y y d
x f
Podobnie definiujemy pochodne wyższych rzędów
Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego wykorzystamy w następnym wykładzie, gdy będziemy badać własności funkcji z wykorzystaniem pochodnych.
Dziękuję za uwagę
Opracowanie dr Elżbieta Badach na podstawie Fichtencholz G.M. Rachunek różniczkowy i całkowy PWN Warszawa 1985
1Wnętrze zbioru X jest to zbiór punktów wewnętrznych.
Punkt x nazywamy punktem wewnętrznym zbioru, jeżeli istnieje otoczenie otwarte tego punktu zawarte w zbiorzę X.
Np. wnętrze przedziału X=<1,5) stanowi przedział (1,5) Punkt x=1 nie jest punktem wewnętrznym tego zbioru.
