Elektromagnetyzm

(1)

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM

ELEKTROMAGNE

TYZM

(2)

Plan wykładu

•Pole magnetyczne i jego wytwarzanie •Pole magnetyczne ruchomych ładunków

•Pole przewodnika z prądem – prawo Biota-Savarta •Ładunek w polu magnetycznym – siła Lorenza

•Przewodnik z prądem w polu magnetycznym, elektromagnes •Oddziaływanie dwóch przewodników z prądem

•Zjawisko indukcji elektromagnetycznej – strumień indukcji

magnetycznej, prawo indukcji Faradaya

•Reguła Lenza

•Indukcyjność własna i wzajemna •Energia pola magnetycznego

•Drgania – obwody R, L, C, RLC

•Drgania elektromagnetyczne tłumione

(3)

v

(4)

Linie sił pola magnetycznego są zawsze zamknięte nie tak jak linie sił pola elektrycznego, które zaczynają się i kończą na ładunkach





F

z

y

x

H



)

,

(

Linie sił pola magnetycznego

Natężenie pola i linie sił pola magnetycznego

Pole magnetyczne prezentujemy graficznie rysując tzw. linie pola magnetycznego czyli linie wektora indukcji

magnetycznej B. Wektor B jest styczny do tych linii pola w każdym punkcie, a rozmieszczenie linii obrazuje wielkość pola - im gęściej rozmieszczone są linie tym silniejsze jest pole. Najsilniejsze pole występuje w pobliżu końców

magnesu czyli w pobliżu biegunów magnetycznych

H

B







₀



H

B







₀



_r



(5)

Strumień indukcji magnetycznej

B

S

d



cos











B

d

S

B

dS

d

_B









S B

B

S



d

BS





dla  = 0

i i i i i

B

S





































    ia powierzchn i i i i i i i

B

S

B

d

S



lim

S

(6)

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Prawo Gaussa

B

S

d



0 )

(







B

r

d

S

S B



Prawo Gaussa dla pola magnetycznego:

Strumień pola magnetycznego przechodzącego przez powierzchnię zamkniętą jest równy zero.

(7)

Prawo Ampera

Obliczymy teraz całkę okrężną z wektora wzdłuż okręgu o promieniu R (cyrkulację wektora ) B





















_m

B



d

l





₀

I



₀ n

I

_j

Wzór powyższy jest słuszny dla dowolnego obwodu L , a także w przypadku gdy przez pole S rozpięte na obwodzie L przepływają kilku prądów I 





i

r

I

B



2

0



I

dl

r

I

l

d

i

r

I

l

d

i

r

I

l

d

r

B

L L L L 0 0 0 0

2

2 )

(















 















I

d

I

l

d

r

i

I

l

d

r

B

L L L 0 0 0

2

2 )

(













_













i



r

Indukcja pola magnetycznego w odległości r pochodząca od nieskończonego prostoliniowego przewodu w którym płynie prąd o natężeniu I: c

(8)

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Prawo Ampera 

i



r 2 2 max max

l

qv

l

vq

F

BS

F

H

















Jedną z cech pola jest wektor natężenia pola H a prądu jego natężenie I.

Związek łączący te dwie wielkości jest treścią prawa Ampera. Aby ten związek wyprowadzić potrzebujemy cyrkulacji

elektronów:









n i i i I

I

l

K

1



l_i









n i i i H

H

l

K

1



l

I

l

t

l

It

l

qv

H













₂ ₂

_

 







n i i i n i i H

H

l

I

K

1 1

(9)

Prawo Ampera

I

R

B



2 







_o



Pole na zewnątrz przewodnika. Natomiast jeżeli chcemy obliczyć pole wewnątrz przewodnika (pręta) to wybieramy kontur kołowy o promieniu r < R, gdzie R jest promieniem przewodnika. Wewnątrz konturu przepływa prąd i będący częścią całkowitego prądu I

Obliczmy pole w odległości r od nieskończenie długiego prostoliniowego przewodnika, w którym płynie prąd o natężeniu I. Ponieważ linie pola B wytwarzanego przez przewodnik są współśrodkowymi okręgami więc jako drogę całkowania wybieramy okrąg o promieniu r. W każdym punkcie naszego konturu pole B jest do niego styczne (równoległe do elementu konturu dl).

R

I

B

o









2

2 2

R

r

I

i







_B

_R

_i

o







2 



₂

2 R

r

I

B

o









(10)

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Siła Lorenza

B

q

F



_L

















B

sin

q

F

_L





Na ładunek poruszający się w polu magnetycznym działa siła Lorentza:

Jej kierunek i zwrot określa reguła prawej dłoni

(11)

Ruch ładunku w polu magnetycznym

1. Ładunek porusza się z prędkością v równolegle do B

0 

m

F



bo

sin





0

2. Ładunek porusza się z prędkością v prostopadle do B

d m

F







R

m

B

q

2









(12)

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Sektrometr masowy

R

m

B

q

2

sin











B

q

m

R







Symbol oznacza wektor skierowany przed płaszczyznę rysunku, a symbolem oznaczamy wektor skierowany za płaszczyznę rysunku.



p k

E





m

_

_qU

2



U

q

B

R

m

2

2 2



(13)

Siła działająca na przewodnik z prądem

qvB

F



t

q

I



t

q

LB

B

t

L

q

F



t

L

v



BIL

F



B

L

I

F







sin

BIL

F



(14)

I

LI

F

B

LI

F

d

I

B

a b ba a b ba a a









90 sin

2

0 0





(15)

Przykład

Rozpatrzmy prostokątną ramkę o bokach a i b umieszczoną w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B. Przez ramkę płynie prąd o natężeniu I, a normalna do płaszczyzny ramki tworzy kąt θ z polem B

Działanie pola magnetycznego na zamknięty obwód z prądem

Rozpatrujemy siłę działającą na każdy z boków. Siły F_b

działające na boki b znoszą się wzajemnie. Siły F_a działające na boki a też się znoszą ale tworzą parę sił dającą wypadkowy

moment siły obracający ramkę



sin









R

F

M

R

F

M







sin

2 sin

2 











F

b

F

b

F

b

M

_a _a _a

IaB

F

_a









I



a



b



sin



I



S



B



sin

B

S

I



_

_

_



(16)

Magnetyczny moment dipolowy

S

I



_

_



Wektor μ jest prostopadły do płaszczyzny ramki z prądem. Pole magnetyczne działa więc na ramkę z prądem momentem skręcającym  obracając ją tak jak igłę

kompasu, która umieszczona w polu magnetycznym obraca się ustawiając zgodnie z polem.

B



_

_

_



Obracając dipol magnetyczny pole magnetyczne wykonuje pracę i wobec tego dipol posiada energię potencjalną która jest związana z jego orientacją w

zewnętrznym polu magnetycznym dana jest równaniem













cos





B

H



(17)

Magnetyczny moment dipolowy

B



_

_

_



Energia osiąga minimum dla momentu dipolowego μ równoległego do

zewnętrznego pola magnetycznego B, a maksimum gdy moment dipolowy jest skierowany przeciwnie do pola

(18)

Strumień pola można więc zapisać:

Zasada superpozycji – prawo Biota-Savarta

Zgodnie z zasadą superpozycji pól magnetycznych indukcja B w dowolnym punkcie pola magnetycznego przewodnika, przez który przepływa prąd o natężeniu I , równa jest sumie

wektorowej indukcji B_i, elementarnych pól magnetycznych wytwarzanych przez poszczególne odcinki l_i tego

przewodnika









n i i

B

1







d

B



u

j





u

qn

j





u

dq

u

dV

j



_

_

_

_

_

dV

r

j

k

r

u

dq

k

r

q

k

z

y

x

B

d

(

,

)

/

[

₃

]

/

[(

₃

)

]

/

[

₃



]



















(19)

Wprowadźmy wektor dl którego moduł równy jest długości elementu przewodnika, a kierunek pokrywa się z

kierunkiem prądu elektrycznego :

Zasada superpozycji – prawo Biota-Savarta

)

/

(

j

dl

l

d









l

d

I

l

d

dS

j

dl

dS

dl

l

d

j

dV

j

















(

)

(

)

3 /

[

]

)

,

(

r

l

d

I

k

z

y

x

B

d









Prawo Biota - Sawarta daje możliwość znalezienia indukcji pola magnetycznego prądu, płynącego w przewodniku o skończonych wymiarach i dowolnym kształcie.

(20)

O powstawaniu siły elektromotorycznej indukcji SEM decyduje szybkość zmian

strumienia magnetycznego _B .Ilościowy związek przedstawia prawo Faradaya.

Prawo indukcji Faraday’a

dt

d

_B ind









Analogicznie jak strumień pola elektrycznego E, strumień pola magnetycznego B przez powierzchnię S:







s B

BdS

W jednorodnym polu magnetycznym wyrażenie upraszcza się do postaci



cos

BS

B



(21)

Zjawisko indukcji elektromagnetycznej polega na powstawaniu siły

elektromotorycznej SEM w obwodzie podczas przemieszczania się względem siebie źródła pola magnetycznego i tego obwodu.

W obwodzie zamkniętym SEM indukcji wywołuje przepływ prądu indukcyjnego i w powstanie wytwarzanego przez ten prąd indukowanego pola magnetycznego

(22)

t

BS

B



cos





Strumień zmienia zarówno swoją wartość jak i znak, więc indukowana jest zmienna SEM. Jeżeli ramka obraca się z

prędkością kątową ω = α/t to strumień jest wówczas równy:

t

B

dt

d

_B ind













sin

W równaniu przedstawiającym prawo Faradaya występuje znak minus. Dotyczy on kierunku indukowanej SEM w obwodzie zamkniętym. Ten kierunek możemy

(23)

Reguła Lentza

Prąd indukowany ma taki kierunek, że wytwarzany przez niego własny strumień magnetyczny przeciwdziała pierwotnym zmianom strumienia, które go wywołały.

Prąd indukowany wytwarza pole przeciwne do pola

magnesu przy jego

zbliżaniu, a zgodne z polem magnesu przy jego

(24)

Rozpatrzmy obwód w kształcie prostokątnej pętli jest wyciągany z obszaru stałego pola magnetycznego (prostopadłego do pętli) ze stałą prędkością v.

Reguła Lentza

Jeżeli ramka przesuwa się o odcinek Δx to obszar ramki o powierzchni ΔS wysuwa się z pola B i strumień przenikający przez ramkę maleje o

x

Ba

S

B











Jeżeli ta zmiana nastąpiła w czasie Δt to zgodnie z prawem Faradaya

wyindukowała się siła elektromotoryczna

Bav

dt

dx

Ba

dt

d

_B ind

















R

Bav

R

I







(25)

Indukcyjność

Urządzeniem, w którym wykorzystano zjawisko indukcji elektromagnetycznej jest transformator. W urządzeniu tym dwie cewki są nawinięte na tym samym rdzeniu (często jedna na drugiej). Jedna z tych cewek jest zasilana prądem

przemiennym wytwarzającym w niej zmienne pole magnetyczne, które z kolei

wywołuje SEM indukcji w drugiej cewce. Ponieważ obie cewki obejmują te same linie pola B to zmiana strumienia magnetycznego jest w nich jednakowa.

Zgodnie z prawem Faradaya

dt

d

N

U







B 1 1

dt

d

N

U







B 2 2

gdzie N₁ jest liczba zwojów w cewce pierwotnej, a N₂ liczbą zwojów w cewce wtórnej

2 1 2 1

N

U

U 

(26)

Indukcyjność własna

O zjawisku indukcji możemy mówić również w przypadku pojedynczego obwodu. Prąd płynący w obwodzie wytwarza bowiem własny strumień magnetyczny, który przenika przez ten obwód

Gdy natężenie prądu przepływającego przez obwód zmienia się to zmienia się też, wytworzony przez ten prąd, strumień pola magnetycznego przenikający obwód, więc zgodnie z prawem indukcji Faradaya indukuje się w obwodzie SEM

dt

d

N

B ind









N



B



LI

I

N

L





B

_{[H=T m}

2

/A]

_{L- indukcyjność}

dI

L

d

N



B



Zatem







L

dI

(27)

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Indukcyjność cewki

l

S

N

L

I

NBS

L

2 0





NI

B





0

BS





I

N

L





B

Strumień pola magnetycznego jest równy

I

l

NS

0







d

S

C





0

Indukcyjność L podobnie jak pojemność C zależy tylko od geometrii układu.

Indukcyjność cewki możemy zwiększyć wprowadzając do niej rdzeń z materiału o dużej względnej przenikalności magnetycznej μ_r.

(28)

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM 2 U 1 U

t

N

t

I

M

N

I

M

I

N

M

d

21 2 1 21 21 2 1 21 1 21 2 21













t

I

M

d

1 2







t

I

M

d

2 1







M

21



12





Indukcyjność wzajemna

(29)

Energia pola magnetycznego

Jeżeli w jakimś punkcie przestrzeni istnieje pole elektryczne o natężeniu E to możemy uważać, że w tym punkcie jest zmagazynowana energia w ilości

Podobnie energia może być zgromadzona w polu magnetycznym. Rozważmy na przykład obwód zawierający cewkę o indukcyjności L. Jeżeli do obwodu włączymy źródło SEM (np. baterię) to prąd w obwodzie narasta od zera do wartości

maksymalnej I₀. Zmiana prądu w obwodzie powoduje powstanie na końcach cewki różnicy potencjałów ΔV (SEM indukcji ε) przeciwnej do SEM przyłożonej

V

E

W

2

2 0





dt

dI

L

V







dI

LIdI

dt

dq

L

dq

dt

dI

L

Vdq

dW







2 0 0 0

2

1

0 0

LI

LIdI

dW

W

I I









(30)

Plan wykładu

•Drgania – obwody R, L, C, RLC

•Drgania elektromagnetyczne tłumione

•Drgania elektromagnetyczne wymuszone – rezonans •Równania Maxwella

(31)

Drgania elektromagnetyczne

Rozpatrzmy obwód złożony z szeregowo połączonych indukcyjności L (cewki) i pojemności C (kondensatora). Przyjmijmy, że opór elektryczny (omowy) obwodu jest równy zeru (R = 0).

C

q

E

_E

2



2

LI

E

_B



W dowolnej chwili energia zawarta w polu elektrycznym kondensatora wynosi:

W dowolnej chwili energia zmagazynowana w polu magnetycznym cewki wynosi:

(32)

a) W chwili początkowej na kondensatorze C jest nagromadzony ładunek q, prąd w

obwodzie nie płynie. W takiej sytuacji energia zawarta w kondensatorze jest maksymalna.

b) Kondensator zaczyna rozładowywać się. W obwodzie zaczyna płynąc prąd o natężeniu I = dQ/dt. W miarę jak maleje ładunek na kondensatorze maleje też energia zawarta w polu elektrycznym kondensatora, a rośnie energia pola magnetycznego, które pojawia się w cewce w miarę narastania w niej prądu.

c) Gdy ładunek spadnie do zera cała energia jest przekazana do pola magnetycznego cewki. Jednak pomimo, że kondensator jest całkowicie rozładowany prąd dalej płynie w obwodzie (w tym samym kierunku). Jego źródłem jest SEM samoindukcji powstająca w cewce, która podtrzymuje słabnący prąd.

d) Prąd ten ładuje kondensator (przeciwnie) więc energia jest ponownie przekazywana do kondensatora.

e) Ładunek na kondensatorze osiąga maksimum i prąd w obwodzie zanika. Stan końcowy

(33)

Sytuacja powtarza się, tylko teraz prąd rozładowania kondensatora będzie płynął w przeciwnym kierunku. Mamy więc do czynienia z oscylacjami (drganiami)

ładunku (prądu). Zmienia się zarówno wartość jak i znak (kierunek) ładunku na kondensatorze i prądu w obwodzie.

Opiszmy ilościowo powyższą sytuację porównując ją do drgania klocka przymocowanego do sprężyny:

C

q

E

_E

2



2

LI

E

_B



2

kx

E

_P



dt

dx

v



2

mv

E

_K



dt

dq

I



Klocek-sprężyna Obwód LC

m

k





LC

1 



(34)

Całkowita energia układu klocek-sprężyna:

2

2 2

_kx

mv

E



_K



_P





dt

dx

kx

dt

dv

mv

kx

mv

dt

d

dt

dE





















2

2 2

Jeżeli układ porusza się bez tarcia to energia układu klocek-sprężyna nie zmienia się w czasie więc dE/dt=0:

0 









mva

kxv

dt

dx

kx

dt

dv

mv

dt

dE

0

2



 kx

x

d

m

x



x

cos(



t





)

(35)

Całkowita energia układu LC:

C

q

LI

E

_B _E

2

2 2









dt

dq

C

q

dt

dI

LI

C

q

LI

dt

d

dt

dE





















2

2 2

Skoro w naszym obwodzie R=0 to nie ma E termicznej i E nie zmienia się w czasie więc dE/dt=0:

0

2 2











I

C

q

dt

q

d

LI

dt

dq

C

q

dt

dI

LI

dt

dE

0

1

2 2



 q

C

dt

q

d

L

q



q

_max

cos(



t





)

(36)

Możemy też skorzystać bezpośrednio z II prawa Kirchhoffa dla naszego obwodu:

0 



_C L

U

)

cos(

max









q

t

q

0

1

2 2



 q

C

dt

q

d

L

0 



C

q

dt

dI

L

dt

dq

I



(37)

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Drgania elektromagnetyczne

)

(

cos

2

2 max 2 2









t

C

q

C

q

E

_E

)

(

sin

2

2 max 2 2 2 2























t

q

L

dt

dq

L

LI

E

_B

)

(

sin

2

2 max 2









t

C

q

E

_B

LC

1 



Uwzględniając, że

(38)

SZEREGOWY UKŁAD RLC

Całkowita energia układu RLC:

C

q

LI

E

_B _E

2

2 2









dt

dq

C

q

dt

dI

LI

C

q

LI

dt

d

dt

dE





















2

2 2

R

I

dt

dE

₂





(39)

W tym przypadku w naszym obwodzie R‡0 więc E termiczna występuje i szybkość jej zmian wynosi:

R

I

dt

dq

C

q

dt

dI

LI

dt

dE

₂









0

1

2 2





dt

dq

R

q

C

dt

q

d

L

q



q

_max

e



Rt

/

2 L

cos(



'

t





)

Znak – pokazuje, że E maleje

2

2 '

_



_

₍

_R

_/

₂

_L

₎





_LC

1

(40)

Energia pola elektrycznego zmienia się okresowo zgodnie z funkcją cos w kwadracie, a amplituda tych zmian maleje wykładniczo w czasie





_cos

₍

₎

2

2 )

cos(

2

' 2 / 2 max 2 ' 2 / max 2



















_e



_t

C

q

C

t

e

q

C

q

E

Rt L L Rt E

(41)

SZEREGOWY UKŁAD RLC - DRGANIA WYMUSZONE

Jeżeli do obwodu RLC dołączona zostanie zewnętrzna siła elektromotoryczna  to takie drgania ładunku, napięcia i natężenia prądu nazywamy wymuszonymi.

Zachodzą z częstością drgań wymuszonych _w

t

w







_max

sin

Zanim opiszemy powyższy obwód, najpierw przeanalizujmy trzy proste obwody składające się ze źródła SEM i jednego elementu z powyższego obwodu tzn. R, L, C













I

t

(42)

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM OBCIĄŻENIE OPOROWE













I

t

I

_R _R_max

sin

_w

t

U

_R





_max

sin



_w

0 



U

_R



t

U

_R



_R_max

sin



_w

_I

U

R



t

R

U

R

U

I

R R _w R



max

sin



Amplitudy napięcia i natężenia prądu dla czysto oporowego obciążenia związane są zależnością:

R

I

U

_R_max



_R_max

(43)

(44)

OBCIĄŻENIE POJEMNOŚCIOWE

t

U

_C



_C_max

sin



_w

Stosując II prawa Kirchhoffa dla tego obwodu znajdujemy napięcie na okładkach kondensatora:

t

CU

q

U

q

C

_C _C _C _w C C

_sin



max







Różniczkując to równanie otrzymamy prąd I

t

CU

dt

dq

I

C _w _C _w C





max

cos



Wprowadźmy wielkość zwaną

reaktancją pojemnościową

X

C

w

C

_

1 

(45)

OBCIĄŻENIE POJEMNOŚCIOWE

Zastąpmy cos funkcją sin przesuniętą w fazie:

Prąd I wyniesie wówczas:



o



w C C C

t

X

U

I



max

sin





90 

o



w w

t

sin

t

90 cos





















I

t

I

_C _C_max

sin

_w Lub inaczej: C C C

I

X

U

_max



_max

Amplitudy napięcia i natężenia prądu dla czysto pojemnościowego obciążenia związane są zależnością:

(46)

(47)

OBCIĄŻENIE INDUKCYJNE

Stosując II prawa Kirchhoffa dla tego obwodu znajdujemy napięcie na zaciskach indukcyjności:

t

U

_L



_L_max

sin



_w

dt

dI

L

U

L L



Całkując to równanie otrzymamy prąd I

t

L

U

tdt

L

U

dL

I

_w w L w L L

L







max



sin







_

max

cos



Wprowadźmy wielkość zwaną

reaktancją indukcyjną

X

L





w

L

t

L

U

dt

dI

w L L



max

_sin



(48)

Zastąpmy -cos funkcją sin przesuniętą w fazie:

Prąd I wyniesie wówczas:



o



w L L L

t

X

U

I



max

sin





90 

o



w w

t

sin

t

90 cos



















I

t

I

_L _L_max

sin

_w Lub inaczej:

X

I

U



Amplitudy napięcia i natężenia prądu dla czysto indukcyjnego obciążenia związane są zależnością:

(49)

(50)

(51)

Wróćmy do naszego obwodu RLC. Z II prawa Kirchhoffa dla tego obwodu wynika, że:

L C R

U











2 max max 2 max 2 max



U

R



U

C



U

L



Korzystając z wykresów wskazowych:

I ze związków amplitud:



 



2 max max 2 max 2 max



I

R



I

X

L



I

X

C



Otrzymamy wzór na prąd I:





2 2 max max C L

X

R

I









(52)

Wyrażenie z mianownika nosi nazwę impedancji lub zawady:

Korzystając z powyższej zależności wzór na prąd I wyniesie:





2 2 C L

X

R

Z







Z

I

max max









2 2 max max

/

1 C

L

R

I

w w











Zaś faza początkowa  wyniesie:

max max max max

L C L C L C

U

I

X

I

X

tg

U

I

R

(53)

Z

R

Z

I

R

I

E

U

_R



max max max max

cos



C L

X



charakter indukcyjny

C L

X



dodatni



charakter pojemnościowy

ujemny



C L

X



stan rezonansu

_

_

₀

(54)

SZEREGOWY UKŁAD RLC - REZONANS

Dla danego R amplituda drgań osiąga maksimum gdy wyrażenie w nawiasie w mianowniku = 0

L

C

w w





1 LC

1

r









2 2 max max

/

1 C

L

R

I

w w











Czyli gdy:

Częstość kołowa drgań wymuszonych ω jest równa częstości kołowej drgań

swobodnych ω_r

(rezonansowych - własnych drgań obwodu)

X

(55)

MOC W OBWODACH PRĄDU ZMIENNEGO

W układzie RLC energia dostarczana jest przez źródło prądu zmiennego. Pewna jej część gromadzona jest w polu elektrycznym kondensatora, inna w polu magn cewki oraz rozpraszana na oporniku w postaci energii termicznej. Chwilowa szybkość

rozpraszania energii (moc chwilowa) wyniesie:

I = I

_max

sin(



t)

P = I

2

R = [(I

_max

) sin(



t)]

2

R

P = (I

_max

)

2

R sin

2

(



t)

R

I

R

I

P

_śr 2 max 2 max

2

2 

_











(56)

MOC W OBWODACH PRĄDU ZMIENNEGO

2

max

I

_sk



_P

_śr



_I

_sk2

_R

2

max

U

_sk



U

_sk

= 230V

U

_max

= 325V

I_sk dla prądu zmiennego = I prądu stałego przy którym na oporze wydzieli się taka sama ilość ciepła w jednostce czasu