Elektrische cricuits; model, structuur en dynamica. Deel 2

deel 2

ELEKTRISCHE CIRCUITS

model, structuur en dynamica

. Bibliotheek TU Delft 111/111111111111111111111111111111 C 0003814077 " - - - -

-2414

371

o

deel 2

ELEKTRISCHE CIRCUITS

model, structuur en dynamica

dr. ir. F.

L. Neerhoff

.

universitair hoofddocent

Technische Universite

i

t Delft

CIP-GEGEVENS KONINKLUKE BIBLIOTHEEK, DEN HAAG Neerhoff, F.L.

Elektrische circuits: model, structuur en dynamica / F.L. Neerhoff. - Delft: Delftse Universitaire Pers. - IJl.

DL 2

Uitg. in opdracht van: Vereniging voor Studie- en Studentenbelangen.

- Met Iit. opg., reg. ISBN 90-407-1251-4 Trefw.: netwerktheorie

© VSSD Eerste druk 1996

Uitgegeven door:

Delftse Universitaire Pers Stevinweg I, 2628 CN Delft

tel. 015 - 278 3254, telefax 015 - 278 1661.

In opdracht van:

Vereniging voor Studie- en Studentenbelangen te Delft Poortlandplein 6, 2628 BM Delft

tel. 015 - 278 2124, telefax 015 - 2787585, e-mail: vssd@tudelft.nl internet: pubwww.tudelft.nVvssd

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opge-slagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. . All rights reserved. No part of th is publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photo-copying, recording, or otherwise, without the prior written permission of the publisher.

5

VOORWOORD

Dit studieboek is het tweede deel uit een reeks van vier. Het geheel biedt een fundamentele inleiding tot de theorie van elektrische circuits.

Elektrische circuits worden breed geïnterpreteerd. Niet-lineaire elementen worden van meet af aan in de theorie betrokken. Voorts worden meer-klemmen com-ponenten toegelaten. Met name wordt aandacht besteed aan (niet-lineaire) transistor-circuits en transistor-circuits met (niet-lineaire) operationele versterkers.

Ofschoon de theorie tamelijk strak is opgezet, wordt de technisch-fysische realiteit nimmer uit het oog verloren. Het elektrische circuit als praktisch bruikbaar model staat centraal.

De netwerkstructuur wordt vastgelegd in een geschikte circuit-matrix. De daarop gebaseerde tableau- en kriooppuntmethode worden als algemeen toepasbare analyse methoden gepresenteerd. Zij lenen zich bij uitstek voor computergebruik. Tevens dienen zij als didactisch en theoretisch hulpmiddel..

Het toestandsconcept wordt reeds vroeg geïntroduceerd. Daarmee wordt meteen een methode verschaft om de kwalitatieve dynamica van niet-lineaire circuits te onder-zoeken. Bij lineaire circuits wordt overgestapt naar het frequentie-domein.

De vele oefeningen en vraagstukken vormen een geïntegreerd bestanddeel van de studiestof. Antwoorden van vraagstukken zijn toegevoegd.

De talloze verwijzingen naar de internationale vakliteratuur kunnen van nut zijn voor een ieder die zich verder wenst te verdiepen in de theoretische aspecten van elektrische circuits.

F.L. Neerhoff

, s Gravenhage, juni 1996

,- -_ _ _ _ _ _ _ __ d·~---~ _ _ - - r

7

INHOUD

VOORWOORD 5 7 SYSTEMATISCHE ANALYSE 9 7.1 Tableaumethode 10 7.1.1 Inleiding 10

7.1.2 Lineaire resistieve circuits 11

7.1.3 Bestuurde bronnen 15

7.1.4 Niet-lineaire resistieve circuits 20

7.1.5 TA-stempels 22

7.1.6 Dun-bezette matrices 26

7.2 Knooppuntmethode 28

7.2.1 Inleiding 28

7.2.2 Ongewijzigde knooppuntmethode (NA-methode) 28

7.2.3 NA-stempels 37

7.2.4 Gewijzigde knooppuntmethode (MNA-methode) 40

7.2.5 Bestuurde bronnen 51

7.2.6 Niet-lineaire resistieve circuits 55

7.2.7 MNA-stempels 58

7.3 Maasmethode 65

7.3.1 Inleiding 65

7.3.2 Lineaire resistieve circuits 67

7.3.3 Niet-lineaire resistieve circuits 70

7.4 Newton-Raphson-circuits 71

Samenvatting 76

Appendix 7.A Matrixformulering NA-methode 79

Appendix 7.B Matrixformulering MNA-methode 83

Appendix 7.C Bewijs van det M

=

±

det T 87

Appendix 7.D Existentie en eenduidigheid 88

Referenties 95

Vraagstukken 96

Antwoorden 117

8 BASISSTELLINGEN 132

8.1 Lus-snede uitsluitingsbeginsel 133

8.1.1 Bovengrenzen voor spanningen en stromen 136

8.1.2 Signaalversterking 140

8.2 Theorema van Tellegen 143

-8 Elektrische circuits

8.2:1 Behoud van vermogen 146

8.2.2 Vermogensbalans 147 8.2.3 Een eenduidigheidsbewijs 148 8.2.4 Reciprociteit 150 8.2.5 Gevoeligheidsanalyse 151 8.3 Bron-manipulaties 153 8.4 Substitutie beginsel 156 8.5 Superpositie beginsel 158

8.6 Theorema's van Thevenin en Norton 160

8.7 Vermogensaanpassing 168

Samenvatting 170

Referenties 172

Vraagstukken 173

Antwoorden 187

9 HET HARMONISCHE REGIME 193

9.1 Lineaire en tijd-invariante dynamische systemen

194

9.2 De complexe rekenwijze (theorie) 204

9.3 Berekeningen in het fasor-domein 212

9.4 Fasor-diagrammen 219

9.5 Eenpoorten 226

9.6 Frequentie-afhankelijkheid 229

9.7 Vermogens 245

9.7.1 Gemiddelde en effectieve waarde 245

9.7.2 Vermogensgrootheden 249

9.7.3 Behoud van complex vermogen 258

9.7.4 Complexe vermogensbalans 259

9.7.5 Vermogensaanpassing 265

Samenvatting 267

Appendix 9.A Complexe getallen 271

Appendix 9.B Drie-fasen netten 278

Referenties 283

Vraagstukken 283

Antwoorden 299

_,I

TREFWOORDEN 309

9

7

SYSTEMATISCHE ANAL VSE

In dit hoofdstuk worden drie verschillende methoden behandeld waarmee netwerk-problemen systematisch kunnen worden geanalyseerd. Zij geven de gewenste aan-vulling op de in Hoofdstuk 5 besproken inspectietechnieken. Ofschoon de methoden exclusief voor resistieve circuits worden uitgewerkt, blijken de ontwikkelde inzichten tevens bruikbaar voor dynamische circuits.

De eerste methode staat bekend als de tableaumethode . In paragraaf 7.1 wordt de versie behandeld die is gebaseerd op de knooppunt-tak incidentiematrix. Daarmee krijgen de KIRCHHOFF-vergelijkingen de matrixvorm van knooppunt KCL's en elementaire KVL's. De u-i-relaties van de samenstellende netwerkelementen worden daar eveneens in matrixvorm bijgezet. Tezamen heten de aldus ontstane netwerk-vergelijkingen de tableaunetwerk-vergelijkingen van het circuit. De takstromen, de

takspan-ningen en de potentialen komen er als gelijkwaardige onbekenden in voor.

Daar er geen beperkingen gelden voor zowel de netwerkstructuur als de elektrische eigenschappen van de samenstellende elementen, is de tableaumethode

algemeen toepasbaar. Samen met de transparante structuur van de tableau-vergelijkingen, maakt dit de methode aantrekkelijk voor theoretische doeleinden. Om dezelfde reden is de methode tevens geschikt voor computerprogrammering. Nadeel is echter het grote aantal netwerkvergelijkingen dat opgelost moet worden. De tableaumethode is daaçom ongeschikt voor handmatige berekeningen.

Indien het elektrische circuit uitsluitend spanningsbestuurde elementen bevat, kunnen alle onbekende takstromen via de u-i-relaties uit de knooppunt KCL's worden geëlimineerd. Door in het resultaat tevens alle takspanningen via de elementaire KVL's uit te schrijven in potentialen, ontstaat er uit de tableau-vergelijkingen een kleiner stelsel vergelijkingen waarin de potentialen als enige onbekenden voorkomen. Genoemde netwerkvergelijkingen staan bekend als de

knooppuntvergelijkingen. Paragraaf 7.2 laat zien dat de knooppuntvergelijkingen

direct en methodisch van het circuit kunnen worden afgelezen. De methode heet de

knooppuntmethode. Tevens blijkt dat de eerdere beperking tot spanningsbestuurde

elementen eenvoudig kan worden opgeheven. De resulterende methode is net als de tableaumethode algemeen toepasbaar, en heet de gewijzigde knooppuntmethode.

Het voordeel van het kleinere aantal netwerkvergelijkingen, gevoegd bij het gemak waarmee zij van het circuit worden afgelezen, maakt de (gewijzigde) knoop-puntmethode geknipt voor handmatige berekeningen. Het is ook vanuit dit

perspec-10 Elektrische circuits

tief dat de methode wordt ingeleid. Voor de meer formele kant wordt verwezen naar de appendices. Naast genoemde voordelen, blijkt de (gewijzigde) knooppuntmethode tevens geschikt voor computerprogrammering.

De derde methode heet de maasmethode, die in paragraaf7.3 aan bod konit. In tegenstelling tot de twee andere methoden, is de maasmethode beperkt tot elektrische circuits met een planaire netwerkgraaf. Voor het overige is de methode geheel duaal met de (gewijzigde) knooppuntmethode.

Bij het oplossen van niet-lineaire netwerkproblemen is men doorgaans aange-wezen op numerieke methoden. Paragraaf 7.4 laat zien dat toepassing van het eerder behandelde NEWTON-RAPHSON-,.lgoritme, kan worden vertaald naar het herhaald oplossen van een overeenkomstig lineair netwerkprobleem. Daarbij wordt met voor-deel gebruikt gemaakt van de fundamentele circuiteigenschap dat de KIRCHHOFF~ vergelijkingen steeds lineair zijn.

Appendix 7.D behandelt de existentie en eenduidigheid van (niet-)lineaire resistieve netwerkproblemen.

7.1 TABLEAUMETHODE

1'.1.1 Inleiding

Uitgangspunt is het in Hoofdstuk 3 opgevoerde netwerktableau, daar genoteerd als (vergelijk (3.64)) (7.1) { l.Ai=O 2. u -ATv=O 3. u-i-relaties. (knoopunt KCL's) (elementaire KVL's)

Indien het te analyseren elektrische circuit n knopen en b takken telt, is de

geredu-ceerde knooppunt-tak incidentiematrix A E IR(n-l)xb, terwijl de kolomvectoren i

=

[il i2 ... ibf, u

=

[UI U2 ... ubf en v

=

[VI V2 ... vn_Ifrespectievelijk de tak-stroomvector, de takspanningsvector en de potentiaalvector zijn. Steeds geldt i = i(t), u

=

u(t) en v

=

v(t).

Daar de b takstromen, b takspanningen en (n - 1)-potentialen in (7.1) als gelijkwaardige netwerkvaria~elen worden opgevat, is het aantal onbekenden in het tableau gelijk aan 2b + (n - 1). Hiervoor staan even zoveel netwerkvergelijkingen ter beschikking, te weten (n - 1) lineair onatbankelijke KCL's, b lineair onatbankelijke KVL's en b u-i-relaties.

Tot hier niets nieuws; wij hebben slechts herhaald wat in Hoofdstuk 3 werd gevonden. Rest nu te laten zien hoe de u-i-relaties op een systematische manier in het tableau (7.1) worden gezet.

7. Systematiséhe analyse 11

7.1.2 Lineaire resistieve circuits

Vooreerst beperken wij ons tot>lineaire resistieve circuits waarin bovendien géén bestuurde bronnen voorkomen. Dus, een samenstellende tak staat voor een lineaire weerstand R/geleiding G, een onatbankelijke spanningsbron of een onatbankelijke stroombron. Figuur 7.1 geeft een overzicht; steeds zijn de referentie richtingen aan elkaar toegevoegd (i komt bij de plus-klem binnen).

Figuur 7.1. Toegelaten resistieve elementen.

Indien tak m een weerstand representeert, noteren wij de u-i-relaties voor de gelegenheid als

(7.2) _{Um -} Rim

=

0 of im - GUm

=

O.

Bij gebruik van de takspanningsvector u en de takstroomvector i, kan (7.2) als volgt in vectorvorm worden gegoten

(7.3) { J,m J,m [0 0 ... 1 .. ,. O]u + [0 0 .. , -R ,., O]i

=

0, of J,m J,m [0 0 ... -G ... O]u + [0 0 ... 1 ... O]i

=

0, waarin de rij vectoren steeds b elementen bevatten.

De u-i-relati.e van de spanningsbron in figuur 7. I luidt Um

=

e voor alle waarden van im, ofwel

J,m J,m

(7.4) [00 ... 1 ... O]u + [00 ... 0 ... O]i

=

e, terwijl voor de stroombron wordt gevonden

J,m J,m

(7.5) [0 0 ... 0 ... O]u

+

[0 0 ... 1 ... O]i

=

j.

Vergelijken van (7,3), (7.4) en (7,5) leert dat u-i-relaties van de toegelaten netwerkelementen alle in de volgende matrixvorm kunnen worden gepast

12 Elektrische circuits

Atbankelijk van het type netwerkelement zijn de rijen van G en R juist gelijk aan de._ rij vectoren in (7.3), (7.4) of (7.5); de elementen van w zijn er de rechterleden van. Dus, voor een gegeven circuit zijn G en R vierkante matrices, terwijl ween kolom-vector is; de dimensie is steeds gelijk aan het aantal takken b.

Opmerking 7.1

Ofschoon de symbolen G en R anders suggereren, volgt uit de definitie van deze matrices dat hun elementen niet steeds de eenheid van respectievelijk conductantie [SJ of resistantie [Q] hebben.

Beschouw ter illustratie het lineaire resistieve circuit van figuur 7.2. Merk op dat de éne weerstand is opgegeven in ohm en de andere in siemens. De figuur toont tevens de bijbehorende, naar willekeur gerichte netwerkgraaf. Zoals steeds, wordt de standaard tekenconventie van toepassing verklaard (de referentie-richtingen van u en i zijn aan elkaar toegevoegd; zie Hoofdstuk 3).

2Q

+

4V 4

Figuur 7.2. Een lineair resistief circuit met gerichte netwerkgraaf.

Het circuit telt b = 4 elementen, zodat u = [UI u2 u3 u4f en i = [il i2 i3 i4f. De vier u-i-relaties worden in overeenstemming met (7.6) verkregen als

[

1 0 0

mt]

[

0 0 0

~] [~]

[1]

(7.7) ₀ 1 0 0 -2 0 + = 0 0 -3 0 0 I 0 0 0 0 0 0 , '-v--' _{' '--.-' ' - v - '} G u + R = w

Men ziet dat w de bekende bronsterkten bergt, steeds voorzien van het juiste voor-teken.

Oefening 7.1 Ga na dat G en R in (7.7) singuliere matrices zijn.

(7.8)

Met de schrijfwijze (7.6) gaat het tableau (7.1) over in

{ 1.Ai=O 2. u-ATv=O 3. Gu + Ri

=

w (knoopunt KCL's) (elementaire KVL's) (u-i-relaties).

-7. Systematische analyse 13

De drie afzonderlijk vergelijkingen in (7.8) kunnen tot een enkele matrixverge-lijking worden gegroepeerd. Het resultaat staat hieronder; het heten de

tableau-vergelijkingen van het circuit (zie Opmerking 7.7 aan het eind van paragraaf 7.1.6

voor alternatieve tableaufonnuleringen).

Tableauvergelijkingen voor lineaire resisitieve circuits

x

=

b

In (7.9) zijn 0 en 1 respectievelijk een nul- en eenheidsmatrix van passende

dimensie. De vierkante matrix T heeft de dimensie 2b + (n - 1), en heet de

tableaumatrix van het circuit. De bekende kolomvector

b

=

[OT OT wTJT heeft de dimensie 2b + (n - 1), en wordt om voor de hand liggende reden de bronvector genoemd. De onbekende kolomvector x = [vT uT iTf is eveneens van de dimensie 2b

+ (n - 1), en dient te worden berekend.

Oefening 7.2 Geef de dimensies van de in (7.9) voorkomende nul-matrices. Beant-woord dezelfde vraag voor de eenheidsmatrix.

De beschreven methode ter formulering van het netwerkprobleem, heet de

tableau- of TA-methode (van Eng. Tableau Analysis). Merk op dat er geen beperking geldt voor de netwerkstructuur. Steeds kunnen de TA-vergelijkingen voor de beschouwde klasse van elektrische circuits systematisch worden opgesteld.

De TA-vergelijkingen hebben de karakteristieke eigenschap dat de

netwerk-structuur (de matrix A) en de u-i-relaties er apart van elkaar in voorkomen. Bij elke

andere analysemethode blijken deze circuitaspecten steeds in elkaar te zijn vervlochten. Het is juist vanwege de transparante structuur van de tableaumatrix dat de TA-methode aantrekkelijk is voor theoretische doeleinden. Zoals we nog zullen zien, kunnen er allerlei circuiteigenschappen uit worden gedistilleerd. Bovendien zijn de andere analysemethoden er rechtstreeks uit af te leiden (zie verderop).

Zoals elke analysemethode, vertaalt de TA-methode het netwerkprobleem naar een wiskundig probleem. We staan immers voor de taak het stelsel lineaire

alge-braïsche vergelijkingen (7.9) op te lossen.

Gesteld dat het netwerkprobleem precies één oplossing heeft (zie Appendix 7.D voor voldoende voorwaarden), dan kan die oplossing volgens (7.9) formeel worden genoteerd als [1]

14 Elektrische circuits

Ter-verkrijging van numerieke antwoorden is de eliminatie methode van GAUSS of

een l:U~decompositie de geëigende procedure [I].

Oefening 7.3 Bewijs dat een lineair resistief circuit precies één oplossing heeft

alleen als T niet-singulier is of, wat op hetzelfde neerkomt, als

det T ~ O. Ga aan de hand van de in paragraaf 5.5 uiteengezette inzichten na dat indien het circuit lussen van spanningsbronnen of sneden van stroombronnen bevat, er kennelijk geldt det T

=

0 (zie ook Vraagstuk 7.3).

Als voorbeeld worden de tableauvergelijkingen van het in figuur 7.2 weergege-ven circuit opgesteld. Bij keuze~an knoop C) als datum, wordt afgelezen dat (zie Hoofdstuk 3) A=

CD

(2)

o

-1

o

-1

o

Samen met de eerder verkregen u-i-relaties (7.7), worden de tableauvergelijkingen gevonden als 0

Ol

I 0 0 0 0: -1 1 0 0 VI 0 I I 0

Ol

_I 0 0 0

Ol

I 0 -1 1 -1 v2 0

--

---,---r---1 0 I 1 0 0

Ol

0 0 0 0 UI ₀ I I -1 1 : 0 1 0 0: 0 0 0 0 U2 0 I I 0 -1 : 0 0 0: 0 0 0 0 ~ 0 (7.12) I I 0 1 : 0 0 0 1 : 0 0 0 0 U4 - 0 ---~---r---0

Ol

I 0 0

Ol

0 0 0 0 II -4

}w

I I I I ~ 0

Ol

_I 0 0

Ol

_I 0 -2 0 0 0 0 0: 0 _I 0 -3 0: 0 0 _I 1 0 ~ 0 0 0: 0 0 Q 0: 0 0 0 i4 ₅

.

'~ ~ T x

₌

b

Dit stelsel van2b + (n - 1)

=

10 lineaire algebraïsche vergelijkingen dient vervol-gens te worden opgelost naar de 10 onbekenden VI, V2, UI, U2, U3, U4, i(, i2, i3 en i4. Een door de computer uitgevoerde eliminatie volgens GAUSS geeft het antwoord als x

=

[4V, 2V, -4V, 2V, 2V, -2V, IA, IA, 6A, 5Af. Men kan dit zelf nagaan door het stelsel (7.12) met het standaard computer-programma MATLAB [2] op te lossen.

-7. Systematische analyse 1 5 Het voorbeeld illustreert duidelijk dat zelfs zeer eenvoudige circuits aanleiding geven tot een groot aantal tableauvergelijkingen. Dit maakt de tableau methode ongeschikt voor handberekeningen.

Oefening 7.4 Hoe veranderen de tableauvergelijkingen als niet knoop

Q),

maar knoop

CD

het datum is? Hoe zal de oplossing x veranderen? Doe een uitspraak over de uitkomst van det T.

Oefening 7.5 Bereken de oplossing van het zojuist behandelde netwerkprobleem met behulp van de inspectietechnieken van Hoofdstuk 5. Maak daarbij tevens gebruik van een bron-equivalent.(Hoofdstuk 6).

Opmerking 7.2

Lineaire, doch tijd-variante resistieve elementen zijn eveneens toegelaten. In dat geval zijn de constitutieve coëfficiënten een functie van de tijd t, zodat de u-i-relaties worden G(t) u + R(t)i

=

w, waarin zoals steeds u

=

u(t), i

=

iet) en w

=

wet). De (nog steeds lineaire) tableauvergelijkingen lezen dan als T(t) x(t)

=

bet). Daar elementen van de coëfficiëntenmatrix T nu op elk tijdstip een andere waarde hebben, dient bij een numerieke oplossing voor een reeks van tijdstippen steeds een complete LU-decompositie te worden uitgevoerd [1].

Opmerking 7.3

De lineaire tableauvergelijkingen (7.9) gelden zelfs als het circuit affiene weer-standen bevat. De u-i-relaties van deze (niet-lineaire) weerstanden worden immers beschreven door au + bi + c = 0 met c"# 0 (een niet door de oorsprong gaande rechte in het u-i-vlak; zie Hoofdstuk 4). Men ziet dat zulke affiene relaties naadloos in de algemene vorm Gu + Ri

=

w passen. Daar de spanningsdoos en de stroomdoos (Hoofdstuk 6) kunnen worden opgevat als affiene weerstanden, kunnen zij als een enkele component in de lineaire tableauvergelijkingen worden bijgezet. In samen-hang hiermee wordt nog opgemerkt dat een affiene weerstand - net als een onafhankelijke bron - maakt dat w"# 0, zodat ook b "# 0 in Tx

=

b.

7.1.3

Bestuurde bronnen

We laten nu zien dat lineaire resistieve circuits die ook (lineaire) bestuurde bronnen bevatten, eveneens binnen de behandelde theorie vallen. Het blijkt namelijk dat de u-i-relaties van de bestuurde bronnen gemakkelijk in de matrixvorm (7.6) kunnen worden gevoegd. Nieuw is wel dat de bestuurde bron samen met de sturende variabele als een functioneel geheel moet worden behandeld.

Dit wordt toegelicht aan de hand van het circuit van figuur 7.3(a) waarin een. spanningsbestuurde stroombron voorkomt.

16 Elektrische circuits

bestuurde tak

+

(a) (b)

Figuur 7.3. Circuit met spanningsbestuurde bron (a) en uitgebreide netwerkgraaf (b). Het ~gestippelde lijnsegment is een zogenaamde open tak; d.w.z. een kunstmatig

aangebrachte tak. met de elektrische eigenschappen van een open klemmenpaar. Het plaatsen van zo'n tak. heeft uiteraard geen enkel effect op de spanningen en stromen in het circuit, maar wèl op de netwerkgraaf; die wordt uitgebreid met een extra parallel-tak (figuur 7.3(b)). Het idee achter deze louter topologische kunstgreep is de

stuurspanning u als het ware van. een eigen drager te voorzien. Samen met de aldus gevormde sturende tak is de bestuurde bron een op zichzelf staande netwerkcompo-nent.

Laat nu tak m de sturende tak. voorstellen, terwijl de bestuurde bron zij opge-nomen in tak n. In figuur 7.4(a) is de combinatie los van het circuit weergegeven.

in in +Q

E"~

+ Q

E"~

, , \ im \ im \ \ um I _U m I I I I I I , , , - 0 - 0 (a) (b)

Figuur 7.4. De spanningsbestuurde stroombron (a) en de spanningsbestuurde spannings-bron (b) vormen samen met de sturende tak een enkele netwerkcomponent.

De u-i-relaties van deze vier-klemmen component luiden irn

=

0 voo,. alle waarden

van Urn (de sturende tak is een open klemmenpaar) en in = gurn ~ in - g Urn = 0 voor alle waarden van Un (de bestuurde bron is een stroombron). Zij kunnen als volgt in matrixvorm worden genoteerd .

(7.13)

Indien u

= [

.

..

Urn •.• un ..•

f

en i

= [ .. .

i rn .•. in ...

f

respectievelijk de takspannings- en

takstroomvector van het beschouwde circuit zijn, dan ziet men dat (7.13) inderdaad in de eerder ingevoerde matrixvorm

(7.6) Gu + Ri

=

w

kan worden gepast.

. I

I

I

I

7. Systematische analyse 17

Vervang de bestuurde bron in figuur 7.3(a) thans door een afhankelijke span-ningsbron en laat de sturende variabele opnieuw de spanning u .zijn. Met toepassing van dezelfde kunstgreep als hierboven, kan de combinatie van bestuurde bron en

open tak weer als een enkele component worden opgevat. De u-i-relaties worden van

figuur 7.4(b) afgelezen als im

=

0 voor alle U_m (de sturende tak is een open klemmenpaar) en Un

=

J1 Um ~ Un - J1 Um

=

0 voor alle in (de bestuurde bron is een

spanningsbron), ofwel

(7.14)

Hierin wordt opnieuw de matrixvorm (7.6) herkend.

Beschouw vervolgens het circuit van figuur 7.5(a) waarin een stroombestuurde

stroombron is opgenomen.

sturende tak

f

bestuurde tak

(a) (b)

Figuur 7.5. Circuit met stroombestuurde stroombron (a) en uitgebreide netwerkgraaf (bt

Door het kunstmatig aanbrengen van een extra aansluitklem op de aangegeven lokatie, wordt bereikt dat de stuurstroom i een eigen drager krijgt. De aldus ontstane extra serie-tak heet een kortsluittak; de elektrische eigenschappen zijn die van een

kortsluiting (vergelijk figuur 7.5(b)). Samen met de bestuurde bron vormt de kortsluittak een op zichzelf staande netwerkcomponent. In figuur 7.6(a) is de

component apart afgebeeld.

De u-i-relaties zijn Um

=

0 voor alle im (de sturende tak is een kortsluiting) en in

=

aim ~ in -aim

=

0 voor alle Uno In matrixvorm lezen zij

(a) (b)

Figuur 7.6. De stroombestuurde stroombron (a) en de stroombestuurde spanningsbron (b)

vormen samen met de sturende tak een enkele netwerkcomponent.

18 Elektrische circuits

Tot slot worden de u-i-relaties van de in figuur 7.6(b) afgebeelde stroom-bestuurde spanningsbron afgelezen als U_m

=

0 voor alle i_m en U_n

=

r i_m <=> U_{n -} r i_m

=

o

voor alle in. Dus (7.16)

Samenvattend wordt geconcludeerd dat de u-i-relaties van de bestuurde bronnen steeds in de collectieve vorm (7.6) passen. Daarmee is aangetoond dat de tableauvergelijkingen (7.9) van toepassing zijn voor lineaire resistieve circuits die tevens bestuurde bronnen bevatten.

Opmerking 7.4

Atbankelijk van de omstandigheid of de sturende variabele een spanning dan wel een stroom is, dient de matrix A van het te onderzoeken circuit te worden aangevuld met respectievelijk een extra kolom (alléén een extra tak) of een extra kolom én een

extra rij (zowel een extra tàk als een extra knoop); vergelijk de netwerkgrafen van respectievelijk figuur 7.3(b) en figuur 7.5(b).

Opmerking 7.5

Het functionele geheel .van sturende tak en bestuurde bron staat bekend als een

transactor. De hierboven behandelde vier verschillende typen zijn alle resistieve vier-klemmen componenten. Resistief, omdat de spanning en de stroom op één en hetzelfde tijdstip in de u-i-relaties voorkomen (vergelijk de u-i-relaties van een twee-klemmen weerstand). Bovendien vormen de sturende tak en <Ie bestuurde bron elk een poort (ingaande stroom

=

uitgaande stroom; zie Hoofdstuk 3). Daarom is de transactor naar zijn aard een twee-poort.

Opmerking 7.6

De u-i-relaties van bestuurde of afhankelijke bronnen leveren in het rechterlid van Gu + Ri = w steeds de bijdrage w = O. Dit staat in duidelijk contrast met de

7. Systematische analvse .19

We sluiten de paragraaf af met het opstellen van de tableau vergelijkingen voor het lineaire resistieve circuit van figuur 7.7(a).

15

n

4 u ::::::}

+

@

(a)

Figuur 7.7 .. Lineair resistief circuit (a) met uitgebreide netwerkgraaf (b).

Na uitbreiding van de netwerkgraaf met een extra tak voor de stuurspanning u, ontstaat de naar willekeur gerichte graaf van figuur 7.7(b) .. Hierin refereren de dik getrokken lijnstukken naar de als transactor opgevatt~ bestuurde bron (Opmerking 7.5).

We tellen 5 takken ,en 3 knopen, zodat de tableaumatrix T van de dimensie

2b + (n - 1) = 12 is. Bij keuze van knoop Q) als datum, worden de tableauvergelij-kingen (7.6) gevonden als

(7.17) ,...--A----., knopen· , tak!<en tak!<en

knopen { r---:...-:...., I -1 1 , 1 : I: 1 0'1 VI 0 0 , , , _{:1 ::} 0 0 0 : -I , , W -1" v2 -...; - - -

_,-

- -

- --

-

-

- -

-

- - - ...!" =---~ _I~:-=-

=

~!I -0 I I 1 0 0 0 0 uI 0 -1 0 I 0 1 0 0 0 0 I U2 r - - - -II , , r --I takken ~

.:-J ___

J~ I 0 0 , _~ I , 0 0 0 u3 :5~: - -I 1---.11 rr--II ': -1 0'" 0 0 0 1 0 u4 " 0 .. :' ::1 "

..

"

"

': 0 }"I 0 0 0 0 u5

:l

9d:

~=-=~=-=.=~I-- - - _" __

_---

-I 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 il j 0 1 0 0 0 0 --6 0 0 0 _~ 0 , , ~ ---, r -, takken 0 0 0 _~ , 1 ' _{- - I} 0 0 0 0,-15, 0 _~ 0 i3 ' 0' w - --' , __ I ,-_ -_ -_ -_ -_ -_ -., I r--:...---" _r, --11 I 0 0 0 ,' 0 0" 0 0 0 " 1 0" i4 11011

::

::

" 11 " II I ,I II I, jI 0 0 0 ,:-4 1" 0 0 0 W 0" l5 ',0 .. ,======':' '--: : : :.!.' I~:: .::' ~ ~ T x

₌

b

Hierin zijn de enkel en dubbel gestippelde blokjes de afzonderlijke bijdragen van respectievelijk de weerstand van 15 Q en de spanningsbestuurde bron (zie ook par.

7.1.5). Merk op dat de u-i-relaties van dit laatste elemènt, zoals steeds bij

afhanke-lijke bronnen, homogene vergelijkingen opleveren. Alléén de voor te schrijven sterkten van de onafhankelijke bronnen levèren een bijdrage aan de bron vector b

I 11 I i.

20 Elektrische circuits

(maken de tableau vergelijkingen inhomogeen); zie Opmerking 7.6.

Voor j

=

3 A geeft een computer-berekening (bijvoorbeeld met MA TLAB [2]) de oplossing van het stelsel (7.17) als v = [6,-24f volt, u = [-6,6,30,6,24f volt, i=

[3,1 ,2,0,-2]T ampère.

Oefening 7.6 Hoe verandert het stelsel (7.17) indien de referentierichting van i3

wordt omgekeerd?

Oefening 7.7 Wat wordt de uitkomst alsj

=

6 A? En alsj

=

3 cos(2t) A? (Antwoord:

x'

=

2x, x"

=

x cos(2t), waarin x de oplossing is alS

j

=

3 A.)

Oefening 7.8 Vind de oplossing van het netwerkprobleem middels een simpele berekening. Neemj

=

3 A.

7.1.4

Niet-lineaire resistieve circuits

In deze paragraaf wordt de tableaumethode uitgebreid tot algemene niet-lineaire resistieve circuits. Daartoe gaan we na hoe de u-i-relaties van de samenstellende niet-lineaire weerstanden op een systematische manier in het oorspronkelijke tableau (7.1) kunnen worden verwerkt (de daarin voorkomende KCL's en KVL's blijven uiteraard van dezelfde gedaante!).

In Hoofdstuk 4 werd de u-i-relatie van een niet-lineaire, tijd-invariante (auto-nome) weerstand genoteerd als (vergelijk (4.11»"

(7.18) fR(U, i)

=

0,

waarin u

=

u(t) en i

=

iet). Indien de weerstand bovendien tijd-variant (niet-autonoom) is, schreven we (vergelijk (4.18»

(7.19) fR(U, i, t)

=

0.

Deze laatste schrijfwijze is zeer algemeen: naast niet-lineaire weerstanden, vallen de

onafhankelijke bronnen met al dan niet variërende sterkte er eveneens onder (zie par.

4.6).

Oefening 7.9 Noteer de u-i-relatie van een lineaire weerstand van 5 Q in de vorm (7.19). Beantwoord dezelfde vraag voor een onafhankelijke span

-ningsbron met sterkte e

=

3 cos(2t) volt.

Wegens de algemeenheid nemen we (7.19) als uitgangspunt, en noteren de

u-i-relatie van tak m in beginsel als (7.20)

7. Systematische analyse 21

Zoals ook bij lineaire circuits, kan de mogelijkheid zich voordoen dat twee of meer takken aanleiding geven tot gekoppelde u-i-relaties (zie de transactor van de vorige paragraaf). Als bijvoorbeeld tak 1 en tak 2 elektrisch zijn gekoppeld, dan

(7.21)

{

fR/Ul'U2'~1'~2,t)

== 0,

fR/ul ,U2,ll ,12,t)

=

O.

Oefening 7.10 Noteer de u-i-relaties van de als trans actor opgevatte lineaire span-ningsbestuurde stroombron in de vorm (7.21).·

Tegen deze achtergrond, en in de wetenschap dat de onafbankelijke bronnen zijn inbegrepen, kunnen de b u-i-relaties van de b resistieve takken steeds in de volgende gedaante worden gepast

(7.22)

waarbij men zich wel dient te realiseren dat niet steeds alle takvariabelen daadwerkelijk behoeven voor te komen.

Met de invoering van de kolomvector (7.23)

kan (7.22) als volgt in vectorvorm worden gezet (7.24)

Hierin zijn u

=

u(t) en i

=

iet) respectievelijk de takspannings- en de takstroomvector van het niet-lineaire resistieve circuit.

Oefening 7.11 Noteer de collectieve vorm van de u-i-relaties met betrekking tot lineaire resistieve circuits, te weten Gu + Ri = w, als fR(u,i,t) = O. Met de u-i-relaties (7.24) zien de tableau vergelijkingen er als volgt uit.

(7.25)

Tableauvergelijkingen voor algemeen niet-lineaire resisitieve circuits 1. Ai

=

0 2. U -ATv=O 3. fR(U, i, t)

=

0 } lineair niet-lineair }

~

f(V.,u, i, t)

=

0 ~ f(x,t)

=

0

Ofschoon we nu hebben gezien hoe de niet-lineaire tableauvergelijkingen worden opgesteld, is nog niets gezegd over het oplossen ervan. Als geheel zijn het niet-lineaire algebraïsche vergelijkingen, die op elk tijdstip t om een numerieke aan-pak vragen. In paragraaf 7.4 wordt duidelijk hoe dat efficiënt kan gebeuren. Daarbij.

22 Elektrische circuits

zullen we ons voordeel doen met de fundamentele circuiteigenschap dat de KIRCH-HOFF-vergelijkingen in (7.25) wèllineair zijn! Met name blijkt dan dat de numerieke oplossing van een niet-lineair netwerkprobleem kan worden teruggevoerd naar het

herhaald oplossen van een overeenkomstig lineair resistiefnetwerkprobleem.

Om deze reden zetten wij de behandeling van lineaire resistieve circuits voort, doch zullen daarbij de nadruk leggen op computergebruik.

7.1.5 TA-stempels

Indien de lineaire tableau vergelijking (7.17) per netwerkelement wordt ingevuld,

ontdekt men dat elk netwerkelement er volgens een voor dat element karakteristiek patroon toe bijdraagt. Het element drukt er als het ware zijn stempel (Eng. stamp)

op. De gestippelde blokjes in (7.17) illustreren dit.

Om bedoelde stempels duidelijk in het vizier te krijgen, smeden we het gehele

coëfficiëntenschema van de tableauvergelijkingen eerst tot het volgende tableau

(7.26) n knopen

{

b takken

{

b takken

{

potentialen takspanningen takstromen

~~~ vl···Vn ul···ub il ... . ib 0 0 Aa -Al 1 0 0 G R

RL

w

Hierin leest elke rij als een tableau vergelijking; de afkorting 'RL' staat voor het (bekende) rechterlid. Merk op dat in (7.26) alle n knopen worden .geteld; de keuzê van het datum is nog onbepaald. Vandaar dat er de (niet-gereduceerde)

knooppunt-tak incidentiematrix Aa staat (Hoofdstuk 3). Wegens de nog niet bepaalde keuze van het datum, noemen we (7.26) het onbepaalde TA-tableau van het circuit.

De volgende definitie is van toepassing

(7.27)

Definitie TA-stempel

Het TA-stempel van een netwerkelement is

het onbepaalde TA-tableau van dat element.

Voor een gekozen knoop- en taknummering, combineren de afzonderlijke TA-stempels van de samenstellende netwerkelementen tot het onbepaalde TA-tableau van het gehele circuit.

Figuur 7.8 toont het TA-stempel van een lineaire weerstand; de open plaatsen zijn nullen. Merk op dat het TA-stempel tevens de takrichting vastlegt.

7. Systematische analyse 23 Vi Vj Urn irn RL

CD

1

(f)

-1 m -1 1 1 m 1

-R

(a) (b)

Figuur 7.8. TA-stempel (b) van lineaire weerstand (a).

Volgens het bovenstaande is het afgebeelde TA-stempel juist het onbepaalde TA-tableau van een 'circuit' dat uit een enkele lineaire weerstand bestaat. We nemen de proef op de som, en lezen met i = 1, j = 2, m = 1 de volgende vergelijkingen van figuur 7.8(b) af. (7.28) { il = O(KCL

CD)

en -il = 0 (KCL (2») -VI + V2 + UI

=

0 (KVL) UI - Ril

=

0 (u-i-relatie)

Indien vervolgens knoop (2) als datum wordt genomen, vervalt de (lineair afhanke-lijke) KCL van (2), terwijl V2

=

O. Naar verwachting resulteren de

tableauvergelij-kingen van de weerstand in figuur 7.8(a). (De oplossing van dit 'netwerkprobleem'

is natuurlijk il = 0, UI = 0, VI = 0.)

Oefening 7.12 Geef het TA-stempel van een geleiding van 5 S.

Oefening 7.13 Geef het TA-stempel van een kortsluiting. Beantwoord dezelfde

vraag voor een open klemmenpaar. Geef de TA-stempels van een

weerstand en geleiding met respectievelijk een resistantie van 0

n

en een conductantie van 0 S.

De TA-stempels van de onafhankelijke bronnen staan in figuur 7.9. Let op de niet-nul bijdrage ter rechterzijde.

Oefening 7.14 Geef het TA-stempel van de in Hoofdstuk 6 ingevoerde nul/ator.

Beantwoord dezelfde vraag voor de norator.

Anders dan de onafhankelijke bronnen, geven de afhankelijke bronnen steeds

aanleiding tot homogene netwerkvergelijkingen. Dit wordt gereflecteerd door het in figuur 7.10 afgebeelde TA-stempel van de als transactor opgevatte spannings-bestuurde spanningsbron (par. 7.1.3, Opmerking 7.5).

24 Elektrische circuits Vi Vj Um im RL Cf) 1

(j)

-1 m -1 1 1 m 1 e (a) Vi Vj Um im RL Cf) 1

(j)

-1 m -1 1 1 m 1 j (b)

Figuur 7.9. TA-stempel van onafhankeilike spanningsbron (a) en onafhankelijke stroombron (b). Vi Vj Vk VI Um Un lm in RL Cf) 1 (j) -1

®

1 (J) -1 m -1 1 1 n -1 1 1 m 1 n -/1 1

Figuur 7.10. TA-stempel van spanningsbestuurde spanningsbron.

Oefening 7.15 Geef de TA-stempels van de overige transactors.

Met de TA-stempels als uitgangspunt, wordt de tableauvergelijking Tx

=

bals volgt gevonden. Indien het te analyseren circuit n knopen en b takken telt, wordt er

eerst een nul-matrix van dimensie (2h + n) x (2h + n + 1) gereserveerd (de ruimte voor het rechterlid inbegrepen). De TA-stempels van de samenstellende netwerk-elementen worden daar achtereenvolgens overheen gelegd. Nadat alle netwerk-elementen zijn verwerkt, is het onbepaalde TA-tableau van het circuit gevonden. Bij de selectie van knoop

®

als datum, schrapt men daaruit tenslotte de rij en kolom die met

®

corresponderen. Het coëffïciëntenschema[T 11 b] van de gezochte tableau-vergelijking Tx

=

b resulteert.

7. Systematische analyse 25

Oefening 7.16 Vind de tableauvergelijking (7.12) van het circuit in figuur 7.2

middels de stempelmethode.

Oefening 7.17 Herken het TA-stempel van de spanningsbestuurde spanningsbron (figuur 7.10) in de tableauvergelijking (7.17) van het circuit in figuur 7.7. Merk op dat twee samenvallende knopen als het datum gelden.

De TA-stempels zijn bij uitstek geschikt voor computer-programmering. Zij stellen in staat om een programma-bibliotheek aan te leggen waarin de TA-stempels van de verschillende netwerkelementen reeds in voorgeprogrammeerde vorm zijn opgenomen.

Onder opgaaf van het type netwerkelement, taknummer(s), takrichting(en), knoopnummers en numerieke waarde van de constitutieve coëfficiënt, wordt het te analyseren circuit per element ingelezen middels het telkens geven vim een enkel

commando.

De bruikbaarheid van het invoerprogramma wordt nog vergroot, door veel voorkomende combinaties van elementen als een enkele TA-stempel in het vaste bestand op te nemen.

Een voorbeeld van zo'n component is de onafhankelijke spanningsbron met serieweerstand (spanningsdoos). Figuur 7.11 geeft het TA-stempel.

m

CD

0----' __ - , Vi Vj um im RL

CD

1 (j) -1 R m -1 1 1 (Do---' _{m 1}

_-R

_e

Figuur 7.11. TA-stempel van spanningsdoos.

Oefening 7.18 Hoe kan het TA-stempel van de spanningsdoos worden verkregen

uit de afzonderlijke TA-stempels van de spanningsbron en de weer-stand?

Oefening 7.19 Geef het TA-stempel van de stroomdoos. (Let op: als component wordt de stroomdoos door een enkele tak gerepresenteerd!)

26 Elektrische circuits

7.1.6 Dun-bezette matrices

Naast het grote aantal vergelijkingen, heeft de TA-methode het kenmerk dat er relatief zeer veel nullen in de tableaumatrix staan. Zulke matrices heten dun-bezet of

I

ijl (Eng. sparse matrices). Een maat voor de matrixbezetting is de zogenaamde matrix-dichtheid, gegeven door

(7.29) d' hh' d _{IC t el -}def aantal matrixelementen ongelijk aan nul x 100%. _{totale aantal matrixelementen}

Voor het voorbeeldcircuit van figuur 7.2 komt men uit op 20%, terwijl dit voor praktische circuits eerder in de buurt ligt van slechts 2% [3].

Bij computerberekeningen kan men met voordeel gebruik maken van de geringe dichtheid. In essentie tracht men daarbij gedurende de eliminatie procedure het vermenigvuldigen en optellen met zek.ere nullen te vermijden. De uitkomst van zo'n bewerking staat immers op de voorhand vast, terwijl de computer dat pas na enige tijd ontdekt! Ter besparing van rekentijd is het daarom zaak de dunne-bezetting gedurende de eliminatie zo goed mogelijk ttt behouden. Dit wordt bereikt

"middels slimme pivoteringsstrategieën ([4], [5], [6]).

Onderstaand voorbeeld demonstreert duidelijk dat de pivoteringsvolgorde behalve op de nauwkeurigheid, van grote invloed kan zijn op het aantal ongewenste opvullingen (Eng. fill-inns) van eerdere nullen (dit voorbeeld vindt men ook in [4]).

0

x x x x x x x x x ---x ---x 0 0 0

o

x x x x (7.30) x

o

x

o

0 ~

o

x x x x x

o

0 x 0

o

x x x x x 0 0 0 x

o

x x x x

Men ziet dat bij keuze van het aangegeven niet-nul element als pivot, de dunne-bezetting reeds na één eliminatiestap geheel is geruïneerd. Echter, bij keuze van elk ander diagonaalelement als pivot, blijft de dunne-bezetting volledig intact. Als bijvoorbeeld de eerste en de laatste rijen en kolommen worden verwisseld, verloopt de eliminatie schematisch als volgt.

0

0

o

0 x x 0

o

0 x -0 x -0 -0 x 0

0

o

0 x (7.31) 0 0 x 0 x ~ 0 0 x 0 x 0

o

0 x x 0 (I

o

_{x x} x x x x x 0 x x x x

7. Systematische analyse·· 27 x 0 0 0 x x 0 0 0 x

o

x 0 0 x

o

x 0 0 x

o

0 :0--ö-~-

o

0 x 0 x ~ I

o

0

O

:

~

x

o

0 : 0 x x

o

0 o ~ x x

Bij het volledig exploiteren van de dunne-bezetting blijkt het aantal rekenbewerkingen van ongeveer

t

n3 voor een klassieke LU-decompositie, te kunnen worden teruggebracht tot nU à n\,5 voor praktische circuits (hier is n het aantal onbekenden) [4]. Voor omvangrijke circuits betekent dit een drastische besparing

van rekentijd. Neemt men bijvoorbeeld n

=

103_{, en stelt men een rekenbewerking op}

1 !ls, dan keldert de rekentijd van ongeveer 5 minuten voor een klassieke decom-positie, naar slechts 0,03 seconde bij gebruik van efficiënte oplostechnieken !

Aldus wordt het nadeel van veel vergelijkingen gecompenseerd door het

voordeel van de natuurlijke dunne-bezetting van de tableaumatrix. Het is vooral om deze reden dat de TA-methode aantrekkelijk is voor praktische toepassingen ([4], [7]).

Ter afsluiting van de tableaumethode, wordt de volgende opmerking geplaatst.

Opmerking 7.7

Zoals de circuitmatrix A de coëfficiëntenmatrix van de knooppunt KCL's is, zo bestaan er twee andere circuitmatrices die respectievelijk de coëfficiëntenmatrix van de snede KCL's en de lus KVL's zijn - zie hiervoor tevens Hoofdstuk 8. (Een vierde circuitmatrix is de in Hoofdstuk 3 geïntroduceerde maas-tak incidentiematrix C die de coëfficiëntenmatrix van de maas-KVL's is. Deze matrix-beschrijving beperkt zich evenwel tot planaire netwerkgrafen; zie verderop.) Door de spanningen uit te drukken in boomtakspanningen en de stromen in linkstromen (evenals de potentialen zijn dit onafhankelijke netwerkvariabelen; zie Hoofdstuk 3), blijken genoemde circuitmatrices tevens respectievelijk de KVL's en de KCL's in rekening te kunnen brengen (zoals het ook mogelijk is de KVL's te verdisconteren door de spanningen middels de matrix A uit te drukken in potentialen). Samen met de u-i-relaties, leiden de twee andere matrixformuleringen van de KIRCHHOFF-vergelijkingen elk tot een

alternatieve tableau formulering [8]. De alternatieven hebben echter het nadeel dat er eerst een boomselectie moet plaats vinden. Daar elk praktisch circuit zeer vele bomen oplevert, is de relatie tussen een gegeven netwerkstructuur enerzijds en de resulterende tableauvergelijkingen anderzijds, niet langer ondubbelzinnig. Afhanke-lijk van de boom die wordt gekozen, resulteert er telkens een ander T A-'stempel' voor hetzelfde type netwerkelement. Zoals uit het voorgaande moge blijken, staat dit euvel een efficiënt computergebruik in de weg.

28 Elektrische circuits

7.2 KNOOPPUNTMETHODE

7.2.1 Inleiding

De knooppuntmethode is gebaseerd op het netwerktableau (7.1). Daarin worden de

KIRCHHOFF-wetten in rekening gebracht middels de knooppunt KCL's en de elementaire KVL's. Anders dan bij de tableaumethode, alwaar de takstromen, de takspanningen en de potentialen de onbekenden zijn, worden bij de knooppunt-methode de potentialen met voorrang berekend.

In eerste opzet is de knooppuntmethode beperkt tot circuits waarvan de samen-stellende elementen (bronnen inbegrepen) steeds een spanningsbestuurde repre-sentatie toelaten (daarmee zijn spanningsbronnen uitgesloten; die zijn immers stroombestuurd!). We zullen spoedig zien dat binnen deze beperking alle onbekende takvariabelen uit het tableau (7.1) kunnen worden geëlimineerd, waarna een stelsel vergelijkingen in de onbekende potentialen overblijft (zie Appendix 7.A voor een formele uitwerking). Zodra de potentialen bekend zijn, volgen de gezochte takspan-ningen en takstromen middels hergebruik van respectievelijk de elementaire KVL's en de u-i-relaties: het netwerkprobleem is opgelost!

Vooral in verband met computertoepassingen stáat de oorspronkelijke vorm van de knooppuntmethode bekend als de NA-methode (van Eng. Nodal Analysis). Indien het circuit tevens elementen bevat die géén spanningsbestuurde representatie toelaten (waaronder de immer stroombestuurde spanningsbron), ondergaat de methode een wijziging, en heet als zodanig de gewijzigde knooppuntmethode of de MNA-methode (van Eng. Modified Nodal Analysis).

Ofschoon de knooppuntmethode reeds door J.C. MAXWELL werd ingevoerd ([9], [10]), heeft de methode zijn huidige populariteit voornamelijk te danken aan computertoepassingen ([11], [12]).

In de volgende paragrafen wordt eerst de oorspronkelijke opzet behandeld, en

vervolgens de uitbreiding ervan. Daarbij zullen we ~teeds onderscheid maken tussen

een handmatige versie en een versie die geschikt is voor computerprogrammering.

-

7.2.2 Ongewijzigde knooppuntmethode (NA-methode)

Ter verkrijging van een stelsel vergelijkingen voor de onbekende potentialen dienen eerst zoveel mogelijk takvariabelen te worden geëlimineerd. Bij de handmatige versie van de knooppuntmethode gebeurt dat knooppuntsgewijs. Daartoe wordt er voor elke knoop - uitgezonderd het datum - steeds een knooppunt KCL genoteerd, waarin direct zoveel mogelijk u-i-relaties en.elementaire KVL's worden verwerkt. De aldus aangevulde KCL heet een knooppuntvergelijking. Hieronder staat een definitie.

(7.32)

7. Systematische analyse 29

Definitie knooppuntvergelijking

Een knooppuntvergelijking is een knooppunt KCL waarin (a) zoveel mogelijk ta~stromen via de u-i-relaties zijn uitgedrukt in takspanningen, die (b) op hun beurt via de elementaire KVL's zijn uitgeschreven in potentialen.

Daar de ongewijzigde knooppuntmethode is beperkt tot circuits die exclusief

zijn samengesteld uit spanningsbestuurde elementen, kunnen de takstromen via de u-i-relaties steeds worden uitgedrukt in takspanningen (als de tak geen stroombron bevat) dan wel in bekende stroombronsterkten.

Veronderstel nu dat het circuit n knopen en b takken telt. Er zijn dan (n - 1)

lineair onafhankelijke KCL's en (n - 1) onbekende potentialen. Indien het procédé van (7.32) wordt toegepast op (n - l) knopen, dan worden in stap (a) de b tak-stromen geëlimineerd (waarbij de b u-i-relaties worden verbruikt) terwijl in stap (b) de b takspanningen worden uitgedrukt in de (n - 1) potentialen (dan zijn tevens de b

elementaire KVL' s verwerkt). Er resulteert een stelsel van (n - I) vergelijkingen -de (n - 1) knooppuntvergelijkingen --' voor de (n - 1) onbekende potentialen.

Bij de verdere uitwerking beperken we ons eerst tot circuits waarvan de span-ningsbestuurde elementen lineaire weerstanden en onafhankelijke stroombronnen

zijn. De u-i-relaties kunnen dan zonder uitzondering worden geschreven als

(7.33) i

=

Gu (lineaire weerstand),

waarbij is aangenomen dat de referentietekens van u en i aan elkaar zijn toegevoegd (par 4.2.1), of als

(7.34) i

=

±j voor alle u (onafhankelijke stroombron).

Hierin zijn G [SJ enj [A] respectievelijk de conductantie en de stroombronsterkte. We stellen nu de knooppuntvergelijking op van een representatieve knoop

®

die met alle incidente takken uit een bestaand elektrisch circuit is gelicht (figuur

7.12).

De takstromen in de KCL van knoop ® worden voor de gelegenheid als volgt gegroepeerd

(7.35)

, , ( stromen die door

de) ,,(

stromen die vanuit de )

.L...t weerstanden van ® =.L...t stroombronnen naar ® .

wegvloeien toevloeien

Substitutie van de u-i-relaties (7.33) en (7.34) in de knooppunt KCL (7.35) geeft dan (stap (a) in (7.32»

(7.36)

30 Elektrische circuits

Figuur 7. 12. Een representatieve knoop

CD

is met alle incidente takken uit een bestaand elektrisch circuit gelicht.

Hierin staan de takspanningen in de dubbele indexnotatie; de gehanteerde index-volgorde garandeert dat de referentiepolariteit steeds van

®

afis gericht (par. 3.7.2).

Samen met de u-i-relatie (7.33) is dan eenvoudig te verifiëren dat bijvoorbeeld de term +Gluk;5 inderdaad de stroom is die door de weerstand G1 van

®

weg vloeit.

Nu dat alle incidente takstromen zijn geëlimineerd, kunnen de takspanningen in (7.36) met toepassjng van de elementaire KVL's worden uitgeschreven in potentialen (stap (b) in (7.32». Het resultaat is de knooppunt- of NA-vergelijking vari

knoop

®

(7.37)

~----~---y---~' ~

som van de stromen die door de afzonderlijke weerstanden van netto

stroom-@ wegvloeien bron sterkte naar @

toegericht

Hierin herinnert het onderschrift aan de knooppunt KCL waarvan is uitgegaan. Elke term in het linkerlid staat voor een stroom die door een afzonderlijke weerstand van

®

wegvloeit; in het rechterlid staan de naar

®

toegerichte, bekende bronsterkten. Indien men dit onderschrift duidelijk voor ogen houdt, is het niet moeilijk om de kno(')ppuntvergelijking direct van het circuitfragment afte lezen (inspectie); na enige oefening kunnen de tussenstappen (7.35) en (7.36) worden overgeslagen.

Oefening 7.20 Hoe luidt de knooppuntvergelijking van knoop

®

indien knoop Q) het datum is?

Beschouw als 'voorbeeld het lineaire resistiev~ circuit van figuur 7.13. Het circuit bevat géén spanningsbronnen en telt n

=

4 knopen; knoop @ wordt als datum genomen.

•

l

7. Systematische analyse 31

@

Figuur 7. 13. Een lineair resistief circuit zonder spanningsbronnen.

Ter berekening van de (n,- 1)

=

3 onbekende potentialen VI, V2 en V3 wordt de knooppuntmethode toegepast. Via inspectie volgen de (n - 1)

=

3 knooppunt-vergelijkingen als (7.38)

{

CD:

+ GI VI + G2(VI - V2) + G3(VI - V2)

=

0 (2): + G2(V2 - VI) + G3(V2 - v,) + G4(V2 - V3)

=

+JI -12 Q): + G4(V3 - V2) + G5V3

=

+12-Merk op dat de stroom die door G, van knoop

CD

wegvloeit, gelijk is aan G, (v,-V4).

Maar, met knoop @ als datum is V4

=

O. Merk tevens op dat de in het circuit aange-geven stroom i3 niet expliciet in (7.38) voorkomt; daar staat nu juist de term G3(VI- V2) voor.

Na rangschikken naar de onbekende potentialen, krijgen de knooppuntvergelij-kingen de volgende gedaante

(7.39)

{

CD:

+(GI +G2+ G 3)V, -(G2+ G 3)V2 =0

(2): -(G2+ G3)V,+(G2+ G 3+ G4)V2 -G4v3=+J,-12

Q) -G4V2 +(G4+ G

5)V3=+12-Dit is een stelsel van (n - 1)

=

3 lineaire algebraïsche vergelijkingen voor de (n - 1)

=

3 onbekende potentialen V" V2 en V3. Het kan worden opgelost met de eliminatie-methode van GAUSS.

Zodra

v"

V2 en V3 bekend zijn, kunnen alle takspanningen en -stromen via her-gebruik van respectievelijk de elementaire KVL' s en de u-i-relaties worden berekend. Bijvoorbeeld (zie figuur 7.l3)

(7.40)

Oefening 7.21 Indien de keuze van het datum wordt uitgesteld, kunnen er voor het

circuit van figuur 7.13 n

=

4 knooppuntvergèlijkingen worden ge-noteerd. Verklaar waarom het resulterende stelsel lineair afhankelijk is.

32 Elektrische circuits

Wij demonstreren nu dat het naar onbekenden gerangschikte stelsel knoop-puntvergelijkingen (7.39) ook direct van het circuit kan worden afgelezen

(inspectie); de tussenstap (7.38) kan worden vermeden!

Beschouw daartoe opnieuw de representatieve knoop (]i) van figuur 7.12.

Indien de eerder verkregen knooppuntvergelijking (7.37) nàar de onbekende poten-tialen wordt gerangschikt, volgt de gerangschikte knooppunt -of NA-vergelijking als (7.41)

, '---v---' '---v--' '---v--' '---v--'

som van de conductanties die negatieve som negatieve negatieve netto met® zijn verbonden van de som van som van

stroom-conductanties de conduc- de con- bron-die ® enG tanties ductanties sterkte

verbinden die® en die® en naar®

(3) ver- (]) ver- toe-binden binden gericht

Indien het onderschrift wordt vergeleken met het circuitfragment van figuur 7.12, wordt er ontdekt dat de coëfficiënten van de onbekende potentialen inderdaad direct

via inspectie kunnen worden verkregen.

Voor een willekeurige knoop (]i) van een circuit met n knopen, wordt de

ge-rangschikte knooppuntvergelijking gevonden als (zie Appendix 7.A voor een bewijs;

zie tevens Vraagstuk 8.24 voor een alternatief bewijs m.b.v. het superpositiebeginsel van Hoofdstuk 8)

(7.42)

waarin de coëfficiënten gij (i,j

=

1, ... , n - 1) worden gegeven door de volgende

inspectieregel.

(7.43)

Inspectieregel (géén bestuurde bronnen)

{

ga

=

som van de conductanties die met (]i) zijn verbonden . gk/= negatieve som van deconductanties die (]i) en (J) verbinden (ki: l)

(jn)k= netto stroombronsterkte naar (]i) toegericht

Daar de cbnductanties die (]i) en (j) verbinden dezelfde zijn als die (j) en (]i) verbin-den, volgt dat gkj

=

gjk: het coëfficiënten schema van de onbekende potentialen ver-toont symmetrie rondom de hoofddiagonaal.

Verifieer zelf dat de gerangschikte knooppuntvergelijkingen (7.39) m.b.v. de inspectieregel (7.43) direct van het circuit in figuur 7.13 kunnen worden afgelezen. Merk nog op dat g13

=

g31

=

0: geen verbinding (d.w.z~ een open tak) wordt vertolkt

7. Systematische analyse 33

Oefening 7.22 In het circuit van figuur 7.13 wordt er tussen de knopen

CD

en Q)

,een extra conductantie G aangebracht. Hoe veranderen de coëffi-ciënten van d~ knooppuntvergelijkingen (7.39)? Neemt het aantal onbekenden toe?

Oefening 7.23 In het circuit van figuur 7.13 wordt er tussen de knopen

CD

en

®

een extra stroombron aangebracht met sterkte j naar knoop

®

toe-gericht. Hoe verandert het rechterlid van het stelsel (7.39)?

Oefening 7.24 Ga na dat als G5 in het circuit van figuur 7.13 met een extra

serie-conductantie wordt verbonden, dit resulteert in een extra knooppunt-vergelijking. Voor welke extra onbekende?

Oefening 7.25 Laat zien dat het aantal NA-vergelijkingen volledig wordt bepaald

door het aantal knopen. Het aantal takken heeft daarop géén invloed. Hoe zit dat bij de TA-methode?

Oefening 7.26 In het circuit van figuur 7.13 wordt G4 weggenomen, terwijl G5

wordt vervangen door een stroombron met sterkte j naar knoop

®

toegericht. Onder welke voorwaarde heeft het netwerkprobleem oneindig veel, of juist géén oplossing?

Als samenvattende illustratie wordt de knooppuntmethode toegepast op het n

=

3 knopen tellend circuit van figuur 7.14. Er wordt gevraagd de stroom i en de spanning UI;2 te berekenen.

Figuur 7. 14. De stroom i en de spanning u 1,2 worden berekend met de knooppuntmethode. Met de (arbitraire) keuze van knoop

®

als datum, dienen eerst de (n - I)

=

2 onbekende potentialen VI en V2 te worden berekend. Een directe toepassing van definitie (7.32) voor een knooppuntvergelijking geeft de (n - 1)

=

2 knooppuntverge-lijking als (let op: de knooppuntmethode reken"t met conductanties!)

34 Elektrische circuits

waarbij er duidelijk aan wordt herinnerd dat een knooppuntvergelijking niets anders is dan een aangevulde KCL: de som van de wegvloeiende stromen door de

afzonder-lijke weerstanden

=

de netto naar de knoop toegerichte stroombron sterkte (vergelijk

(7.37».

Om het stelsel (7.44) te 'kunnen oplossen, dient het eerst te worden gerang-schikt naar de onbekende potentialen. Het resultaat is het stelsel geranggerang-schikte knooppuntvergelijkingen

(7.45)

met als oplossing VI

=

3,6 V en V2

=

-2,4 V. Via hergebruik van de elementaire

KVL's en de u-i-relaties volgen de gezochte spanning en stroom als (7.46)

Ofschoon het stelsel (7.44) het voordeel heeft direct inzichtelijk te zijn in

termen van KCL's, KVL's en\ u-i-relaties, kleeft er het nadeel aan dat het eerst naar

onbekende potentialen moet worden gerangschikt, alvorens tot het oplossen kan worden overgegaan. Daarom past men in de praktijk van lineaire resistieve circuits bij voorkeur de inspectieregel (7.43) toe, waarmee het gerangschikte stelsel (7.45)

direct wordt verkregen (ga dit na!).

Oefening 7.27 In het circuit van figuur 7.14 wordt de stroombronsterkte van 3 A veranderd in 3 cos (2t) ampère. Geef de potentialen VI

=

V I (t) en

V2

=

V2(t) m.b.t. knoop

®

als datum.

Oefening 7.28 Neem knoop

CD

van het circuit in figuur 7.14 als datum. Verkrijg

het stelsel gerangschikte knooppuntvergelijkingen m.b.t. het nieuwe datum direct uit het stelsel (7.45). Bedenk daarbij dat er van de n

knooppunt KCL's steeds één lineair afhankelijk is van de overige.

Oefening 7.29 Bereken de spanning UI;2 en de stroom i m.b.v. de

inspectietech-nieken van Hoofdstuk 5. Reken daartoe eerst de stroomdozen om naar equivalente spanningsdozen.

We keren terug naar het voorbeeldcircuit van figuur 7.13. Het daarbij '

ver-kregen stelsel NA-vergelijkingen (7.39) kan als volgt in matrixvorm worden gezet

(7.47) [

+(GI + G2+ G3)

-(G2+ G 3)

7. Systematische analyse 35

of, in compacte notatie (7.48)

Hierin heet de vierkante matrix Gn de knooppuntconductantiematrix, de kolomvector

j de knooppunt stroombron vector, terwijl v de potentiaalvector van het circuit is

(steeds m.b.t. knoop @ als datum).

Voor een n knopen tellend circuit hebben G_{n, jn en} v de dimensie (n - 1). De

elementen van G_{n en jn zijn respectievelijk juist de coëfficiënten} gij en (jn)k van

(7.42) en (7.43). Er volgt dat G_n een symmetrische matrix is, dus (later zal blijken

dat deze eigenschap verloren gaat indien het circuit tevens spanningsbestuurde stroombronnen bevat)

(7.49) Gn

=

GnT (geen spanningsbestuurde stroombronnen).

De elementen van Gn volgen via de inspectieregel (7.43).

Indien het netwerkprobleem precies één oplossing heeft (zie Appendix 7.D voor voldoende voorwaarden), kan de oplossing van (7.48) formeel worden

genoteerd als [1]

(7.50)

Ter verkrijging van numerieke antwoorden is de eliminatiemethode van GAUSS (of

een LU-decompositie) de aangewezen procedure [1]. Daarbij wordt opgemerkt dat

de matrix Gn van nature dominant is op de hoofddiagonaal (mits alle G > 0). Dit

blijkt een numeriek voordeel [4]. Opmerking 7.8

Tijdvariante lineaire weerstanden zijn eveneens toegelaten. In dat geval dient bij een

numerieke oplossing voor een reeks van tijdstippen een LU-decompositie te worden uitgevoerd; zie ook Opmerking 7.2.

Oefening 7.30 Bewijs dat de beschouwde klasse van resistieve circuits precies één

oplossing heeft, alléén als Gn niet-singulier is. Ga na dat indien er

sneden van stroombronnen voorkomen, er kennelijk geldt det Gn

=

o

(vergelijk Oefening 7.3 en Vraagstuk 7.3).

Oefening 7.31 Geef de knooppuntconductantiematrix Gn en de knooppunt

stroom-bronvector jn van het circuit in figuur 7.14. Neem knoop Q) als

datum. Hoe veranderen Gn en jo indien knoop

CD

het datum is?

Oefening 7.32 Men wil het netwerkprobleem m.b.t. het circuit van figuur 7.14 voor steeds andere stroombronsterkten oplossen. Ga na dat daarvoor een

36 Elektrische circuits

Indien de elementen van Gn en jn worden verzameld in één enkele matrix, ver-krijgt men de zogeheten NA-matrix of het NA-tableau van het circuit, gegeven door (7.51) NA-tableau

[G_{n lijn]}

Bij vergelijken van (7.51) met (7.48), blijkt dat het NA-tableau niets anders is dan een verkorte schrijfwijze van het stelsel NA-vergelijkingen waarmee de onbekende potentialen kunnen worden opgelost.

In uitgeschreven vorm ziet het NA-tableau van het circuit in figuur 7.13 er als volgt uit'(vergelijk de NA-vergelijkingen (7.39))

v) _V2 \IJ RL

(7.52)

_CD

+(G) +

Ch

+

G:3)

-(G2 +

G:3)

0 0 (î) _{-(G2 +}

_G:3)

_{+(G2 +}

_G:3

_{+ G4)}

_-G4

_+jl-h

Q) 0

-G4

+(G4 + Gs) +h

Zoals steeds, staat RL voor het (bekende) rechterlid.

Daar de elementen van G_n en jn van het circuit kunnen worden afgelezen, kan het NA-tableau eveneens middels inspectie worden volgeschreven. Bijvoorbeeld (vergelijk het circuit van figuur 7.13 met het NA-tableau (7.52» : het element qp de 3-de rij en de 3-de kolom is gelijk aan de som van de conductanties die met knoop

Q) zijn verbonden; op de positie (2,1) staat de negatieve som van de conductanties die knoop (î) met knoop

CD

verbindt, enz. De elementen in de laatste kolom (RL) zijn steeds gelijk aan de netto stroombron sterkte die naar de afzonderlijke knopen is toegericht.

Men ziet dat het NA-tableau desgewenst kris-kras kan worden ingelezen, en zelfs uitgelezen. De laatste mogelijkheid is nuttig als men een afzonderlijk element van het NA-tableau op zijn juistheid wil controleren. Dit is inherent aan het

knoop-puntsgewijs opstellen van het NA-tableau. In de volgende paragraaf laten we zien dat het NA-tableau op alternatieve wijze tevens per netwerkelement kan worden ingelezen. De laatste mogelijkheid is de basis voor computerprogrammering.

Oefening 7.33 Hoe verandert het NA-tableau (7.52) indien er tussen de knopen

CD

en Q) van het circuit in figuur 7.13 een extra geleiding G wordt aan-gebracht? En als er tussen

CD

en (î) een extra stroombron met sterkte j naar (î) toegericht, wordt aangebracht?

Oefening 7.34 Geef het NA-tableau van het circuit in figuur 7.14. Neem knoop

cr>

als datum. Hoe verandert het NA-tableau indien knoop

CD

het datum is?