Parametryczny problem dystrybucji w nieliniowych sieciach transportowych

(1)

Z E S Z Y T Y N A U K O W E PO L IT E C H N IK I ŚLĄ SK IEJ Seria: A U T O M A T Y K A z. 115

1994 N r kol. 1251

Jerzy K O T O W SK I E w a SZ LA C H C IC P olitechnika W rocław ska

P A R A M E T R Y C Z N Y P R O B L E M D Y S T R Y B U C JI W N IE L IN IO W Y C H S IE C IA C H T R A N S P O R T O W Y C H

Streszczenie: W pracy pokazano problem param etrycznej identyfikacji nieliniowej sieci transportow ej z deficytem , który wynika z faktu niem ożliw ości zapew nienia realizacji w szystkich potrzeb odbiorców sieci dystrybucji w ody. D la rozw iązania sfo rm u ło w an eg o zadania param etrycznej identyfikacji zaproponow ano suboptym alną m etodę pozw alającą określić rozpływ y w sieci z deficytem. O trzym ane zadanie p om oc

nicze rozw iązano w ykorzystując technikę hiperpłaszczyzn tnących Kelleya.

P A R A M E T R I C D IS T R IB U T IO N P R O B L E M IN N O N L IN E A R T R A N S P O R T N E T W O R K

Sum m ary: T he param etric identification problem for nonlinear transport netw ork w ith deficit state, w hen the w ater supply can not be realized according to the planned dem ands o f .netw ork consum ers, is show n in this paper. F or solving the described param etric identification problem the suboptim al m ethod, w hich allow to calculate the possible flows in netw ork w ith deficit, is proposed. Using the Kelley cutting plane technique th e received auxiliary optim ization task is solved .

UN P R O B L È M E P A R A M E T R IQ U E D E LA D IS T R IB U T IO N D A N S D E S R É S E A U X N O N -L IN É A IR E S D E T R A N S P O R T

Résum é: D ans l'ouvrage on a présenté le problèm e param étrique de l'identification du réseau non-linéaire de transport avec le déficit, qui vient d'im possibilité de la réalisation de toutes les besoins des preneurs des réseaux de la distribution d'eau. P o u r réso u d re un problèm e d'optim isation param étrique on a proposé une m éthode suboptim ale, qui perm et de déterm iner les répands dans le réseau avec le déficit. Un problèm e auxiliaire on a résolu avec la technique des hiperplans coupants de Kelley.

(2)

62 J. Kotowski. E. Szlachcic

1.W stę p

W nieliniowych sieciach transportow ych identyfikacja rzeczyw istych param etrów sieci była realizow ana przy założeniu realizacji dostaw do odbiorców zgodnie z ich zapotrzebow a

niami [l]-[4 ],[6 ],[7 ], W niniejszej pracy rozpatrzono problem w yznaczenia efektyw nych para

m etrów dla nieliniowej sieci dystrybucji w ody w przypadku pojaw ienia się deficytu w ody, uniem ożliw iającego odbiorcom pełną realizację potrzeb. W tym celu p rzeprow adzono identyfi

kację param etrów aktualnej struktury sieci, określono funkcję oceniającą straty w ynikłe z defi

cytu, sform ułow ano suboptym alną m etodę pozw alającą w yznaczyć przepływ y, ciśnienia w sieci o raz m ożliw e do uzyskania w ypływ y z w ęzłów w relacji do zapotrzebow ań odbiorców , przy uw zględnieniu w procesie symulacji globalnych strat energetycznych, pow stałych w nieliniowej sieci dystrybucji wody.

2. S fo rm u ło w a n ie p ro b le m u

W nieliniowych sieciach transportow ych identyfikacja rzeczyw istych przepływ ów w sieci oraz spadków ciśnień na lukach m oże być prow adzona za p o m o cą procedur sym ulacyjnych opierających się na modelu nieliniowej sieci dystrybucji w ody [3],[4],[10], S truktura om aw ianej sieci jest opisana acyklicznym grafem skierow anym G, który składa się z n łuków i m w ęzłów , je d n eg o źró d ła - pom pow ni oraz s odbiorców usytuow anych w s w ę

złach sieci, bez zbiorników sieciow ych, przy czym m = s+ l. K ażdy łuk "i" sieci jest schara

kteryzow any przez w ielkość przepływ u y, J = 1 u oraz spadek ciśnienia x, na łuku "i"

określony zgodnie z praw em B ernouliego [4]:

x i = r i y i x y n y i + J i , i = 1 i i (1)

z uw zględnieniem różnicy w ysokości geodezyjnej J, pom iędzy w ęzłam i na końcach łuku "i"

oraz oporu hydraulicznego /;• łuku "i".

Param etry om aw ianej sieci; tzn. w ek to r y przepływ ów , y e R n o raz w ek to r x spadków ciśnień na lukach sieci, x e R n spełniają rów nania odpow iadające I i II praw u KirchhotYa w postaci:

A y = a , ( 2 )

B x = 0 , ( 3 )

przy czym a e R s oznacza w ek to r w ypływ ów z w ęzłów będących odbiorcam i w sieci, m acierz A odpow iednio m acierz incydencji o raz B m acierz oczkow a grafu sieci. W pom pow ni panuje deficyt ciśnienia Dp = H pm.^ - H po spow odow any różnicą m iędzy maksym alnym ciśnieniem

(3)

Parametryczny problem dystrybucji

w pom pow ni w w arunkach aw aryjnych H ^ max a ciśnieniem optym alnym Hpo, przy którym są spełnione potrzeby w szystkich odbiorców . Z ałożono, że w zadanym horyzoncie sterow ania T zm ianie nie ulegają zapotrzebow ania na w odę w w ęzłach sieci oraz istnieje m ożliw ość regulacji w ypływ u w ody z każdego w ęzła sieci.

Jeżeli w sieci rozprow adzania w ody deficyt nie występuje, w ów czas m odelem m ate

m atycznym dla odbiorcy jest w ęzeł obciążony chw ilowymi potrzebam i zgodnie z w ektorem a . W przypadku pojaw ienia się zjaw iska deficytu, rzeczyw isty pobór w ody będzie pew ną funkcją podaży. W rezultacie sym ulacja pracy sieci dystrybucji w ody w w arunkach deficytu będzie polegać na określeniu trzech zbiorów odbiorców , tzn. R r zbioru w ęzłów realizujących sw oje zam ów ienia, R 2- podzbioru w ęzłów , dla których w ektor rzeczyw istych w ypływ ów y out będzie spełniał w arunek minim alnego progu zaspokojenia potrzeb p m-m.

R l = {' | />„,* * OJ * J f ' < <*i - / U 6 < 0, 1 > } (4 )

o raz zbioru R 3- w ęzłów nie otrzym ujących w ody, a następnie na w yznaczeniu rzeczywistych przepływ ów w łukach i spadków ciśnień na lukach sieci.

R ó żn e strategie sterow ania siecią dystrybucji w ody uzależnione od przyjętej funkcji oceniającej straty w ynikłe z pow odu deficytu przedstaw iono w [9] . Do takich strategii m oże należeć dzia

łanie o p arte na ekstrem alizacji globalnego w skaźnika jakości pod w arunkiem spełnienia okreś

lonego, hierachicznego, celu,na przykład maksymalizacji zaspokojenia popytu na w odę w wy

branych w ęzłach lub też maksymalizacji liczby odbiorców , u których możliwy w ypływ jest na poziom ie m inim alnego progu zaspokojenia potrzeb. W rezultacie m ożna sform ułow ać zadanie param etrycznej identyfikacji struktury rozpływ ów w nieliniowej sieci transportow ej jako:

F ( y * ““',CT, p ) = n u n F ( y “u,,cr, p ) (5) y

z w ektorem p aram etrów p określonym w (4), przy uw zględnieniu ograniczeń w ynikających z topologii sieci. Jako m iarę oceniającą straty w sieci przyjęto funkcję opisującą w zględny nie

d o b ó r w ody w deficytow ych w ęzłach sieci, w postaci:

OUt fs \

y uul, a . p ) = / * - £ ^ - (6)

i n L ' a >

gdzie 1* oznacza liczbę odbiorców w ody w sieci, o w ielkości w ypływ u rów nej lub w yższej od progu m inim alnego zaspokojenia potrzeb, tzn.:.

L * = { i : y r ^Pmin * ° i ' f e U p min e <0.1> } ora: I* = T * (7)

(4)

64 J. Kotowski, E. Szlachcic

Jeśli l* <s, to zm ianie ulega struktura rozprow adzania w ody w sieci, a tym sam ym m acierze A, B m o g ą być przekształcone do postaci A ', B ', z w yłączeniem w ęzłów , które nie pobierają wody.

3. P a ra m e tr y c z n y p ro b le m id e n ty fik a c ji

B iorąc pod uw agę pow yżej określone założenia, param etryczne zadanie identyfikacji rozpływ ów w ody w nieliniowych sieciach transportow ych w w arunkach deficytu m ożna sfor

m ułow ać w następującej postaci:

o u t

F ( y i,ut)= Y = > m ax (8)

UL' a >

H p mnx ^ H pU =<p{y"u l,A ’,B ',x '= y/iy'}) (9)

A n ia * 0 / 5 y ' i ' " ^ 0 7 . / = 1 v (10)

x ' = H y ' ) t z n . X, = r l ( y , ) 1 s g n i y ,) + < ( , i = ^1...n' (11 )

przy czym n1 oznacza ilość łuków w zredukow anej sieci.

Z adanie (8) - (11) należy do klasy param etrycznych zadań optym alizacji nieliniowej z liniow ą funkcją celu. Jednym ze sposobów rozw iązania tego problem u byłoby zbudow anie dw upoziom ow ej m etody optym alizacji, opierającej się o algorytm y sym ulacji przepływ ów w ody w nieliniowych sieciach transportow ych [3], [4], [8], w ykorzystujące w łasności om aw ianej sieci. W tym celu na poziom ie dolnym dla określonego w ektora zapotrzebow ań y o u t, przy uw zględnieniu param etru p mm progu m inim alnego zaspokojenia potrzeb, byłyby w yliczane przepływ y w lukach, ciśnienia w w ęzłach sieci, w tym także optym alne ciśnienie w pom pow ni. N a poziom ie górnym byłby realizow any algorytm w yboru w ektora y o u t>

m aksym alizującego funkcję (8) przy uw zględnieniu w aru n k ó w (9 ) -(1 1 ). B rak znajom ości jaw nej postaci funkcji tp, a tym sam ym gradientu, uniem ożliw ia zastosow anie w procedurze nadrzędnej efektyw nych, gradientow ych m etod optym alizacji. Z astosow anie natom iast iteracyjnych m etod bezgradientow ych lub random izow anych dla zadania o dużym w ym iarze pow oduje duże nakłady obliczeniow e, które eliminują z praktycznego zastosow ania opisany pow yżej sposób symulacji przepływ ów w ody w w arunkach deficytu.

W niniejszej pracy do rozw iązania zadania (8)-(l I) proponuje się zastosow anie suboptym alnej m etody, składającej się z trzech głów nych faz. W fazie pierwszej proponuje się dokonać identyfikacji struktury nieliniowej sieci dystrybucji w ody przy spełnionym w arunku (7). Faza druga polegałaby na budow ie u p roszczonego modelu sieci w raz z określeniem zależności

(5)

Parametryczny problem dystrybucji 65

ciśnienia pom pow ni od zredukow anej struktury sieci oraz od rzeczyw istych w ypływ ów w ody z w ęzłów . W fazie trzeciej następuje rozw iązanie zastępczego zadania optym alizacji z w ykorzy

staniem m etody hiperpłaszczyzn tnących K elleya.

3 .1 .Id e n ty fik a c ja p a ra m e tr ó w nielin io w ej sieci d y s try b u c ji w ody

S trukturę przepływ ów w sieci dystrybucji w ody determ inują straty energii zw iązane z przepływ em m edium w sieci przy spełnionym ograniczeniu na dostępne ciśnienie w pom pow ni Hpxwxx (9) oraz w ektor o (10). Identyfikacja param etrów nieliniowej sieci dystrybucji w ody m oże być zrealizow ana w oparciu o m etodę symulacji [4], która w ykorzystując zagregow any m odel sieci, transform uje zależności (1 )-(3) do postaci statycznego problem u minimalizacji strat energetycznych zw iązanych z transportem w ody w sieci [3],[4]:

/ ( y ) = £ / y 0 7 ) = > ™ n ( ‘ 3)

H przy ograniczeniach:

A y = a B R ( r , y ) y = 0 gdzie:

! i ( r ,y ) = cMag { rt y t s g u y , , / = 1... n } (16)

f i = /; y f s g / i y j , i = 1... n (17)

Funkcje f ( y , ) określają straty energetyczne w tuku "i".

O kreślenie struktury rozprow adzania w ody w w arunkach deficytu, przy tak sform ułow anych założeniach, sprow adza się do w yznaczenia w ektora przepływ ów w sieci o raz spadków ciśnień w w ęzłach sieci, dla której jest spełnione ograniczenie na dostępne ciśnienie w pom pow ni H p ma*- (9) oraz na w ypływ y z w ęzłów y o u t - (10). Identyfikacja param etrów struktury sieci dystrybucji w ody polega na symulacji przepływ ów w sieci, a następnie na um ow nym w yłączeniu ze struktury sieci tych w ęzłów , któ re ze w zględu na sw oje potrzeby lub na umiej

scow ienie w sieci dystrybucji oraz dostępne ciśnienie w pom pow ni nie otrzym ają minimalnej ilości wody^tzn.: y ° ul = p min *a,-. D o w yznaczenia przepływ ów w ody w lukach o raz ciśnień w w ęzłach sieci, w tym także ciśnienia w po m p o w n ązasto so w an o o p raco w an ą m etodę symulacji dla sieci dystrybucji w ody w w arunkach całkow itego zaspokojenia potrzeb [10], Po sprow a

dzeniu problem u do postaci zredukow anej, uw zględniającej tylko w ek to r przepływ ów w ( 1 4 )

(15)

(6)

tukach nie należących do drzew a D, zadanie (13) - (17) rozw iązano za p o m o cą algorytm u F letchera-R eevesa m odyfikow anego algorytm em R osena [4],

Proces identyfikacji struktury rozprow adzania w ody został opisany w przedstaw ionym poniżej algorytm ie:

A lgorytm 1

K rok 1: Przyjmij 1 * = k, w eź / / „ lnax .

K rok 2: P rzep ro w ad ź sym ulację rozpływ u w ody w sieci na potrzeby w w ęzłach sieci rów nych:

• ' = 1 / ł ■ 0 k r e śl ciśnienie w pom pow ni H po( y, = Z / ; min o raz zapasy ciśnień A /; ,■ w każdym w ęźle sieci .

K rok 3: Jeżeli H pm.dt '¿■Hpa, zapam iętaj strukturę i param etry sieci - STOP. W każdym w ęźle otrzym anej sieci jest m ożliw y w ypływ y"'" = y»min *cr(- , i = 1,...,/* . W przeciw nym wy

padku idź do K roku 4.

K rok 4: W yznacz nr w ęzła N r, w którym zapas ciśnienia jest minimalny, w pro w ad ź dla N r = min A/;, do /(j oraz usuń incydentne z tym w ęzłem łuki, /* = / * - 1 . Przejdź do

i K roku 2.

U zyskana w m etodzie symulacji struktura rzeczyw istych przepływ ów w łukach sieci oraz odpow iedni w ek to r ciśnień pozw alają na konstrukcję u p roszczonego m odelu sieci, którego rozw iązanie będzie stanow ić rozw iązanie dopuszczalne problem u (8) - ( l l ) . S trukturą, która spełnia te w ym agania,jest dow olne drzew o D grafu G. Spośród w szystkich dopuszczalnych drzew należy w ybrać drzew o D *, które minim alizuje straty energii sp o w o d o w an e zm ianą struktury rozprow adzania m edium . D rzew o D* m ożna określić w w yniku rozw iązania problem u optym alnych punktów rozcięć w nieliniowych sieciach w ykorzystując odpow iednio zm odyfikow any algorytm rozpływ ow y [5). S truktura D* m inim alizuje straty energetyczne FD określone p oniższą zależnością:

f d * s i = H i n y ? w y , + J , » )* < * , = > min

i=i i=i

gdzie 5 j = 0, jeśli łuk i i D o raz J , = l, jeśli łuk i e D dla / = 1 , pr zy spełnionych ograniczeniach (9 ),(11),(14),(15).

(7)

Struktura D* stanow i uproszczony m odel sieci, dla którego m ożna określić spadki ciśnienia na kolejnych ścieżkach k d rzew a w postaci:

Parametryczny problem d ystrybucji...______ 6?

t • ■ n ' - l \ 2 (19)

i + c k

t GSk przy ck = m ax(o, - d pp), gdzie:

1 €-S^

sk - zbiór w ęzłów /,-w chodzących do ścieżki k,

ck - m aksym alna różnica w ysokości geodezyjnej między pom pow nią d pp a kolejnymi w ęzłam i Ij k-tej ścieżki d t ,

f lj - elem ent m acierzy F = przy czym:

{

¹ jeśli w D* w ęzeł j należy do poddrzew a o korzeniu w 1 0 w przeciw nym w ypadku.

K orzystając z (8)-( 11) m ożna sform ułow ać zastępcze zadanie param etrycznej identyfikacji w ypływ ów w ody w nieliniowej sieci transportow ej w w arunkach deficytu:

^ max (20)

• I * ® i

l e L 1

przy ograniczeniach:

t m i ) V8 Hck - H pmas

Z'/

lest

(

21

)

Z

y"i" + c k ZO , k e \ , l s

\ H )

Anin * 0 / S j T ' S O/. ' = >... ' * (22)

N ck (y°'" ) określa zapas ciśnienia w pom pow ni dla k-tej ścieżki drzew a D*, natom iast PD (j) stanow i jed n o w y m iaro w ą tablicę PD (j) = jin ax (i), i = 1 ,..., n1 odpow iadającą za m acierz F = {/ij) przy zastosow aniu algorytm u DFS do przenum erow ania w ęzłów sieci.

Z adanie (2 0 )-(22) posiada liniow ą funkcję F(yo u t) oraz w klęsłe ograniczenia (21), które mają ciągłą pierw szą pochodną. Z biór rozw iązań dopuszczalnych Y01“ = [ y om: / / q . ( y ° " ') > 0 j jest zaw arty w w ielościanie w ypukłym Z określonym następująco:

z Ą y r . p ^ * ^ ¿ y r < a h i = \ ... /*,/;„»„ s < 0 .l)} (23)

co pozw ala zastosow ać m etodę hiperpłaszczyzn tnących K elleya.

(8)

W celu zm niejszenia liczby ograniczeń w ielościanu Z) dokonano transform acji zm iennych y ° “' na y. =y°'" - p mnl * a i / = 1 * oraz w yelim inow ano aproksym ację liniow ą funkcji

Hck. ( y our) w bieżącym kroku algorytm u K elleya .

4. T e s ty n u m e ry c z n e

P rogram num eryczny realizujący zadanie param etrycznej identyfikacji dla nieliniowych sieci dystrybucji w ody został napisany w języku FO R T R A N na kom p u ter IB M PC. W ybór ta

kiego języka program ow ania został podyktow any koniecznością w ykorzystania p rocedur symulacji przepływ ów dla nieliniowych sieci bez deficytu.

W stępne badania testow e p rzeprow adzono dla kilkunastu w ybranych sieci, odw zorow ujących rzeczyw isty system dystrybucji w ody o zróżnicow anych strukturach przestrzennych sieci, różnej liczbie w ęzłów i łuków . Param etry przykładow ych sieci były dobierane na podstaw ie typow ych, rzeczyw istych sieci rozprow adzania w ody [10], Jest oczyw iste, że czas obliczeń program u zależy od struktury sieci dystrybucji w ody o raz od liczby w ęzłów i łuków . Błąd w zględny niew ykorzystania ciśnienia w pom pow ni, pow stały w w yniku przyjęcia up roszczonego m odelu sie c ije st rzędu kilku procent. Zależy on w istotny sposób od struktury sieci oraz od przestrzennego rozłożenia zapotrzebow ania na w odę.

5. U w agi k ońcow e

W pracy rozw iązano zadanie param etrycznej identyfikacji przepływ ów i ciśnień w nieliniowej sieci dystrybucji w ody w przypadku w ystępującego deficytu. P rzed staw io n o zred u k o w an y m odel zadania, który rozw iązano w trzech etapach: p o p rzez identyfikację struktury ro zp ro w ad zan ia w ody dla param etrycznego w ek to ra zap o trzeb o w ań odbiorców sieci, o pracow anie uproszczonego m odelu sieci z określo n ą zależnością ciśnienia w po m pow ni od uproszczonej struktury oraz od w ypływ ów z w ęzłów . U zyskane zastępcze zadanie optym alizacji rozw iązano korzystając z m etody hiperpłaszczyzn tnących Kelleya.

B adania num eryczne p rzeprow adzone dla w ybranych sieci dystrybucji w ody potw ierdziły m ożliw ość identyfikacji param etrów sieci dystrybucji w ody w w arunkach aw aryjnych, gdy pom p o w n ia nie dysponuje w ystarczającą ilością w ody.

(9)

Parametryczny problem dystrybucji 69

L IT E R A T U R A

[1] C ohen G.: Optim al control o f w ater sypply system .Tzafestas Ed. O ptim isation and C ontrol o f D ynam ic O perational M odel. N orth-H olland. A m sterdam 1982.

[2] C oulbeck B ., Sterling M .iO ptim ized control o f w ater distribution systems. Proc. IE E 125, 10,1978.

[3] K lem pous R., K otow ski J.: N onlinear transport netw ork design. J. o f Com p, and Applied M ath. 35,1991, pp. 269-275.

[4] K o to w sk i.J., O lesiak M .:T h e optim ization o f the energy w astes in the com plex w ater supply systems. P roceedings o f 6th 1FAC/IFIP International C onference on Digital C o m p u ter A pplication to Process C ontrol, D usseldorf, O ctober, 1980.

[5] K ujszczyk S.: N ow oczesne m etody obliczeń elektroenergetycznych sieci rozdzielczych.

W N T, W arszaw a 1 9 8 4 .

[6] M inoux M .: N etw o rk synthesis and optim um netw ork design problem s: M odels, solution m ethods and applications. N etw o rk vol. 19,1989,pp. 313-360.

[7] M iyaka S., Funabashi M .: Optim al control o f w ater distribution system s by netw o rk flow theory. IE E E Trans, on AC, A C-29, 1984.

[8] Szlachcic E.: B icriterial optim ization o f structure o f com plex netw ork. M athem atical R esearch, B erlin, band 46, 1988, pp. 88 - 97.

[9] Szlachcic E., K otow ski J.: Suboptim al distribution problem in nonlinear tran sp o rt netw ork.

R a p o rt serii P R E IC T Politechniki, W roclaw , 42, 1992.

[10] Szlachcic E., K otow ski J., K lem pous R.:Sym ulacja i analityczne testy algorytm ów optym alnego sterow ania dla przykładow ych sieci dystrybucji w ody. R ap o rt serii Spr. IC T Politechniki .W roclaw , 10, 1983 .

R ecenzent: P rof.dr hab.inż. Jan W ęglarz W płynęło do R edakcji do 30.04.1994 r.

A b s tr a c t

T he param etric identification problem for nonlinear transport netw ork with deficit state, when the w ater supply can not be realised according to the planned dem ands o f netw ork consum ers, is show n in this paper. T he social costs o f w ater deficit is described. T h e param etric optim ization problem , depending on the num ber o f netw o rk consum ers, w here the w ater consum ption level is g reater then minimal threshold, is form ulated.T he objective function is not given explicite so the suboptim al m ethod, w hich allow to calculate the possible flow s in netw ork, is proposed. T h e identification o f nonlinear w ater distribution netw ork is realised.

T he auxiliary optim ization m odel w ith linear objection function and convex constraints is constructed and is solved using the Kelley cutting plane technique.