WPŁYW UKŁADU PODSTAWOWEGO NA POSTAĆ UKŁADU RÓWNAŃ METODY SIŁ 1. DANE WYJŚCIOWE
Rama płaska pokazana na rysunku zostanie rozwiązana z wykorzystaniem trzech różnych układów podstawowych w celu zilustrowania, jaki ma wpływ wybór układu podstawowego na postać układu równań metody sił.
Wynik końcowy rozwiązania ramy, oczywiście nie zależy od przyjętego układu podstawowego.
1. WYZNACZENIE STOPNIA STATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI Stopień statycznej niewyznaczalności określamy
na podstawie wzoru nH e 3 t po przekształceniu danego układ w zbiór tarcz sztywnych t przez usunięciu więzi e. W tym przypadku mamy t 1 i
3 1 4
e a więc n H 4 3 1 1. Rama jest, zatem jednokrotnie statycznie niewyznaczalna, co
oznacza, że układ równań metody sił będzie się składał z jednego równania.
2. PRZYJĘTE UKŁADY PODSTAWOWE Układ podstawowy tworzymy z układu danego poprzez zastąpienie nH więzi, siłami w taki sposób, aby powstał układ statycznie wyznaczalny i geometrycznie niezmienny.
Pierwszy układ podstawowy (obok) przyjęto przez zastąpienie węzła sztywnego węzłem przegubowym i dwoma niewiadomymi momentamiX1.
Drugi układ podstawowy (poniżej) Trzeci układ podstawowy (poniżej) utworzono utworzono przez przecięcie więzi sprężystej przez usunięcie więzi sprężystej i podpory i wprowadzenie dwóch sił niewiadomych X1. i zastąpienie ich niewiadomą (jedną) siłą X1.
e=3
e=1 4,00m
2,50m 2,50m
2EJ P=15kN
3,00m
M=10kN y
k=4EJm3 EJ
q=4kNm
2,50m
q=4kNm
k=4EJm3
3,00m
2,50m
M=10kN
4,00m
X1
P=15kN
2EJ X1
EJ
M=10kN 2EJ
3,00m
EJ
X1
q=4kNm
P=15kN
3,00m
M=10kN P=15kN
2EJ
q=4kNm
EJ
3. ROZWIĄZANIE RAMY Z WYKORZYSTANIEM UKŁADU PODSTAWOWEGO Nr 1 3.1. ROZWIĄZANIA UKŁADU PODSTAWOWEGO Nr 1
3.1.1. WYNIKI ROZWIĄZANIA UKŁADU PODSTAWOWEGO OD OBCIĄŻENIA F=(M,P,q)
Reakcje podporowe i siła w więzi sprężystej kNm
MFA 65.000 , HFA 0, kN
VFA 20.500 , VFB 10.500kN, kN
V
S FB
F
B 10.500 . Wykres momentów zginających
-65,00 -65,00
-13,75 -13,75
-10,00
MF 3,00
kNm
3.1.2. WYNIKI ROZWIĄZANIA UKŁADU PODSTAWOWEGO OD OBCIĄŻENIA X1=1
Reakcje podporowe i siła w więzi sprężystej
1A 2.250
M , H1A 0,
1A 0.250 /
V m, V1B 0.250/m, m
V SF FB
B 0.250/ Wykres momentów zginających
2,250 1,625
1 1
M
1rzędne bezwymiarowe 2,50m
HA A
VA
MA
3,00m
4,00m 2,50m
M=10kN B
VB k=4EJm3
1 2
P=15kN
2EJ
EJ
q=4kNm
X1=1
4,00m
2,50m 2,50m
MA VA
HA A 1 2
2EJ
X1=1
3,00m
VB B
k=4EJm3
EJ
3.2. RÓWNANIE METODY SIŁ DLA UKŁADU PODSTAWOWEGO Nr 1 I JEGO ROZWIĄZANIE
W przypadku układu podstawowego nr 1 równanie metody sił opisuje warunek, że wzajemny obrót końców prętów w miejscu przyłożonych sił hiperstatycznych X w układzie podstawowym 1
X F
F
X1 11 1 1
1( , )
musi być równy temu obrotowi w układzie danym rz1F, to jest 1(X1,F)rz1F, co po uwzględnieniu, że w połączeniu sztywnym wzajemny obrót końców prętów równy jest zero, prowadzi do równania
1 0
1 1
11X F rzF
gdzie 11X1 i 1F – wzajemny obrót końców prętów w układzie podstawowym w miejscu
przyłożonych sił hiperstatycznych X wywołany, odpowiednio, siłami 1 X i obciążeniem danym, 1
11 - wzajemny obrót jak wyżej wywołany siłami X1 1. Współczynniki równania obliczamy wykorzystując wzory
k
S dx S
EI M
M1 1 1B 1B
11 ,
k S dx S
EI M
M F B FB
F
1 1
1 ,
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
11
1 1 1212 2 2
1 1 1
2.5 2.25 2.25 4 1.9375 1.9375 1.625 1.625
2 6
2.5 1.625 1.625 4 1.3125 1.3125 1 1
2 6
5 1 1 4 6
S S B B
S A A B B
S S
M M S S
dx M M dx M M dx M M dx
EJ k EJ EJ EJ k
m EJ
m EJ
m EJ
( 0.25) ( 0.25) 8.6090.5 0.5 0 0 4
m m
EJ EJ
1 1
1 1
1 1 1
1
1 1 1212 2 2
1 1 1
2.5 ( 65) 2.25 4 ( 39.375) 1.9375 ( 13.75) 1.625
2 6
2.5 ( 13.75) 1.625 4 ( 6.875) 1.3125
2 6
F F
F F F
S S B B
F
S A A B B
S S
M M S S
dx M M dx M M dx M M dx
EJ k EJ EJ EJ k
m kNm EJ m kNm EJ
20 1
5 ( 10.5) ( 0.25) 105.216
0 1 4 3 0.5 ( 10) 0
6 4
m kNm kN m m kNm
EJ EJ EJ
Po podstawieniu obliczonych współczynników do układu równań i jego rozwiązaniu otrzymujemy
X1 12.221kNm.
3.3. RZECZYWISTE SIŁY PRZEKROJOWE
Mając wyznaczoną wielkość X wyznaczamy rzeczywiste siły przekrojowe i reakcje 1
1 0
1
A FA
F
A H X H
H , VF VA X VFA kN
A 1 1 17.445 , kNm
M X M
MF A FA
A 1 1 13.503 , VF VB X VFB kN
B 1 1 13.555 ,
-37,503
6,109 -37,503
12,221 12,221
-10,000 -10,000
MF
kNm 9,110
17,445 17,445 17,445
17,445
2,445 2,445
2,445 2,445
1,956 1,956
-10,844
VF kN
1,467
-8,133 1,467
-8,133
NF
kN
4. ROZWIĄZANIE RAMY Z WYKORZYSTANIEM UKŁADÓW PODSTAWOWYCH Nr 2 i Nr 3
Rozwiązania w przypadku układów podstawowych nr 2 i nr 3 wykonane zostaną równolegle, gdyż obydwa te układy utworzono dokonując przekształceń związanych z więzią sprężystą (w pierwszym przypadku więź przecięto, w drugim usunięto).
4.1. ROZWIĄZANIA UKŁADÓW PODSTAWOWYCH Nr 2 i Nr 3
4.1.1. WYNIKI ROZWIĄZANIA UKŁADÓW PODSTAWOWYCH OD OBCIĄŻENIA F=(M,P,q)
MA
2
2,50m
VA
HA A
2,50m
1 2EJ
k=4EJm3 B EJ
M=10kN
3,00m
P=15kN q=4kNm
VB 4,00m
2,50m
3,00m
2,50m 4,00m
M=10kN P=15kN
2EJ
EJ q=4kNm
VA
HA
MA
B 1 2
A
Reakcje podporowe w obydwu układach kNm
MFA 159.000 , HFA 0, VFA 31.000kN, VFB 0 (w układzie podstawowym nr 2 reakcja podporowa VFB 0
a w układzie podstawowym nr 3 brak podpory i więzi sprężystej, więc też przyjmujemy VFB 0).
Wobec tego w obydwu przypadkach FB 0
F
B V
S .
Wykres momentów zginających
-159,500 -159,500
-82,000 -42,000 -82,000
-42,000
-10,000 -42,000
MF
kNm -18,000
4.1.2. ROZWIĄZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO Nr 2 i Nr 3 OD OBCIĄŻENIA X1=1
2,50m
3,00m
k=4EJm3 2,50m
2EJ
4,00m X1=1
X1=1 EJ
A 1 2
B VA
HA
MA
VB
2,50m
3,00m
2,50m 4,00m
2EJ
EJ MA
HA
VA
A 1 2
B X1=1
Reakcje podporowe w obydwu układach: M1A 9.000m, H1A 0, V1A 1.000. W układzie podstawowym nr 2 W układzie podstawowym nr 3 brak podpory
1B 1
V i S1B V1B 1. i więzi sprężystej, więc przyjmujemy
1 0
1B VB
S .
Pojawiła się, więc różnica w rozwiązaniach układów podstawowych nr 2 i nr 3.
Wykres momentów zginających jest jednakowy dla obydwu układów
1 2
3 -9,000
-9,000
-4,000 -4,000 -6,500
-4,000 -4,000
M1
m
4.2. RÓWNANIE METODY SIŁ I JEGO ROZWIĄZANIE 4.2.1. POSTACI OGÓLNE UKŁADÓW RÓWNAŃ
W przypadku UKŁADU PODSTAWOWEGO NR 2 równanie metody sił opisuje warunek, że wzajemne przesunięcie (zmiana odległości) punktów w miejscu przecięcia więzi sprężystej w układzie podstawowym 1(X1,F)11X11F musi być równa tej zmianie odległości w układzie danym
rz F
1 , to jest „zero” ze względu na ciągłość układu w miejscu przecięcia, co prowadzi do równania analogicznego jak dla układu podstawowego nr 1
0
X rz
2,50m 2,50m
A
VA
A
MA
2EJ 1
3,00m
k=4EJm3
VB
4,00m
X1=1 EJ
B 2
W przypadku UKŁADU PODSTAWOWEGO NR 3 równanie metody sił opisuje warunek, że przesunięcie końca pręta w miejscu przyłożonej siły hiperstatycznej X w układzie podstawowym 1
X F
F
X1 11 1 1
1( , )
musi być równy temu przesunięciu w układzie danym rz1F.
To przesunięcie nie jest równe zero rz1F 0. Aby zbudować układ równań należy przedtem określić
1 rz
. Przemieszczenie to można obliczyć na podstawie wzoru F
k
S dx S
EI M
M F B BF
F rz
F
1 1 1
1 ,
gdzie MF, S oznaczają wartości „rzeczywiste” w układzie danym od obciążeń F (patrz p.3.3), F M , 1 S oznaczają wartości w dowolnym układzie podstawowym od siły jednostkowej przyłożonej w 1 miejscu i kierunku szukanego
przemieszczenia to jest w miejscu i kierunku X . 1
Weźmy przykładowo schemat jak w układzie podstawowym nr 1 i obciążmy go siłą X1 1 z układu nr 3 (rysunek obok). W wyniku rozwiązania tego układu otrzymujemy M1 0, V1B 1 i S1B V1B 1. Uwzględniając fakt, że wartość siły w więzi sprężystej w układzie danym jest równa X , z układu 1 nr 3, wartość szukanego przemieszczenia wynosi
k X k
dx X EI
MF
rz F
1 1
1
0 1
Warunek zgodności przemieszczeń, w przypadku układu podstawowego nr 2 ma, więc postać k
X X F
X1 11 1 1F rz1F 1
1( , )
,
co prowadzi do równania kanonicznego metody sił w postaci
k X1 1F rz1F X1
11
.
Równanie to, po przekształceniu 11X1 rz1F 1F 0
przyjmuje postać 1 0
1 1
11
X F
k
.
Zatem mamy postaci kanoniczne układów równań:
dla układu podstawowego nr 2 dla układu podstawowego nr 3
1 0
1 1
11X F rzF
k X1 1F rz1F X1
11
.
Dla układu podstawowego nr 3 po przekształceniu otrzymujemy 1 0
1 1
11
X F
k
(nie jest to już postać kanoniczna).
Jak widać postaci ogólne równania dla układu podstawowego nr 3 różnią się zasadniczo od równania dla układu podstawowego nr 2 i inny jest też sens fizyczny równań i współczynników równań dla tych układów podstawowych a także, co okaże się w następnym punkcie, różne są wartości
współczynników.
4.2.2. WSPÓŁCZYNNIKI UKŁADÓW RÓWNAŃ
Współczynniki równań obliczamy wykorzystując, oczywiście, te same wzory jak dla układu nr 1.
Dla UKŁADU PODSTAWOWEGO NR 2 otrzymujemy
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
11
1 1 1212 2 2
2
2
1 1 1
2.5 ( 9) ( 9) 4 ( 7.75) ( 7.75) ( 6.5) ( 6.5)
2 6
2.5 ( 6.6) ( 6.5) 4 ( 5.25) ( 5.25) ( 4) (
2 6
S S B B
S A A B B
S S
M M S S
dx M M dx M M dx M M dx
EJ k EJ EJ EJ k
m m EJ
m m EJ
2 3 3
4)
5 1 1 137.750
( 4) ( 4) 4 ( 2) ( 2) 0 0
6 4
m m m m
EJ EJ EJ
1
1 1 1
1
1 1 1212 2 2
2
2
1 1 1
2.5 ( 159.5) ( 9) 4 ( 120.75) ( 7.75) ( 82) ( 6.5)
2 6
2.5 ( 82) ( 6.5) 4 ( 62) ( 5.25) ( 42) ( 4)
2 6
5
F
F F F
F
A A B B
M M
dx M M dx M M dx M M dx
EJ EJ EJ EJ
m kNm EJ m kNm
EJ m
2 3
1867.240 ( 42) ( 4) 4 ( 18) ( 2) ( 10) 0
6
kNm kNm
EJ EJ
Numeryczna postać równania jest następująca
3 3
1
137.750 1867.240
m kNm 0
EJ X EJ
Wielkość hiperstatyczna uzyskana z rozwiązania tego równania ma wartość X1 13.555kN Dla UKŁADU PODSTAWOWEGO NR 3 otrzymujemy
1 1
1 1 1 1 1 1
11
1 1 1212 2 2
2
2
2
1 1 1
2.5 ( 9) ( 9) 4 ( 7.75) ( 7.75) ( 6.5) ( 6.5)
2 6
2.5 ( 6.5) ( 6.5) 4 ( 5.25) ( 5.25) ( 4) ( 4)
2 6
5 (
6
A A B B
M M dx M M dx M M dx M M dx
EJ EJ EJ EJ
m m EJ
m m EJ m m EJ
4) ( 4) 4 ( 2) ( 2) 0 0
137.500 m3 EJ
1
1 1 1
1
1 1 1212 2 2
2
2
1 1 1
2.5 ( 159.5) ( 9) 4 ( 120.75) ( 7.75) ( 82) ( 6.5)
2 6
2.5 ( 82) ( 6.5) 4 ( 62) ( 5.25) ( 42) ( 4)
2 6
5
F
F F F
F
A A B B
M M dx M M dx M M dx M M dx
EJ EJ EJ EJ
m kNm EJ m kNm
EJ m
2 3
1867.240 ( 42) ( 4) 4 ( 18) ( 2) ( 10) 0
6
kNm kNm
EJ EJ
m m
m3 3 3
1
Rozwiązanie równania jest także identyczne jak dla układu nr 2.
4.3. RZECZYWISTE SIŁY PRZEKROJOWE
Mając wyznaczoną wielkość X wyznaczamy siły przekrojowe i reakcje analogicznie jak z 1 wykorzystaniem układu podstawowego nr 1 z wyjątkiem sił w usuniętych więziach w układzie podstawowym nr 3. Ze względu na to, że z układu podstawowego została usunięta podpora B i więź sprężysta reakcja tej podpory i siła w tej więzi nie mogą być wyznaczone ani w wyniku
rozwiązania układu podstawowego ani w wyniku superpozycji rozwiązań układu podstawowego.
Można je wyznaczyć w wyniku oddzielnej analizy np. wykorzystując układ podstawowy nr 2, z którego wynika, że w przyjętym przypadku SBF X1 a VBF SBF X1.
Wyniki poprawnie wykonanych rozwiązań, oczywiście, nie zależą od przyjętego układu podstawowego. Zostały one przedstawione w punkcie 3.3.
4.4. KONTROLA ROZWIĄZANIA
4.4.1. KONTROLA STATYCZNEJ DOPUSZCZALNOŚCI ROZWIĄZANIA
Kontrola ta nie zależy od przyjętego układu podstawowego i została szczegółowo zilustrowana w przykładach 1 i 2.
4.4.2. KONTROLA KINEMATYCZNEJ DOPUSZCZALNOŚCI ROZWIĄZANIA
Dokonując kontroli kinematycznej dopuszczalności rozwiązania należy pamiętać, że przemieszczenie
powinno być równe przemieszczeniu rzeczywistemu i rzi . W przypadku układu podstawowego nr 2
0 00096
.
0 1
1 3 1
1
rzF
s F s s F
F EJ
kNm k
S dx S
EJ M
M .
W przypadku układu podstawowego nr 3
EJ kNm m
EJ kN k
X EJ
dx kNm EJ
M
M rz
F F
F
3 3
1 1
3 1
1 3.388
/ 4
555 . 3896 13
.
3
.5. KOMENTARZ
Jak zilustrowano, sposób tworzenia układu podstawowego (przecinanie lub usuwanie więzi) mimo, że może prowadzić do identycznych numerycznych postaci układów równań, ma istotny wpływ:
na postać kanoniczną układu równań,
wartości niektórych wielkości statycznych w układzie podstawowym,
wartości współczynników układu równań,
sposób obliczania niektórych wielkości statycznych w układzie danym,
kontrolę kinematycznej dopuszczalności rozwiązania.
Istotne jest więc, by układ podstawowy był precyzyjnie przedstawiony i by układ równań kanonicznych odpowiadał przyjętemu układowi podstawowemu.
6. DODATEK
Jak wynika z przedstawionego przykładu, przyjęcie układu podstawowego przez usunięcie więzi sprężystej, choć prowadzi do numerycznie identycznego układu równań jak w przypadku jej przecięcia, to wprowadza istotne różnice merytoryczne i obliczeniowe na etapie tworzenia układu równań. Należy tu pamiętać, że w ogólności w przypadku usunięcia więzi sprężystej równanie dotyczące warunku zgodności przemieszczeń związanych z tą więzią ma zawsze postać
h
n
j i
i iF
j
ij k
X X
1
lub po przekształceniu
1
1 1
1 0
i
j
n
i j
iF j ij i
i ii j ij
h
X k X
X
niezależnie czy jest to więź tzw podporowa czy wewnętrzna. Należy też pamiętać, obliczając
współczynniki układu równań, że siły w więziach usuniętych a więc nie istniejących w układzie należy przyjmować jako równe zero.
Na zakończenie chcemy zasygnalizować, że analogiczna sytuacja ma miejsce, gdy tworzony jest układ podstawowy dla kratownicy przez usunięcie prętów (patrz rysunki poniżej).
1
2
Xi
Xi 2
1
W tym przypadku równania dotyczące warunków zgodności przemieszczeń związanych z tymi prętami mają postać
h
n
j i
i i iF
j
ij EA
L X X
1
lub po przekształceniu
1
1 1
0
i
j
n
i j
iF j ij i
i i ii j ij
h
X EA X
X L
gdyż określają zmianę odległości węzłów, która jest równa zmianie długości pręta, co ilustruje rysunek obok
Jeśli chce się otrzymać równania w postaci
h
n
j
iF j ij X
1
0
należy, tworząc układ podstawowy, pręty przecinać a nie usuwać, co ilustruje rysunek poniżej.
Xi
Xi
1
2
Xi
Xi 2
1
W przypadku wymuszeń kinematycznych (błędy montażu i przemieszczenia podpór) tworzenie układów podstawowych przez usuwanie więzi, w których dane są wymuszenia kinematyczne
4,00m 2,50m
2EJ
2,50m
B
3,00m
EJ
k=4EJm3
3,00m
4,00m
2,50m 2,50m
X1=1 B VA
HA A MA
1 2 2EJ
EJ
prowadzi do równań postaci
h
n
j
i i j ij X
1
lub po przekształceniu 0
1
nh
j
i i j
ij X
.
Jeśli chce się otrzymać równania w postaci 0
1
nh
j
i j
ij X
nie można, tworząc układ podstawowy, usuwać więzi, w których dane są wymuszenia kinematyczne. W rozpatrywanym przypadku mogłyby to być np. układy analogiczne do układów 1 i 2.
4,00m
2,50m 2,50m
2EJ
1
B
k=4EJm3 EJ
X1
3,00m 3,00m
4,00m
2,50m 2,50m
B
X1
X1
k=4EJm3
2EJ
EJ
Warto, więc pamiętać, że ogólnie równania kanoniczne metody sił mają postać
h
n
j
rz io io j ij X
1
oraz że układ podstawowy zawsze może być tak przyjęty aby było
0
1
nh
j
rz io io j
ij X
