Diskr´etn´ı matematika
Martin Balko
2. pˇredn´ aˇska
8. ˇr´ıjna 2019
Relace na mnoˇzin´ ach
Pˇr´ıklady relac´ı
• Pˇr´ıklady relac´ıR na mnoˇzinˇe X zahrnuj´ı:
◦ dˇelitelnost: (X , R) = (N, |), tedy x |y ⇔ x dˇel´ı y ,
◦ uspoˇr´ad´an´ı: (X , R) = (Z, ≤), tedy x ≤y ⇔ x je nanejv´yˇs y ,
◦ pˇresmyˇcky: X = {dvojice slov} a xRy ⇔ x je pˇresmyˇckou y . – (KAV´ARNA SLAVIA,SLAVN´A AKVARIA) ∈ R,
– (MARTIN BALKO,OBAL NAKRMIT) ∈ R, – (DVOJICE SLOV,DVOJICE SLOV) ∈ R.
Pˇr´ıklady relac´ı
• Pˇr´ıklady relac´ıR na mnoˇzinˇe X zahrnuj´ı:
◦ dˇelitelnost: (X , R) = (N, |), tedy x |y ⇔ x dˇel´ı y ,
◦ uspoˇr´ad´an´ı: (X , R) = (Z, ≤), tedy x ≤y ⇔ x je nanejv´yˇs y ,
◦ pˇresmyˇcky: X = {dvojice slov} a xRy ⇔ x je pˇresmyˇckou y . – (KAV´ARNA SLAVIA,SLAVN´A AKVARIA) ∈ R,
– (MARTIN BALKO,OBAL NAKRMIT) ∈ R, – (DVOJICE SLOV,DVOJICE SLOV) ∈ R.
Pˇr´ıklady relac´ı
• Pˇr´ıklady relac´ıR na mnoˇzinˇe X zahrnuj´ı:
◦ dˇelitelnost: (X , R) = (N, |), tedy x |y ⇔ x dˇel´ı y ,
◦ uspoˇr´ad´an´ı: (X , R) = (Z, ≤), tedy x ≤y ⇔ x je nanejv´yˇs y ,
◦ pˇresmyˇcky: X = {dvojice slov} a xRy ⇔ x je pˇresmyˇckou y . – (KAV´ARNA SLAVIA,SLAVN´A AKVARIA) ∈ R,
– (MARTIN BALKO,OBAL NAKRMIT) ∈ R, – (DVOJICE SLOV,DVOJICE SLOV) ∈ R.
Pˇr´ıklady relac´ı
• Pˇr´ıklady relac´ıR na mnoˇzinˇe X zahrnuj´ı:
◦ dˇelitelnost: (X , R) = (N, |), tedy x |y ⇔ x dˇel´ı y ,
◦ uspoˇr´ad´an´ı: (X , R) = (Z, ≤), tedy x ≤y ⇔ x je nanejv´yˇs y ,
◦ pˇresmyˇcky: X = {dvojice slov} a xRy ⇔ x je pˇresmyˇckou y .
– (KAV´ARNA SLAVIA,SLAVN´A AKVARIA) ∈ R, – (MARTIN BALKO,OBAL NAKRMIT) ∈ R, – (DVOJICE SLOV,DVOJICE SLOV) ∈ R.
Pˇr´ıklady relac´ı
• Pˇr´ıklady relac´ıR na mnoˇzinˇe X zahrnuj´ı:
◦ dˇelitelnost: (X , R) = (N, |), tedy x |y ⇔ x dˇel´ı y ,
◦ uspoˇr´ad´an´ı: (X , R) = (Z, ≤), tedy x ≤y ⇔ x je nanejv´yˇs y ,
◦ pˇresmyˇcky: X = {dvojice slov} a xRy ⇔ x je pˇresmyˇckou y . – (KAV´ARNA SLAVIA,SLAVN´A AKVARIA) ∈ R,
– (MARTIN BALKO,OBAL NAKRMIT) ∈ R, – (DVOJICE SLOV,DVOJICE SLOV) ∈ R.
Pˇr´ıklady relac´ı
• Pˇr´ıklady relac´ıR na mnoˇzinˇe X zahrnuj´ı:
◦ dˇelitelnost: (X , R) = (N, |), tedy x |y ⇔ x dˇel´ı y ,
◦ uspoˇr´ad´an´ı: (X , R) = (Z, ≤), tedy x ≤y ⇔ x je nanejv´yˇs y ,
◦ pˇresmyˇcky: X = {dvojice slov} a xRy ⇔ x je pˇresmyˇckou y . – (KAV´ARNA SLAVIA,SLAVN´A AKVARIA) ∈ R,
– (MARTIN BALKO,
OBAL NAKRMIT) ∈ R, – (DVOJICE SLOV,DVOJICE SLOV) ∈ R.
Pˇr´ıklady relac´ı
• Pˇr´ıklady relac´ıR na mnoˇzinˇe X zahrnuj´ı:
◦ dˇelitelnost: (X , R) = (N, |), tedy x |y ⇔ x dˇel´ı y ,
◦ uspoˇr´ad´an´ı: (X , R) = (Z, ≤), tedy x ≤y ⇔ x je nanejv´yˇs y ,
◦ pˇresmyˇcky: X = {dvojice slov} a xRy ⇔ x je pˇresmyˇckou y . – (KAV´ARNA SLAVIA,SLAVN´A AKVARIA) ∈ R,
– (MARTIN BALKO,OBAL NAKRMIT) ∈ R,
– (DVOJICE SLOV,DVOJICE SLOV) ∈ R.
Pˇr´ıklady relac´ı
• Pˇr´ıklady relac´ıR na mnoˇzinˇe X zahrnuj´ı:
◦ dˇelitelnost: (X , R) = (N, |), tedy x |y ⇔ x dˇel´ı y ,
◦ uspoˇr´ad´an´ı: (X , R) = (Z, ≤), tedy x ≤y ⇔ x je nanejv´yˇs y ,
◦ pˇresmyˇcky: X = {dvojice slov} a xRy ⇔ x je pˇresmyˇckou y . – (KAV´ARNA SLAVIA,SLAVN´A AKVARIA) ∈ R,
– (MARTIN BALKO,OBAL NAKRMIT) ∈ R, – (DVOJICE SLOV,
DVOJICE SLOV) ∈ R.
Pˇr´ıklady relac´ı
• Pˇr´ıklady relac´ıR na mnoˇzinˇe X zahrnuj´ı:
◦ dˇelitelnost: (X , R) = (N, |), tedy x |y ⇔ x dˇel´ı y ,
◦ uspoˇr´ad´an´ı: (X , R) = (Z, ≤), tedy x ≤y ⇔ x je nanejv´yˇs y ,
◦ pˇresmyˇcky: X = {dvojice slov} a xRy ⇔ x je pˇresmyˇckou y . – (KAV´ARNA SLAVIA,SLAVN´A AKVARIA) ∈ R,
– (MARTIN BALKO,OBAL NAKRMIT) ∈ R, – (DVOJICE SLOV,DVOJICE SLOV) ∈ R.
Pˇr´ıklady funkc´ı
• Pˇr´ıklady funkc´ıf : X →Y zahrnuj´ı:
◦ X = {a,b,c},Y = {1,2,3},f (a)= 1, f (b) = 2, f (c)= 2, a
b c
1 2 f
3
◦ parabola: X = R, Y = R, f (x )= x2, f = {(x , x2) : x ∈ R},
◦ sinus: X = R, Y = [−1, 1], f (x )= sin(x ), f = {(x , sin(x )) : x ∈ R}.
Pˇr´ıklady funkc´ı
• Pˇr´ıklady funkc´ıf : X →Y zahrnuj´ı:
◦ X = {a,b,c},Y = {1,2,3},f (a)= 1, f (b)= 2, f (c)= 2, a
b c
1 2 f
3
◦ parabola: X = R, Y = R, f (x )= x2, f = {(x , x2) : x ∈ R},
◦ sinus: X = R, Y = [−1, 1], f (x )= sin(x ), f = {(x , sin(x )) : x ∈ R}.
Pˇr´ıklady funkc´ı
• Pˇr´ıklady funkc´ıf : X →Y zahrnuj´ı:
◦ X = {a,b,c},Y = {1,2,3},f (a)= 1, f (b)= 2, f (c)= 2, a
b c
1 2 f
3
◦ parabola: X = R, Y = R, f (x )= x2, f = {(x , x2) : x ∈ R},
◦ sinus: X = R, Y = [−1, 1], f (x )= sin(x ), f = {(x , sin(x )) : x ∈ R}.
Pˇr´ıklady funkc´ı
• Pˇr´ıklady funkc´ıf : X →Y zahrnuj´ı:
◦ X = {a,b,c},Y = {1,2,3},f (a)= 1, f (b)= 2, f (c)= 2, a
b c
1 2 f
3
◦ parabola: X = R, Y = R, f (x )= x2, f = {(x , x2) : x ∈ R},
◦ sinus: X = R, Y = [−1, 1], f (x )= sin(x ), f = {(x , sin(x )) : x ∈ R}.
David Hilbert
Obr´azek:David Hilbert (1862–1943).
Zdroj: https://www.famousmathematicians.net
• Jeden z nejvˇetˇs´ıch matematik˚u 20. stolet´ı.
• V roce 1900 vypracoval seznam 23 Hilbertov´ych probl´em˚u, tehdy nejvˇetˇs´ı nevyˇreˇsen´e matematick´e probl´emy.
• Ilustroval nepˇrirozen´e chov´an´ı nekoneˇcn´ych mnoˇzin pomoc´ı tzv. Hilbertova hotelu.
David Hilbert
Obr´azek:David Hilbert (1862–1943).
Zdroj: https://www.famousmathematicians.net
• Jeden z nejvˇetˇs´ıch matematik˚u 20. stolet´ı.
• V roce 1900 vypracoval seznam 23 Hilbertov´ych probl´em˚u, tehdy nejvˇetˇs´ı nevyˇreˇsen´e matematick´e probl´emy.
• Ilustroval nepˇrirozen´e chov´an´ı nekoneˇcn´ych mnoˇzin pomoc´ı tzv. Hilbertova hotelu.
David Hilbert
Obr´azek:David Hilbert (1862–1943).
Zdroj: https://www.famousmathematicians.net
• Jeden z nejvˇetˇs´ıch matematik˚u 20. stolet´ı.
• V roce 1900 vypracoval seznam 23 Hilbertov´ych probl´em˚u, tehdy nejvˇetˇs´ı nevyˇreˇsen´e matematick´e probl´emy.
• Ilustroval nepˇrirozen´e chov´an´ı nekoneˇcn´ych mnoˇzin pomoc´ı tzv. Hilbertova hotelu.
David Hilbert
Obr´azek:David Hilbert (1862–1943).
Zdroj: https://www.famousmathematicians.net
• Jeden z nejvˇetˇs´ıch matematik˚u 20. stolet´ı.
• V roce 1900 vypracoval seznam 23Hilbertov´ych probl´em˚u, tehdy nejvˇetˇs´ı nevyˇreˇsen´e matematick´e probl´emy.
• Ilustroval nepˇrirozen´e chov´an´ı nekoneˇcn´ych mnoˇzin pomoc´ı tzv. Hilbertova hotelu.
David Hilbert
Obr´azek:David Hilbert (1862–1943).
Zdroj: https://www.famousmathematicians.net
• Jeden z nejvˇetˇs´ıch matematik˚u 20. stolet´ı.
• V roce 1900 vypracoval seznam 23Hilbertov´ych probl´em˚u, tehdy nejvˇetˇs´ı nevyˇreˇsen´e matematick´e probl´emy.
• Ilustroval nepˇrirozen´e chov´an´ı nekoneˇcn´ych mnoˇzin pomoc´ı tzv.
Hilbertova hotelu.
Hilbert˚ uv hotel
• Mˇejme hotel s nekoneˇcnˇe spoˇcetnˇe pokoji, kter´e jsou vˇsechny obsazen´e.
Zdroj: TED-Ed, https://www.youtube.com/watch?v=Uj3 KqkI9Zo
• Do hotelu pˇrijde nov´y host a chce se ubytovat. ...
Hilbert˚ uv hotel
• Mˇejme hotel s nekoneˇcnˇe spoˇcetnˇe pokoji, kter´e jsou vˇsechny obsazen´e.
Zdroj: TED-Ed, https://www.youtube.com/watch?v=Uj3 KqkI9Zo
• Do hotelu pˇrijde nov´y host a chce se ubytovat. ...
Hilbert˚ uv hotel
• Mˇejme hotel s nekoneˇcnˇe spoˇcetnˇe pokoji, kter´e jsou vˇsechny obsazen´e.
Zdroj: TED-Ed, https://www.youtube.com/watch?v=Uj3 KqkI9Zo
• Do hotelu pˇrijde nov´y host a chce se ubytovat.
...
Hilbert˚ uv hotel
• Mˇejme hotel s nekoneˇcnˇe spoˇcetnˇe pokoji, kter´e jsou vˇsechny obsazen´e.
Zdroj: TED-Ed, https://www.youtube.com/watch?v=Uj3 KqkI9Zo
• Do hotelu pˇrijde nov´y host a chce se ubytovat.
...
Hilbert˚ uv hotel
• Mˇejme hotel s nekoneˇcnˇe spoˇcetnˇe pokoji, kter´e jsou vˇsechny obsazen´e.
Zdroj: TED-Ed, https://www.youtube.com/watch?v=Uj3 KqkI9Zo
• Do hotelu pˇrijde nov´y host a chce se ubytovat.
• Dok´aˇze to recepˇcn´ı zaˇr´ıdit?
Hilbert˚ uv hotel
• Mˇejme hotel s nekoneˇcnˇe spoˇcetnˇe pokoji, kter´e jsou vˇsechny obsazen´e.
Zdroj: TED-Ed, https://www.youtube.com/watch?v=Uj3 KqkI9Zo
• Do hotelu pˇrijde nov´y host a chce se ubytovat.
• Dok´aˇze to recepˇcn´ı zaˇr´ıdit?
Hilbert˚ uv hotel
• Ano, staˇc´ı kaˇzd´eho hosta z n-t´eho pokoje pˇresunout do n + 1-n´ıho pokoje, ˇc´ımˇz se prvn´ı pokoj uvoln´ı.
Zdroj: TED-Ed, https://www.youtube.com/watch?v=Uj3 KqkI9Zo
Hilbert˚ uv hotel
• Ano, staˇc´ı kaˇzd´eho hosta z n-t´eho pokoje pˇresunout do n + 1-n´ıho pokoje, ˇc´ımˇz se prvn´ı pokoj uvoln´ı.
Zdroj: TED-Ed, https://www.youtube.com/watch?v=Uj3 KqkI9Zo
Hilbert˚ uv hotel
• Ano, staˇc´ı kaˇzd´eho hosta z n-t´eho pokoje pˇresunout do n + 1-n´ıho pokoje, ˇc´ımˇz se prvn´ı pokoj uvoln´ı.
Zdroj: TED-Ed, https://www.youtube.com/watch?v=Uj3 KqkI9Zo
Hilbert˚ uv hotel
• Co kdyˇz pˇrijede autobus nekoneˇcnˇe spoˇcetnˇe mnoha hosty, kteˇr´ı chtˇej´ı ubytovat?
Zdroj: TED-Ed, https://www.youtube.com/watch?v=Uj3 KqkI9Zo
Hilbert˚ uv hotel
• Co kdyˇz pˇrijede autobus nekoneˇcnˇe spoˇcetnˇe mnoha hosty, kteˇr´ı chtˇej´ı ubytovat?
Zdroj: TED-Ed, https://www.youtube.com/watch?v=Uj3 KqkI9Zo
Hilbert˚ uv hotel
• St´ale lze zaˇr´ıdit, staˇc´ı kaˇzd´eho hosta z n-t´eho pokoje pˇresunout do 2n-t´eho pokoje, ˇc´ımˇz se uvoln´ı pokoje s lich´ym ˇc´ıslem.
Zdroj: TED-Ed, https://www.youtube.com/watch?v=Uj3 KqkI9Zo
Hilbert˚ uv hotel
• St´ale lze zaˇr´ıdit, staˇc´ı kaˇzd´eho hosta z n-t´eho pokoje pˇresunout do 2n-t´eho pokoje, ˇc´ımˇz se uvoln´ı pokoje s lich´ym ˇc´ıslem.
Zdroj: TED-Ed, https://www.youtube.com/watch?v=Uj3 KqkI9Zo
Hilbert˚ uv hotel
• St´ale lze zaˇr´ıdit, staˇc´ı kaˇzd´eho hosta z n-t´eho pokoje pˇresunout do 2n-t´eho pokoje, ˇc´ımˇz se uvoln´ı pokoje s lich´ym ˇc´ıslem.
Zdroj: TED-Ed, https://www.youtube.com/watch?v=Uj3 KqkI9Zo
Hilbert˚ uv hotel
• Na rozmyˇslenou: ukaˇzte, ˇze hosty lze ubytovat, i kdyˇz pˇrijede nekoneˇcnˇe spoˇcetnˇe autobus˚u, kaˇzd´y s nekoneˇcnˇe spoˇcetnˇe mnoha hosty.
Zdroj: TED-Ed, https://www.youtube.com/watch?v=Uj3 KqkI9Zo
Hilbert˚ uv hotel
• Na rozmyˇslenou: ukaˇzte, ˇze hosty lze ubytovat, i kdyˇz pˇrijede nekoneˇcnˇe spoˇcetnˇe autobus˚u, kaˇzd´y s nekoneˇcnˇe spoˇcetnˇe mnoha hosty.
Zdroj: TED-Ed, https://www.youtube.com/watch?v=Uj3 KqkI9Zo
Ekvivalence
X
Ekvivalence
X
Ekvivalence
E
X
Ekvivalence
E
X
Zdroj: https://www.ias.edu
Dˇekuji za pozornost.
Zdroj: https://www.ias.edu
