V PRAZE FAKULTA PHENOMENOLOGICAL MODELING OF DUCTILE FRACTURE OF METALS

(1)

CESK´ ˇ E VYSOK´ E

U ˇ CEN´ I TECHNICK´ E V PRAZE

FAKULTA STROJN´ I

BAKAL ´ A ˇ RSK ´ A PR ´ ACE

FENOMENOLOGICK´ E MODELOV ´ AN´ I TV ´ ARN´ EHO PORUˇ SEN´ I KOV˚ U

PHENOMENOLOGICAL MODELING OF DUCTILE FRACTURE OF METALS

2020

JI ˇ R´ I

HLAVNI ˇ CKA

(2)

(3)

Prohl´ aˇ sen´ı

Prohlaˇsuji, ˇze jsem svou bakaláˇrskou práci vypracoval samostatnˇe a pouˇzil jsem pouze podklady uvedené v pˇriloˇzeném seznamu.

Nemám závaˇzný d˚uvod proti uˇzit´ı tohoto ˇskoln´ıho d´ıla ve smyslu§ 60 zákona ˇc. 121/2000 Sb., o právu autorském, o právech souvisej´ıc´ıch s právem autorským a o zmˇenˇe nˇekterých zákon˚u (autorský zákon).

V Praze dne: Podpis:

(4)

Podˇ ekov´ an´ı

Chtˇel bych velmi podˇekovat vedouc´ımu práce doc. Ing. Miroslavovi ˇSpanielovi, CSc. za ˇcas, který byl ochoten mi vˇenovat, a za nesˇcetné mnoˇzstv´ı odborných rad, kterými mˇe dovedl aˇz k samému c´ıli této práce, dále také za jeho trpˇelivost, kterou projevil ve chv´ıl´ıch nezdaru, moˇznost uchopit nové vˇedomosti a moˇznost z´ıskat pˇredstavy, které pr˚ubˇeˇznˇe korigoval tak, aby vedly k úspˇeˇsnému poznán´ı.

(5)

Anotaˇ cn´ı list

Jm´eno autora: Hlavniˇcka Jiˇr´ı

Název: Fenomenologické modelován´ı tvárného poruˇsován´ı kov˚u Anglický název: Phenomenological modeling of ductile fracture of metals

Rok: 2020

Studijn´ı program: Teoretický základ strojn´ıho inˇzenýrstv´ı Studijn´ı obor: bez oboru

Ustav:´ ´ustav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Odbor: odbor pruˇznosti a pevnosti

Vedouc´ı pr´ace: doc. Ing. Miroslav ˇSpaniel, CSc.

Bibliografické údaje: Poˇcet stran: 59 Poˇcet obrázk˚u: 35 Poˇcet tabulek: 10 Poˇcet pˇr´ıloh: 1

Kl´ıˇcová slova: Nesvázané modely tvárného poruˇsován´ı, tvárné poruˇsován´ı, plasticita, metoda koneˇcných prvk˚u, deformaˇcn´ı zpevnˇen´ı, mechanika poˇskozen´ı kontinua, triaxialita, Lodeho úhel

Keywords: Uncoupled models, ductile fracture, damage mechanics, plasticity, calibration of fracture locus, finite elements method, triaxiality, Lode dependence

Anotace: Tato práce se zabývá nesvázanými fenomenologickými modely tvárného poruˇsován´ı kov˚u, jejich kalibrac´ı a verifikac´ı. Pokouˇs´ı se s pomoc´ı klasické mechaniky kontinua aplikovat predikci tvárného poruˇsován´ı metodou koneˇcných prvk˚u na zvolené portfolio kali- braˇcn´ıch vzork˚u. Vyuˇz´ıvá k tomu zejména nesvázaného modelu tvárného poruˇsován´ı Bai-Wierzbicki závislého na triaxialitˇe napˇet´ı a normalizovaném Lodeho úhlu.

Abstract: This thesis deals with phenomenological modeling of ductile fracture of metals using uncoupled models only. Based on classical continuum mechanics it attempts to apply ductile fracture crite- rion on selected portfolio of calibration samples. Calibration and verification of the proposed Bai-Wierzbicki uncoupled model determined by the triaxiality and normalized Lode angle are performed through numerical simulations.

(6)

Obsah

Seznam pouˇzit´ych symbol˚u 3

1 Uvod´ 5

2 C´ıle pr´ace 6

3 Souˇcasný stav problematiky tvárného poruˇsován´ı 7

3.1 Plasticita . . . 7

3.2 Tvárné poruˇsován´ı . . . 12

4 Modely tvárného poruˇsen´ı materiálu 15 4.1 Svázané modely tvárného poruˇsen´ı . . . 16

4.2 Nesvázané modely tvárného poruˇsen´ı . . . 16

4.2.1 Kritick´e plastick´e pˇretvoˇren´ı . . . 17

4.2.2 Rice-Tracey, Hancock-Mackenzie . . . 17

4.2.3 Johnson-Cook . . . 17

4.2.4 Bao-Wierzbicki . . . 18

4.2.5 Xue-Wierzbicki . . . 19

4.2.6 Bai-Wierzbicki . . . 19

4.2.7 Dalˇs´ı modely . . . 20

5 Zpracov´an´ı experiment´aln´ıch dat 21 5.1 Ocel 08Ch18N10T . . . 21

5.2 Kalibrace kˇrivky plastick´eho zpevnˇen´ı . . . 24

5.3 V´ypoˇctov´a geometrie vzork˚u . . . 25

5.4 MKP modely . . . 28

5.5 Mapa vzork˚u, odhad iniciace poruˇsen´ı . . . 32

6 Kalibrace 33 6.1 Poˇc´ateˇcn´ı odhad . . . 33

6.2 Ovˇeˇren´ı kritick´ych uzl˚u . . . 34

6.3 Optimalizace lomov´e funkce . . . 35

6.3.1 Kalibrovan´y model Hancock-Mackenzie . . . 35

6.3.2 Kalibrovan´y model Bao-Wierzbicki . . . 37

6.3.3 Kalibrovan´y model Bai-Weirzbicki . . . 38

7 Kontroln´ı simulace 39 7.1 V´ysledky kontroln´ı simulace . . . 40

8 Z´avˇer 42

Literatura 43

(7)

Seznam obr´azk˚u 48

Seznam tabulek 49

Pˇr´ıloha A - Kontroln´ı simulace vzork˚u 50

(8)

Seznam pouˇ zit´ ych symbol˚ u

̂ε [-] Nomináln´ı (smluvn´ı) deformace ε [-] Skuteˇcná (logaritmická) deformace ε_e [-] Elastická deformace

εp [-] Plastick´a deformace

ε [-] Ekvivalentn´ı (akumulovan´a) plastick´a deformace

˙ε^∗_p [-] Rychlost ekvivalentn´ı akumulovan´e plastick´e deformace

̂σ [MPa] Nomin´aln´ı (smluvn´ı) napˇet´ı σ [MPa] Skuteˇcn´e napˇet´ı

σ [MPa] Tenzor napˇet´ı

σ_Y [MPa] Okamˇzit´a mez kluzu σ1,2,3 [MPa] Hlavn´ı napˇet´ı

tr(σ) [MPa] Stopa tenzoru napˇet´ı

E [MPa] Young˚uv modul pruˇznosti v tahu

E [MPa] Modul zpevnˇen´ı

δE [%] Odchylka stanoveného modulu pruˇznosti od bˇeˇzné hodnoty A,B,C,n,m [-] Parametry model˚u plastického zpevnˇen´ı

T [°C] Teplota

T* [-] Bezrozmˇern´a homologovan´a teplota

F [N] S´ıla

A₀ [mm²] Poˇcáteˇcn´ı pr˚uˇrez vzorku A [mm²] Okamˇzitý pr˚uˇrez vzorku l₀ [mm²] Poˇcáteˇcn´ı délka vzorku l [mm²] Okamˇzitá délka vzorku f [-] Obecnˇe definovaná funkce S [Mpa] Deviátor tenzoru napˇet´ı S_1,2,3 [MPa] Deviatorická hlavn´ı napˇet´ı J₁ [MPa] Prvn´ı invariant deviátoru napˇet´ı J2 [MPa²] Druhý invariant deviátoru napˇet´ı J₃ [MPa³] Tˇret´ı invariant deviátoru napˇet´ı p [MPa] Hydrostatický tlak

q [MPa] Von Misesovo napˇet´ı

θ [-] Lodeho ´uhel

θ [-] Normalizovan´y Lodeho ´uhel

ξ [-] Lodeho parametr

η [-] Triaxialita napˇet´ı

η_av [-] Pr˚umˇern´a triaxialita napˇet´ı

θ [-] Pr˚umˇerná hodnota normalizovaného Lodeho úhlu

(9)

δ [-] Kroneckerovo delta Φ(σ) [MPa] Mezn´ı plocha plasticity ε_f [-] Kritická lomová deformace ε_f(...) [-] Lomová funkce

C1..6 [-] Parametry jednotlivých nesvázaných model˚u tvárného poruˇsován´ı RF [N] Reakˇcn´ı axiáln´ı s´ıla vzorku

RM [Nmm] Reakˇcn´ı torzn´ı moment vzorku

D [-] Fiktivn´ı (skal´arn´ı) parametr poˇskozen´ı

Fav [-] Funkcionál definuj´ıc´ı chybu analytického ˇreˇsen´ı na základˇe pr˚umˇerovaných hodnot

F_D [-] Funkcionál definuj´ıc´ı chybu analytického ˇreˇsen´ı na základˇe fiktivn´ıho poˇskozen´ı

R_e [MPa] Mez kluzu

Rm [MPa] Mez pevnosti

A [%] Taˇznost

Z [%] Kontrakce

PRESS [MPa] Hydrostatick´y tlak v prostˇred´ı Abaqus MISES [MPa] Von Misesovo napˇet´ı v prostˇred´ı Abaqus

INV3 [MPa] Tˇret´ı invariant devi´atoru napˇet´ı v prostˇred´ı Abaqus PEEQ [-] Ekvivalentn´ı plastick´a deformace v prostˇred´ı Aabqus

(10)

1 Uvod ´

Poruˇsován´ı souˇcást´ı je neˇzádouc´ım jevem, v jehoˇz d˚usledku docház´ı ke ztrátˇe funkˇcnosti jednotlivých souˇcást´ı nebo celých konstrukc´ı. Výsledkem mohou být znaˇcné komplikace a v horˇs´ıch pˇr´ıpadech také ztráta lidských ˇzivot˚u. Je tedy úˇcelné zkoumat poruˇsován´ı souˇcást´ı jiˇz bˇehem jejich návrhu, coˇz pom˚uˇze eliminovat fatáln´ı selhán´ı v pr˚ubˇehu jejich ˇzivotnosti.

Takový postup si klade za c´ıl sniˇzovat nejen mnoˇzstv´ı výjimeˇcných událost´ı, ale s ohledem na bezpeˇcnost také efektivn´ı vyuˇzit´ı materiál˚u.

Jedn´ım z mechanism˚u poruˇsen´ı je tvárný lom. Jeho popis je vˇsak v pojet´ı klasické lomové mechaniky velmi nároˇcný a v praxi obt´ıˇznˇe proveditelný. Úˇcinnou alternativou k lomové me- chanice je discipl´ına mechanika poˇskozen´ı kontinua, jej´ıˇz poznán´ı je jiˇz dlouho známé, sv˚uj potenciál vˇsak nalézá aˇz s výkonnou výpoˇcetn´ı technikou a s rozvojem simulac´ı metodou koneˇcných prvk˚u. Je zaloˇzena na pˇredstavˇe o poˇskozen´ı materiálu jednorázovým pˇret´ıˇzen´ım (m˚uˇze nastat tvárné ˇci kˇrehké poruˇsen´ı), nebo cyklickým zatˇeˇzován´ım (únava materiálu).

Vlivem zatˇeˇzován´ı docház´ı ke kvalitativn´ım zmˇenám v chován´ı materiálu, které jsou in- dikovány ztrátou tuhosti a schopnosti pˇrenáˇset dalˇs´ı zat´ıˇzen´ı. Pokud m´ıra poˇskozen´ı dosáhne mezn´ı hodnoty, dojde k poruˇsen´ı materiálu. Mezn´ı m´ıra poˇskozen´ı je dána zejména me- chanickými vlastnosti materiálu, lokáln´ı napjatost´ı, rychlost´ı deformace a dále také teplotou a histori´ı zatˇeˇzován´ı. V inˇzenýrské praxi je poptávka po vˇerných a dostupných predikc´ıch mechanické odezvy materiál˚u. Bylo vytvoˇreno mnoho fenomenologických model˚u, které si kladou za c´ıl co nejvˇernˇeji popsat skuteˇcný proces poˇskozován´ı tak, aby jej bylo moˇzné repro- dukovat pomoc´ı metody koneˇcných prvk˚u. I pˇres tuto snahu je vˇsak velmi obt´ıˇzné dosáhnout univerzáln´ıho nástroje, který by problematiku zvládal dokonale. Tento výpoˇcetn´ı nástroj skrývá velký potenciál, problémem vˇsak z˚ustává, ˇze vˇetˇsina fenomenologických model˚u byla vyvinuta pro speciáln´ı aplikace, a tud´ıˇz je nen´ı moˇzné pouˇz´ıt univerzálnˇe. Je tedy potˇreba pro daný problém zvolit vhodný model. Jeho validace vˇsak znamená potˇrebu provádˇen´ı mnoha experiment˚u a z´ıskán´ı experimentáln´ıch dat. Je nutné provádˇet pomˇernˇe rozsáhlá testován´ı a zmapovat celou ˇskálu vzork˚u v odliˇsných podm´ınkách. Takový postup je nároˇcný na lidské a finanˇcn´ı zdroje, je proto potˇreba pro daný problém naj´ıt urˇcitou rovnováhu mezi komplexnost´ı modelu a jeho kvalitou. K tomu je vˇsak zapotˇreb´ı zkuˇsenost´ı a kvalifikovaného odhadu.

(11)

2 C´ıle pr´ ace

V tomto odstavci jsou pˇredstaveny c´ıle práce a postup jejich dosaˇzen´ı. Prvn´ım c´ılem této práce je seznámit se s teoretickými základy fenomenologických model˚u tvárného poruˇsován´ı a s ˇreˇsen´ım nelineárn´ıch úloh v prostˇred´ı koneˇcnoprvkových simulac´ı (kapitola 3). Po obeznámen´ı se se souˇcasným stavem poznán´ı následuje pˇrevzet´ı experimentáln´ıch dat a jejich základn´ı zpracován´ı (kapitola 5). To vyˇzaduje zejména pochopen´ı pr˚ubˇehu experimentáln´ıho mˇeˇren´ı, extrakce relevantn´ıch dat a stanoven´ı základn´ıch materiálových parametr˚u, jako je modul pruˇznosti v tahu, mez kluzu a pevnosti, kˇrivka zpevnˇen´ı. Dále je potˇreba identifikovat plas- tické chován´ı materiálu s navazuj´ıc´ı MKP analýzou jednotlivých vzork˚u. Z analýzy lze z´ıskat data potˇrebná k nalezen´ı vhodného modelu tvárného poruˇsen´ı a jeho kalibraci (kapitola 6). V závˇeru práce jsou se zvoleným kalibrovaným modelem tvárného poruˇsen´ı provedeny kontroln´ı simulace vybraných vzork˚u a jejich následná analýza (kapitola 7).

Budou vytvoˇreny MKP modely, na kterých bude proveden výpoˇcet plastické odezvy s mˇeˇren´ım potˇrebných parametr˚u ve vybraných uzlech s´ıtˇe. Z tˇechto dat pak na základˇe odhadu probˇehne identifikace kritických okamˇzik˚u, kdy zaˇc´ıná docházet k tvárnému poruˇsován´ı a budou vybrány uzly, které jsou podezˇrelé z iniciace poˇskozen´ı. Po identifikaci bude moˇzné pˇristoupit k ovˇeˇren´ı vhodnosti pouˇzit´ı vybraných model˚u tvárného poruˇsován´ı a jejich následná kalibrace. Samotná kalibrace by mˇela být rozdˇelena do v´ıce ˇcást´ı, které se skládaj´ı z nalezen´ı poˇcáteˇcn´ıho pˇribl´ıˇzen´ı na základˇe zjednoduˇseného výpoˇctu a následný krok optimalizace.

Výstupem bude kalibrovaný model tvárného poruˇsen´ı, který bude ovˇeˇren kontroln´ı simulac´ı vybraných vzork˚u. V závˇereˇcné fázi bude posouzena kvalita kalibrace a zhodnocen´ı vliv˚u, které do této problematiky vstupuj´ı.

Práce vyuˇz´ıvá experimentáln´ı data, která byla téˇz vyuˇzita nebo vytvoˇrena v prac´ıch [10, 42].

(12)

3 Souˇ casn´ y stav problematiky tv´ arn´ eho poruˇ sov´ an´ı

3.1 Plasticita

Pˇri popisu zatˇeˇzován´ı kovových materiál˚u tahem se bˇeˇznˇe pouˇz´ıvá záznam silové odezvy v závislosti na prodlouˇzen´ı a z nˇej odvozený tahový diagram (obr.1). S nar˚ustaj´ıc´ım zat´ıˇzen´ım je dosaˇzen limitn´ı stav napjatosti, pˇri kterém v materiálu nastanou nevratné zmˇeny, které se projev´ı rozd´ılným pr˚ubˇehem závislosti napˇet´ı na deformaci pˇri zatˇeˇzován´ı a odlehˇcován´ı.

Pokud je odlehˇcovac´ı kˇrivka shodná s kˇrivkou zatˇeˇzovac´ı, pak v tˇelese docház´ı pouze k ela- stickým (tedy vratným) deformac´ım. Závislost mezi napˇet´ım a touto deformac´ı bývá u kov˚u v´ıce ˇci ménˇe lineárn´ı, podstatné vˇsak je, ˇze se tˇeleso vrac´ı do svého p˚uvodn´ıho stavu beze zmˇeny rozmˇer˚u a tvaru. Pokud pˇri zatˇeˇzován´ı pˇrekonáme limitn´ı stav napjatosti, kˇrivka odlehˇcován´ı se jiˇz nebude shodovat s kˇrivkou zatˇeˇzován´ı a po úplném odlehˇcen´ı lze po- zorovat trvalé (plastické) deformace. U bˇeˇzných kovových konstrukˇcn´ıch materiál˚u prob´ıhá odlehˇcován´ı po pˇr´ımce, která je rovnobˇeˇzná s p˚uvodn´ı lineárn´ı ˇcást´ı pracovn´ıho diagramu.

Celkovou deformaci lze rozdˇelit na elastickou sloˇzku a plastickou sloˇzku.

ε = ε_e+ε_p (1)

Pro jednoosou napjatost lze po jednoduché úpravˇe vyjádˇrit zbytkovou plastickou ˇcást

εp=ε − εe. (2)

Elastickou ˇcást εe lze stanovit z pˇredpokladu, ˇze by si tˇeleso po celou dobu zatˇeˇzován´ı za- chovalo své lineárn´ı vlastnosti

ε_e= σ

E, (3)

kde E je Young˚uv modul pruˇznosti.

Obr´azek 1: Tahov´y diagram [1]

(13)

Z tahové zkouˇsky m˚uˇzeme z´ıskat experimentáln´ı data, která umoˇzn´ı interpolovat pracovn´ı diagram. Abychom vˇsak byli schopni modelovat materiál v elastoplastickém stavu, je nezbytné zavést konstitutivn´ı model, který vyjádˇr´ı experimentáln´ı závislost mezi napˇet´ım σ a deformac´ı ε daného materiálu. [2–6]

Nejjednoduˇsˇs´ım ze zavádˇených konstitutivn´ıch model˚u je ideálnˇe plastický materiál, bez plastického zpevnˇen´ı. Takový, velmi zjednoduˇsený, model uvaˇzuje po dosaˇzen´ı meze kluzu libovolnou plastickou deformaci. Nacház´ı své opodstatnˇen´ı ve výpoˇctech limitn´ıch zat´ıˇzen´ı mnohonásobnˇe staticky neurˇcitých konstrukc´ı nebo konstrukc´ı, které plastizuj´ı pouze

v oblastech s koncentrac´ı napˇet´ı, zat´ımco podstatné ˇcásti nosných pr˚uˇrez˚u z˚ustávaj´ı elastické.

Pro modelován´ı tvárného poruˇsen´ı je vˇsak nepouˇzitelný právˇe z d˚uvodu absence popisu plastického zpevnˇen´ı [3, 7].

Pokud bychom nahradili konstantn´ı funkci plastického zpevnˇen´ı lineárn´ı funkc´ı s vhodnˇe zvolenou smˇernic´ı, dostaneme jednoduchý model, který se snaˇz´ı v´ıce napodobit skuteˇcné elastoplastické chován´ı materiálu. Zavádˇená smˇernice se oznaˇcuje E a nazývá se modul zpevnˇen´ı. Na rozd´ıl od pˇredchoz´ıho modelu tento umoˇzˇnuje v omezené m´ıˇre sledovat

plastické chován´ı materiálu, vhodný je tak zejména pro jednoduˇsˇs´ı aplikace a ruˇcn´ı výpoˇcty.

Pro podrobnˇejˇs´ı zkoumán´ı elastoplastického stavu bˇehem simulace je stále nevhodný, jelikoˇz nedostateˇcnˇe pˇresnˇe popisuje chován´ı materiálu [3, 5, 7].

Obrázek 2: Porovnán´ı model˚u plastického zpevnˇen´ı: (a) ideálnˇe plastický model, (b) model s lineárn´ım plastickým zpevnˇen´ım, (c) model s nelineárn´ım plastickým zpevnˇen´ım [8]

Dalˇs´ım zp˚usobem popisu je vytvoˇren´ı po ˇcástech lineárn´ıho modelu, který je schopný, pˇri vhodné délce úsek˚u, pomˇernˇe dobˇre popsat plastické chován´ı. Mnohem výhodnˇejˇs´ı se ale zdá být nelinárn´ı analytický popis [7, 9]. Lze uˇz´ıt r˚uznˇe navrˇzených funkc´ı, pro modelován´ı v programu ABAQUS byl zvolen model plastického zpevnˇen´ı Johnson-Cook [28], který je pˇr´ımo implementován

σY = (A + Bεⁿ_p)(1 + Cln( ˙εp

∗

))(1 − T^{∗ m}), (4)

kde σY je okamˇzitá mez kluzu, T^∗ homologická teplota a ˙εp rychlost ekvivalentn´ı plastické deformace

T^∗= T − Troom

T_melt−T_room, ˙ε^∗_p =

˙ε_p

˙ε⁰_p. (5)

(14)

V naˇsem pˇr´ıpadˇe neuvaˇzujeme vliv teploty ani rychlosti deformace. Pokud poloˇz´ıme rychlost deformace ˙ε^∗_p=0 a t´eˇz i teplotu T^∗=0, zanedb´ame tyto vlivy a rovnice (4) pˇrejde do tvaru

σ_Y =A + Bεⁿ_p (6)

kter´y je oznaˇcov´an jako Ludwik˚uv model [3, 7, 9, 10].

Standardn´ım výstupem tahové zkouˇsky je smluvn´ı diagram, udávaj´ıc´ı závislost smluvn´ıho napˇet´ı na nomináln´ı deformaci. Smluvn´ı diagram je velmi jednoduchý k sestrojen´ı, jelikoˇz staˇc´ı znát pouze poˇcáteˇcn´ı délku a pr˚uˇrez vzorku, ze kterých je moˇzno stanovit smluvn´ı napˇet´ı

̂σ = F

A₀ (7)

a nomin´aln´ı deformaci

̂ε =∆l l0

. (8)

Nomináln´ı deformace vˇsak nen´ı aditivn´ı, nen´ı moˇzné tedy sˇc´ıtat jej´ı jednotlivé pˇr´ır˚ustky prodlouˇzen´ı. Z tohoto d˚uvodu ji nelze pouˇz´ıt k inkrementáln´ım výpoˇct˚um a pro kalibraci model˚u vzniká potˇreba vytvoˇrit závislost skuteˇcného napˇet´ı σ na skuteˇcné (logaritmické) deformaci ε. Skuteˇcné napˇet´ı a deformaci pak definujeme takto

σ = F

A = (1 + ̂ε)̂σ (9)

ε = lnl l0

=ln(1 + ̂ε). (10)

Pro kalibraci model˚u plastického zpevnˇen´ı je dále nutné rozdˇelit celkovou deformaci ε na elastickou a plastickou ˇcást uˇzit´ım rovnic (2), (3)

εp=ε − σ

E. (11)

Ze závislosti σ_Y(ε_p) jiˇz lze provádˇet identifikaci parametr˚u modelu [11]. Aˇckoliv ne vˇsechny materiály vykazuj´ı výraznou mez kluzu, obecnˇe se pro fenomenologickou teorii plasticity pˇredpokládá existence stavu (rozhran´ı), který stanov´ı, zda byl materiál v daném m´ıstˇe jiˇz plastizován, ˇci nikoliv. Pro jednoosou napjatost se povaˇzuje za tuto hranici okamˇzitá mez kluzu, tedy plat´ı, ˇze elastoplastický stav nastává po pˇrekroˇcen´ı okamˇzité meze kluzu. Pro pˇr´ıpady v´ıceosé napjatosti nelze uplatnit takové pravidlo, lze vˇsak formulovat obdobnou podm´ınku plasticity ve tvaru

Φ(σ) = f (σ) − σY(εp) =0. (12)

Takto definovaným kritériem bude vytvoˇrena pro obecné materiály plocha v 6D prostoru, pro izotropn´ı materiál pak plocha ve 3D prostoru, oznaˇcovaná jako mezn´ı plocha plasticity. Za podm´ınky, ˇze se napjatost nacház´ı uvnitˇr této mezn´ı plochy, bude tˇeleso ve stavu elastickém, v opaˇcném pˇr´ıpadˇe se tˇeleso nacház´ı v elastoplastickém stavu [3, 4, 6, 10].

V modelu kontinua lze napjatost v libovolném bodˇe popsat tenzorem napˇet´ı. Tenzor napˇet´ı je moˇzné, d´ıky symetrii pramen´ıc´ı z podm´ınek rovnováhy, vyjádˇrit uˇzit´ım 6 sloˇzek pro obecnˇe zvolený souˇradnicový systém. Pˇri uvaˇzován´ı izotropn´ıch materiál˚u lze tenzor

(15)

napˇet´ı, pˇri vhodné volbˇe souˇradnicového systému, zcela popsat pouze za pomoci 3 hlavn´ıch napˇet´ı a takto zvolený souˇradnicový systém se nazývá hlavn´ı souˇradnicový systém. Osy hlavn´ıch napˇet´ı definuj´ı Haigh˚uv-Westergaard˚uv prostor (obr.3), ve kterém lze vyjádˇrit obec- nou napjatost. Pro osu prvn´ıho oktantu Haighova prostoru plat´ı, ˇze pro jej´ı libovolný bod jsou vˇsechna 3 hlavn´ı napˇet´ı shodná. Pokud je napjatost v bodˇe tˇelesa popsána 3 hlavn´ımi napˇet´ımi, které nabývaj´ı shodné velikosti, pak je tˇeleso vystaveno vˇsestrannému (triaxiáln´ımu) tlaku nebo tahu. Takové namáhán´ı se bˇeˇznˇe vyskytuje pˇri vystaven´ı tˇelesa namáhán´ı hydrostatickým tlakem, a proto je tato osa oznaˇcována jako osa hydrostatická.

Obr´azek 3: Haigh˚uv-Westergaard˚uv prostor [12]

Dle volby Φ(σ) z´ıskáváme v Haighovˇe prostoru r˚uzné plochy plasticity, z nichˇz nejznámˇejˇs´ı jsou mezn´ı plochy Von Mises a Tresca, bˇeˇznˇe uˇz´ıvané v praxi. Tyto plochy nejsou závislé na celkovém hydrostatickém tlaku, nepˇredpokládaj´ı, ˇze by pˇri zatˇeˇzován´ı hydrostatickým napˇet´ım docházelo k plastickým deformac´ım. Oba modely jsou závislé pouze na invariantech deviátoru napˇet´ı. Mezn´ı plocha Von mises je funkc´ı pouze druhého invariantu Φ(J_), plocha Tresca závis´ı kromˇe druhého i na tˇret´ım invariantu Φ(J, J). Jelikoˇz tyto plochy nezávis´ı na hydrostatickém napˇet´ı, jsou v prostoru nekoneˇcnými plochami, jsou neomezené [3].

Obrázek 4: Klasické plochy plasticity zobrazené v 7. oktantu Haighova prostoru [3] [13]

(16)

Postupnˇe docházelo k vývoji dalˇs´ıch teori´ı (obr.5), které pˇredpokládaj´ı vznik plastických deformac´ı za zvýˇseného hydrostatického napˇet´ı, a tento vliv uvaˇzuj´ı. Tyto plochy jsou omezené a zobraz´ı se v prostoru jako koneˇcné. Mezi nejznámˇejˇs´ı z nich patˇr´ı plochy Mohr- Coulomb a Drucker-Prager. Dohromady jsou tyto ˇctyˇri zm´ınˇené plochy plasticity oznaˇcovány jako klasické plochy plasticity (obr.4). I pˇres své stáˇr´ı patˇr´ı pro svou jednoduchost stále mezi nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ı podm´ınky plasticity. [3, 6, 7, 10, 11, 14, 15]

Obr´azek 5: V´yvoj ploch plasticity [16]

S rostouc´ı komplexnost´ı model˚u totiˇz stoupá poˇcet konstant materiálu, které je nutné urˇcovat. Roste tak poˇcet provádˇených experiment˚u a stoupá ˇcasová nároˇcnost kalibrac´ı a výpoˇct˚u, coˇz se negativnˇe projevuje také na ekonomice. Pro modelován´ı metodou koneˇcných prvk˚u je téˇz v komerˇcn´ıch softwarech bˇeˇznˇe dostupné pouze omezené mnoˇzstv´ı tˇechto model˚u, sloˇzitˇejˇs´ı modely by bylo nutné implementovat uˇzivatelem, coˇz s sebou pˇrináˇs´ı ˇradu dalˇs´ıch rizik. Jelikoˇz c´ılem této práce nen´ı dokonalý popis fyzikáln´ı skuteˇcnosti, ale pracuje s jistými zjednoduˇsen´ımi, s ohledem na mnoˇzstv´ı experimentáln´ıch dat, nároˇcnost model˚u a potˇreb, je zvolen klasický pˇr´ıstup s Von Misesovou mezn´ı plochou s nelineárn´ım zpevnˇen´ım dle Ludwika.

Pokud bˇehem zatˇeˇzován´ı dojde k dosaˇzen´ı podm´ınky plasticity, nacház´ı se tˇeleso v elasto- plastickém stavu. Za pˇredpokladu uˇzit´ı modelu s nelineárn´ım zpevnˇen´ım bude pˇri dále rostouc´ı napjatosti docházet k deformaˇcn´ımu zpevˇnován´ı materiálu. Vlivem zpevnˇen´ı nastane zmˇena plochy plasticity a to formou zmˇeny velikosti, deformac´ı, nebo posunut´ım v prostoru.

(17)

Pokud s deformac´ı docház´ı k posouván´ı mezn´ı plochy, jedná se o tzv. kinematické zpevnˇen´ı.

Jestliˇze je deformace provázena expanz´ı mezn´ı plochy úmˇernˇe ve vˇsech smˇerech deviátorové roviny, docház´ı k izotropn´ımu zpevnˇen´ı. Obecnˇe docház´ı ke kombinaci obou mechanizm˚u a mezn´ı plocha se deformuje, tento mechanismus nejlépe popisuje fyzikáln´ı skuteˇcnost [3]. Pˇri monotónn´ım proporcionáln´ım zatˇeˇzován´ı je moˇzno uˇz´ıt kterýkoliv model. Pro úˇcel této práce byl zvolen nejjednoduˇsˇs´ı model s izotropn´ım zpevnˇen´ım, jelikoˇz nen´ı nutné uvaˇzovat zmˇenu zatˇeˇzován´ı.

Obr´azek 6: Izotropn´ı deformaˇcn´ı zpevnˇen´ı [17]

Zpevnˇen´ı materiálu je moˇzné vyjádˇrit okamˇzitou mez´ı kluzu σY(εp)v závislosti na celkové plastické deformaci [3, 10, 15]. S uˇzit´ım Misesovy plochy plasticity se pro tento úˇcel zavád´ı ekvivalentn´ı plastická deformace jako neklesaj´ıc´ı funkce

ε_p = ∫

t

0 ˙ε_pdt, (13)

kter´a akumuluje pˇr´ır˚ustky plastick´ych deformac´ı, kde

˙ε_p=

√ 2

3˙ε_p∶˙ε_p. (14)

3.2 Tvárné poruˇsován´ı

Pokud Haigh-Westergraadovˇe prostoru zadefinujeme rovinu, která je kolmá na hydrostatickou osu (osu prvn´ıho oktantu) z´ıskáme deviatorickou rovinu, pokud tato rovina zároveˇn procház´ı poˇcátkem souˇradného systému dostáváme deviatorickou rovinu oznaˇcovanou jako π rovinu. V Haigh-Westergaardovˇe prostoru je zvykem zavádˇet cylindrický souˇradný systém (R, θ, z), jehoˇz osa z je definována osou hydrostatickou. Pro druhou sloˇzku θ (Lodeho úhel) mus´ıme nejprve vyjádˇrit deviátor napˇet´ı.

Deviátor napˇet´ı z´ıskáme, pokud od tenzoru napˇet´ı odeˇcteme jeho kulovou ˇcást,

S = σ + pδ, (15)

kde p

p = −1

3tr(σ) = −1

3(σ₁+σ₂+σ₃) (16)

je hydrostatick´e napˇet´ı a δ je Kroneckerovo delta.

(18)

Pro dalˇs´ı úˇcely postaˇcuje vyjádˇrit prvn´ı a druhý invariant deviátoru napˇet´ı J2= 1

2(S₁²+S²₂+S₃²), (17)

J3=S1S2S3, (18)

kde S_, S_, S_ jsou hlavn´ı deviatorická napˇet´ı. Pro Lodeho úhel θ poté plat´ı vztah

θ = 1

3arccos⎛

⎝ 3

√ 3J3

2

√ J₂³

⎞

⎠

; θ ∈ ⟨0;π

3⟩, (19)

kde J a J jsou druhý a tˇret´ı invariant deviátoru napˇet´ı. Deviatorická rovina vykazuje symetrii, a lze ji proto rozdˇelit do 6 segment˚u, ve kterých se Lodeho úhel opakuje (obr.7).

Lodeho úhel tedy nabývá hodnot v intervalu od 0 (pro ˇcistý tah) po hodnotu ^π₃ (pro ˇcistý tlak). Pro vliv hydrostatického napˇet´ı zavád´ıme bezrozmˇernou veliˇcinu triaxialitu η, která udává pomˇer hydrostatického p a von Misesova q (téˇz oznaˇcováno jako ekvivalentn´ı) napˇet´ı

η = −p

q. (20)

Jak jiˇz bylo zm´ınˇeno, Misesovo napˇet´ı je funkc´ı pouze druh´eho invariantu devi´atoru napˇet´ı q =

√

3J₂. (21)

Obr´azek 7: Pr˚umˇet tenzoru napˇet´ı v deviatorick´e rovinˇe [21]

Lodeho úhel udává vztah mezi tahem, tlakem a smykem pro konkrétn´ı napjatost. Pro modely tvárného poruˇsován´ı se vˇsak v praxi uˇz´ıvá veliˇcin se stejným významem, avˇsak s rozd´ılnou definic´ı. Prvn´ı pouˇz´ıvanou veliˇcinou je Lodeho parametr

ξ = cos(3θ) = 27 2

J3

q³, ξ ∈ ⟨−1; 1⟩. (22)

Druhou uˇz´ıvanou veliˇcinou je normalizovan´y Lodeho ´uhel θ = 1 −6θ

π =1 − 2

πarccosξ, θ ∈ ⟨−1; 1⟩. (23)

(19)

Takto zavádˇené veliˇciny nabývaj´ı hodnot v intervalu ⟨−1; 1⟩, kdy hodnotˇe θ = ξ=-1 odpov´ıdá uniaxiáln´ı tlak, hodnotˇe θ = ξ=1 odpov´ıdá uniaxiáln´ı tah a pro hodnotu θ = ξ=0 se jedná o zobecnˇenou rovinnou napjatost. Pro tyto speciáln´ı pˇr´ıpady se hodnoty obou veliˇcin (θ, ξ) shoduj´ı, v obecných pˇr´ıpadech tomu tak nen´ı a tyto veliˇciny nabývaj´ı rozd´ılných hodnot [10, 11, 14, 18–21]. Obecnˇe nelze na hodnoty tˇechto parametr˚u spoléhat, jelikoˇz nˇekteˇr´ı autoˇri pouˇz´ıvaj´ı m´ırnˇe odliˇsné definice. Je nutné vˇzdy kontrolovat definice a znaˇcen´ı, napˇr´ıklad autoˇri [22] definuj´ı Lodeho parametr v pˇrevrácené hodnotˇe, tedy hodnotˇe -1 odpov´ıdá tah a hodnotˇe 1 tlak.

zat´ıˇzen´ı η θ ξ θ

tah ¹₃ 0 1 1

smyk 0 ^π₆ 0 0

tlak -¹₃ -^π₃ -1 -1

Tabulka 1: Pˇrehled hodnot charakteristick´ych veliˇcin pro jednotliv´e stavy napjatosti [21]

(20)

4 Modely tv´ arn´ eho poruˇ sen´ı materi´ alu

Tvárné poruˇsen´ı lze definovat jako proces degradace materiálu v podm´ınkách plastických deformac´ı a monotónn´ıho zatˇeˇzován´ı. Toto poˇskozen´ı bývá nejˇcastˇeji spojováno s kovovými materiály. Tvárné poruˇsován´ı je doprovázeno postupnou zmˇenou mechanických vlastnost´ı, jelikoˇz vlivem dostateˇcnˇe velkých zat´ıˇzen´ı docház´ı ke zmˇenám základn´ı matrice, které jsou zp˚usobeny postupným r˚ustem dutin, hromadˇen´ım poruch a jejich spojován´ım. Procesem r˚ustu plastické deformace docház´ı k poklesu tuhosti materiálu a klesá jeho schopnost dále pˇrenáˇset zat´ıˇzen´ı. Koneˇcnou fáz´ı tvárného poˇskozován´ı je úplná ztráta integrity materiálu.

Pro vysoké hodnoty triaxialit η >0,3 vzniká poruˇsen´ı spojován´ım dutin, pro n´ızké hodnoty triaxiality η ≤0 je zp˚usobeno smykovým mechanismem (spojen´ı trhlin v rovinˇe nejvˇetˇs´ıho smykového napˇet´ı). [10, 18, 23]

Typicky pro popis poddajných tˇeles uˇz´ıváme model kontinua. Jedná se o idealizovanou pˇredstavu prostˇred´ı, které povaˇzujeme za spojité pˇri zanedbán´ı jeho diskrétn´ıch vlastnost´ı (ˇcásticové struktury). V pˇr´ıpadˇe snahy popisovat poˇskozován´ı poddajných tˇeles vˇsak ide- alizovaný model kontinua naráˇz´ı na své limity. Pˇri poˇskozován´ı se projevuje vliv ˇcásticové struktury a docház´ı ke zjevné nespojitosti materiálu. To je v rozporu s ideáln´ım modelem, který takové stavy nedovoluje, a proto strukturn´ı poruchy popisujeme v rámci modelu kontinua. Jednotlivé defekty tedy nedokáˇzeme uvaˇzovat pˇr´ımo, ale jejich vliv prom´ıtáme do modelu kontinua zmˇenou tuhosti a pevnosti pro diferenciáln´ı objem materiálu. Takto vytváˇrené modely vˇsak mus´ı nutnˇe trpˇet dalˇs´ım nedostatkem a ten vycház´ı z pˇredpokladu, ˇze poruchy v integritˇe materiálu jsou dostateˇcnˇe malé a vzájemnˇe spolu neintereaguj´ı. Se zvˇetˇsuj´ıc´ım se mnoˇzstv´ım poruch a jejich rostouc´ım vzájemným vlivem bude docházet k vylouˇcen´ı tˇechto pˇredpoklad˚u, defekty se zaˇcnou spojovat a model kontinua postupnˇe selˇze. Modely jsou tedy vhodné sp´ıˇse pro popis lokáln´ıho poˇskozován´ı materiálu. Pro popisován´ı rozvoje poˇskozen´ı v tˇelesech vycház´ıme z pˇredstavy, ˇze daný diferenciáln´ı objem materiálu nen´ı schopen v okamˇziku poruˇsen´ı dále pˇrenáˇset vnitˇrn´ı s´ıly. Ty se následnˇe pˇrerozdˇel´ı do okoln´ıch dife- renciáln´ıch objem˚u tak, aby byly splnˇeny podm´ınky rovnováhy. T´ımto zp˚usobem je pos- tupnˇe modelován pr˚uchod trhliny tˇelesem. Pro identifikaci lokáln´ıho poruˇsen´ı materiálu, kdy bude docházet k selháván´ı jednotlivých diferenciáln´ıch objem˚u, je nutné zavádˇet extern´ı veliˇcinu která zastupuje fiktivn´ı m´ıru poˇskozen´ı a stanovuje, za jakých okolnost´ı k tomuto poruˇsen´ı dojde. Tato zavádˇená veliˇcina bývá oznaˇcována jako (skalárn´ı) parametr poˇskozen´ı D (nˇekdy téˇz kumulované poˇskozen´ı, fiktivn´ı parametr poˇskozen´ı) [10]. Veliˇcinu lze naj´ıt i pod oznaˇcen´ım ω, zejména v anglicky psané literatuˇre [11, 20]. Modely tedy neˇreˇs´ı pˇr´ımo degradaci materiálu a neuvaˇzuj´ı zmˇeny struktury, ke kterým docház´ı vlivem plastických deformac´ı. Tyto modely povaˇzujeme za jakousi nadstavbu k modelu plasticity, kterou je vˇsak nutné správnˇe kalibrovat, aby dávala uspokojivé výsledky.

C´ılem kalibrace by mˇela být pˇresvˇedˇcivá shoda mezi experimentáln´ım a výpoˇctovým chován´ım modelu [10]. Kalibrace je vˇsak zaloˇzena i na správném odhadu, ˇc´ımˇz vyvstává riziko stanoven´ı chybných okamˇzik˚u rozvoje poˇskozen´ı a t´ım ohroˇzen´ı pˇresnosti vytvoˇrených model˚u.

(21)

4.1 Svázané modely tvárného poruˇsen´ı

Tato skupina model˚u se v´ıce bl´ıˇz´ı fyzik´aln´ı podstatˇe a koresponduje s pˇredstavou

mikromechanismu poruˇsován´ı materiálu. Model poruˇsen´ı je zde vázán na elastoplastický model a ovlivˇnuje konstitutivn´ı rovnice, popisuje tak pˇr´ımo ztrátu schopnosti materiálu pˇrenáˇset zat´ıˇzen´ı. Z podstaty provázanosti modelu poruˇsen´ı a konstitutivn´ıch rovnic

oznaˇcujeme tyto modely jako svázané modely tvárného poruˇsen´ı. Jelikoˇz jsou tyto modely bl´ıˇze fyzikáln´ı realitˇe, skrývaj´ı vysoký potenciál ve smyslu fyzikálnˇe správného popisu, který se bl´ıˇz´ı skuteˇcnosti, a dokáˇze tak lépe predikovat skuteˇcné chován´ı pro vˇetˇsinu aplikac´ı.

Takto vytvoˇrený model vˇsak s sebou pˇrináˇs´ı mnohá úskal´ı, kterými je zejména velké mnoˇzstv´ı materiálových parametr˚u a experimentáln´ıch zkouˇsek. S pr˚ubˇehem zkouˇsky také souvis´ı dostateˇcnˇe pˇresná mˇeˇric´ı zaˇr´ızen´ı a hlavnˇe velmi nároˇcná materiálová kalibrace, pro kterou je nutno identifikovat plastický model soubˇeˇznˇe s modelem poruˇsován´ı [10, 18, 24].

4.2 Nesvázané modely tvárného poruˇsen´ı

Na rozd´ıl od model˚u svázaných nen´ı tato skupina model˚u provázána s konstitutivn´ımi rovnicemi a rozvoj poˇskozen´ı, aˇz do okamˇziku dosaˇzen´ı kritické hodnoty, neovlivˇnuje ma- teriálové parametry. Modely tedy pracuj´ı se znaˇcným fyzikáln´ım zjednoduˇsen´ım, uˇzit´ı tˇechto model˚u je vˇsak oproti model˚um svázaným do velké m´ıry usnadnˇeno. Ze své podstaty je tento model oznaˇcován jako nesvázaný model tvárného poruˇsován´ı [10].

Výhodou tohoto modelu je moˇznost oddˇelen´ı plastického chován´ı od procesu poruˇsován´ı, ˇc´ımˇz docház´ı k výraznému sn´ıˇzen´ı nároˇcnosti procesu kalibrace. Nesvázané konstitutivn´ı modely tvárného poruˇsen´ı materiálu vˇsak nutnˇe trp´ı nedostatkem, kterým jsou skokové lokáln´ı zmˇeny tuhosti. Ty jsou zp˚usobené nulován´ım tenzoru napˇet´ı, pˇri dosaˇzen´ı krit- ické hodnoty poˇskozen´ı, bez ohledu na tenzor deformace. To m˚uˇze ve vlastn´ım výpoˇctu zp˚usobovat problémy, a tak je nˇekdy posledn´ı fáze poruˇsen´ı materiálu modelována umˇelým sniˇzován´ım modulu pruˇznosti aˇz k nulové hodnotˇe.

I pˇres úspˇeˇsnou kalibraci tˇechto model˚u vˇsak z˚ustává otázkou, jak pˇresvˇedˇcivé výsledky lze oˇcekávat pro stavy napjatosti, kterých u kalibraˇcn´ıch vzork˚u nebylo dosaˇzeno. Takové stavy jsou ˇcistˇe interpolovány na základˇe pouˇzitých kritéri´ı [11]. Tato práce se zabývá výhradnˇe nesvázanými modely plasticity. V následuj´ıc´ı ˇcásti jsou uvedena historicky významná, ˇci ˇcasto uˇz´ıvaná kritéria.

(22)

4.2.1 Kritick´e plastick´e pˇretvoˇren´ı

Toto kriterium je nejjednoduˇsˇs´ım uˇz´ıvaným. Je zaloˇzené na principu akumulace plastické deformace. K poruˇsen´ı docház´ı, jestliˇze ekvivalentn´ı plastické pˇretvoˇren´ı dosáhne konstantn´ı kritické hodnoty

ε_f =ε_p. (24)

Pro svou jednoznaˇcnost a jednoduchost je velmi uˇz´ıvaným kriteriem, které je implemen- továno ve vˇsech dostupných výpoˇcetn´ıch programech. Kritickou hodnotu pˇretvoˇren´ı lze urˇcit z jediného experimentáln´ıho vzorku. Jelikoˇz je praktickými poznatky a dalˇs´ımi kriterii dokázáno, ˇze kritické pˇretvoˇren´ı nen´ı konstantn´ı pro r˚uzné druhy zatˇeˇzován´ı, nelze toto kriterium obecnˇe spolehlivˇe pouˇz´ıt, je vˇsak postaˇcuj´ıc´ı pro stejný typ namáhán´ı, jakým byl zatˇeˇzován experimentáln´ı vzorek. [10, 18]

4.2.2 Rice-Tracey, Hancock-Mackenzie

Prvn´ı kriterium s nekonstantn´ı hodnotou kritick´eho poˇskozen´ı vypracoval McClintock [25]

z pˇredstavy dutiny uvnitˇr plastického materiálu. Na jeho práci práci navazovali Rice a Tracey, kteˇr´ı jeho pˇredstavu jeˇstˇe dále rozˇs´ıˇrili, obˇe práce vˇsak dospˇely k závˇeru, ˇze tvárné poruˇsen´ı je významnˇe ovlivˇnováno triaxialitou napˇet´ı [10, 23, 26]. Z prac´ı lze vyjádˇrit lomovou funkci ε_f závislou na triaxialitˇe napˇet´ı obsahuj´ıc´ı jediný materiálový parametr C₁

ε_f(η) = C₁e⁻³²^η. (25)

Hancock a Mackenzie [10] [27] rozpracovali model o dalˇs´ı dva parametry do podoby

ε_f(η) = C1+C2e^−C³^η. (26) Na tato kriterium pozdˇeji navazuj´ı dalˇs´ı významné práce, které ukazuj´ı nekomplexnost tˇechto kriteri´ı, poukazuj´ı na potˇrebu zahrnut´ı dalˇs´ıch vliv˚u a modifikuj´ı, ˇci zcela pˇretváˇrej´ı toto kriterium pro obecnˇejˇs´ı platnost. Svou d˚uleˇzitost tato kriteria sehrávaj´ı právˇe v poukázán´ı na fakt, ˇze lomové pˇretvoˇren´ı je závislé na zp˚usobu zatˇeˇzován´ı [23].

4.2.3 Johnson-Cook

Johnson a Cook [28] vytváˇrej´ı na základˇe svých pˇredch˚udc˚u kriterium, které pro lomovou funkci uvaˇzuje vliv teploty a rychlosti plastického pˇretváˇren´ı. Upravuj´ı (26) pˇridán´ım dalˇs´ıch ˇclen˚u do komplexnˇejˇs´ı podoby

ε_f(η, ˙ε_p, T ) = (C₁+C₂e^−C³^η)(1 + C₄ln( ˙ε^∗_p))(1 − C₅T^∗). (27) Veliˇcina ˙ε^∗_p vyjadˇruje bezrozmˇernou rychlost pˇretv´aˇren´ı, T^∗ je homologovan´a teplota

T^∗= T − Troom

T_melt−T_room, ˙ε^∗_p =

˙ε_p

˙ε⁰_p, (28)

kde T_room oznaˇcuje referenˇcn´ı experimentáln´ı teplotu, T_melt teplotu taven´ı materiálu, ˙ε_p rychlost ekvivalentn´ı plastické deformace a ˙ε^_p referenˇcn´ı rychlost plastické deformace [29].

(23)

Toto kriterium je obsaˇzeno v mnohých výpoˇcetn´ıch programech, a je schopné pomˇernˇe dobˇre popisovat i dynamické dˇeje pˇri vysokých rychlostech zatˇeˇzován´ı. Uspˇ´ eˇsnˇe jsou t´ımto kriteriem modelovány zejména pr˚ustˇrely, penetraˇcn´ı zkouˇsky ˇci technologické operace. O jeho obl´ıbenost se postarali autoˇri dlouhodobou publikac´ı parametr˚u bˇeˇznˇe uˇz´ıvaných materiálu a zbavili tak v jednoduˇsˇs´ıch pˇr´ıpadech uˇzivatele potˇreby tyto parametry kalibrovat [10, 29].

Pˇri porovnán´ı Johnson-Cookova modelu s pˇredchoz´ımi dvˇema uvádˇenými kriterii (26), (25) je patrné, ˇze vhodnou volbou koeficient˚u C aˇz C m˚uˇzeme obdrˇzet jak kriterium Hancock- Mackenzie tak Rice-Tracey [10].

4.2.4 Bao-Wierzbicki

Autoˇri [30] tento model zaloˇzili na nemonotónn´ı funkci a zavád´ı tˇri oblasti v závislosti na mechanismu poˇskozen´ı, ve kterých definuje lomové funkce. Výsledná funkce vzniká spojen´ım tˇr´ı samostatnˇe definovaných ˇcást´ı, které jsou na sebe napojeny v hraniˇcn´ıch bodech.

Na základˇe zkoumán´ı [31] byla vyslovena domnˇenka, ˇze pro hodnoty triaxialit menˇs´ıch neˇz η < −/ nedocház´ı k tvárnému poruˇsován´ı. Tento model dále vykazuje lokáln´ı minimum lomové funkce pˇri hodnotˇe η=0, kdy docház´ı k zat´ıˇzen´ı pouze smykem.

Obrázek 8: Oblasti lomové funkce pro jed- notlivé mechanismy poˇskozen´ı [32]

Obr´azek 9: Porovn´an´ı kriteria Bao-Wierzbicki a Johnson-Cook [33]

V prvn´ı oblasti, ve které docház´ı k poruˇsován´ı smykovým mechanismem je lomová funkce popsána vztahem

ε_f(η) = C₁ 3η +

√

12 − 27η² 2(1 + η

√

12 − 27η²)

; η ∈ (−1

3; 0⟩ . (29)

V navazuj´ıc´ı oblasti kombinovaným mechanismem poruˇsován´ı plat´ı závislost, pro kterou je parametry nutné dopoˇc´ıtat s ohledem na napojen´ı na zbývaj´ıc´ı ˇcásti lomové funkce

ε_f(η) = C₂η²+C₃η + C₄; η ∈ ⟨0; 0, 4⟩. (30) Oblast poˇskozov´an´ı r˚ustem dutin je pak pops´ana hyperbolickou funkc´ı

ε_f(η) = C₅1

η; η ≥ 0, 4. (31)

(24)

Kriterium pro svou sloˇzitost, ve smyslu nutnosti identifikace oblasti triaxialit pˇri zatˇeˇzován´ı a podm´ınky napojen´ı v okrajových bodech, nen´ı pˇr´ıliˇs vyuˇz´ıvaným. Pˇresto vˇsak v nˇekterých pˇr´ıpadech m˚uˇze tvárné poˇskozován´ı popisovat lépe, neˇz nˇekterá pˇredchoz´ı monotónn´ı kriteria.

Hlavn´ım pˇr´ınosem tohoto modelu je domnˇenka existence kritické hodnoty triaxiality, pod kterou by nedocházelo k poˇskozován´ı materiálu [10, 31].

4.2.5 Xue-Wierzbicki

Pˇri pokraˇcován´ı zkoumán´ı problematiky tvárného poruˇsen´ı bylo pozorováno [34], ˇze tvárné poruˇsen´ı nen´ı plnˇe vystihováno s pomoc´ı triaxiality napˇet´ı, které nedokáˇze zcela postihnout zp˚usob zatˇeˇzován´ı. Wierzbicki se svými kolegy pracoval na vˇetˇs´ım mnoˇzstv´ı model˚u a jako jedni z prvn´ıch ukázali, ˇze pro lepˇs´ı fenomenologický popis tvárného poruˇsen´ı je zapotˇreb´ı dalˇs´ıho parametru - Lodeho parametru, popˇr´ıpadˇe dalˇs´ıch jeho forem [18, 34]. Zveˇrejnˇená práce [34] za pomoci ˇctyˇr parametr˚u pracovala ve trojrozmˇerném prostoru s lomovou plochou, tedy funkc´ı o dvou promˇenných εf(η, ξ). Vytvoˇrili symetrický model

ε_f(η, ξ) = C₁e^−C²^η− [C₁e^−C²^η−C₃e^−C⁴^η] ⋅ (1 − ∣ξ∣ⁿ)

1

n, (32)

kde exponent n je exponent zpevnˇen´ı z modelu plasticity [18]. Ten byl pozdˇeji upraven a nahrazen pátým, téˇz kalibrovatelným parametrem C. To dalo vzniku modifikovaného kriteria Xue-Wierzbicki 2, které m´ırnˇe vylepˇsilo dosahované výsledky

ε_f(η, ξ) = C₁e^−C²^η− [C₁e^−C²^η−C₃e^−C⁴^η] ⋅ (1 − ∣ξ∣^C⁵)

1

C5. (33)

Takto definovaná lomová kriteria lépe vyhovuj´ı experiment˚um, kdy tvárné poruˇsován´ı vykazuje nemonotónost závislosti na triaxialitˇe napˇet´ı [18].

4.2.6 Bai-Wierzbicki

Asi nejznámˇejˇs´ım kriteriem z prac´ı Wierzbického je model Bai-Wierzbicky [35], který je stále funkc´ı dvou promˇenných, od kriteria Xue se vˇsak odliˇsuje nesymetrickou lomovou plochou a dalˇs´ım, jiˇz ˇsestým parametrem C_. Tento model uˇzil v definovaném prostoru ε_f(η, θ) kritérium Rice-Tracey ve tˇrech význaˇcných rovinách, a to v rovinˇe tlaku θ =-1, v rovinˇe tahu θ =1 a v rovinˇe rovinné deformace θ =0. Tyto roviny um´ıstil zpˇet do prostoru ε_f(η, θ) a navrhl mezi nimi parabolickou závislost na normalizovaném Lodeho úhlu θ [18].

To dalo vzniku koneˇcn´emu tvaru modelu ε_f(η, θ) = [1

2(C₁e^−C²^η+C₅e^−C⁶^η) −C₃e^−C⁴^η]θ²+1

2(C₁e^−C²^η−C₅^−C⁶^η)θ + C₃e^−C⁴^η. (34) Pro kalibraci takto komplexn´ıho modelu (6 parametr˚u) je vhodné vyuˇz´ıt alespoˇn 6 kali- braˇcn´ıch vzork˚u, poruˇsovaných pˇri odliˇsných hodnotách triaxialit a Lodeho úhl˚u [35]. Autoˇri Bao a Wierzbicki publikovali ve své práci [35] pˇrehled doporuˇcených kalibraˇcn´ıch experiment˚u, aby byla vhodnˇe pokryta celá oblast zatˇeˇzován´ı. Výhodou nesymetrické lomové plochy je lepˇs´ı aproximace stav˚u pro rozd´ılné hodnoty normalizovaného Lodeho úhlu, které obecnˇe nemusej´ı být shodné v tlakové a tahové oblasti.

(25)

Jiˇz v modelu Bao-Wierzbicki autoˇri poukázali na moˇznost existence hodnot triaxialit, pˇri kterých nebude docházet k poruˇsován´ı [10]. Tento model vˇsak nepracuje s ˇzádným defi- novaným mezn´ım stavem a umoˇzˇnuje poruˇsován´ı pro vˇsechny stavy napjatosti. Z tohoto d˚uvodu je nutné pˇred pouˇzit´ım modelu ovˇeˇrit, jaké hodnoty triaxialit se bˇehem zatˇeˇzován´ı daj´ı oˇcekávat.

4.2.7 Dalˇs´ı modely

Existuje celá ˇrada dalˇs´ıch model˚u, zjednoduˇsených i v´ıce komplexnˇejˇs´ıch. Dalˇs´ı kriteria s sebou vˇsak z pohledu této práce pˇrináˇsej´ı ˇcasto sloˇzitˇejˇs´ı analytický popis, pˇrestoˇze mohou být svou podstatou jednoduˇsˇs´ı. Mezi tyto kriteria patˇr´ı napˇr´ıklad kriterium Wilkins, Lou nebo modifikovaný Mohr-Coulomb [10, 36]. H˚ulka ve své diplomové práci [29] sestavil tabulku s obsáhlým pˇrehledem uˇz´ıvaných kriteri´ı i s popisem jejich vhodnosti pro jednotlivé typy zatˇeˇzován´ı.

(26)

5 Zpracov´ an´ı experiment´ aln´ıch dat

5.1 Ocel 08Ch18N10T

Materiál dle ruské normy GOST znaˇcený jako 08Ch18N10T je austenitická, korozivzdorná ocel uˇz´ıvaná pro jaderné elektrárny ruského modelu (tabulka 3). Dle pˇrevodn´ıch tabulek (napˇr´ıklad [37]) lze nalézt oceli s podobným sloˇzen´ım (tabulka 2) i v jiných normách, pro ˇCSN je odpov´ıdaj´ıc´ı ocel tˇr´ıdy 17 - ˇCSN 17 248. Materiál je se svými mechanickými vlastnostmi (tabulka 4) nejˇcastˇeji pouˇz´ıván pro výrobu ˇsroub˚u, matic, podloˇzek a tvarovek [38]. Dále také pro výstavbu tepelných, energetických, chemických a tlakových zaˇr´ızen´ı aˇz do teplot 800°C jak uvád´ı [39] na základˇe [40].

GOST W. Nr. EN CSNˇ

08Ch18N10T 1,4541 X6CrNiTi18-10 17248 (17247)

Tabulka 2: Pˇrevodn´ı tabulka znaˇcen´ı oceli [37]

Z uvedených ekvivalentn´ıch ocel´ı má vˇsak podle [38] ocel normy GOST garantovaný n´ızký obsah kobaltu, který souvis´ı s r˚ustem indukované radioaktivity materiálu [39].

C Mn Si Ni Cr P S Ti

0,073 1,42 0,48 10,90 19,10 0,010 0,0125 0,66 Tabulka 3: Chemick´e sloˇzen´ı oceli 08Ch18N10T [41]

E [MPa] R_e [MPa] R_m [MPa] A₅ [%] Z [%]

200 000 258 546 65 77

Tabulka 4: Z´akladn´ı mechanick´e vlastnosti oceli 08Ch18N10T [41]

Dodavatel ocel´ı WTE PowerSteel na svém webu [38] uvád´ı m´ırnˇe odliˇsné hodnoty R_e=196 MPa, R_m=500 − 750 MPa.

Z experimentáln´ıch dat, konkrétnˇe z tahové zkouˇsky, byl vyhotoven skuteˇcný pracovn´ı diagram (obr. 10), ve kterém byla vybrána lineárn´ı oblast elastické deformace pro vyhodno- cen´ı Youngova modulu pruˇznosti.

(27)

Obrázek 10: ˇCást diagramu tahové zkouˇsky

Data ve zvolené zkoumané oblasti byla proloˇzena lineárn´ı závislost´ı a zjiˇst’ována jej´ı smˇernice. Byla nalezena smˇernice E = 170 541 MPa (koeficient korelace R²=0.9814). Tato hodnota se vˇsak od bˇeˇznˇe pˇredpokládané hodnoty pro tento materiál liˇs´ı o δE = 14, 73%, coˇz bylo povaˇzováno za pˇr´ıliˇs velkou odchylku.

Obrázek 11: Lineárn´ı oblast diagramu tahové zkouˇsky do σ = 200 M P a

Pˇri velmi detailn´ım pohledu (obr. 11) do zvolené oblasti je patrné, ˇze tato odchylka byla zp˚usobena nelinearitou dat pˇri horn´ı hranici oblasti σ = 200 MPa. Byla proto upravena vy- hodnocovaná oblast do velikosti napˇet´ı σ = 150 MPa, kde data vykazuj´ı zcela lineárn´ı pr˚ubˇeh a vylepˇsen odhad modulu pruˇznosti v tahu.

(28)

Obrázek 12: Upravená lineárn´ı oblast diagramu tahové zkouˇsky do σ = 150 M P a

Touto úpravou byl stanoven výsledný Young˚uv modul pruˇznosti E = 194 940 MPa (koeficient korelace R²=0.9888), který se od pˇredpokládané hodnoty liˇs´ı o δE = 2, 53%. Tato odchylka byla povaˇzována za pˇrijatelnou, proto oblast nebyla dále upravována

a hodnota E = 194 940 MPa byla pˇrijata jako koneˇcná, experimentálnˇe zjiˇstˇená hodnota, která byla vyuˇzita k dalˇs´ım výpoˇct˚um.

(29)

5.2 Kalibrace kˇrivky plastick´eho zpevnˇen´ı

Po zpracován´ı pˇrevzatých experimentáln´ıch dat tahové zkouˇsky a stanoven´ı experimentál- n´ıho modulu pruˇznosti v tahu bylo pˇristoupeno ke kalibraci kˇrivky plastického zpevnˇen´ı.

V prvn´ım kroku byla z pˇrevzatých experimentáln´ıch dat vytvoˇrena smluvn´ı napˇet’ová kˇrivka a uˇzit´ım rovnic (9), (10) byla následnˇe z´ıskána skuteˇcná napˇet’ová kˇrivka (obr.13).

Obrázek 13: Graf závislosti napˇet´ı na celkové deformaci

Jak jiˇz bylo zm´ınˇeno v kapitole 3.1, byl pro tuto práci zvolen Ludwik˚uv nelineárn´ı model plastického zpevnˇen´ı

σY =A + Bεⁿ_p,

kde koeficient A má význam poˇcáteˇcn´ı meze kluzu. Tento vztah odpov´ıdá zjednoduˇsené formˇe modelu Johnson-Cook. Lze ho tedy snadno implementovat do vlastn´ı simulace v programu ABAQUS. Jelikoˇz je model zaloˇzen na popisu napˇet´ı pomoc´ı plastické deformace, mus´ıme nejprve z celkové deformace separovat deformaci plastickou dle vztahu (11). Se znalost´ı plas- tických deformac´ı je moˇzné postoupit k fázi kalibrace vybraného kriteria zpevnˇen´ı (obr.14).

Pro tento úˇcel byl vytvoˇren skript v prostˇred´ı MATLAB, zaloˇzený na optimalizaci c´ılové funkce metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚u (Tab.5).

A = 233.8466 B = 1.1028 ⋅ 10³ n = 0.6285

Tabulka 5: Optimalizovan´e koeficienty kˇrivky Ludwikova modelu zpevnˇen´ı

Ze stanovených koeficient˚u kˇrivky zpevnˇen´ı (Tab.5) lze urˇcit poˇcáteˇcn´ı mez kluzu Re ≃ 234 MPa, která odpov´ıdá hodnotˇe koeficientu A.

(30)

Obrázek 14: Kalibrovaná kˇrivka zpevnˇen´ı dle Ludwika (upravený Johnson-Cook)

5.3 V´ypoˇctov´a geometrie vzork˚u

Portfolio experimentáln´ıch vzork˚u vyuˇzitých v této práci tvoˇr´ı celkem 10 vzork˚u, které jsou podrobovány definovanému zatˇeˇzován´ı tak, aby byl pokryt vhodný rozsah veliˇcin η, θ, jak naznaˇcuje ˇcervenˇe zvýraznˇená kˇrivka v obr. 22b. Zkoumané vzorky se skládaj´ı ze ˇctyˇr r˚uzných geometri´ı. Prvn´ı skupina vzork˚u, celkem 7 vzork˚u, jsou vzorky oznaˇcované jako NT (notched tube). Jedná se o duté tyˇcové vzorky (trubky) s definovanou velikost´ı vrubu (v tomto pˇr´ıpadˇe R3). Vˇsech 7 vzork˚u má shodnˇe definovanou výpoˇctovou geometrii (obr. 15), která odpov´ıdá jmenovitým rozmˇer˚um skuteˇcného vzorku navrˇzeném v práci [42]. Tato publikace uvád´ı d˚uvody vzniku právˇe takto definované geometrie, jej´ıˇz experimentáln´ı výsledky byly pˇrevzaty pro tuto práci. Tlouˇst’ka stˇeny je 1 mm v kritickém m´ıstˇe vrubu.

Obrázek 15: Výpoˇctová geometrie vzork˚u NT

(31)

Sada NT vzork˚u byla podrobována r˚uzným monotónn´ım zatˇeˇzován´ım tak, aby bylo dosaˇzeno rozd´ılných hodnot triaxialit η a θ v okamˇzik poruˇsen´ı vzorku (navrˇzeno v práci [42]). Byl definován zatˇeˇzovac´ı pomˇer, který udává pomˇer mezi axiáln´ım posuvem a natoˇcen´ım ˇcelist´ı trhac´ıho stroje

zatˇeˇzovac´ı pomˇer = axi´aln´ı posuv [mm]

natoˇcen´ı [rad] (35)

Ve skupinˇe NT vzork˚u bylo pˇet vzork˚u zkoumáno pˇri zatˇeˇzován´ı kombinac´ı tahu a krutu, zbylé dva pak pˇri kombinaci tlaku a krutu (Tab. 6).

oznaˇcen´ı vzorku NT 0,5 NT 1 NT 4,2 NT inf NT 0 NT -0,5 NT -1 pomˇer [mm/rad] 0,5 1 4,2 inf (tah) 0 (krut) -0,5 -1

Tabulka 6: Pˇrehled uˇzit´ych zatˇeˇzovac´ıch pomˇer˚u NT vzork˚u

Pozdˇeji byly mezi kalibraˇcn´ı vzorky zaˇrazeny také tˇri tyˇcové vzorky, které byly zatˇeˇzovány prostým tahem. Prvn´ım je hladká tyˇc, bez vrubu, oznaˇcená dále jako SB (smooth bar), jej´ıˇz výpoˇcen´ı geometrii zachycuje obrázek (obr.16).

Obrázek 16: Výpoˇctová geometrie vzorku SB

Vzorek je ve skuteˇcnosti pro výpoˇcet namodelován s m´ırnou kuˇzelovitost´ı (1:11,9) ze stˇredn´ı roviny, kv˚uli lokalizaci poˇskozen´ı do této oblasti. Ve stˇredn´ı rovinˇe z˚ustal nezmˇenˇený rozmˇer

∅12. Druhým tyˇcovým vzorkem je tyˇc s vrubem, o velikosti vrubu R1 (obr.17), dále oznaˇcená jako NB-R1 (notched bar).

(32)

Obrázek 17: Výpoˇctová geometrie vzorku NB-R1

Posledn´ım z tyˇcových vzork˚u je tyˇc s vrubem R4 (obr.18), oznaˇcená jako NB-R4. Vˇsechny tˇri tyˇcové vzorky maj´ı v kritické oblasti, ve svém nejuˇzˇs´ım m´ıstˇe, rozmˇer ∅12.

Obrázek 18: Výpoˇctová geometrie vzorku NB-R4

(33)

5.4 MKP modely

Jelikoˇz jsou vˇsechny kalibraˇcn´ı vzorky rotaˇcnˇe symetrická tˇelesa, nejsou z d˚uvodu významné úspory výpoˇcetn´ıho ˇcasu modelována celá, ale je vyuˇzito právˇe jejich symetrie.

Pro prvn´ı skupinu NT vzork˚u byl vytvoˇren jednotný model. Jelikoˇz jsou vˇsak NT vzorky zatˇeˇzovány i kroucen´ım, nen´ı moˇzné uˇz´ıt plné rotaˇcn´ı symetrie, jelikoˇz by jednotlivé ˇrezy nebyly tuhé a nebylo by tak moˇzné z´ıskávat reakˇcn´ı moment v závislosti na deformaˇcn´ım zatˇeˇzován´ı. Je ale moˇzné vyuˇz´ıt obdobný pˇr´ıstup, cyklickou symetrii (kompletn´ı popisy viz manuál [20]). Ta umoˇzˇnuje pro výpoˇcet opakovat výseˇc okolo osy rotace.

Pro tuto práci bylo NT tˇeleso rozdˇeleno na 180 symetrických sektor˚u o velikosti výseˇce 2°.

Simulac´ı z´ıskaná silová a momentová odezva je vztaˇzena pouze na tuto výseˇc a pro z´ıskán´ı celkové reakˇcn´ı s´ıly a momentu je nutné ji pˇrenásobit odpov´ıdaj´ıc´ım mnoˇzstv´ım sektor˚u. Pro vytvoˇren´ı s´ıtˇe jsou uˇzity 3D elementy pˇreváˇznˇe typu ˇsestistˇen (hexahedron), ve spodn´ı ˇcásti tˇelesa, d´ıky tvaru výseˇce, byly povoleny i dalˇs´ı typy element˚u (obr.19a). Globáln´ı, pˇribliˇzná velikost elementu je 0,3 mm, smˇerem k vrubu docház´ı k jejich zhuˇst’ován´ı. Velikost element˚u v ˇrezu stˇredn´ı roviny a bezprostˇrednˇe okolo n´ı je 0,05 mm. Velikost elementu 0,05 mm byla téˇz uˇzita i po tlouˇst’ce výseˇce.

(a) vzorky NT (b) vzorek SB (c) vzorek NB-R1 (d) vzorek NB-R4

Obr´azek 19: S´ıtˇe jednotliv´ych MKP model˚u

(34)

Hladký SB vzorek i NB vzorky s vrubem jsou zatˇeˇzovány pouze axiáln´ım posuvem, lze je tedy modelovat s plnou rotaˇcn´ı symetri´ı. D´ıky tomu je potˇreba jeˇstˇe menˇs´ı mnoˇzstv´ı element˚u, neˇz v pˇr´ıpadˇe symetrie cyklické, a výpoˇcet je v´ıce urychlen. Pˇri uˇzit´ı modelu s plnou rotaˇcn´ı symetri´ı je pˇr´ımo z´ıskávána silová a momentová odezva odpov´ıdaj´ıc´ı celému rotaˇcn´ımu tˇelesu.

Pro s´ıt’ován´ı základn´ıho ˇrezu jsou uˇzity 2D elementy pˇreváˇznˇe typu ˇctyˇrúheln´ık (quadrilateral) o základn´ı, globáln´ı velikosti 1 mm, která se smˇerem do kritické oblasti zmenˇsuje aˇz na velikost 0,3 mm.

Obr´azek 20: Identifikace vyhodnocovan´ych uzl˚u

V ˇrezu stˇredn´ı roviny byly vybrány uzly (obr.20), ze kterých byly v pr˚ubˇehu deformaˇcn´ıho zatˇeˇzován´ı z´ıskávány hodnoty potˇrebné k výpoˇctu charakteristických veliˇcin pro jednotlivé okamˇziky zatˇeˇzován´ı. Mnoˇzstv´ı sledovaných uzl˚u vycház´ı ze s´ıtˇe NT vzorku, pˇri uˇzit´ı velikosti elementu 0,05 mm vznikne, v nejuˇzˇs´ı ˇcásti vrubu, 21 uzl˚u. Jejich ˇc´ıslován´ı je zavedeno od vnˇejˇs´ıho okraje tˇelesa smˇerem k s ose symetrie. Obdobnˇe je uˇzito ˇc´ıslován´ı i pro vzorky SB a NB, u nichˇz vˇsak rozd´ılnou velikost´ı element˚u v kritické oblasti vzniká 41 uzl˚u. Je tedy sledován kaˇzdý druhý uzel, výsledné mnoˇzstv´ı sledovaných uzl˚u je shodnˇe 21. Sledované veliˇciny jsou v prostˇred´ı ABAQUS oznaˇcované jako PEEQ, MISES, PRESS a INV3. Veliˇcina PEEQ je ekvivalentn´ı plastická deformace, která je v této práci jiˇz dˇr´ıve zavedena jako ε_p. Veliˇcina MISES je Von Misesovo (ekvivalentn´ı) napˇet´ı q a PRESS je hydrostatický tlak p.

Triaxilitu je tedy moˇzné snadno z´ıskat, dosazen´ım do rovnice (20), zápornˇe vzatým pod´ılem hydrostatického tlaku a Misesova napˇet´ı

η = −p

q = −P RESS

M ISES. (36)

Veliˇcina INV3 nen´ı pˇr´ımo tˇret´ım invariantem devi´atoru napˇet´ı, lze ho vˇsak snadno z´ıskat pomoc´ı pˇrepoˇctu

J₃= 2

27 ⋅ (IN V 3)³. (37)

(35)

Po dosazen´ı vztahu (37) do rovnice (22), m˚uˇzeme Lodeho parametr vyjádˇrit pˇr´ımo pomoc´ı hodnot z´ıskávaných z výpoˇctu jako

ξ = (IN V 3)³

(M ISES)³ (38)

a uˇzit´ım této definice lze dále vyjádˇrit normalizovaný Lodeho úhel z rovnice (23) θ = 1 − 2

πarccos ( (IN V 3)³

(M ISES)³). (39)

Po extrakci a výpoˇctu tˇechto veliˇcin v pr˚ubˇehu zatˇeˇzován´ı jednotlivých vzork˚u byly vytvoˇreny grafy závislost´ı silových a momentových odezev v závislosti na deformaci

s porovnán´ım vypoˇctených a experimentáln´ıch hodnot. Z tˇechto graf˚u lze stanovit (odhad- nout) kritickou hodnotu ekvivalentn´ı plastické deformace ε_f. Tento postup (obr.21) odhadu byl postupnˇe provádˇen pro vˇsechny vzorky.

(a) Z´avislost reakˇcn´ı axi´aln´ı s´ıly na posuvu

(b) Z´avislost reakˇcn´ıho torzn´ıho momentu na natoˇcen´ı

Obrázek 21: Pˇr´ıklad srovnán´ı experimentáln´ıch a simulovaných odezev vzorku NT 0,5

(36)

Ekvivalentn´ı plastická deformace ε_p byla z d˚uvodu názornosti zanesena do grafu silové odezvy (obr.21a). V této práci byl za okamˇzik iniciace poruˇsen´ı oznaˇcen bod, kdy docház´ı k poklesu reakˇcn´ı s´ıly (nebo momentu) v diagramu s´ıla-posuv (moment-natoˇcen´ı) (obr.21).

Pro takto odhadnuté kritické hodnoty posuvu nebo natoˇcen´ı byly nalezeny odpov´ıdaj´ıc´ı hodnoty triaxialit a normalizovaného Lodeho úhlu (obr.22) pro daný ˇcasový okamˇzik. Z´ıskané hodnoty kritické ekvivalentn´ı plastické deformace ε_f(η, θ) byly vyneseny do graf˚u (obr.22a) ekvivalentn´ı plastické deformace a normalizovaném Lodeho úhlu (obr.22b) v závislosti na triaxialitˇe napˇet´ı pˇri iniciaci poruˇsen´ı, aby bylo moˇzné zkoumat vhodnost pouˇzit´ı konkrétn´ıch model˚u tvárného poruˇsován´ı.

(37)

5.5 Mapa vzork˚u, odhad iniciace poruˇsen´ı

(a) Závislost kritického ekvivalentn´ı plastické deformace na triaxialitˇe napˇet´ı

(b) Závislost normalizovaného Lodeho úhlu na triaxialitˇe napˇet´ı pˇri dosaˇzen´ı kritické hodnoty ekvivalentn´ı plastické deformace

Obr´azek 22: Rozloˇzen´ı analyzovan´ych vzork˚u

Z rozloˇzen´ı analyzovaných vzork˚u (obr.22) je patrné, ˇze pro tyto experimenty je kritická ekvivalentn´ı plastická deformace výraznˇe ovlivnˇena Lodeho úhlem (popˇr. jeho dalˇs´ımi for- mami). Pro lomovou funkci je tedy vhodné volit sp´ıˇse model, který zohledn´ı oba parametry η, θ. Z model˚u v této práci uvedených se jedná o model Bai-Wierzbicki (kapitola 4.2.6)

(38)

6 Kalibrace

Pˇrestoˇze analyzované vzorky vykazuj´ı závislost poruˇsen´ı na Lodeho úhlu, byly kalibrovány i nˇekteré modely, které nezohledˇnuj´ı Lodeho úhel (popˇr. jeho formy). Celkem jsou tedy kalibrovány tˇri kritéria. Prvn´ım, nejd˚uleˇzitˇejˇs´ım kalibrovaným modelem je kriterium Bai- Wierzbicki. Z kritéri´ı nezahrnuj´ıc´ı vliv Lodeho úhlu pak byly vybrány kritéria Johnson-Cook ve své zjednoduˇsené formˇe, která nezohledˇnuje teplotu ani rychlost deformace (Hancock- Mackenzie) a kritérium Bao-Wierzbicki, pro svou nemonotónost. Pro kalibraci dala tato práce vzniku kalibraˇcn´ıch skript˚u, které slouˇz´ı k nalezen´ı parametr˚u jednotlivých model˚u tvárného poruˇsován´ı. Pro kaˇzdý model poruˇsován´ı byl vytvoˇren samostatný sled skript˚u, který tvoˇr´ı tˇri skripty v prostˇred´ı PYTHON s jednotlivými kroky kalibrace. Prvn´ım krokem je poˇcáteˇcn´ı odhad paramter˚u lomové funkce na základˇe pr˚umˇerován´ı veliˇcin η, θ. V druhém kroku je pro takto navrˇzené parametry jednotlivých uˇzitých model˚u ovˇeˇrováno, v jakém uzlu skuteˇcnˇe docház´ı k iniciaci poruˇsen´ı. Po nalezen´ı kritických uzl˚u jednotlivých vzork˚u jsou tyto uzly postoupeny do tˇret´ıho kroku, kde je lomová funkce optimalizována na základˇe ku- mulace fiktivn´ıho poˇskozen´ı dle skuteˇcného vývoje veliˇcin η, θ v kritických uzlech pro dosaˇzen´ı fiktivn´ıho poˇskozen´ı D=1 v okamˇziku iniciace poruˇsen´ı. Tyto metody kalibrace jsou zm´ınˇeny v práci [10].

6.1 Poˇc´ateˇcn´ı odhad

Poˇcáteˇcn´ı odhad parametr˚u lomových funkc´ı vyˇsel z domnˇenky, ˇze kritickým m´ıstem, ve kterém by doˇslo k iniciaci poruˇsen´ı, by mohl být uzel oznaˇcený ˇc´ıslem 1 leˇz´ıc´ı na vnˇejˇs´ı stranˇe tˇelesa. Na základˇe tohoto pˇredpokladu byly stanoveny stˇredn´ı hodnoty η, θ, pomoc´ı váˇzených pr˚umˇer˚u, v okamˇzik dosaˇzen´ı kritické ekvivalentn´ı plastické deformace a lomová funkce byla urˇcena pomoc´ı bod˚u ε_f(ηav, θav)

η_av= 1 ε_f ∫

εf

0 η(ε_p)dε_p, θ_av= 1 ε_f ∫

εf

0 θ(ε_p)dε_p (40)

Vytvoˇrená prvn´ı ˇcást skriptu poté pomoc´ı zvoleného optimalizaˇcn´ıho nástroje hledá minimum c´ılového funkcionálu

F_av= 1 N

N

∑

i=1

∣ε_f_i−ε_f(η_av, θ_av)∣², (41) který definuje celkovou chybu mezi analytickým ˇreˇsen´ım a skuteˇcnými body. Exponent 2 odpov´ıdá uˇzité metodˇe nejmenˇs´ıch ˇctverc˚u, N je celkový poˇcet vzork˚u [10]. Pro kalibraci mo-delu Bao-Wierzbicki bylo nutné vzorky podle hodnot ε_f(η_av, θ_av), uˇzit´ım podm´ınek, roztˇr´ıdit do jednotlivých oblast´ı a funkcionál byl definován pro jednotlivé oblasti zvláˇst’, dle odpov´ıdaj´ıc´ıch kˇrivek (viz obr.8).