Zadanie 1. Niech z 1 = (1 + ı √

GAL (I INF)

Kolokwium nr 1 1-12-2011

Uwaga: ka˙zde zadanie warte jest 4 punkty, niezale˙znie od stopnia trudno´sci.

Zadanie 1. Niech z ₁ = (1 + ı √

3) ¹⁰⁰ , z ₂ = (−1 + ı √

3) ³⁰¹ , z ₃ = ı (ı = √

−1).

Wyznacz cz e´s´ _, c rzeczywist a i cz _, e´s´ _, c urojon a liczby _,

¯ z 1

z ₂ + z 1 · √

z 3 .

Zadanie 2. Niech uk lad (a ₁ , a ₂ , a ₃ , . . . , a _n ) b edzie baz _, a pewnej przestrzeni liniowej X _, |K . Rozstrzygnij, czy uk lad (b ₁ , b ₂ , . . . , b _n ), gdzie

( b _i = a _i − a _i+1 , 1 ≤ i ≤ n − 1 b _n = a _n − a ₁ ,

jest r´ ownie˙z baz a X _, |K .

Zadanie 3. W przestrzeni P _|R ⁴ wielomian´ ow rzeczywistych stopnia co najwy˙zej 3 dany jest zbi´ or

W = p ∈ P _|R ⁴ : 7p(−1) − 6p(0) + 3p(1) + 2p(2) = 12 .

Wyka˙z, ˙ze W jest warstw a, tzn. W = W (p _{, 0} , Y) dla pewnych p ₀ ∈ P _|R ⁴ i Y ⊂ P _|R ⁴ . Znajd´ z p ₀ i baz e Y. _,

Zadanie 4. Dla danej macierzy

A =





3 −2 5

−1 3 −2

2 1 3



 ∈ C ^3,3

znajd´ z jej rz ad rz(A) oraz bazy j _, adra N (A) i obrazu R(A). _,

Zadanie 5. W przestrzeni P _|R ⁴ dane s a wielomiany _,

p 1 (t) = 1 + 2t, p 2 (t) = t + 3t ² , p 3 (t) = t ² + 3t ³ , p 4 (t) = 1 + 25t ³ .

oraz dany jest funkcjona l f ∈ (P _R ⁴ ) ^∗ , f (p) = p(−1) − p(0) + p(1). Niech s ₁ , s ₂ , s ₃ , s ₄ ∈ (P _R ⁴ ) ^∗ spe lniaj a warunki _,

s _i (p _i ) = 1 dla i = 1, 2, 3, 4 oraz s _i (p _j ) = 0 dla i 6= j.

Zapisz f jako kombinacj e liniow _, a funkcjona l´ _, ow s ₁ , s ₂ , s ₃ , s ₄ .