Kresy zbiorów.

(1)

Kresy zbiorów.

Ćwiczenia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium nr 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249

Definicja: Zbiór Z ⊂_Rnazywamy ograniczonym z góry, jeżeli

M ∈R∃ ∀

x∈Z x ¬ M . Każdą liczbę rzeczywistą M ∈_R spełniającą warunek

x∈Z∀ x ¬ M nazywamy ograniczeniem górnym zbioru Z.

Definicja: Zbiór Z ⊂_Rnazywamy ograniczonym z dołu, jeżeli

M ∈R∃ ∀

x∈Z

x M . Każdą liczbę rzeczywistą M ∈_R spełniającą warunek

x∈Z∀

x M nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru Z.

Definicja: Zbiór Z ⊂_Rnazywamy ograniczonym, jeżeli jest jednocześnie ograniczony z dołu i z góry.

Definicja: Jeżeli niepusty zbiór Z ⊂R jest ograniczony z góry, to kresem górnym zbioru Z nazywamy jego najmniejsze ograniczenie górne i stosujemy oznaczenie supZ.

Istnienie takiego najmniejszego ograniczenia wynika z zasady ciągłości Dedekinda. Jeżeli zbiór Z jest nieograniczony z góry, przyjmujemy supZ = +∞. Ponadto przyjmujemy sup∅ = −∞. Analogicznie określamy kres dolny zbioru, oznaczany przez inf Z.

Wniosek: Jeżeli niepusty zbiór Z ⊂_R jest ograniczony z góry, to liczba G jest jego kresem górnym wtedy i tylko wtedy, gdy

x∈Z∀

x ¬ G oraz

ε>0∀ ∃

x∈Z x > G − ε .

Zadania.

Wyznaczyć kres górny i dolny następujących zbiorów. Zbadać, czy podane zbiory zawierają swoje kresy:

197. ⁿx ∈_R: x²< 2^o 198.

37ⁿ

n! : n ∈N

199.

1 m− n

n + 1: m,n ∈_N

200. ⁿx ∈_R: x⁴ 5^o 201.

(m²+ n²

2mn : m,n ∈_N , m < n

)

202.

( mnk

m³+ n³+ k³ : m,n,k ∈_N

)

Niech A i B będą niepustymi ograniczonymi zbiorami liczb rzeczywistych.

Niech a₁= infA , a₂= supA , b₁= infB , b₂= supB. Co można powiedzieć o następujących kresach:

(2)

203. inf{−a : a ∈ A} 204. sup{a²: a ∈ A} 205. inf{a²: a ∈ A}

206. sup{a − b : a ∈ A, b ∈ B} 207. sup{ab : a ∈ A, b ∈ B}

208. inf{ab : a ∈ A, b ∈ B}

209. Zbiory A i B są niepuste i ograniczone. Zbiór B jest skończony i wszystkie jego elementy są różne od 0. Czy zbiór {^a_b : a ∈ A, b ∈ B} musi być ograniczony? Odpowiedź uzasadnić.

210. A jest takim niepustym zbiorem ograniczonym liczb rzeczywistych, że

infA = −3, supA = 2. Jakie wartości mogą przyjmować kresy zbioru {|a| : a ∈ A} ? Od- powiedź uzasadnić przykładem lub dowodem.

211. Podać przykład takich zbiorów A, B, że infA = 2, supA = 7, infB = 3, supB = 10, inf(A ∩ B) = 4, sup(A ∩ B) = 6, A ∩_N= B ∩_N= ∅.

Niepotrzebne skreślić.

W każdej parze ramek tylko jedna zawiera sensowne uzupełnienie tekstu matematycznego.

Twierdzenie 212. Niech A i B będą niepustymi zbiorami ograniczonymi. Niech C = {a − b : a ∈ A ∧ b ∈ B}. Wtedy infC = infA − supB supB − infA .

Dowód:

Niech d = infA i g = supB. Wtedy z warunku d = infA wynika, że

(1) ∀

a∈A ∃

a∈A a ¬ d a d oraz

(2) ∀

ε>0 ∃

ε>0 ∀

a∈A ∃

a∈A

a < d + ε a > d − ε . Podobnie z warunku g = supB wynika

(3) ∀

b∈B ∃

b∈B

b ¬ g b g oraz

(4) ∀

ε>0 ∃

ε>0 ∀

b∈B ∃

b∈B b < g + ε b > g − ε .

Chcemy wykazać, że infC = e, gdzie e = d − g g − d , czyli, że

(5) ∀

c∈C ∃

c∈C

c ¬ e c e oraz

(6) ∀

ε>0 ∃

ε>0 ∀

c∈C ∃

c∈C c < e + ε c > e − ε . W dowodzie warunku (5) skorzystamy z (1) i (3).

Zakładając (5) wykażemy prawdziwość warunków (1) i (3).

Dowolna Istnieje liczba c ∈ C jest będąca postaci c = a − b, gdzie a ∈ A i b ∈ B. Z nierówności a ¬ d a d i b ¬ g b g otrzymujemy

a − b ¬ e a − b e , co dowodzi (5).

(3)

Załóżmy Wykażemy teraz prawdziwość warunku (6).

Niech ε będzie dowolną liczbą dodatnią. Wtedy Znajdziemy taką liczbę dodatnią ε, dla której

istnieje a ∈ A takie, że a > d − ε a < d +^ε₂ oraz b ∈ B takie, że b < g + ε b > g −₂^ε . Zatem liczba c = a − b spełnia nierówność c < e + ε c > e − ε , co kończy dowód warunku (6).

Wyznaczyć kres górny i dolny następujących zbiorów. Zbadać, czy podane zbiory zawierają swoje kresy:

213. ⁿx²: x ∈ (−4, 9)^o 214.

n

2n + 3: n ∈_N

215.

(n!

5ⁿ: n ∈N )

216.

( 2009 n

!

: n ∈N∧ n ¬ 2009

)

217.

n

n + m: m,n ∈_N

218.

(1 n−2

3

2

: n ∈_N

)

219. ⁿ√

n²+ n − n : n ∈_N^o 220. ⁿ√ⁿ 3 − ^m√

2 : m,n ∈_N^o 221.

7

n− 3m : m,n ∈_N

222.

(m²+ 4n²

mn : m,n ∈_N

)

223.

(m²+ 5n²

mn : m,n ∈_N

)

224.

(3m²+ 7n²

mn : m,n ∈_N

)

225. ⁿ√

37 − 5ⁿ: n ∈N

o 226. ⁿ√

37 − 6ⁿ: n ∈N o

227. ⁿ√

37 − 7ⁿ: n ∈_N^o 228. ⁿ√

37 − 8ⁿ: n ∈_N^o 229.

mn

m²+ n²+ 1: m,n ∈_N

Konwersatorium

Przeczytaj poniższe warunki. Które z nich są równoważne temu, że g = supA ? 230.

a∈A∀ a ¬ g

∧

ε>0∀ ∃

a∈Aa < g + ε

231.

a∈A∀ a ¬ g

∧

ε>0∀ ∃

a∈A

|a − g| < ε

232.

a∈A∀ a ¬ g

∧

ε>0∀ ∃

a∈A

a > g − 2ε

233.

a∈A∀ a ¬ g

∧

ε>0∀ ∃

a∈A

a > g −^ε₂

234.

a∈A∀ a ¬ g

∧ ∀

n∈N

a∈A∃

a > g −¹_n

!

(4)

235.

a∈A∀ a ¬ g

∧ ∀

n∈N

a∈A∃ n²(g − a) <¹_n

!

236.

a∈A∀ a < g

∧

ε>0∀ ∃

a∈A

(a − g)²< ε

237.

a∈A∀ a ¬ g

∧

ε>0∀ ∃

a∈A(a − g)²< ε

238.

a∈A∀ a ¬ g

∧

ε<g∀ ∃

a∈A

a > ε

239.

a∈A∀ a ¬ g

∧

ε<g∀ ∃

a∈A

a > g − ε

240.

a∈A∀ a ¬ g

∧

0<ε<1∀ ∃

a∈Aa > g − ε

241.

a∈A∀ a ¬ g

∧

ε>0∀ ∃

a∈A

a g − ε

242.

a∈A∀ a ¬ g

∧ ∀

ε0 ∃

a∈A

a g − ε

!

243.

a∈A∀ a ¬ g

∧ ∀

ε0 ∃

a∈Aa > g − ε

!

244.

a∈A∀ a ¬ g

∧

a∈A∀ ∃

b∈Ab ^g+a₂

245.

a∈A∃ a ¬ g

∧

a∈A∀ a ¬ g

∧

a∈A∀ ∃

b∈A

b  ^g+a₂

246.

a∈A∃ a² 0

∧

a∈A∀ a ¬ g

∧

a∈A∀ ∃

b∈A

b ^g+a₂

247.

a∈A∃ a ¬ g

∧

ε>0∀ ∃

a∈Aa > g − ε

Zadania do samodzielnego rozwiązania.

Jeśli uda się wygospodarować trochę czasu, wątpliwości związane z tymi zadaniami mogą być wyjaśnione na konwersatorium lub ćwiczeniach.

Zawsze można też skorzystać z konsultacji.

248. W każdym z zadań 248.1-248.13 podaj kresy zbioru oraz określ, czy kresy należą do zbioru.

Kres może być liczbą rzeczywistą lub może być równy −∞ albo +∞.

248.1. A = {x²: x ∈ (−3, 2)}

infA = ... supA = ...

Czy kres dolny należy do zbioru A ... Czy kres górny należy do zbioru A ...

248.2. B = {x³: x ∈ (−3, 2)}

infB = ... supB = ...

Czy kres dolny należy do zbioru B ... Czy kres górny należy do zbioru B ...

(5)

248.3. C =

1

5n − 13: n ∈_N

N= {1,2,3,4,5,...}

infC = ... supC = ...

Czy kres dolny należy do zbioru C ... Czy kres górny należy do zbioru C ...

248.4. D =

(√_n 2

n : n ∈_N

)

infD = ... supD = ...

Czy kres dolny należy do zbioru D ... Czy kres górny należy do zbioru D ...

248.5. E =ⁿn²− 5n : n ∈N o

infE = ... supE = ...

Czy kres dolny należy do zbioru E ... Czy kres górny należy do zbioru E ...

248.6. F =

13ⁿ

n! : n ∈N

infF = ... supF = ...

Czy kres dolny należy do zbioru F ... Czy kres górny należy do zbioru F ...

248.7. G =

−1 2

n

: n ∈_N

infG = ... supG = ...

Czy kres dolny należy do zbioru G ... Czy kres górny należy do zbioru G ...

248.8. H =

1

n + 1− 1

m + 2: m,n ∈N

infH = ... supH = ...

Czy kres dolny należy do zbioru H ... Czy kres górny należy do zbioru H ...

248.9. I =

m

n : m,n ∈_N∧ 2m²< 3n²

infI = ... supI = ...

Czy kres dolny należy do zbioru I ... Czy kres górny należy do zbioru I ...

248.10. J =

m

n : m,n ∈_N∧ 2^m> 3ⁿ

infJ = ... supJ = ...

Czy kres dolny należy do zbioru J ... Czy kres górny należy do zbioru J ...

248.11. K =

mn

m²+ 9n² : m,n ∈_N

infK = ... supK = ...

Czy kres dolny należy do zbioru K ... Czy kres górny należy do zbioru K ...

248.12. L =

(

7n +n! + n²⁰⁰⁹+ 1

n! + n²⁰⁰⁹+ 4: n ∈_N

)

infL = ... supL = ...

Czy kres dolny należy do zbioru L ... Czy kres górny należy do zbioru L ...

248.13. M =

(m + n

p : m,n,p ∈_N∧ m²> 2p² ∧ n²> 3p²

)

infM = ... supM = ...

Czy kres dolny należy do zbioru M ... Czy kres górny należy do zbioru M ...

(6)

249. W każdym z zadań 249.1-249.13 podaj kresy zbioru oraz określ, czy kresy należą do zbioru.

249.1. A =

3 n− 5

m² : m,n ∈_N

N= {1,2,3,4,5,...}

infA = ... supA = ...

249.2. B =

1

n²− 7: n ∈_N

infB = ... supB = ...

249.3. C =

xⁿ: x ∈

−1 2,1

5

∧ n ∈_N

infC = ... supC = ...

249.4. D =ⁿ√

n²+ 3 − n : n ∈_N^o

infD = ... supD = ...

249.5. E = {log₂(2n − 1) − log₂n : n ∈N}

infE = ... supE = ...

249.6. F =

n

3n + 7: n ∈_N

infF = ... supF = ...

Czy kres dolny należy do zbioru F ... Czy kres górny należy do zbioru F ...

249.7. G =

n

3n − 7: n ∈N

infG = ... supG = ...

Czy kres dolny należy do zbioru G ... Czy kres górny należy do zbioru G ...

249.8. H =

100ⁿ

n! : n ∈_N

infH = ... supH = ...

Czy kres dolny należy do zbioru H ... Czy kres górny należy do zbioru H ...

249.9. I =

(100ⁿ

(2n)!: n ∈_N

)

infI = ... supI = ...

Czy kres dolny należy do zbioru I ... Czy kres górny należy do zbioru I ...

249.10. J =

( mn²

m²+ n⁴ : m,n ∈_N

)

infJ = ... supJ = ...

Czy kres dolny należy do zbioru J ... Czy kres górny należy do zbioru J ...

249.11. K = {|x + y| − |x| − |y| : x,y ∈_R}

infK = ... supK = ...

(7)

Czy kres dolny należy do zbioru K ... Czy kres górny należy do zbioru K ...

249.12. L =

1

5ⁿ− 3^m : m,n ∈N

infL = ... supL = ...

Czy kres dolny należy do zbioru L ... Czy kres górny należy do zbioru L ...

249.13. M =

1 +1 n

n

: n ∈N

infM = ... supM = ...

Czy kres dolny należy do zbioru M ... Czy kres górny należy do zbioru M ...

Szeregi liczbowe.

Ćwiczenia 28.11.2011: zad. 250-275 Kolokwium nr 8, 29.11.2011: materiał z zad. 1-275 Ćwiczenia 5.12.2011: zad. 276-301 Kolokwium nr 9, 6.12.2011: materiał z zad. 1-339

Obliczyć S_n=

n

X

k=1

a_k, a następnie znaleźć lim

n→∞S_n : 250. a_k= 1

7^k 251. a_k=2^k+ 5^k 10^k 252. Dowieść, że 4 <

127

X

n=1

1 n< 7.

253. Dowieść, że szereg

∞

X

n=1

1

2ⁿ− 1 jest zbieżny, a jego suma jest mniejsza od 2.

Rozstrzygnąć, czy następujące szeregi są zbieżne 254.

∞

X

n=1

1

n²+ 1 255.

∞

X

n=2

1

n²− 1 256.

∞

X

n=1

1 + n

n²+ 1 257.

∞

X

n=1

2 · 5 · 8 · ... · (3n − 1) 1 · 5 · 9 · ... · (4n − 3) 258.

∞

X

n=1

5n²− 1

n³+ 6n²+ 8n + 47 259.

∞

X

n=1

1 (2n − 1) · 2²ⁿ⁻¹ 260.

∞

X

n=1

1

3n − 1 261.

∞

X

n=1

√ 1

n²+ 2n 262.

∞

X

n=1

1 (n + 1)(n + 4) 263.

∞

X

n=1

1

(2n + 1)! 264.

∞

X

n=1

n²

3ⁿ 265.

∞

X

n=1

(2n − 1)!!

3ⁿ· n! 266.

∞

X

n=1

( n

2n + 1)ⁿ 267.

∞

X

n=2

1 (n − 1)√

n + 1 268.

∞

X

n=1

sn + 1

n 269.

∞

X

n=1

n² n!

270.

∞

X

n=1

n

2n − 1 271.

∞

X

n=1

2ⁿ

n⁴ 272.

∞

X

n=1

√ 1

n²+ n − n 273.

∞

X

n=1

1000ⁿ

10√

n! 274.

∞

X

n=1

3ⁿ

2²ⁿ 275.

∞

X

n=1

n³+ π n^π+ e

Które z następujących szeregów są bezwzględnie zbieżne, które warunkowo zbieżne, a które rozbieżne:

(8)

276.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹

2n − 1 277.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹

n²3ⁿ 278.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ (2n − 1)³ 279.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹n + 1

n 280.

∞

X

n=1

1

q(n + 4)(n + 9) 281.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ· 2¹⁰ⁿ 3²ⁿ 282. 1 − 1 + 1 −1

2−1

2+ 1 −1 3−1

3−1

3+ ... + 1 −1 k−1

k− ... −1

k+ ... ( k razy ) 283. 1 − 1 +1

2−1 4−1

4+1 3−1

9−1 9−1

9+ ... +1 k− 1

k²− 1

k²− ... − 1

k²+ ... ( k razy ) 284.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹n³

2ⁿ 285.

∞

X

n=2

(−1)ⁿ n −√

n 286.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹2ⁿ² n!

287.

∞

X

n=1

2ⁿ+ 17

3ⁿ 288.

∞

X

n=1

√n! + 1

n! 289.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ²

(n + 3)^1/4 290.

∞

X

n=1

n + 2

n(n + 1)(−1)ⁿ 291.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ

√n 1 +(−1)ⁿ

√n

!

292.

∞

X

n=1

2ⁿ n√

4ⁿ+ 3ⁿ 293.

∞

X

n=1

1 n + 5√

n + 27 294.

∞

X

n=1

_2n

n

n! 295.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ

n^1/n 296.

∞

X

n=1

√

n + 2 −√

n(−1)ⁿ

297. Podać przykład takiego szeregu zbieżnego ^P^∞

n=1

a_n o wyrazach dodatnich, że

∞

X

n=1

a_n=

∞

X

n=1

a²_n.

Uzasadnić poprawność podanego przykładu.

298. Podać przykład takiego szeregu zbieżnego

∞

P

n=1

∞

X

n=1

an= 5 oraz

∞

X

n=1

a_n 2ⁿ= 2 . Uzasadnić poprawność podanego przykładu.

n=1

a_n o wyrazach dodatnich, że dla dowolnej liczby naturalnej k zachodzi równość

ak= 2 ·

∞

X

n=k+1

an.

Uzasadnić poprawność podanego przykładu.

n=1

∞

X

n=1

a_n= 1 oraz

∞

X

n=1

a²_n=1 4. Uzasadnić poprawność podanego przykładu.

(9)

n=1

∞

X

n=1

a_n= 1,

∞

X

n=1

a²_n=1

2 oraz

∞

X

n=1

a⁴_n=1 5. Uzasadnić poprawność podanego przykładu.

Kryteria zbieżności szeregów - co każdy student wiedzieć po- winien.

1. Warunek konieczny zbieżności.

Jeżeli szereg

∞

X

n=1

an jest zbieżny, to lim

n→∞an= 0.

Innymi słowy, jeżeli ciąg (a_n) jest rozbieżny lub zbieżny do granicy różnej od zera, to szereg

∞

P

n=1

an jest rozbieżny.

2. Zbieżność szeregu nie zależy od pominięcia lub zmiany skończenie wielu początkowych wyrazów.

Oczywiście zmiana lub pominięcie tych wyrazów ma wpływ na sumę szeregu zbieżne- go.

3. Kryterium porównanwcze.

Niech

∞

X

n=1

an i

∞

P

n=1

bn będą szeregami o wyrazach nieujemnych, przy czym dla każdego n ∈N zachodzi nierówność an¬ bn.

Jeżeli

∞

X

n=1

a_n= ∞, to ^P^∞

n=1

b_n= ∞.

Jeżeli

∞

X

n=1

b_n< ∞, to ^P^∞

n=1

a_n< ∞.

4. Kilka szeregów.

∞

P

n=1

qⁿ jest zbieżny dla |q| < 1, rozbieżny dla pozostałych q.

∞

P

n=1

n^a jest zbieżny dla a < −1, rozbieżny dla pozostałych a.

∞

P

n=2 1

nlog^an jest zbieżny dla a > 1, rozbieżny dla pozostałych a. Logarytm ma dowolną podstawę większą od 1.

5. Kryterium d’Alemberta.

Jeżeli (a_n) jest ciągiem o wyrazach niezerowych oraz istnieje granica

n→∞lim

a_n+1 a_n

= g < 1 , to szereg

∞

P

n=1

an jest zbieżny.

(10)

Jeżeli istnieje granica

n→∞lim

a_n+1 a_n

= g > 1 , to szereg

∞

P

n=1

a_n jest rozbieżny.

6. Zbieżność bezwzględna.

Jeżeli

∞

X

n=1

|a_n| < ∞, to szereg ^P^∞

n=1

a_n jest zbieżny.

7. Szeregi naprzemienne.

Jeżeli (an) jest ciągiem nierosnącym zbieżnym do 0, to szereg

∞

P

n=1

a_n(−1)ⁿ⁺¹ jest zbieżny.

Konwersatorium

Czy istnieje ciąg (a_n) taki, że (podać przykład lub dowieść, że nie istnieje) : 302. a_n> 1

n dla nieskończenie wielu n, ∀

n∈N

a_n> 0, szereg

∞

X

n=1

a_n jest zbieżny.

303. a_n= 1

2ⁿ dla nieskończenie wielu n, ^P^∞

n=1

a_n= 10 . 304. ∀

n∈N

a_n²=1 n,

∞

X

n=1

a_n= 0 . 305. ∀

n∈N

a_n∈_Z, a_n= n dla n ¬ 100, szereg

∞

X

n=1

a_n jest zbieżny.

306. a_n= 1 dla nieskończenie wielu n, szereg

∞

X

n=1

a_n jest zbieżny.

307. Szereg

∞

X

n=1

a_n jest zbieżny, szeregi

∞

X

n=1

a_2n−1 i

∞

X

n=1

a_2n są rozbieżne.

308. Szereg

∞

X

n=1

an jest rozbieżny, szereg

∞

X

n=1

(a2n−1+ a2n) jest zbieżny.

309. Szereg

∞

X

n=1

a_n jest rozbieżny, szereg

∞

X

n=1

(a_2n−1+ a_2n) jest zbieżny, lim

n→∞a_n= 0 . 310. Szereg

∞

X

n=1

∞

X

n=0

(a₂ⁿ+ a₂ⁿ₊₁+ a₂ⁿ₊₂+ ... + a₂ⁿ⁺¹−1) jest zbież- ny, lim

n→∞a_n= 0 . 311. Szeregi

∞

X

n=1

(a2n−1+ a2n) i a1+

∞

X

n=1

(a2n+ a2n+1) są zbieżne, ale mają różne sumy.

312. Szereg

∞

X

n=1

a_n jest zbieżny, szereg

∞

X

n=1

a²_n jest rozbieżny.

(11)

313. Szereg

∞

X

n=1

∞

X

n=1

a²_n jest zbieżny.

314. Szereg ^P^∞

n=1

a_njest zbieżny, a jego suma jest równa S. Czy stąd wynika, że zbieżny jest ciąg (a_n), jeżeli

a) S = 0 b) 0 < S < 1 c) S = 1 d) S > 1

315. Czy możemy stwierdzić, że szereg ^P^∞

n=1

a_n jest rozbieżny, jeżeli wiemy, że a) lim

n→∞a_n=3

4 b) lim

n→∞a_n=7

4 c) lim

n→∞

a_n+1 an

=1

4 d) lim

n→∞

a_n+1 an

=5 4 316. Podać sumę szeregu, jeżeli szereg jest zbieżny.

a)

∞

X

n=1

1

6ⁿ b)

∞

X

n=1

1

(−6)ⁿ c)

∞

X

n=1

1

8ⁿ d)

∞

X

n=1

(−1)ⁿ 8ⁿ 317. Zbadać zbieżność szeregu

∞

X

n=1

_2n

n

· n! · aⁿ

nⁿ

w zależności od parametru rzeczywistego dodatniego a. Dla jednej wartości a można nie udzielić odpowiedzi.

318. Zbadać zbieżność szeregu

∞

X

n=1

(−n)ⁿ (n + 2)ⁿ . 319. Zbadać zbieżność szeregu

∞

X

n=1

(−n)ⁿ (n + 2)ⁿ⁺² . Obliczyć sumę szeregu

320.

∞

X

n=1

(2n + 1) · (−1)ⁿ

n(n + 1) 321.

∞

X

n=1

n (n + 1)!

Wyznaczyć kresy zbiorów 322.

( _N X

n=1

−1 2

n

: N ∈_N

)

323.

( _N X

n=M

−1 2

n

: M,N ∈_N∧ M < N

)

324.

( _∞ X

n=M

−1 2

n

: M ∈_N

)

(12)

Zadania do samodzielnej powtórki.

Jeśli uda się wygospodarować trochę czasu, wątpliwości związane z tymi zadaniami mogą być wyjaśnione na konwersatorium lub ćwiczeniach.

Zawsze można też skorzystać z konsultacji.

325. Rozstrzygnąć zbieżność szeregu

∞

X

n=1

√

n³+ 64 −√

n³+ 1. 326. Rozstrzygnąć zbieżność szeregu

∞

X

n=1

9n⁴− 7n³+ 1 19n⁵− 13n²+ 1 . 327. Rozstrzygnąć zbieżność szeregu

∞

X

n=1

9n⁴− 7n³+ 1 19n⁶− 13n²+ 1 . 328. Rozstrzygnąć zbieżność szeregu

∞

X

n=1

_3n

n

· n! · aⁿ

nⁿ

w zależności od parametru rzeczywistego dodatniego a. Dla jednej wartości a można nie udzielić odpowiedzi.

329. a) Udowodnić zbieżność szeregu

∞

X

n=1

n · (−1)ⁿ 2ⁿ . b) Obliczyć jego sumę.

330. Obliczyć granicę

n→∞lim

n

X

k=1

√n²+ k − n

k .

331. Rozstrzygnąć zbieżność szeregu

∞

X

n=1

(n!)

²⁰⁰⁹

2

ⁿ²

.

332. a) Rozstrzygnąć zbieżność szeregu

∞

X

n=1

n^p n⁴+ n²+ 1 w zależności od parametru rzeczywistego dodatniego p.

b) Obliczyć sumę szeregu w podpunkcie a) dla jednej spośród tych wartości para- metru p, dla których szereg jest zbieżny.

(13)

333. W każdym z poniższych zdań w miejscu kropek postaw jedną z liter Z, R, N:

Z - jest Zbieżny (tzn. musi być zbieżny) R - jest Rozbieżny (tzn. musi być rozbieżny)

N - może być zbieżny lub rozbieżny (tzn. Nie wiadomo, czasem jest zbieżny, a czasem rozbieżny)

a) Jeżeli szereg ^P^∞

n=1

a_n jest zbieżny, to szereg ^P^∞

n=1

|a_n| ...

b) Jeżeli szereg

∞

P

n=1

a_n jest rozbieżny, to szereg

∞

P

n=1

|a_n| ...

c) Jeżeli szereg ^P^∞

n=1

(−1)ⁿa_n ...

d) Jeżeli szereg ^P^∞

n=1

a_n jest rozbieżny, to szereg ^P^∞

n=1

(−1)ⁿa_n ...

e) Jeżeli szereg

∞

P

n=1

an jest zbieżny, to szereg

∞

P

n=1

a2n ...

f ) Jeżeli szereg

∞

P

n=1

∞

P

n=1

a_2n ...

g) Jeżeli szereg ^P^∞

n=1

(1 − a²_n) ...

h) Jeżeli szereg ^P^∞

n=1

∞

P

n=1

(1 − a²_n) ...

i) Jeżeli szereg

∞

P

n=1

a_n jest zbieżny, to szereg

∞

P

n=1

(1 + a²_n) ...

j) Jeżeli szereg ^P^∞

n=1

a_n jest rozbieżny, to szereg ^P^∞

n=1

(1 + a²_n) ...

334. Dane są takie ciągi (a_n) i (b_n), że

ε>0∀ ∀

n20/ε

|an+ 5| < ε oraz ∀

ε>0 ∀

n30/ε

|bn+ 3| < ε .

Niech c_n= a_n− 2b_n. Wskazać odpowiednią liczbę rzeczywistą r oraz liczbę naturalną P i udowodnić, że

ε>0∀ ∀

nP/ε

|c_n+ r| < ε .

335. Obliczyć granicę

n→∞lim





√1

n²+ 1

√n²+ 1+ 1

√n²+ 2+ 1

√n²+ 3+ 1

√n²+ 4+ ... + 1

q(n + 1)²



.

(14)

336. W każdym z zadań 336.1-336.5 podaj kresy zbioru oraz określ, czy kresy należą do zbioru.).

336.1. A =

1

3n − 2+ 1

2m − 3: m,n ∈_N

N= {1,2,3,4,5,...}

infA = ... supA = ...

336.2. B = {log₂(n + 7) − log₂n : n ∈_N}

infB = ... supB = ...

336.3. C =

((n!)²

2⁵ⁿ : n ∈_N

)

infC = ... supC = ...

336.4. D =

(m + n

√mn : m,n ∈_N

)

infD = ... supD = ...

336.5. E =

((−1)ⁿ

n²+ 1 : n ∈N )

infE = ... supE = ...

337. W każdym z zadań 337.1-337.5 podaj kresy zbioru oraz określ, czy kresy należą do zbioru.

337.1. A =

1

n²− 22: n ∈_N

N= {1,2,3,4,5,...}

infA = ... supA = ...

337.2. B =

2n + 1

3n + 1: n ∈_N

infB = ... supB = ...

(15)

337.3. C =

2n + 1

3n + 2: n ∈_N

infC = ... supC = ...

337.4. D = {x − 2y : x,y ∈R ∧ 16 < x ¬ 28 ∧ 3 < y ¬ 4}

infD = ... supD = ...

337.5. E = {|x − y| : x,y ∈_R ∧ 16 < x ¬ 28 ∧ 3 < y ¬ 4}

infE = ... supE = ...

338. Podaj wartości granic.

a) lim

n→∞

n n + 1

= ...

b) lim

n→∞

n n + 2010

= ...

c) lim

n→∞

n 2010n + 1

= ...

d) lim

n→∞

n n + 1

2010

= ...

e) lim

n→∞

n n + 2010

2010

= ...

f ) lim

n→∞

n 2010n + 1

2010

= ...

g) lim

n→∞

n n + 1

n

= ...

h) lim

n→∞

n n + 1

2010n

= ...

i) lim

n→∞

n n + 1

n/2010

= ...

j) lim

n→∞

n n + 1

n²⁰¹⁰

= ...

(16)

339. W każdym z 5 poniższych zadań udziel czterech niezależnych odpowiedzi:

Z - jest Zbieżny (tzn. musi być zbieżny) R - jest Rozbieżny (tzn. musi być rozbieżny)

N - może być zbieżny lub rozbieżny (tzn. Nie wiadomo, czasem jest zbieżny, a czasem rozbieżny)

339.1 Ciąg (a_n) liczb rzeczywistych dodatnich jest zbieżny do liczby rzeczywistej g.

Co można wywnioskować o zbieżności szeregu

∞

X

n=1

a_n, jeżeli wiadomo, że

a) g = 0 b) 0 < g < 1

c) g = 1 d) 1 < g

339.2 O ciągu (a_n) liczb rzeczywistych dodatnich wiadomo, że ciąg

a_n+1 a_n

jest zbieżny do liczby rzeczywistej g. Co można wywnioskować o zbieżności szeregu

∞

X

n=1

a) g = 0 b) 0 < g < 1

c) g = 1 d) 1 < g

339.3 O ciągu (a_n) liczb rzeczywistych dodatnich wiadomo, że ciąg a_n an+1

!

jest zbieżny do liczby rzeczywistej g. Co można wywnioskować o zbieżności szeregu

∞

X

n=1

a) g = 0 b) 0 < g < 1

c) g = 1 d) 1 < g

339.4 Ciąg (a_n) liczb rzeczywistych dodatnich jest zbieżny do liczby rzeczywistej g.

Co można wywnioskować o zbieżności ciągu

a_n+1 a_n

, jeżeli wiadomo, że

a) g = 0 b) 0 < g < 1

c) g = 1 d) 1 < g

339.5 O ciągu (a_n) liczb rzeczywistych wiadomo, że szereg

∞

X

n=1

a_n jest zbieżny i jego sumą jest liczba rzeczywista g. Co można wywnioskować o zbieżności ciągu (a_n), jeżeli wiadomo, że

a) g = 0 b) 0 < g < 1

c) g = 1 d) 1 < g