Kresy zbiorów.

(1)

Sprawdzian nr 4: 24.11.2014 (poniedziałek), godz. 10:15-10:35 (materiał zad. 1-400)

Kresy zbiorów.

Definicja: Zbiór Z ⊂

R

nazywamy ograniczonym z góry, jeżeli

M ∈R∃ ∀

x∈Z

x ¬ M . Każdą liczbę rzeczywistą M ∈

R

spełniającą warunek

x∈Z∀ x ¬ M nazywamy ograniczeniem górnym zbioru Z.

R

nazywamy ograniczonym z dołu, jeżeli

M ∈R∃ ∀

x∈Z

x M . Każdą liczbę rzeczywistą M ∈

R

spełniającą warunek

x∈Z∀ x M nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru Z.

R

nazywamy ograniczonym, jeżeli jest jednocześnie ograniczony z dołu i z góry.

Definicja: Jeżeli niepusty zbiór Z ⊂

R

jest ograniczony z góry, to kresem górnym zbioru Z nazywamy jego najmniejsze ograniczenie górne i stosujemy oznaczenie supZ.

Istnienie takiego najmniejszego ograniczenia wynika z zasady ciągłości Dedekinda. Jeżeli zbiór Z jest nieograniczony z góry, przyjmujemy supZ = +∞. Ponadto przyjmujemy sup∅ = −∞. Analogicznie określamy kres dolny zbioru, oznaczany przez inf Z.

Wniosek: Jeżeli niepusty zbiór Z ⊂

R

jest ograniczony z góry, to liczba G jest jego kresem górnym wtedy i tylko wtedy, gdy

x∈Z∀ x ¬ G oraz

ε>0∀ ∃

x∈Z

x > G − ε .

Ćwiczenia 17.11.2014 (poniedziałek): zad. 240-246, 265-306 Konwersatorium (nr 4) 18.11.2014 (wtorek): zad. 247-264, 307-330

Ćwiczenia 21.11.2014 (piątek): zad. 331-400

Niech A i B będą niepustymi ograniczonymi zbiorami liczb rzeczywistych.

Niech a1= infA , a2= supA , b1= infB , b2= supB. Co można powiedzieć o następujących kresach:

240. inf{−a : a ∈ A} 241. sup{a²: a ∈ A} 242. inf{a²: a ∈ A}

243. sup{a − b : a ∈ A, b ∈ B}

244. Zbiory A i B są niepuste i ograniczone. Zbiór B jest skończony i wszystkie jego elementy są różne od 0. Czy zbiór {^a_b : a ∈ A, b ∈ B} musi być ograniczony? Odpowiedź uzasadnić.

(2)

245. A jest takim niepustym zbiorem ograniczonym liczb rzeczywistych, że

infA = −3, supA = 2. Jakie wartości mogą przyjmować kresy zbioru {|a| : a ∈ A} ? Od- powiedź uzasadnić przykładem lub dowodem.

246. Podać przykład takich zbiorów A, B, że infA = 2, supA = 7, infB = 3, supB = 10, inf(A ∩ B) = 4, sup(A ∩ B) = 6, A ∩

N

^{= B ∩}

N

^{= ∅.}

Przeczytaj poniższe warunki. Które z nich są równoważne temu, że g = supA ? 247.

a∈A∀ a ¬ g

∧

ε>0∀ ∃

a∈Aa < g + ε

248.

a∈A∀ a ¬ g

∧

ε>0∀ ∃

a∈A

|a − g| < ε

249.

a∈A∀ a ¬ g

∧

ε>0∀ ∃

a∈Aa > g − 2ε

250.

a∈A∀ a ¬ g

∧

ε>0∀ ∃

a∈A

a > g −^ε₂

251.

a∈A∀ a ¬ g

∧ ∀

n∈N

a∈A∃

a > g −¹_n

!

252.

a∈A∀ a ¬ g

∧ ∀

n∈N

a∈A∃ n²(g − a) <¹_n

!

253.

a∈A∀ a < g

∧

ε>0∀ ∃

a∈A

(a − g)²< ε

254.

a∈A∀ a ¬ g

∧

ε>0∀ ∃

a∈A(a − g)²< ε

255.

a∈A∀ a ¬ g

∧

ε<g∀ ∃

a∈A

a > ε

256.

a∈A∀ a ¬ g

∧

ε<g∀ ∃

a∈A

a > g − ε

257.

a∈A∀ a ¬ g

∧

0<ε<1∀ ∃

a∈Aa > g − ε

258.

a∈A∀ a ¬ g

∧

ε>0∀ ∃

a∈A

a g − ε

259.

a∈A∀ a ¬ g

∧ ∀

ε0 ∃

a∈A

a g − ε

!

260.

a∈A∀ a ¬ g

∧ ∀

ε0 ∃

a∈Aa > g − ε

!

261.

a∈A∀ a ¬ g

∧

a∈A∀ ∃

b∈Ab ^g+a₂

262.

a∈A∃ a ¬ g

∧

a∈A∀ a ¬ g

∧

a∈A∀ ∃

b∈A

b  ^g+a₂

263.

a∈A∃ a² 0

∧

a∈A∀ a ¬ g

∧

a∈A∀ ∃

b∈A

b ^g+a₂

264.

a∈A∃ a ¬ g

∧

ε>0∀ ∃

a∈Aa > g − ε

(3)

W każdym z pozostałych zadań podaj kresy zbioru oraz określ, czy kresy należą do zbioru.

265. A =

3 n− 5

m² : m,n ∈

N

266. B =

1

n²− 7: n ∈

N

267. C =

xⁿ: x ∈

−1 2,1

5

∧ n ∈

N

268. D =ⁿ√

n²+ 3 − n : n ∈

N

o

269. E = {log₂(2n − 1) − log₂n : n ∈

N

^} 270. F =

n

3n + 7: n ∈

N

271. G =

n

3n − 7: n ∈

N

272. H =

100ⁿ

n! : n ∈

N

273. I =

(100ⁿ

(2n)!: n ∈

N

)

274. J =

( mn²

m²+ n⁴ : m,n ∈

N

)

275. K = {|x + y| − |x| − |y| : x,y ∈

R

^} 276. L =

1

5ⁿ− 3^m: m,n ∈

N

277. M =

((log₂(n²+ 1)) · log₃(n²+ 4)

(log₈(n²+ 4)) · log₉(n²+ 1): n ∈

N

)

278. N =ⁿ√

x²+ 2x + 1 : −5 ¬ x < 3^o 279. O =

1

x²+ 2: x ∈

R

280. P =

(x²+ 1

x²+ 2: x ∈

R

)

281. Q =ⁿx²+ 4x + 4 : x ∈ (−6, 1)^o 282. R =ⁿx²+ 4y + 4 : x,y ∈ (−6, 1)^o 283. S =

(2n²+ 3n + 5

2n²+ 3n + 4: n ∈

N

)

284. T =

(2n²+ 3n + 5

2n²+ 3n + 6: n ∈

N

)

285. U =ⁿx²: x ∈ (−3, 2)^o 286. V =ⁿx³: x ∈ (−3, 2)^o

(4)

287. W =

1

5n − 13: n ∈

N

288. X =

(√_n 2

n : n ∈

N

)

289. Y =ⁿn²− 5n : n ∈

N

o

290. Z =

13ⁿ

n! : n ∈

N

291. A =

−1 2

n

: n ∈

N

292. B =

1

n + 1− 1

m + 2: m,n ∈

N

293. C =

m

n : m,n ∈

N

^{∧ 2m}²^{< 3n}²

294. D =

m

n : m,n ∈

N

^{∧ 2}^m^{> 3}ⁿ

295. E =

mn

m²+ 9n² : m,n ∈

N

296. F =

(

7n +n! + n²⁰⁰⁹+ 1

n! + n²⁰⁰⁹+ 4: n ∈

N

)

297. G =

(m + n

p : m,n,p ∈

N

^{∧ m}²^{> 2p}² ^{∧ n}²^{> 3p}²

)

298. H =ⁿx²: x ∈ (−4, 9)^o 299. I =

n

2n + 3: n ∈

N

300. J =

(n!

5ⁿ: n ∈

N

)

301. K =

( 2008 n

!

: n ∈

N

^{∧ n ¬ 2008}

)

302. L =

n

n + m: m,n ∈

N

303. M =

(1 n−2

3

2

: n ∈

N

)

304. N =ⁿ√

n²+ 2n − n : n ∈

N

o

305. O =ⁿ√ⁿ 3 − ^m√

2 : m,n ∈

N

o

306. P =

7

n− 3m : m,n ∈

N

307. Q =

(m²+ 4n²

mn : m,n ∈

N

)

(5)

308. R =

(m²+ 5n²

mn : m,n ∈

N

)

309. S =

(3m²+ 7n²

mn : m,n ∈

N

)

310. T =ⁿ√

37 − 5ⁿ: n ∈

N

o

311. U =ⁿ√

37 − 6ⁿ: n ∈

N

o

312. V =ⁿ√

37 − 7ⁿ: n ∈

N

o

313. W =ⁿ√

37 − 8ⁿ: n ∈

N

o

314. X =

mn

m²+ n²+ 1: m,n ∈

N

315. Y =

5m − 2n

mn : m,n ∈

N

316. Z =

m

n + 7: m,n ∈

N

317. A =ⁿx²: x ∈ (−2,1)^o 318. B =ⁿx³: x ∈ (−2,1)^o

319. C =ⁿ3x²+ y³: x,y ∈ (−2,1)^o 320. D =ⁿ√

n²+ n − n : n ∈

N

o

321. E =ⁿ√

n²+ n + 1 − n : n ∈

N

o

322. F = {|2 − log₂x| : x ∈ (1,8]}

323. G = {|2 − log₂x| : x ∈ (1,16]}

324. H = {|2 − log₂x| : x ∈ (1,32]}

325. I =

1

3n − 2+ 1

2m − 3: m,n ∈

N

326. J = {log₂(n + 7) − log₂n : n ∈

N

^} 327. K =

((n!)²

2⁵ⁿ : n ∈

N

)

328. L =

(m + n

√mn : m,n ∈

N

)

329. M =

((−1)ⁿ

n²+ 1 : n ∈

N

)

330. N =

1

n²− 22: n ∈

N

331. O =

2n + 1

3n + 1: n ∈

N

332. P =

2n + 1

3n + 2: n ∈

N

(6)

333. Q = {x − 2y : x,y ∈

R

∧ 16 < x ¬ 28 ∧ 3 < y ¬ 4}

334. R = {|x − y| : x,y ∈

R

∧ 16 < x ¬ 28 ∧ 3 < y ¬ 4}

335. S =

1

7n − 30: n ∈

N

336. T =

( 1

(7n − 30)²: n ∈

N

)

337. U =

( 1

(7n − 30)³ : n ∈

N

)

338. V =

( 1

7m − 30+ 1

(7n − 30)² : m,n ∈

N

)

W kolejnych pięciu zadaniach niech fn(x) =

x²− 3 dla x < 2 x − n dla x 2 339. A = {f₂(x) : x ∈ (−1, 4]}

340. B = {f₃(x) : x ∈ (−1, 4]}

341. C = {f₄(x) : x ∈ (−1, 4]}

342. D = {f₅(x) : x ∈ (−1, 4]}

343. E = {f₆(x) : x ∈ (−1, 4]}

344. A =

1

n + 4: n ∈

N

345. B =

1

n + 4− 1

m + 5: m,n ∈

N

346. C =

9ⁿ

n! : n ∈

N

347. D =

((−9)ⁿ

n! : n ∈

N

)

348. E =

1

5n − 2011: n ∈

N

349. F =ⁿx²: x ∈ (−2,1)^o 350. G =ⁿx³: x ∈ (−2,1)^o

351. H =ⁿx²+ y³: x,y ∈ (−2,1)^o 352. I =

1

x²+ 9: x ∈ (−2,1)

353. J =

1

x³+ 9: x ∈ (−2,1)

354. K =

1

x⁴+ 9: x ∈ (−2,1)

355. L =

1

10n − 43: n ∈

N

(7)

356. M =

( 1

(10n − 43)² : n ∈

N

)

357. N =

( 1

(10n − 43)²+ 7: n ∈

N

)

358. O =

((−1)ⁿ

n² : n ∈

N

)

359. P =

(

(−1)ⁿ+(−1)ⁿ

n² : n ∈

N

)

360. Q =

(

(−1)ⁿ−(−1)ⁿ

n² : n ∈

N

)

361. R =

(

(−1)^m−(−1)ⁿ

n² : m,n ∈

N

)

362. S =

m

n : m,n ∈

N

^{∧ m}²^{¬ 8n}²

363. T =

m

n : m,n ∈

N

^{∧ m}²^{¬ 9n}²

364. U =ⁿ√

x²− 4x + 4 : x ∈ (−3,5)^o 365. V =ⁿ√

x²− 4x + 4 : x ∈ (1,4)^o 366. W =

1

n²− 6n + 10: n ∈

N

367. X =

1

n²− 6n + 7: n ∈

N

368. Y =

1

n²− 6n + 4: n ∈

N

369. Z =

m

n : m,n ∈

N

^{∧ 4}ⁿ^{¬ 8}^m^{¬ 12}ⁿ

370. A =

m

n : m,n ∈

N

^{∧ 4}^m^{¬ 8}ⁿ^{¬ 12}^m

371. B =

m

n : 3n²¬ m²¬ 4n²

372. C =

m

n : 4m²¬ n²¬ 5m²

373. D =

m

n : 3ⁿ¬ 2^m¬ 4ⁿ

374. E =

m

n : 4^m¬ 2ⁿ¬ 5^m

375. F =

m

n : 4ⁿ¬

m n

m

¬ 27ⁿ

376. G =

m

n : 25n²¬ m²¬ 27n²

377. H =

m

n : 25n³¬ m³¬ 27n³

(8)

378. I =

m

n : 3ⁿ¬ 8^m¬ 4ⁿ

379. J =

m

n : 3ⁿ¬ 9^m¬ 4ⁿ

380. K =

1

10n − 37: n ∈

N

381. L = {log₂(x + 3) : x ∈ (−1, 5)}

382. M =ⁿlog₃x²+ 2: x ∈ (−1, 5)^o 383. N =ⁿ2^logⁿ³− 3^logⁿ²: n ∈

N

2

o,

N

2= {2,3,4,5,...}

384. O =

(2^logⁿ³

3^logⁿ² : n ∈

N

2

)

385. P =

2²^x2: x ∈

R

386. Q =

2²^−x2: x ∈

R

387. R =

2²^x3: x ∈

R

388. A =ⁿx²+ y²+ z²: x,y,z ∈ (−3,2]ô 389. B =ⁿx²+ y²+ z³: x,y,z ∈ (−3,2]ô 390. C =ⁿx²+ y³+ z³: x,y,z ∈ (−3,2]ô 391. D =ⁿx²− 2x : x ∈ [0,4)ô

392. E =ⁿx²− 4x : x ∈ [0,4)^o 393. F =ⁿx²− 4y : x,y ∈ [0,4)^o

394. G =











1 2013

n

!: n ∈

N

^{∧ n ¬ 2013}











395. H =

( 2013 n

!

− 2014 m

!

: m,n ∈

N

∧ m ¬ 2014 ∧ n ¬ 2013

)

396. I =

1

5n − 37: n ∈

N

397. J =

( 1

(5n − 37)² : n ∈

N

)

398. K =

m

n : m,n ∈

N

^{∧ 5}³^{· n}¹⁵^{¬ m}¹⁵^{¬ 3}⁵^{· n}¹⁵

399. L =

m

n : m,n ∈

N

^{∧ 5}²^{· n}¹⁰^{¬ m}¹⁰^{¬ 2}⁵^{· n}¹⁰

400. M =

m

n : m,n ∈

N

^{∧ 3}²^{· n}⁶^{¬ m}⁶^{¬ 2}³^{· n}⁶