I.6 Zasada nieoznaczoności Heisenberga. Interpretacja probabilistyczna i równanie

I.6 Zasada nieoznaczoności Heisenberga. Interpretacja probabilistyczna i równanie

Schroedingera

Interpretacja probabilistyczna-połączenie opisu korpuskularnego i falowego

Rozważmy doświadczenie mające na celu zlokalizowanie elektronów w kierunku poprzecznym do ich ruchu. W celu ich zlokalizowania użyjemy szczeliny o szerokości ∆x.

Zgodnie z teorią falową elektron po przejściu przez szczelinę podlegnie dyfrakcji, a natężenie fali elektronowej o amplitudzie Ψ będzie proporcjonalne do kwadratu jej amplitudy:

I(r, t)d r = Ψ (r, t) d r ²

Interpretacja probabilistyczna cd.

q _min

∆x x

E

K

R

A

N

Interpretacja probabilistyczna cd.

Natężenie jest proporcjonalne do

prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w objętości d ₃ r dookoła punktu . r

p(r, t)d r ₃ = Ψ ² d r ₃

Zasada nieoznaczoności

Lokalizacja fali elektronowej: kąt pod jakim widzimy 1 minimum dyfrakcyjne

W wyniku dyfrakcji pojawia się więc

składowa poprzeczna, x-owa pędu elektronu.

Ma ona charakter statystyczny, gdyż nie

wiemy o jaki kąt ugnie się konkretny elektron przechodzący przez szczelinę.

sin min

d x

λ λ

θ = = ∆

Zasada nieoznaczoności

q _min

∆x

x ∆p _x ∆x≥h

E

K

R

A

N

Zasada nieoznaczoności cd.

Rozmycie statystyczne x-owej składowej pędu jest nie mniejsze niż p•sinθ _min :

Jest to zasada nieoznaczoności Heisenberga czyli

x min

p x

p p si h

x

x h

n λ

∆ θ

∆

λ ∆

∆

≥ =

≥

Zasada nieoznaczoności a neutrony w

Li

Zasada nieoznaczoności i stany związane

Klasycznie atom wodoru (zagadnienie Keplera, orbita kołowa) Związek między energią cząstki E i odległością od jądra

Naiwnie ale kwantowo, korzystając z zasady nieoznaczoności:

Nieoznaczoność położenia dookoła jądra jest rzędu promienia orbity.

Nieoznaczoność pędu jest rzędu pędu:

r

E e

πε r

= -

æ æ æÆ -•

0

1 2 4

x r

h h

∆ ª

Zasada nieoznaczoności i stany związane cd.

Poszukajmy minimalnej energii:

ł

wynik dok adny=

min

min min

min

h e

E mr r

dE h e

h me r

dr mr r

r h . m

m e m

me

e π πε

πε πε

π ε

ε

ª -

= - + = = - +

= =

= - = -

2 2

2

0

2 2

2 2

3 2 0

0 2

0 9 2

4

2 0

2

2 4

0 4

4

4 2 07 10

1

i 4

Interpretacja probabilistyczna cd.

Natężenie jest proporcjonalne do

prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w objętości d ₃ r dookoła punktu . r

p(r, t)d r ₃ = Ψ ² d r ₃

Obliczanie funkcji falowej – równanie Schroedingera

Argumentacja Schroedingera dla cząstek swobodnych:

1. Chcemy, żeby pakiety falowe spełniały pewne równanie różniczkowe. Oznacza to, że:

– Fale płaskie powinny je spełniać, – Spełniona powinna być zasada superpozycji.

2. Rozwiązania powinny spełniać związek de Broglie’a dla cząstek swobodnych:

Obliczmy

; c z y li

( )

p k

E = m ω = m

2 2

2 2

( ) ^{r, t exp i k r} ( ( ^t ) )

Ψ = ◊ - ω

Równanie Schroedingera cd.

Jak otrzymać p ² /2m?

Ostatecznie dostajemy następujące równanie, które spełniają fale płaskie:

(

) ^{( )}

m

k k k k k

x y z m

Ψ Ψ Ψ

Ψ Ψ Ψ

¥

∂ ∂ ∂

+ + = - + + = - æææÆ -

∂ ∂ ∂

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

( ) ^{r, t} ( )

i r, t

t m

Ψ Ψ

∂ = -

∂

2

2

Równanie Schroedingera cd.

Uogólnienie na przypadek cząstki w potencjale V:

( ^{r , t} ) ( ) ^ˆ

i V r , t H

t m

Ψ Ψ Ψ

∂ ∂ = Ê Á Ë - + ˆ ˜ ¯ =

2

2

Wielkości fizyczne operatorami działającymi na funkcję falową

Żeby ze związku dyspersyjnego przejść do równania Schroedingera musimy zastąpić energię i pęd przez operatory działające na funkcję falową:

2 2

2

E p

2m

E i p

t i

=

 ∂   

→ Ψ

∂ ∇

  Ψ = −

→ ∇ Ψ

 ∂   

   

G =

=

=