Zasada nieoznaczoności

Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice

http://kk.us.edu.pl 22 kwietnia 2020

Pokazaliśmy, że operatory położeniaxi, i = 1, 2, 3 i pędu p_j = −i~∂

∂xj

, j = 1, 2, 3

spełniają następujące relacje komutacji

[xi, pj] = i~δij, [xi, xj] = [pi, pj] = 0.

Pokazaliśmy, że operatory położeniaxi, i = 1, 2, 3 i pędu p_j = −i~∂

∂xj

, j = 1, 2, 3

spełniają następujące relacje komutacji

[xi, pj] = i~δij, [xi, xj] = [pi, pj] = 0.

Dla poszczególnych składowych położenia i pędu z pierwszej relacji otrzymamy

[x, p_x] = i~, [x, p_y] = [x, p_z] = 0, [y , p_y] = i~, [y , p_x] = [y , p_z] = 0, [z, pz] = i~, [z, px] = [z, py] = 0.

Pokazaliśmy, że operatory położeniaxi, i = 1, 2, 3 i pędu p_j = −i~∂

∂xj

, j = 1, 2, 3

spełniają następujące relacje komutacji

[xi, pj] = i~δij, [xi, xj] = [pi, pj] = 0.

Dla poszczególnych składowych położenia i pędu z pierwszej relacji otrzymamy

[x, p_x] = i~, [x, p_y] = [x, p_z] = 0, [y , p_y] = i~, [y , p_x] = [y , p_z] = 0, [z, pz] = i~, [z, px] = [z, py] = 0.

Przypomnijmy również relacje komutacji z operatorem orbitalnego momentu pędu

[Li, xj] = i~εijkx_k, [Li, pj] = i~εijkp_k, [L_i, L_j] = i~ε_ijkL_k, ^h~L², L_iⁱ= 0.

Zauważmy, że prawe strony w pierwszych trzech relacjach znikają dla i = j, natomiast w pozostałych przypadkach będą na ogół niezerowe.

Przypomnijmy również relacje komutacji z operatorem orbitalnego momentu pędu

[Li, xj] = i~εijkx_k, [Li, pj] = i~εijkp_k, [L_i, L_j] = i~ε_ijkL_k, ^h~L², L_iⁱ= 0.

Zauważmy, że prawe strony w pierwszych trzech relacjach znikają dla i = j, natomiast w pozostałych przypadkach będą na ogół niezerowe.

Np. dla i = 1 i j = 2 mają one postać

[L1, x2] = i~x3, [L1, p2] = i~p3, [L1, L2] = i~L3.

Przypomnijmy również relacje komutacji z operatorem orbitalnego momentu pędu

[Li, xj] = i~εijkx_k, [Li, pj] = i~εijkp_k, [L_i, L_j] = i~ε_ijkL_k, ^h~L², L_iⁱ= 0.

Zauważmy, że prawe strony w pierwszych trzech relacjach znikają dla i = j, natomiast w pozostałych przypadkach będą na ogół niezerowe.

Np. dla i = 1 i j = 2 mają one postać

[L1, x2] = i~x3, [L1, p2] = i~p3, [L1, L2] = i~L3. Po prawej stronie każdej z nich występuje operator liniowy.

Przypomnijmy również relacje komutacji z operatorem orbitalnego momentu pędu

[Li, xj] = i~εijkx_k, [Li, pj] = i~εijkp_k, [L_i, L_j] = i~ε_ijkL_k, ^h~L², L_iⁱ= 0.

Zauważmy, że prawe strony w pierwszych trzech relacjach znikają dla i = j, natomiast w pozostałych przypadkach będą na ogół niezerowe.

Np. dla i = 1 i j = 2 mają one postać

[L1, x2] = i~x3, [L1, p2] = i~p3, [L1, L2] = i~L3. Po prawej stronie każdej z nich występuje operator liniowy.

Przypomnijmy, że z postulatów interpretacyjnych mechaniki kwantowej wynika, żejeśli dwie obserwable komutują, to są jednocześnie mierzalne.

Przeanalizujmy teraz sytuację, w której obserwable nie komutują.

Przypomnijmy, że z postulatów interpretacyjnych mechaniki kwantowej wynika, żejeśli dwie obserwable komutują, to są jednocześnie mierzalne.

Przeanalizujmy teraz sytuację, w której obserwable nie komutują.

Załóżmy, że liniowe operatory A i B są hermitowskie i spełniają relację komutacji

[A, B] = iC ,

gdzie C jest operatorem liniowym.

Pokażemy, że relacja ta prowadzi do następującej relacji nieoznaczoności

∆A ∆B ­ |hC i|

2 ,

Załóżmy, że liniowe operatory A i B są hermitowskie i spełniają relację komutacji

[A, B] = iC ,

gdzie C jest operatorem liniowym.

Pokażemy, że relacja ta prowadzi do następującej relacji nieoznaczoności

∆A ∆B ­ |hC i|

2 ,

gdzie hC i oznacza wartość oczekiwaną operatora C ,

Załóżmy, że liniowe operatory A i B są hermitowskie i spełniają relację komutacji

[A, B] = iC ,

gdzie C jest operatorem liniowym.

Pokażemy, że relacja ta prowadzi do następującej relacji nieoznaczoności

∆A ∆B ­ |hC i|

2 ,

gdzie hC i oznacza wartość oczekiwaną operatora C ,

a∆Aoznacza średnieodchylenie standardowe, zdefiniowane jako pierwiastek z wariancji

∆A ≡^D(A − hAi)^2E

1/2

.

a∆Aoznacza średnieodchylenie standardowe, zdefiniowane jako pierwiastek z wariancji

∆A ≡^D(A − hAi)^2E

1/2

.

Np, jeśli liniowe operatory A i B są hermitowskie i spełniają relację komutacji

[A, B] = i~,

a∆Aoznacza średnieodchylenie standardowe, zdefiniowane jako pierwiastek z wariancji

∆A ≡^D(A − hAi)^2E

1/2

.

Np, jeśli liniowe operatory A i B są hermitowskie i spełniają relację komutacji

[A, B] = i~,

a więc operator C jest stałą, równą ~,

a∆Aoznacza średnieodchylenie standardowe, zdefiniowane jako pierwiastek z wariancji

∆A ≡^D(A − hAi)^2E

1/2

.

Np, jeśli liniowe operatory A i B są hermitowskie i spełniają relację komutacji

[A, B] = i~,

a więc operator C jest stałą, równą ~,to hC i = h~i = ~

a∆Aoznacza średnieodchylenie standardowe, zdefiniowane jako pierwiastek z wariancji

∆A ≡^D(A − hAi)^2E

1/2

.

Np, jeśli liniowe operatory A i B są hermitowskie i spełniają relację komutacji

[A, B] = i~,

a więc operator C jest stałą, równą ~, tohC i = h~i = ~ i jest spełniona następująca relacja nieoznaczoności Heisenberga

∆A ∆B ­ ~ 2.

a∆Aoznacza średnieodchylenie standardowe, zdefiniowane jako pierwiastek z wariancji

∆A ≡^D(A − hAi)^2E

1/2

.

Np, jeśli liniowe operatory A i B są hermitowskie i spełniają relację komutacji

[A, B] = i~,

a więc operator C jest stałą, równą ~, tohC i = h~i = ~ i jest spełniona następująca relacja nieoznaczoności Heisenberga

∆A ∆B ­ ~ 2.

Przypomnijmy, że wartość oczekiwaną operatora A reprezentującego pewną zmienną dynamiczną w stanie kwantowomechanicznym |ψi definiujemy następująco

hAi ≡ hψ |A| ψi = (ψ|Aψ) .

Korzystając z własności wartości oczekiwanej wariancję operatora Amożemy zapisać w formie

D(A − hAi)^2E =

Przypomnijmy, że wartość oczekiwaną operatora A reprezentującego pewną zmienną dynamiczną w stanie kwantowomechanicznym |ψi definiujemy następująco

hAi ≡ hψ |A| ψi = (ψ|Aψ) .

Korzystając z własności wartości oczekiwanej wariancję operatora Amożemy zapisać w formie

D(A − hAi)^2E = ^DA²− 2 hAi A + hAi^2E

Przypomnijmy, że wartość oczekiwaną operatora A reprezentującego pewną zmienną dynamiczną w stanie kwantowomechanicznym |ψi definiujemy następująco

hAi ≡ hψ |A| ψi = (ψ|Aψ) .

Korzystając z własności wartości oczekiwanej wariancję operatora Amożemy zapisać w formie

D(A − hAi)^2E = ^DA²− 2 hAi A + hAi^2E

=

Przypomnijmy, że wartość oczekiwaną operatora A reprezentującego pewną zmienną dynamiczną w stanie kwantowomechanicznym |ψi definiujemy następująco

hAi ≡ hψ |A| ψi = (ψ|Aψ) .

Korzystając z własności wartości oczekiwanej wariancję operatora Amożemy zapisać w formie

D(A − hAi)^2E = ^DA²− 2 hAi A + hAi^2E

= ^DA^2E− 2 hAi hAi + hAi² =

Przypomnijmy, że wartość oczekiwaną operatora A reprezentującego pewną zmienną dynamiczną w stanie kwantowomechanicznym |ψi definiujemy następująco

hAi ≡ hψ |A| ψi = (ψ|Aψ) .

Korzystając z własności wartości oczekiwanej wariancję operatora Amożemy zapisać w formie

D(A − hAi)^2E = ^DA²− 2 hAi A + hAi^2E

= ^DA^2E− 2 hAi hAi + hAi² =^DA^2E− hAi²,

Przypomnijmy, że wartość oczekiwaną operatora A reprezentującego pewną zmienną dynamiczną w stanie kwantowomechanicznym |ψi definiujemy następująco

hAi ≡ hψ |A| ψi = (ψ|Aψ) .

Korzystając z własności wartości oczekiwanej wariancję operatora Amożemy zapisać w formie

D(A − hAi)^2E = ^DA²− 2 hAi A + hAi^2E

= ^DA^2E− 2 hAi hAi + hAi² =^DA^2E− hAi², a zatem

(∆A)² =

Przypomnijmy, że wartość oczekiwaną operatora A reprezentującego pewną zmienną dynamiczną w stanie kwantowomechanicznym |ψi definiujemy następująco

hAi ≡ hψ |A| ψi = (ψ|Aψ) .

Korzystając z własności wartości oczekiwanej wariancję operatora Amożemy zapisać w formie

D(A − hAi)^2E = ^DA²− 2 hAi A + hAi^2E

= ^DA^2E− 2 hAi hAi + hAi² =^DA^2E− hAi², a zatem

(∆A)² = ^D(A − hAi)^2E=

Przypomnijmy, że wartość oczekiwaną operatora A reprezentującego pewną zmienną dynamiczną w stanie kwantowomechanicznym |ψi definiujemy następująco

hAi ≡ hψ |A| ψi = (ψ|Aψ) .

Korzystając z własności wartości oczekiwanej wariancję operatora Amożemy zapisać w formie

D(A − hAi)^2E = ^DA²− 2 hAi A + hAi^2E

= ^DA^2E− 2 hAi hAi + hAi² =^DA^2E− hAi², a zatem

(∆A)² = ^D(A − hAi)^2E= ^DA^2E− hAi².

Przypomnijmy, że wartość oczekiwaną operatora A reprezentującego pewną zmienną dynamiczną w stanie kwantowomechanicznym |ψi definiujemy następująco

hAi ≡ hψ |A| ψi = (ψ|Aψ) .

Korzystając z własności wartości oczekiwanej wariancję operatora Amożemy zapisać w formie

D(A − hAi)^2E = ^DA²− 2 hAi A + hAi^2E

= ^DA^2E− 2 hAi hAi + hAi² =^DA^2E− hAi², a zatem

(∆A)² = ^D(A − hAi)^2E= ^DA^2E− hAi².

Zdefiniujmy operatory liniowe

A¯≡ A − hAi , B¯ ≡ B − hBi .

Operatory ¯A i ¯B są hermitowskie i spełniają taką samą relację komutacji co operatory A i B

hA, ¯¯ Bⁱ= iC .

Zdefiniujmy operatory liniowe

A¯≡ A − hAi , B¯ ≡ B − hBi .

Operatory ¯A i ¯B są hermitowskie i spełniają taką samą relację komutacji co operatory A i B

hA, ¯¯ Bⁱ= iC .

Rzeczywiście A¯^†=

Zdefiniujmy operatory liniowe

A¯≡ A − hAi , B¯ ≡ B − hBi .

Operatory ¯A i ¯B są hermitowskie i spełniają taką samą relację komutacji co operatory A i B

hA, ¯¯ Bⁱ= iC .

Rzeczywiście

A¯^†= (A − hAi)^†=

Zdefiniujmy operatory liniowe

A¯≡ A − hAi , B¯ ≡ B − hBi .

Operatory ¯A i ¯B są hermitowskie i spełniają taką samą relację komutacji co operatory A i B

hA, ¯¯ Bⁱ= iC .

Rzeczywiście

A¯^†= (A − hAi)^†=A^†− hAi^∗ =

Zdefiniujmy operatory liniowe

A¯≡ A − hAi , B¯ ≡ B − hBi .

Operatory ¯A i ¯B są hermitowskie i spełniają taką samą relację komutacji co operatory A i B

hA, ¯¯ Bⁱ= iC .

Rzeczywiście

A¯^†= (A − hAi)^†= A^†− hAi^∗ =A− hAi =

Zdefiniujmy operatory liniowe

A¯≡ A − hAi , B¯ ≡ B − hBi .

Operatory ¯A i ¯B są hermitowskie i spełniają taką samą relację komutacji co operatory A i B

hA, ¯¯ Bⁱ= iC .

Rzeczywiście

A¯^†= (A − hAi)^†= A^†− hAi^∗ = A − hAi =A,¯

Zdefiniujmy operatory liniowe

A¯≡ A − hAi , B¯ ≡ B − hBi .

Operatory ¯A i ¯B są hermitowskie i spełniają taką samą relację komutacji co operatory A i B

hA, ¯¯ Bⁱ= iC .

Rzeczywiście

A¯^†= (A − hAi)^†= A^†− hAi^∗ = A − hAi =A,¯ gdyż operatorAjest hermitowski ihAi jest liczbą rzeczywistą.

Zdefiniujmy operatory liniowe

A¯≡ A − hAi , B¯ ≡ B − hBi .

Operatory ¯A i ¯B są hermitowskie i spełniają taką samą relację komutacji co operatory A i B

hA, ¯¯ Bⁱ= iC .

Rzeczywiście

A¯^†= (A − hAi)^†= A^†− hAi^∗ = A − hAi =A,¯ gdyż operatorAjest hermitowski ihAi jest liczbą rzeczywistą.

Obliczmy

hA, ¯¯ Bⁱ= [A − hAi , B − hBi]

Skorzystajmy z liniowości komutatora

Obliczmy

hA, ¯¯ Bⁱ= [A − hAi , B − hBi]

Skorzystajmy z liniowości komutatora

= [A, B] − [A, hBi]

| {z }

0

− [hAi , B]

| {z }

0

+ [hAi , hBi]

| {z }

0

=

Obliczmy

hA, ¯¯ Bⁱ= [A − hAi , B − hBi]

Skorzystajmy z liniowości komutatora

= [A, B] − [A, hBi]

| {z }

0

− [hAi , B]

| {z }

0

+ [hAi , hBi]

| {z }

0

= [A, B] =

Obliczmy

hA, ¯¯ Bⁱ= [A − hAi , B − hBi]

Skorzystajmy z liniowości komutatora

= [A, B] − [A, hBi]

| {z }

0

− [hAi , B]

| {z }

0

+ [hAi , hBi]

| {z }

0

= [A, B] =iC,

Obliczmy

hA, ¯¯ Bⁱ= [A − hAi , B − hBi]

Skorzystajmy z liniowości komutatora

= [A, B] − [A, hBi]

| {z }

0

− [hAi , B]

| {z }

0

+ [hAi , hBi]

| {z }

0

= [A, B] =iC,

Skorzystajmy z nierówności Schwarza kϕk kχk ­ |(ϕ|χ)| ,

która jest spełniona dla dowolnych funkcji ϕ i χ z przestrzeni Hilberta.

Obliczmy

hA, ¯¯ Bⁱ= [A − hAi , B − hBi]

Skorzystajmy z liniowości komutatora

= [A, B] − [A, hBi]

| {z }

0

− [hAi , B]

| {z }

0

+ [hAi , hBi]

| {z }

0

= [A, B] =iC,

Skorzystajmy z nierówności Schwarza kϕk kχk ­ |(ϕ|χ)| ,

która jest spełniona dla dowolnych funkcji ϕ i χ z przestrzeni Hilberta.

Wybierzmy ϕ = ¯Aψ, χ = ¯Bψ i podnieśmy do kwadratu obie strony nierówności, wówczas otrzymamy

k ¯Aψk² k ¯Bψk² ­ ^Aψ| ¯¯ Bψ^

2

.

Przekształćmy prawą stronę nierówności 

Aψ| ¯¯ Bψ^

2

=

Wybierzmy ϕ = ¯Aψ, χ = ¯Bψ i podnieśmy do kwadratu obie strony nierówności, wówczas otrzymamy

k ¯Aψk² k ¯Bψk² ­ ^Aψ| ¯¯ Bψ^

2

.

Przekształćmy prawą stronę nierówności 

Aψ| ¯¯ Bψ^

2

= ^ψ| ¯A ¯Bψ^

2

Wybierzmy ϕ = ¯Aψ, χ = ¯Bψ i podnieśmy do kwadratu obie strony nierówności, wówczas otrzymamy

k ¯Aψk² k ¯Bψk² ­ ^Aψ| ¯¯ Bψ^

2

.

Przekształćmy prawą stronę nierówności 

Aψ| ¯¯ Bψ^

2

= ^ψ| ¯A ¯Bψ^

2

≡^DA ¯¯B^E

2

=

Wybierzmy ϕ = ¯Aψ, χ = ¯Bψ i podnieśmy do kwadratu obie strony nierówności, wówczas otrzymamy

k ¯Aψk² k ¯Bψk² ­ ^Aψ| ¯¯ Bψ^

2

.

Przekształćmy prawą stronę nierówności 

Aψ| ¯¯ Bψ^

2

= ^ψ| ¯A ¯Bψ^

2

≡^DA ¯¯B^E

2

= ^DA ¯¯B^E∗DA ¯¯B^E.

Wybierzmy ϕ = ¯Aψ, χ = ¯Bψ i podnieśmy do kwadratu obie strony nierówności, wówczas otrzymamy

k ¯Aψk² k ¯Bψk² ­ ^Aψ| ¯¯ Bψ^

2

.

Przekształćmy prawą stronę nierówności 

Aψ| ¯¯ Bψ^

2

= ^ψ| ¯A ¯Bψ^

2

≡^DA ¯¯B^E

2

= ^DA ¯¯B^E∗DA ¯¯B^E.

Zauważmy, że

DA ¯¯B^E∗= ^ψ| ¯A ¯Bψ^∗ =

Zauważmy, że

DA ¯¯B^E∗= ^ψ| ¯A ¯Bψ^∗ = ^Aψ| ¯¯ Bψ^∗ =

Zauważmy, że

DA ¯¯B^E∗= ^ψ| ¯A ¯Bψ^∗ = ^Aψ| ¯¯ Bψ^∗ = ^B ¯¯Aψ|ψ^∗=

Zauważmy, że

DA ¯¯B^E∗= ^ψ| ¯A ¯Bψ^∗ = ^Aψ| ¯¯ Bψ^∗ = ^B ¯¯Aψ|ψ^∗= ^ψ| ¯B ¯Aψ^=

Zauważmy, że

DA ¯¯B^E∗= ^ψ| ¯A ¯Bψ^∗ = ^Aψ| ¯¯ Bψ^∗ = ^B ¯¯Aψ|ψ^∗= ^ψ| ¯B ¯Aψ^=^DB ¯¯A^E,

Zauważmy, że

DA ¯¯B^E∗= ^ψ| ¯A ¯Bψ^∗ = ^Aψ| ¯¯ Bψ^∗ = ^B ¯¯Aψ|ψ^∗= ^ψ| ¯B ¯Aψ^=^DB ¯¯A^E, gdzie skorzystaliśmy kolejno z hermitowskości operatorów A i B

Zauważmy, że

DA ¯¯B^E∗= ^ψ| ¯A ¯Bψ^∗ = ^Aψ| ¯¯ Bψ^∗ = ^B ¯¯Aψ|ψ^∗= ^ψ| ¯B ¯Aψ^=^DB ¯¯A^E, gdzie skorzystaliśmy kolejno z hermitowskości operatorów A i B

oraz z definicyjnej własności iloczynu skalarnego (sprzęgamy przy przestawieniu argumentów).

Zauważmy, że

DA ¯¯B^E∗= ^ψ| ¯A ¯Bψ^∗ = ^Aψ| ¯¯ Bψ^∗ = ^B ¯¯Aψ|ψ^∗= ^ψ| ¯B ¯Aψ^=^DB ¯¯A^E, gdzie skorzystaliśmy kolejno z hermitowskości operatorów A i B

oraz z definicyjnej własności iloczynu skalarnego (sprzęgamy przy przestawieniu argumentów).Zauważmy, że

DA ¯¯B^E=

Zauważmy, że

DA ¯¯B^E∗= ^ψ| ¯A ¯Bψ^∗ = ^Aψ| ¯¯ Bψ^∗ = ^B ¯¯Aψ|ψ^∗= ^ψ| ¯B ¯Aψ^=^DB ¯¯A^E, gdzie skorzystaliśmy kolejno z hermitowskości operatorów A i B

oraz z definicyjnej własności iloczynu skalarnego (sprzęgamy przy przestawieniu argumentów). Zauważmy, że

DA ¯¯B^E= 1 2

DA ¯¯B− ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E,

Zauważmy, że

DA ¯¯B^E∗= ^ψ| ¯A ¯Bψ^∗ = ^Aψ| ¯¯ Bψ^∗ = ^B ¯¯Aψ|ψ^∗= ^ψ| ¯B ¯Aψ^=^DB ¯¯A^E, gdzie skorzystaliśmy kolejno z hermitowskości operatorów A i B

oraz z definicyjnej własności iloczynu skalarnego (sprzęgamy przy przestawieniu argumentów). Zauważmy, że

DA ¯¯B^E= 1 2

DA ¯¯B− ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E, a zatem

DA ¯¯B^E

2

=

Zauważmy, że

DA ¯¯B^E∗= ^ψ| ¯A ¯Bψ^∗ = ^Aψ| ¯¯ Bψ^∗ = ^B ¯¯Aψ|ψ^∗= ^ψ| ¯B ¯Aψ^=^DB ¯¯A^E, gdzie skorzystaliśmy kolejno z hermitowskości operatorów A i B

oraz z definicyjnej własności iloczynu skalarnego (sprzęgamy przy przestawieniu argumentów). Zauważmy, że

DA ¯¯B^E= 1 2

DA ¯¯B− ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E, a zatem

DA ¯¯B^E

2

= ^DA ¯¯B^E∗DA ¯¯B^E

Zauważmy, że

DA ¯¯B^E∗= ^ψ| ¯A ¯Bψ^∗ = ^Aψ| ¯¯ Bψ^∗ = ^B ¯¯Aψ|ψ^∗= ^ψ| ¯B ¯Aψ^=^DB ¯¯A^E, gdzie skorzystaliśmy kolejno z hermitowskości operatorów A i B

oraz z definicyjnej własności iloczynu skalarnego (sprzęgamy przy przestawieniu argumentów). Zauważmy, że

DA ¯¯B^E= 1 2

DA ¯¯B− ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E, a zatem

DA ¯¯B^E

2

= ^DA ¯¯B^E∗DA ¯¯B^E

=

Zauważmy, że

DA ¯¯B^E∗= ^ψ| ¯A ¯Bψ^∗ = ^Aψ| ¯¯ Bψ^∗ = ^B ¯¯Aψ|ψ^∗= ^ψ| ¯B ¯Aψ^=^DB ¯¯A^E, gdzie skorzystaliśmy kolejno z hermitowskości operatorów A i B

oraz z definicyjnej własności iloczynu skalarnego (sprzęgamy przy przestawieniu argumentów). Zauważmy, że

DA ¯¯B^E= 1 2

DA ¯¯B− ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E, a zatem

DA ¯¯B^E

2

= ^DA ¯¯B^E∗DA ¯¯B^E

= 1 2

DA ¯¯B− ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E∗ 1 2

DA ¯¯B− ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E

Zauważmy, że

DA ¯¯B^E∗= ^ψ| ¯A ¯Bψ^∗ = ^Aψ| ¯¯ Bψ^∗ = ^B ¯¯Aψ|ψ^∗= ^ψ| ¯B ¯Aψ^=^DB ¯¯A^E, gdzie skorzystaliśmy kolejno z hermitowskości operatorów A i B

oraz z definicyjnej własności iloczynu skalarnego (sprzęgamy przy przestawieniu argumentów). Zauważmy, że

DA ¯¯B^E= 1 2

DA ¯¯B− ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E, a zatem

DA ¯¯B^E

2

= ^DA ¯¯B^E∗DA ¯¯B^E

= 1 2

DA ¯¯B− ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E∗ 1 2

DA ¯¯B− ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E

DA ¯¯B− ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B− ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E

= ^DA ¯¯B− ¯B ¯A^E

2

+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E

2

DA ¯¯B− ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B− ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E

= ^DA ¯¯B− ¯B ¯A^E

2

+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E

2

+

DA ¯¯B− ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B− ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E

= ^DA ¯¯B− ¯B ¯A^E

2

+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E

2

+ ^DA ¯¯B− ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B− ¯B ¯A^E

| {z }

0

DA ¯¯B− ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B− ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E

= ^DA ¯¯B− ¯B ¯A^E

2

+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E

2

+ ^DA ¯¯B− ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B− ¯B ¯A^E

| {z }

0

Rzeczywiście

DA ¯¯B− ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B− ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E

= ^DA ¯¯B− ¯B ¯A^E

2

+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E

2

+ ^DA ¯¯B− ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B− ¯B ¯A^E

| {z }

0

Rzeczywiście

DA ¯¯B− ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B− ¯B ¯A^E

DA ¯¯B− ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B− ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E

= ^DA ¯¯B− ¯B ¯A^E

2

+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E

2

+ ^DA ¯¯B− ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B− ¯B ¯A^E

| {z }

0

Rzeczywiście

DA ¯¯B− ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B− ¯B ¯A^E

=

DA ¯¯B− ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B− ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E

= ^DA ¯¯B− ¯B ¯A^E

2

+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E

2

+ ^DA ¯¯B− ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B− ¯B ¯A^E

| {z }

0

Rzeczywiście

DA ¯¯B− ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B− ¯B ¯A^E

= 2^DA ¯¯B^E

2

− 2^DB ¯¯A^E

2

+^DA ¯¯B^E∗DB ¯¯A^E

−^DB ¯¯A^E∗DA ¯¯B^E−^DA ¯¯B^E∗DB ¯¯A^E+^DB ¯¯A^E∗DA ¯¯B^E

DA ¯¯B− ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B− ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E

= ^DA ¯¯B− ¯B ¯A^E

2

+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E

2

+ ^DA ¯¯B− ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B− ¯B ¯A^E

| {z }

0

Rzeczywiście

DA ¯¯B− ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B− ¯B ¯A^E

= 2^DA ¯¯B^E

2

− 2^DB ¯¯A^E

2

+^DA ¯¯B^E∗DB ¯¯A^E

−^DB ¯¯A^E∗DA ¯¯B^E−^DA ¯¯B^E∗DB ¯¯A^E+^DB ¯¯A^E∗DA ¯¯B^E= 0,

DA ¯¯B− ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B− ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E

= ^DA ¯¯B− ¯B ¯A^E

2

+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E

2

+ ^DA ¯¯B− ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B− ¯B ¯A^E

| {z }

0

Rzeczywiście

DA ¯¯B− ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B− ¯B ¯A^E

= 2^DA ¯¯B^E

2

− 2^DB ¯¯A^E

2

+^DA ¯¯B^E∗DB ¯¯A^E

−^DB ¯¯A^E∗DA ¯¯B^E−^DA ¯¯B^E∗DB ¯¯A^E+^DB ¯¯A^E∗DA ¯¯B^E= 0,

DA ¯¯B− ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B− ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E

= ^DA ¯¯B− ¯B ¯A^E

2

+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E

2

+ ^DA ¯¯B− ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B− ¯B ¯A^E

| {z }

0

Rzeczywiście

DA ¯¯B− ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B− ¯B ¯A^E

= 2^DA ¯¯B^E

2

− 2^DB ¯¯A^E

2

+^DA ¯¯B^E∗DB ¯¯A^E

−^DB ¯¯A^E∗DA ¯¯B^E−^DA ¯¯B^E∗DB ¯¯A^E+^DB ¯¯A^E∗DA ¯¯B^E= 0,

DA ¯¯B− ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B− ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E

= ^DA ¯¯B− ¯B ¯A^E

2

+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E

2

+ ^DA ¯¯B− ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B− ¯B ¯A^E

| {z }

0

Rzeczywiście

DA ¯¯B− ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B− ¯B ¯A^E

= 2^DA ¯¯B^E

2

− 2^DB ¯¯A^E

2

+^DA ¯¯B^E∗DB ¯¯A^E

−^DB ¯¯A^E∗DA ¯¯B^E−^DA ¯¯B^E∗DB ¯¯A^E+^DB ¯¯A^E∗DA ¯¯B^E= 0,

DA ¯¯B− ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B− ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E

= ^DA ¯¯B− ¯B ¯A^E

2

+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E

2

+ ^DA ¯¯B− ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B− ¯B ¯A^E

| {z }

0

Rzeczywiście

DA ¯¯B− ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E∗DA ¯¯B− ¯B ¯A^E

= 2^DA ¯¯B^E

2

− 2^DB ¯¯A^E

2

+^DA ¯¯B^E∗DB ¯¯A^E

−^DB ¯¯A^E∗DA ¯¯B^E−^DA ¯¯B^E∗DB ¯¯A^E+^DB ¯¯A^E∗DA ¯¯B^E= 0,

k ¯Aψk²k ¯Bψk² ­ ^Aψ| ¯¯ Bψ^

2

=

k ¯Aψk²k ¯Bψk² ­ ^Aψ| ¯¯ Bψ^

2

=^DA ¯¯B^E

2

k ¯Aψk²k ¯Bψk² ­ ^Aψ| ¯¯ Bψ^

2

=^DA ¯¯B^E

2

=

k ¯Aψk²k ¯Bψk² ­ ^Aψ| ¯¯ Bψ^

2

=^DA ¯¯B^E

2

= 1 4

 

DA ¯¯B− ¯B ¯A^E

2

+^DA ¯¯B+ ¯B ¯A^E

2

­1 4  

DA ¯¯B− ¯B ¯A^E

2