Linia ugięcia belki, warunek sztywności, metoda Clebscha

Wytrzymałość Materiałów

Ugięcia belek

Linia ugięcia belki, warunek sztywności, metoda Clebscha

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

dr hab. inż. Kinga Nalepka B2, III p., pok. 312

e-mail: knalepka@agh.edu.pl tel. 12 617 30 98

Linia ugięcia

Zginanie proste i poprzeczne

Linia ugięcia belki – ugięta oś belki

ugięta powierzchnia obojętna

Zginanie proste

Zginanie poprzeczne

′ – promień krzywizny linii ugięcia

Krzywizna linii ugięcia: 1

·

- linia ugięcia

– strzałka ugięcia: maksymalna bezwzględna wartość ugięcia

Krzywizna linii ugięcia: 1

· Krzywizna

funkcji :

1 ′′

1 ′

Zginanie proste

Warunek bezpieczeństwa

- dopuszczalne

przemieszczenie

Równanie różniczkowe linii ugięcia Kąt ugięcia

Zgodnie z liniową teorią sprężystości rozważamy małe przemieszczenia punktów belki (względem jej długości) oraz małe pochodne przemieszczeń:

′ ≅ 0

⇒ ′′ ·

· ′′

1 ′

Eliminując krzywiznę otrzymujemy związek:

Ostateczny związek linii ugięcia z momentem zginającym:

$ %

Dodatni moment wywołuje linię

ugięcia o ujemnej drugiej pochodnej

′′ &

·

' ≅ tan ' ′

Kąt ugięcia – kąt obrotu przekroju

poprzecznego mierzony zgodnie z ruchem wskazówek zegara od położenia pierwotnego do finalnego, po obciążeniu.

$ % + ,

$ % - ,

, -

Wyznaczanie linii ugięcia Warunki brzegowe

&

1

2 0 & 1 2

&

1 1

4 0 & 1 6

& 4 1 1

12 0 & 1 24

0 0 ⇒ 4 0

0 0 ⇒ 10 1

12 0

& 1

24 0

0

⇒ 1 & 1 24 0

1 1

24 0 & 1

12 0 1

24

Kąt ugięcia

' 1 1

24 0 & 1

4 0 1

6 dla 0

2 ' 0,

2 0 5

384 0

' ′

Strzałka ugięcia:

Przykład 1

′′ &

·

Warunki brzegowe:

Linia ugięcia:

' 0 1

24 0 ' 0 &' 0 0 0

2 0

2

= · % Warunki

brzegowe

' 0 ′ > 0

' 0

0

> 0

'

0

Podpora przegubowa

Utwierdzenie

Przesuw poprzeczny

'

Wyznaczanie linii ugięcia Warunki zszycia

&

1 2 Przykład 2

′′ &

·

A B C

2 2

&

1 1

&

4 1 4 1 12

0 0 ⇒ 4 0

Warunki brzegowe:

Przedział AB

&

1

2 0 &

Przedział BC

0 &

&

& 1

4 0 &

&

B 1

12 0 &

0 0 ⇒ B & 0 Warunki brzegowe:

Warunki zszycia:

?@.

0/2

0/2

?@

0/2

0/2 1

0 &

0 1 &

0

4 1

0 B

0

&

0

& 0

C

CD

0 , B &

0 1 &

0 , 4 0 Równość ugięć

Równość kątów ugięć

?@ C

HI_J C

CD

0 &

,

@A C

HI_J C

CD

0 0 & &

0 &

'

0

, '

0

J

?@ F

@A F C

5E KF^N HI_J

Warunki zszycia

@FOP.

@ RSP.

B

′

′

FOP. @ RSP.

′

> ′

B

B’ B’

@ @

'_@^FOP+ 0 '_@ ^RSP - 0

0

Wyznaczenie linii ugięcia Metoda Clebscha

Przykład 3

Zasady metody Clebscha:

1. Funkcja momentu w danym przedziale zawiera wszystkie składniki występujące w przedziałach poprzednich.

2. Każdy rozważany przedział włącza do formuły wyłącznie składniki w postaci T · & U

, gdzie T i X są dowolnymi stałymi, natomiast U

odciętą początku rozpatrywanego przedziału.

3. Całkowanie składników wykonujemy metodą podstawienia & U

Y

. 4. Stałe całkowania zapisujemy na początku, gdyż należy je uwzględnić

wyznaczając ugięcie w dowolnym z przedziałów

=

0 20 0

A B C D

Zm\

Zmm\

1.049

Dane:

q=24 kN/m M= 6 kNm l=0.5 m

E = 200 GPa I

= 328 cm

^120 mm

I 120

Warunek sztywności Przykład

Przykład 4

0 20 _ ^3_

Belka o przekroju prostokątnym ( 0 0.5 m) została obciążona momentem 2 kNm, jak na rysunku. Zaprojektuj przekrój jeżeli dopuszczalne ugięcie wynosi 5 mm, a moduł Younga 200 GPa.

A B

C

&

&

e

& 20

e

&

1 & e

& 20 e

& 4 1 & 1

2 f

?@

1 2 & 20 f

@A

0 0 ⇒ 4 0

′ 0 0

Warunki brzegowe:

⇒ 1 0

1 1 2 f

?@

& 1

2 & 20 f

@A

30 2 90 & 0 4 0 , 27_

12

16 0 9 _

⇒ 16 0 9

h

_

_ i 30.7 mm ⇒ _ 31 mm, ^ 93 mm

Linia ugięcia:

Strzałka ugięcia:

Warunek sztywności: