Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej

Obóz Naukowy

Olimpiady Matematycznej

Zwardoń, 29 maja - 12 czerwca 2008

(wydanie pierwsze)

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Zwardoń, 29 maja - 12 czerwca 2008

Dom wczasowy „Zgoda”, Zwardoń 45A 34-373 Zwardoń

tel. 0-33-864-63-28

Kadra:

Joanna Bogdanowicz Wojciech Czerwiński Maciej Gawron Tomasz Kobos Michał Krych Przemysław Mazur

Jakub Onufry Wojtaszczyk

Olimpiada Matematyczna w Internecie:

www.om.edu.pl

Wst ^e

p

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej odbył sie_֒w dniach 29 maja - 12 czerwca 2008 r. w Zwardoniu, w pensjonacie „Zgoda”. Kadre_֒obozu stanowili: Joanna Bogda- nowicz, Wojciech Czerwiński, Maciej Gawron, Tomasz Kobos, Michał Krych, Prze- mysław Mazur oraz Jakub Onufry Wojtaszczyk.

W dniach 30 i 31 maja oraz 1, 2, 3, 6, 7, 9 i 10 czerwca uczestnicy obozu rozwia_֒zywali zadania indywidualne (przy czym 1 czerwca miały miejsce wyja_֒tkowe zawody indywidualne, z okazji Dnia Dziecka), dnia 8 czerwca odbyły sie_֒ zawody dru- żynowe, a 4 i 11 czerwca rozegrane zostały „mecze matematyczne” (regulamin meczu znajduje si

֒

ena końcu tego zeszytu).

Każdego dnia zawodów indywidualnych uczestnicy otrzymywali 4 zadania (jedy- nie w Dzień Dziecka 8) i mieli na ich rozwia_֒zanie 4,5 godziny. Zawody drużynowe, jak i mecze matematyczne trwały cały dzień. Dla uczestników, którzy rozwia_֒zali już wszystkie zadania przygotowane zostały nieobowia_֒zkowe „zadania nieco trudniejsze niż pozostałe”, za które nie można było otrzymać punktów, lecz nagrode_֒.

W ramach zawodów indywidualnych można było uzyskać 216 punktów. Trzy naj- lepsze wyniki to: 185 punktów, 172 punkty i 165 punktów. Punkty uzyskane za po- szczególne zadania przedstawia tabela na naste_֒pnej stronie.

Dla uczestników zorganizowane zostały dwie wycieczki: 4 czerwca piesza wycieczka na Wielka_֒Racze_֒, a 8 czerwca wycieczka pocia_֒giem do ˇZyliny na Słowacji.

Niniejszy zeszyt zawiera wszystkie zadania z obozu oraz szkice ich rozwia_֒zań.

Zeszyty z poprzednich Obozów Naukowych Olimpiady Matematycznej znajduja_֒ sie_֒ na stronie internetowej Olimpiady Matematycznej:www.om.edu.pl.

Kadra obozu Zwardoń 2008

Zestawienie ocen z zawodów indywidualnych

Zad. l. prac na 6p.

l. prac na 5p.

l. prac na 2p.

l. prac na 0p.

1. 15 1 2 3

2. 5 - - 16

3. 12 - - 9

4. 5 4 - 12

5. 14 1 - 6

6. 14 2 - 5

7. - 1 - 20

8. 4 1 1 15

DD1. 20 - - 1

DD2. 2 - - 19

DD3. 6 - - 15

DD4. 12 2 - 7

DD5. 7 - - 14

DD6. 10 2 1 8

DD7. 16 1 - 4

DD8. 5 - - 16

9. 17 - 1 3

10. 16 - - 5

11. 5 - - 16

12. 1 - - 20

Zad. l. prac na 6p.

l. prac na 5p.

l. prac na 2p.

l. prac na 0p.

13. 18 - - 3

14. 12 2 - 7

15. 3 - - 18

16. 4 - 3 14

17. 14 1 - 6

18. 12 - - 9

19. 6 3 - 12

20. 2 - - 19

21. 8 - 1 12

22. 5 - - 16

23. 2 - - 19

24. 2 - 2 17

25. 4 11 - 6

26. 11 4 - 6

27. 3 - - 18

28. 2 - - 19

29. 20 - - 1

30. 7 1 - 13

31. 9 - - 12

32. 9 1 2 9

Uwaga: Każda praca była oceniana w skali 0, 2, 5, 6 punktów, przy czym zadania z Dnia Dziecka liczone były z waga_֒ ¹

2.

Spis treści

Wste_֒p 3

Zestawienie ocen 4

Spis treści 5

Treści zadań 7

Zawody indywidualne 7

Dzień Dziecka 11

Zawody drużynowe 12

Pierwszy mecz matematyczny 13

Drugi mecz matematyczny 15

Zadania nieco trudniejsze 16

Rozwia_֒zania 19

Zawody indywidualne 19

Dzień Dziecka 47

Zawody drużynowe 52

Pierwszy mecz matematyczny 59

Drugi mecz matematyczny 71

Zadania nieco trudniejsze 87

Regulamin Meczu Matematycznego 110

Treści zadań

Zawody indywidualne:

1. Każda_֒ liczbe_֒ naturalna_֒ pomalowano na jeden z dwóch kolorów.

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej n istnieja_֒różne liczby naturalne a, b > n takie, że liczby a, b i a + b sa_֒ jednego koloru.

2. Niech O i I oznaczaja_֒odpowiednio środek okre_֒gu opisanego i wpisa- nego w nierównoboczny trójka_֒t ABC. Udowodnić, że ∠AIO ¬ 90^◦wtedy i tylko wtedy, gdy 2BC ¬ AB + AC.

3. Liczbe_֒ naturalna_֒ n nazywamy wypasiona_֒, jeżeli dla każdej liczby pierwszej p dziela_֒cej n liczba p² również dzieli n. Rozstrzygna_֒ć, czy ist- nieje nieskończenie wiele liczb n takich, że n oraz n + 1 sa_֒ wypasione.

4. Wyznaczyć wszystkie funkcje f : Z⁺ → Z⁺ spełniaja_֒ce dla dowol- nych liczb całkowitych dodatnich x i y warunek

f(x²+ f(y)) = xf(x) + y.

5. Liczby rzeczywiste a1, a2, . . . , an (gdzie n ­ 4) spełniaja֒warunki a1+ a2+ . . . + an­ n

oraz

a²₁+ a²₂+ . . . + a²_n­ n².

Dowieść, że przynajmniej jedna z liczb a1, a₂, . . . , a_njest nie mniejsza niż 2.

6. Znaleźć wszystkie liczby naturalne n­ 2 takie, że wszystkie liczby naturalne mniejsze od n i wzgle_֒dnie pierwsze z n tworza_֒ cia_֒g arytme- tyczny.

7. Zabezpieczenie sejfu składa sie_֒ z trzech kół, z których każde może być ustawione w jednej z ośmiu pozycji. Z powodu uszkodzenia mecha- nizmu blokuja_֒cego sejf drzwiczki do sejfu można otworzyć, gdy dowolne dwa koła znajduja_֒sie_֒ w prawidłowej pozycji. Rozstrzygnij jaka jest naj- mniejsza liczba prób, która gwarantuje otworzenie sejfu.

8. Punkt O jest środkiem okre_֒gu opisanego na trójka_֒cie ABC. Punkt K leży na boku AB, punkt L na boku AC oraz punkty K, O i L sa_֒ współliniowe. Punkt R jest środkiem odcinka BL, zaś S jest środkiem odcinka CK. Udowodnij, że ∡BAC = ∡SOR.

9. Dany jest ostroka_֒tny trójka_֒t ABC, w którym AB 6= AC. Dwu- sieczna ka_֒ta A przecina bok BC w punkcie V , natomiast D jest spodkiem wysokości poprowadzonej z A. Okra_֒g opisany na trójka_֒cie AV D przecina boki AB i CA odpowiednio w punktach F i E. Dowieść, że proste AD, BE i CF przecinaja_֒ sie_֒ w jednym punkcie.

10. Szachownice_֒ 2009²⁰⁰⁸ × 2009²⁰⁰⁸ wypełniono liczbami rzeczywi- stymi o module niewie_֒kszym niż 1. Co wie_֒cej suma liczb w każdym kwadracie 2 × 2 jest zerem. Udowodnić, że suma wszystkich liczb na szachownicy nie przekracza 2009²⁰⁰⁸.

11. Niech C be_֒dzie liczba_֒dodatnia_֒, zaś a1, a₂, . . .nieskończonym cia_֒- giem liczb dodatnich spełniaja_֒cym dla każdego i = 1, 2, . . . warunek 0 ¬ ai ¬ C oraz dla każdych liczb 1 ¬ i < j nierówność _i+j¹ ¬ |ai− aj|.

Udowodnić, że C ­ 1.

12. Niech P be_֒dzie unormowanym wielomianem dziesia_֒tego stopnia o współczynnikach całkowitych. Rozstrzygna_֒ć, czy liczby P (0), P (1), . . . , P(100) moga_֒ dawać parami różne reszty przy dzieleniu przez 101.

13. Wielomian P spełnia dla każdej liczby rzeczywistej x równość P(x)P (2x²) = P (2x³+ x).

Udowodnić, że jeśli P ma pierwiastek rzeczywisty, to jest tożsamościowo równy zero.

14. Niech okre_֒gi o1 i o2przecinaja_֒sie_֒ w punktach A i B. Pewna prosta przechodza_֒ca przez B przecina o1 i o2 odpowiednio w punktach C i D.

Proste styczne do o1 w C i o2 w D przecinaja_֒ sie_֒ w punkcie M. Proste AM i CD przecinaja_֒ sie_֒ w punkcie X. Punkt K jest takim punktem na prostej AC, że proste XK i MC sa_֒ równoległe. Udowodnić, że prosta KB jest styczna do okre_֒gu o2.

15. Dane sa_֒ trzy liczby całkowite a, b, c i liczba pierwsza p ­ 5. Udo- wodnić, że jeżeli an²+ bn + c jest kwadratem liczby całkowitej dla 2p − 1 kolejnych wartości n, to p|b²− 4ac.

16. Dana jest liczba naturalna n­ 2. Tablica n × n jest wypełniona liczbami 0 i 1 w ten sposób, że każdy podzbiór n pól, z których żadne 2 nie leża_֒ w jednej kolumnie ani w jednym wierszu zawiera co najmniej jedno pole z liczba_֒ 1. Dowieść, że istnieje i wierszy i j kolumn, gdzie i+ j ­ n + 1, takich, że na przecie֒ciu każdego wiersza i każdej kolumny jest liczba 1.

17. Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że suma cyfr liczby 3ⁿjest nie mniejsza niż suma cyfr liczby 3ⁿ⁺¹. 18. Dany jest wielomian stopnia n spełniaja_֒cy zależność P (i) = 2ⁱ dla i= 0, 1, 2, . . . , n. Wyznaczyć P (n + 1).

19. Na płaszczyźnie dany jest wieloka_֒t W o polu wie_֒kszym od n.

Udowodnić, że można tak przesuna_֒ć równolegle wieloka_֒t W , że w jego wne_֒trzu znajdzie sie_֒ co najmniej n + 1 punktów kratowych.

20. Niech KL i KN be_֒da_֒stycznymi do okre_֒gu k w punktach L i N.

M jest takim punktem, że K, N, M leża_֒na jednej prostej w tej właśnie kolejności. Okra_֒g opisany na trójka_֒cie KLM przecina okra_֒g k w punkcie P. Punkt Q jest rzutem prostopadłym N na prosta_֒ M L. Udowodnić, że

∡M P Q = 2∡KML.

21. Ahmed i Fredek graja_֒ w gre_֒ na szachownicy n × n, gdzie n jest liczba_֒nieparzysta_֒. Ahmed stawia kółka, a Fredek krzyżyki. Na pocza_֒tku wszystkie pola sa_֒puste, tylko w lewym dolnym rogu jest kółko, a w pra- wym górnym jest krzyżyk. Zaczyna Ahmed. Ruch gracza polega na po- stawieniu swojego znaczka na wolnym polu sa_֒siaduja_֒cym przez krawe_֒dź z polem, na którym jest już postawiony jego znaczek. Gdy gracz nie może wykonać ruchu, to traci go. Gra kończy sie_֒, gdy żaden z graczy nie może wykonać ruchu. Gre_֒ wygrywa ten gracz, który wykonał wie_֒cej ruchów.

Rozstrzygnij, który z graczy posiada strategie_֒ wygrywaja_֒ca_֒.

22. Dany jest wielomian P stopnia n­ 2 o współczynnikach całkowi-

tych dodatnich an, a_n−1, . . . , a₁, a₀ spełniaja_֒cych warunki: a_n−k = ak

dla każdego k = 1, 2, . . . , n−1 oraz an = a₀ = 1. Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele par liczb całkowitych a, b takich, że a|P (b) i b|P (a).

23. Punkt I jest środkiem okre_֒gu wpisanego w trójka_֒t ABC, a D

— punktem styczności tego okre_֒gu z bokiem BC. Okra_֒g ω jest styczny do prostej BC w punkcie D a do okre_֒gu opisanego na trójka_֒cie ABC w punkcie T , przy czym A i T leża_֒ po jednej stronie prostej BC. Dowieść, że ∡AT I = 90^◦.

24. Dane sa_֒ dodatnie liczby rzeczywiste x1, x2, . . . , xn takie, że

Pn

i=1x_i = 1. Udowodnić nierówność:

Xn

i=1

x_i

√1 + x1+ · · · + xi−1·√x_i+ xi+1+ · · · + xⁿ < 1 +√ 5 2 .

25. W trójka_֒cie ABC punkt D jest spodkiem wysokości poprowadzo- nej z punktu A. Na pewnej prostej przechodza_֒cej przez D wybrano takie punkty E i F , różne od D, że ∡AEB = ∡AF C = 90^◦. Punkty M i N sa_֒ odpowiednio środkami odcinków BC i EF . Dowieść, że ∡ANM = 90^◦.

26. Dane jest 2n parami różnych liczb rzeczywistych a1, a2, . . . , an, b₁, b₂, . . . , b_n oraz tablica n × n. W pole leża֒ce w i-tym wierszu i w j- tej kolumnie tablicy wpisano liczbe_֒ a_i + bj. Udowodnić, że jeśli iloczyny liczb we wszystkich kolumnach sa_֒ równe, to również iloczyny liczb we wszystkich wierszach sa_֒ równe.

27. W pola tablicy n× n wpisano wszystkie liczby naturalne od 1 do n². Udowodnić, że istnieja_֒ dwa pola sa_֒siaduja_֒ce krawe_֒dzia_֒ takie, że wpisane w nie liczby różnia_֒ sie_֒ o co najmniej n.

28. Dana jest liczba naturalna n ­ 2. Udowodnić, że liczba 2²ⁿ + 1 posiada dzielnik pierwszy, który jest wie_֒kszy niż 2ⁿ⁺²(n + 1).

29. Liczby dodatnie a, b, x, y spełniaja_֒równości a²+ x = b²+ y oraz a+ x² = b + y², a także nierówność a + b + x + y < 2. Dowieść, że a = b oraz x = y.

30. Rozstrzygna_֒ć czy istnieja_֒ parami wzgle_֒dnie pierwsze liczby na- turalne a, b, c > 1, dla których zachodza_֒ warunki: a|2^b + 1, b|2^c + 1, c|2^a+ 1.

31. Sfery opisana oraz wpisana w czworościan ABCD maja_֒ wspólny środek, AB = CD oraz wszystkie ściany tego czworościanu sa_֒trójka_֒tami ostroka_֒tnymi. Udowodnić, że środki krawe_֒dzi czworościanu ABCD leża_֒ na jednej sferze wtedy i tylko wtedy, gdy jest on foremny.

32. Udowodnić, że istnieje dokładnie jeden podział zbioru liczb na- turalnych na rozła_֒czne zbiory A i B spełniaja_֒cy warunek: dla dowolnej liczby naturalnej n liczba sposobów zapisania n w postaci ai + aj, gdzie a_i, a_j ∈ A i ai 6= aj jest równa liczbie sposobów zapisania n w postaci b_i+ bj, gdzie bi, b_j ∈ B i bi 6= bj.

Dzień Dziecka:

1. W zała_֒czniku do zadań masz aktualna_֒ kopie_֒ punktacji poszcze- gólnych uczestników obozu. Dla cia_֒gu rzeczywistych liczb a1, a₂, . . . a₈ zmodyfikowanym wynikiem zawodnika nazywamy liczbe_֒ ^P8

i=1a_iP_i, gdzie Pito liczba punktów, które ten zawodnik zdobył z i–tego zadania. Twoim zadaniem jest tak dobrać wagi ai, abyś był liderem rankingu zmodyfiko- wanych wyników ex aequo z jak najmniejsza_֒ liczba_֒innych zawodników.

2. Znajdź wszystkie pary liczb całkowitych a, b takie, że a³ = 6b²+ 2.

3. Niech ABC be_֒dzie trójka_֒tem równobocznym o polu 1, zaś P do- wolnym punktem w jego wne_֒trzu. Przez D, E, F oznaczamy rzuty pro- stoka_֒tne P odpowiednio na BC, CA i AB. Znajdź najmniejsza_֒ możliwa_֒ sume_֒ pól trójka_֒tów BDP , CEP i F AP .

4. Maja_֒c dana_֒ kartke_֒ papieru A5 skonstruować (bez użycia cyrkla tudzież linijki) trójka_֒t równoboczny. Można założyć, że boki kartki A5 dziela_֒ sie_֒ w stosunku 1 :√

2.

Uwaga: Do opisu konstrukcji należy doła_֒czyć skonstruowany trójka_֒t.

5. Czy z kwadratowej kartki papieru o wymiarach 7, 99×7, 99 potrafisz

wycia_֒ć 50 kwadratów jednostkowych?

6. Rozstrzygnij, czy istnieje 2008 różnych trójek parami wzgle_֒dnie pierwszych liczb naturalnych a, b, c takich, że a², b² i c² tworza_֒cia_֒g aryt- metyczny.

7. Joszua rzuca moneta_֒ n razy, zaś Ahmed n + 1 razy. Oblicz praw- dopodobieństwo, że Ahmed wyrzuci wie_֒cej orłów niż Joszua.

8. Udowodnij, że dla każdego x ∈ (0, 1) i każdych liczb naturalnych m, n zachodzi nierówność

(1 − xⁿ)^m+ (1 − (1 − x)^m)ⁿ ­ 1.

Zawody drużynowe:

1. Znaleźć wszystkie funkcje f : R → R spełniaja_֒ce dla dowolnych x, y ∈ R tożsamość

f(x − f(y)) = f(x) + xf(y) + f(f(y)).

2. Rozstrzygna_֒ć czy istnieje zbiór liczb naturalnych S mocy 2008 taki, że suma elementów dowolnego podzbioru S jest pote_֒ga_֒liczby naturalnej o wykładniku wie_֒kszym od 1.

3. Dana jest rodzina T podzbiorów k elementowych zbioru n elemen- towego S, przy czym n > 2k. Każdy k+1 elementowy podzbiór S zawiera dokładnie m ­ 1 zbiorów z rodziny T . Wykazać, że T zawiera wszystkie k elementowe podzbiory S.

4. Dany jest okra_֒g ω i rozła_֒czne, styczne do niego wewne_֒trznie, okre_֒gi ω₁, ω₂o środkach O1, O₂. Niech A i B be_֒da_֒punktami styczności wspólnej stycznej zewne_֒trznej ω1, ω₂ odpowiednio z ω1 i ω2. Wspólne styczne wewne_֒trzne ω1, ω₂ przecinaja_֒ωw punktach C, D, przy czym punkty A, B, C i D leża_֒ po tej samej stronie prostej O1O₂. Udowodnić, że proste AB i CD sa_֒ równoległe.

5. Znaleźć figure_֒ F ⊆ R² o jak najmniejszym polu, w której da sie_֒ obrócić odcinek, tzn. istnieje funkcja cia_֒gła f : [0, 1] × [0, 1] → F taka, że f(0, 0) = f(1, 1) oraz f(0, 1) = f(1, 0) oraz dla każdych p, q, t ∈ [0, 1]

zachodzi d(f(p, t), f(q, t)) = |p − q|, gdzie d to metryka euklidesowa w R².

Pierwszy mecz matematyczny:

1. Kulka_֒ be_֒dziemy nazywać kule_֒ o promieniu 1. Układ n parami rozła_֒cznych kulek zawartych w kuli K o promieniu R nazywamy dobrym, gdy nie da sie_֒ dołożyć do niego kolejnej kulki (rozła_֒cznej i zawartej w K), zaś mega–dobrym, jeśli jest dobry oraz nie istnieje dobry układ o wie_֒kszej liczbie kulek. Dla dwóch mega–dobrych układów X i Y udowodnić, że da sie_֒ tak ustawić środki kulek z układu X w cia_֒g A1, A2, . . . , An, zaś środki kulek z układu Y w cia_֒g B1, B₂, . . . , B_n, że dla każdego i ∈ {1, 2, . . . , n}

długość odcinka AiB_i nie przekracza 2.

2. Znaleźć wszystkie funkcje f : R⁺ → R⁺ spełniaja_֒ce dla dowolnych x, y ∈ R⁺ tożsamość

f(x + f(y)) = f(x + y) + f(y).

Uwaga: R⁺ oznacza zbiór liczb rzeczywistych dodatnich.

3. Niech a, b, c be_֒da_֒ liczbami rzeczywistymi dodatnimi spełniaja_֒cymi nierówność

21ab + 2bc + 8ca ¬ 12.

Znaleźć najmniejsza_֒możliwa_֒ wartość wyrażenia 1

a +2 b +3

c.

4. Dana jest nieparzysta liczba pierwsza p. Udowodnić, że zachodzi kongruencja

p−1X

i=1

2ⁱi^p−2 ≡

p−1

X2

i=1

i^p−2 (mod p.)

5. W czworościanie ABCD na krawe_֒dziach AB, AC, AD, BC, BD, CD wybrano odpowiednio punkty K, L, M, N, O, P tak, że sa_֒ one

różne od wierzchołków. Udowodnić, że sfery opisane na czworościanach AKLM, BKNO, CLNP i DMOP przecinaja_֒ sie_֒ w jednym punkcie.

6. Ahmed i Fredek zdecydowali sie_֒ zagrać w gre_֒. Tym razem maja_֒ nieskończona_֒ szachownice_֒, pocza_֒tkowo pusta_֒. Ruch polega na postawie- niu swojego znaku (Ahmed gra kółkami, Fredek zaś krzyżykami, Ahmed rusza sie_֒ pierwszy) na dowolnym pustym polu. Zwycie_֒ża gracz, któremu uda sie_֒ ustawić n swoich znaków w sa_֒siaduja_֒cych polach jednego wiersza, kolumny lub skosu. Rozstrzygna_֒ć, czy istnieje takie n, dla którego przy dobrej grze Fredka Ahmed nie zdoła wygrać w skończonej liczbie ruchów.

7. Znaleźć wszystkie wielomiany P takie, że dla każdego x rzeczywi- stego zachodzi równość

P(x²+ 1) = (P (x))²+ 1.

8. Dany jest cia_֒g wektorów jednostkowych v1, v₂, . . . , v_n. Rozstrzygna_֒ć, czy możemy dobrać taki cia_֒g znaków, że dla każdego k wektor ^Pk

i=1±vileży w kole o promieniu 3.

9. Znaleźć wszystkie rozwia_֒zania równania x³+2x+1 = 2ⁿw liczbach naturalnych.

10. Okra_֒g o środku O jest styczny wewne_֒trznie do dwóch okre_֒gów w jego wne_֒trzu w punktach S i T . Okre_֒gi te przecinaja_֒sie_֒ w punktach M i N, przy czym punkt N leży bliżej prostej ST . Udowodnić, że proste OM i MN sa_֒ prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy punkty S, N, T leża_֒ na jednej prostej.

11. Niech a be_֒dzie liczba_֒naturalna_֒wie_֒ksza_֒od 1. Cia_֒g an definiujemy wzorem

a_n= aⁿ⁺¹+ aⁿ− 1.

Wykazać, że istnieje podcia_֒g cia_֒gu an, którego dowolne dwa wyrazy sa_֒ wzgle_֒dnie pierwsze.

12. Symetralne boków AB i BC nierównobocznego trójka_֒ta ABC przecinaja_֒boki BC i AB odpowiednio w punktach A1 i C1. Dwusieczne

ka_֒tów A1AC i C1CA przecinaja_֒ sie_֒ w punkcie B^′, a punkty A^′ oraz C^′ definiujemy analogicznie. Dowieść, że punkty A^′, B^′, C^′ leża_֒ na jed- nej prostej, która przechodzi przez środek okre_֒gu opisanego na trójka_֒cie ABC.

Drugi mecz matematyczny:

1. Dla danej liczby naturalnej n­ 1 niech A oznacza liczbe֒ sposobów na jaka_֒ można zapisać n w postaci sumy liczb całkowitych dodatnich nieparzystych, a B niech oznacza liczbe_֒ sposobów na jaka_֒można zapisać n w postaci sumy różnych liczb całkowitych dodatnich (w obu zapisach nie zwracamy uwagi na kolejność wyste_֒powania składników). Udowodnić, że A = B.

2. Niech k, t > 1 be_֒da_֒ wzgle_֒dnie pierwszymi liczbami naturalnymi.

Maja_֒c dana_֒ permutacje_֒ (a1, a2, . . . , an) zbioru {1, 2, . . . , n} możemy za- mienić w niej dwie liczby miejscami jeśli różnia_֒ sie_֒ o k lub t. Wykazać, że zaczynaja_֒c od permutacji (1, 2, ..., n) możemy otrzymać każda_֒permu- tacje_֒ zbioru {1, 2, . . . , n} wtedy i tylko wtedy, gdy n ­ k + t − 1.

3. Zbiory A1, A₂, . . . , A_n sa_֒ podzbiorami zbioru n-elementowego A, przy czym każdy z nich ma co najmniej 2 elementy. Dla każdego dwuelementowego podzbioru A^′ zbioru A istnieje dokładnie jeden taki A_i, że A^′ ⊆ Ai. Udowodnić, że jeśli 1 ¬ i, j ¬ n to Ai∩ Aj 6= ∅.

4. Rozwia_֒zać w liczbach rzeczywistych układ równań











a²− 2b² = 1 2b²− 3c² = 1 ab+ bc + ca = 1

5. Niech a1, a2, ..., anbe_֒da_֒różnymi liczbami naturalnymi. Dowieść, że zachodzi nierówność

a⁷₁ + a⁷₂ + ... + a⁷_n+ a⁵₁+ a₂⁵+ ... + a⁵_n ­ 2(a³1+ a³₂+ ... + a³_n)² 6. Niech n be_֒dzie dowolna_֒liczba_֒naturalna_֒. Udowodnić, że wielomian (x²+ x)²ⁿ+ 1 jest nierozkładalny na iloczyn niestałych wielomianów o współczynnikach całkowitych.

7. ABCD jest czworoka_֒tem wypukłym, w którym prosta AC jest dwusieczna_֒ka_֒ta BAD. Punkt E leży na odcinku CD, a F jest przecie_֒ciem BE i AC. Odcinek DF przedłużamy do przecie_֒cia z bokiem BC w punk- cie G. Wykazać, że ∡GAC = ∡EAC.

8. Dany jest nierozwartoka_֒tny trójka_֒t ABC. Punkt D jest spodkiem wysokości z A, natomiast I1 oraz I2 sa_֒ odpowiednio środkami okre_֒gów wpisanych w trójka_֒ty ABD i ACD. Prosta I1I2 przecina AB i AC od- powiednio w punktach P i Q. Udowodnić, że AP = AQ wtedy i tylko wtedy, gdy AB = AC lub ∡A = 90^◦.

9. Dany jest trójka_֒t ABC. Okra_֒g o jest styczny do odcinków AB i AC odpowiednio w punktach D i E, różnych od B i C. Ten sam okra_֒g przecina bok BC w punktach K i L. Odcinki AL i DE przecinaja_֒ sie_֒ w punkcie P , a przeka_֒tne czworoka_֒ta BCED przecinaja_֒ sie_֒ w punkcie Q.

Dowieść, że punkty P, Q, K sa_֒ współliniowe.

10. Wyznaczyć najmniejsza_֒liczbe_֒ naturalna_֒n >1, dla której średnia kwadratowa liczb 1, 2, ..., n jest liczba_֒ całkowita_֒.

11. Dla danego h = 2^r, gdzie r ­ 0, wyznaczyć wszystkie liczby naturalne k, dla których istnieje m > 1 nieparzyste oraz liczba naturalna n taka, że k|m^h− 1 oraz m|n^{mh −1k} + 1.

12. Rozstrzygna_֒ć dla jakich liczb naturalnych a istnieje nieskończenie wiele liczb bezkwadratowych n takich, że n|aⁿ− 1.

Zadania nieco trudniejsze:

1. Wśród n osób niektóre trójki były razem na imprezie. Dla każdych dwóch różnych osób A i B istnieje dokładnie jedna osoba C taka, że A, B i C byli razem na imprezie. Co wie_֒cej, jeśli dla sześciu różnych osób A, B, C, X, Y, Z trójki A, B, X, B, C, Y oraz C, A, Z były razem na imprezie, to również X, Y, Z byli razem na imprezie. Znaleźć wszystkie n, dla których taka sytuacja jest możliwa.

2. Niech punkty D, B, C, E leża_֒ na jednej prostej w tej właśnie

kolejności i niech punkt A spełnia równości AB = DB oraz AC = EC.

Poprowadźmy dwusieczne ka_֒tów ∡ABC oraz ∡ACB i ich przecie_֒cia z okre_֒giem opisanym na trójka_֒cie ABC oznaczmy odpowiednio przez K i L, zaś ich przecie_֒cia z przeciwległymi bokami trójka_֒ta ABC odpowiednio przez P i Q. Niech O1 be_֒dzie środkiem okre_֒gu opisanego na trójka_֒cie DBL, zaś O2 środkiem okre_֒gu opisanego na trójka_֒cie ECK. Przez S oznaczmy punkt przecie_֒cia CO1 i BO2. Udowodnić, że AS ⊥ P Q.

3. Dane jest n liczb rzeczywistych dodatnich x1, x2, . . . , xn o iloczynie równym 1. Wykazać, że

X

1¬i<j¬n

(xi− xj)² ­

Xn

i=1

x²_i − n.

4. W każdym punkcie kratowym płaszczyzny, który ma niedodatnia_֒ współrze_֒dna_֒xpołożono jeden pionek. Dozwolone sa_֒ruchy polegaja_֒ce na wybraniu pewnej pary pionków stoja_֒cych na sa_֒siaduja_֒cych w pionie lub poziomie punktach A i B i „zbicie” jednym z nich drugiego, tj. zdje_֒cie pionka z pola A i przestawienie pionka z pola B na taki punkt C, że A jest środkiem odcinka BC (w punkcie C, na który przestawiamy pionek z punktu B, nie mógł dotychczas stać żaden pionek). Znaleźć najwie_֒ksze x, dla którego istnieje skończona sekwencja dozwolonych ruchów, po której pewien pionek znajduje sie_֒ w punkcie (x, y) (dla pewnego y).

5. Niech P be_֒dzie wielomianem o współczynnikach całkowitych, a n liczba_֒ naturalna_֒. Dla każdej liczby całkowitej dodatniej m liczba P (2^m) jest n-ta_֒pote_֒ga_֒pewnej liczby naturalnej. Dowieść, że wtedy dla pewnego wielomianu Q o współczynnikach całkowitych zachodzi: P (x) = (Q(x))ⁿ. 6. Niech S₁, S2 be_֒da_֒ okre_֒gami przecinaja_֒cymi sie_֒ w dwóch różnych punktach A i B. Prosta przechodza_֒ca przez punkt A przecina okra_֒g S1 w punkcie C, a okra_֒g S₂ w punkcie D. Punkty M, N, K leża_֒ odpowiednio na odcinkach CD, BC, BD oraz prosta MN jest równoległa do BD, a prosta MK jest równoległa do BC. Łuki BC okre_֒gu S1 oraz BD okre_֒gu S2 zawieraja_֒odpowiednio punkty E i F , przy czym prosta EN jest pro- stopadła do BC, a prosta F K jest prostopadła do BD. Dowieść, że ka_֒t

∡EM F jest prosty.

7. Udowodnić, że istnieje liczba postaci 333333^333333n, gdzie n jest liczba_֒naturalna_֒, zakończona 333333³³³³³³trójkami w zapisie dziesie_֒tnym.

8. Wielomiany W i V nazywamy wzgle_֒dnie pierwszymi jeśli nie istnieje wielomian U stopnia dodatniego taki, że U|W i U|V . Niech P , Q i R be֒da_֒ wzgle_֒dnie pierwszymi wielomianami stopnia dodatniego. Udowodnić, że jeżeli zachodzi

P(x)^n+^Q(x)^n=^R(x)^n, to n ¬ 2.

9. S1, S₂, ..., S₂₀₀₈ sa_֒ podzbiorami zbioru {1, 2, . . . , 2008}, z których każdy ma parzysta_֒ liczbe_֒ elementów. Dowieść, że dla pewnych liczb 1 ¬ i < j ¬ 2008 zbiór Si∩ Sj również ma parzysta_֒ liczbe_֒ elementów.

10. W nierównoramiennym trójka_֒cie ABC punkty Ma, Mb, Mc ozna- czaja_֒ odpowiednio środki boków BC, CA, AB. Punkt I jest środkiem okre_֒gu wpisanego w ten trójka_֒t, a punkty A^′, B^′, C^′ sa_֒ punktami stycz- ności tego okre_֒gu odpowiednio z bokami BC, CA, AB. Prosta k jest prosta_֒ symetryczna_֒ do prostej BC wzgle_֒dem prostej AI, a prosta l jest prosta_֒prostopadła do prostej IMai przechodza_֒ca_֒przez punkt A^′. Xajest punktem przecie_֒cia prostych k i l, a punkty Xb i Xc definiujemy analo- gicznie. Wykazać, że punkty Xa, Xb, Xc leża_֒na jednej prostej, która jest styczna do okre_֒gu wpisanego w trójka_֒t ABC.

11. Udowodnić, że dla dodatnich liczb a, b, c zachodzi nierówność

s 2a a+ b +

s 2b b+ c +

s 2c c+ a ¬3

12. Na płaszczyźnie dany jest n-ka_֒t wypukły P . Trójka_֒t utworzony z trzech różnych wierzchołków P nazywamy dobrym jeśli wszystkie jego boki maja_֒długość 1. Dowieść, że jest nie wie_֒cej niż ²₃ndobrych trójka_֒tów.

13. Cia_֒g (en) definiujemy tak: e1 = 1, e2 = 2, a en+1 jest najmniejsza_֒ liczba_֒, która jeszcze nie wysta_֒piła w cia_֒gu i NW D(en, e_n+1) > 1. Udo- wodnić, że dla każdej odpowiednio dużej liczby pierwszej p pierwszym wyrazem cia_֒gu (en) podzielnym przez p jest wyraz 2p.

Rozwi a

zania

Zawody indywidualne:

1. Każda_֒ liczbe_֒ naturalna_֒ pomalowano na jeden z dwóch kolorów.

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej n istnieja_֒różne liczby naturalne a, b > n takie, że liczby a, b i a + b sa_֒ jednego koloru.

Rozwia_֒zanie Sposób I

Pokażemy najpierw, że istnieja_֒ a, b­ 1 takie, że a, b i a + b sa֒ jednego koloru. Przypuśćmy przeciwnie.

Nazwijmy kolory czerwony i niebieski. Bez straty ogólności załóżmy, że 1 jest niebieskie. Jeśli nie istnieje już żadna inna liczba niebieska, to w oczywisty sposób dostajemy sprzeczność, wie_֒c istnieje pewna liczba niebieska - n. Wówczas n − 1 oraz n + 1 sa֒ czerwone. Gdyby 2 było czerwone, to dostalibyśmy w ten sposób czerwona_֒trójke_֒ (2, n − 1, n + 1) - zatem 2 jest niebieskie. Skoro 1 i 2 sa_֒ niebieskie, to 3 jest czerwone.

Analogicznie jak poprzednio wnioskujemy, że istnieje pewna liczba niebieska wie_֒ksza od 4 - niech be_֒dzie to n. Wówczas n − 1 oraz n + 2 sa֒

czerwone. Jednak wówczas trójka 3, n − 1, n + 2 jest czerwona i spełnia założenia zadania. Sprzeczność.

Analogicznie możemy wykazać, że istnieja_֒ a, b ­ n + 1 spełniaja֒ce założenia zadania, rozpatruja_֒c zamiast zbioru N zbiór (n + 1)N, gdzie kN= {n : n = km, m ∈ N}.

Sposób II

Przypuśćmy nie wprost, że nie istnieja_֒ takie liczby a, b > n, że a, b i a + b sa_֒ jednego koloru. Nazwijmy kolory czerwony i niebieski. Bez straty ogólności niech n+1 be_֒dzie czerwone. Istnieja_֒co najmniej 2 liczby czerwone wie_֒ksze od 2n + 2, w przeciwnym wypadku od pewnego mo- mentu wszystkie liczby byłyby niebieskie i teza byłaby spełniona. Niech a > b be_֒da_֒ liczbami czerwonymi i niech b > 2n + 2. Zatem liczby b + a, b − (n + 1), (n + 1) + a sa֒ niebieskie i wszystkie różne. Jednak (b −(n+ 1)) + ((n+ 1) +a) = b+ a, czyli istnieje niebieska trójka złożona z liczb wie_֒kszych od n. Sprzeczność.

2. Niech O i I oznaczaja_֒odpowiednio środek okre_֒gu opisanego i wpisa-

nego w nierównoboczny trójka_֒t ABC. Udowodnić, że ∠AIO ¬ 90^◦wtedy i tylko wtedy, gdy 2BC ¬ AB + AC.

Rozwia_֒zanie

Oznaczmy przez T punkt przecie_֒cia dwusiecznej ka_֒ta BAC z okre_֒giem opisanym na trójka_֒cie ABC. Punkt I leży wówczas na boku AT trójka_֒ta AOT i nietrudno zauważyć, że nierówność AIO ¬ 90^◦ jest równoważna temu, że T I ¬ AI. Powszechnie wiadomo (lub jest to proste ćwiczenie), że T B = T I = T C. Z Twierdzenia Ptolemeusza wnioskujemy jednocze- śnie, że

T C· AB + T B · AC = AT · BC czyli też

T I· (AB + AC) = (AI + T I) · BC.

Dlatego warunek T I ¬ AI równoważny jest warunkowi T I· (AB + AC) ­ 2T I · BC lub po prostu

AB + AC ­ 2BC i dowód jest zakończony.

3. Liczbe_֒ naturalna_֒ n nazywamy wypasiona_֒, jeżeli dla każdej liczby pierwszej p dziela_֒cej n liczba p² również dzieli n. Rozstrzygna_֒ć, czy ist- nieje nieskończenie wiele liczb n takich, że n oraz n + 1 sa_֒ wypasione.

Rozwia_֒zanie Sposób I

Tak, istnieje nieskończenie wiele n takich, że n i n + 1 sa_֒ wypasione.

Zauważmy, że iloczyn dwóch liczb wypasionych jest liczba_֒ wypasiona_֒ oraz, że kwadraty liczb naturalnych również sa_֒wypasione. Załóżmy wie_֒c, że n i n + 1 sa_֒ wypasione. Wówczas wypasiona jest też liczba 4n(n + 1).

Jednocześnie 4n(n + 1) + 1 = 4n²+ 4n + 1 = (2n + 1)², a wie_֒c ta liczba także jest wypasiona. Oznacza to, że maja_֒c dana_֒ pare_֒ kolejnych liczb naturalnych, które sa_֒ wypasione możemy wygenerować pare_֒ wie_֒kszych, gdyż jasne jest, że n < 4n(n + 1) . Aby zakończyć rozwia_֒zanie wystarczy zauważyć, iż liczby 8 oraz 9 sa_֒ wypasione.

Sposób II

Równanie Pella a² − 8b² = 1 posiada nieskończenie wiele rozwia_֒zań w liczbach naturalnych. Dla każdego takiego rozwia_֒zania możemy przyja_֒ć n+ 1 = a², wtedy n = 8b² i oczywiście obie te liczby sa_֒wypasione, czyli znaleźliśmy nieskończenie wiele liczb n spełniaja_֒cych ża_֒dany warunek.

4. Wyznaczyć wszystkie funkcje f : Z⁺ → Z⁺ spełniaja_֒ce dla dowol- nych liczb całkowitych dodatnich x i y warunek

f(x²+ f(y)) = xf(x) + y.

Rozwia_֒zanie Sposób I

Oznaczmy C = f(1)+1. Podstawiaja_֒c x = y = 1 otrzymujemy f(C) = C.

Wykażemy indukcyjnie, że dla każdej liczby naturalnej k zachodza_֒ rów- ności f(kC) = kC oraz f(kC + 1) = kC + f(1).

Pocza_֒tek indukcji: istotnie f(C) = C; podstawiaja_֒c x = 1, y = C otrzymujemy f(1 + C) = f(1) + C.

Krok indukcyjny:

podstawiaja_֒c x = 1 oraz y = kC otrzymujemy f(1 + kC) = f(1) + kC.

Podstawiaja_֒c x = 1, y = kC + 1 otrzymujemy

f((k + 1)C) = f(1 + kC + f(1)) = f(1 + f(kC + 1)) =

= f(1) + kC + 1 = (k + 1)C.

Teza indukcji została udowodniona.

Pokażemy teraz, że f(1) = 1. Można to zrobić na różne sposoby. Za- uważmy, że funkcja f jest różnowartościowa, gdyż jeśli f(a) = f(b), to

xf(x) + a = f(x²+ f(a)) = f(x²+ f(b)) = xf(x) + b , wie_֒c a = b.

Podstawiaja_֒c x = C, y = 1 mamy

f(C²+ f(1)) = Cf(C) + 1 = C²+ 1.

Dla x = C²+ f(1), y = 1 dostajemy

f((C²+ f(1))²+ f(1)) = (C²+ f(1))(C²+ 1) + 1.

Podobnie podstawiaja_֒c x = C²+ 1, y = 1 mamy

f((C²+ 1)²+ f(1)) = (C²+ 1)(C²+ f(1)) + 1,

czyli z różnowartościowości otrzymujemy

(C²+ f(1))²+ f(1) = (C²+ 1)²+ f(1), a co za tym idzie f(1) = 1.

Zatem C = 2 i przedstawiony wyżej dowód indukcyjny pokazuje, że musi zachodzić f(n) = n dla dowolnego n ∈ Z⁺.

Sprawdzamy, że faktycznie f(n) = n spełnia warunki zadania, gdyż f(x²+ f(y)) = x²+ y = x · x + y = xf(x) + y.

zatem jest to jedyne rozwia_֒zanie zadania.

5. Liczby rzeczywiste a1, a2, . . . , an (gdzie n ­ 4) spełniaja֒warunki a₁+ a2+ . . . + an­ n

oraz

a²₁+ a²₂+ . . . + a²_n­ n².

Dowieść, że przynajmniej jedna z liczb a1, a₂, . . . , a_n jest nie mniejsza niż 2.

Rozwia_֒zanie Sposób I

Dowód przeprowadzimy nie wprost. Przypuśćmy, że ai <2 dla wszystkich i= 1, 2 . . . , n. Zauważmy najpierw, że jeżeli rozsuwamy liczby tak, by ich suma sie_֒ nie zmieniała, to suma kwadratów rośnie. Formalnie, niech a > b, x > 0. Wówczas

(a + x)²+ (b − x)² = a² + 2ax + x²+ b²− 2bx + x²

= a²+ b² + 2x²+ 2x(a − b) > a²+ b².

Jeżeli wie_֒c rozsuniemy liczby a1, a₂, . . . , a_ntak, że wszystkie oprócz jednej be_֒da_֒ równe 2, a ta ostatnia wyniesie a1+ a2+ . . . + an− (n − 1) · 2, to suma kwadratów wzrośnie, czyli

a²₁ + a²₂+ . . . + a²_n<(n − 1) · 2²+^a1+ a2+ . . . + an− (n − 1) · 2^2. Jednak a1+ a2+ . . . + an­ n, czyli

a²₁+ a²₂+ . . . + a²_n <(n − 1) · 2²+ (a1+ a2 + . . . + an− (n − 1) · 2)²

¬ 4(n − 1) + (n − 2)² = 4n − 4 + n²− 4n + 4 = n², gdzie nierówność bierze sie_֒ z tego, że

a₁+ a2+ . . . + an− 2(n − 1) ­ n − 2(n − 1) ­ −(n − 2) oraz

a₁+ a₂+ . . . + a_n− 2(n − 1) < 2n − 2(n − 1) = 2 ¬ 4 − 2 ¬ n − 2.

Jednak z założeń zadania wynika, że a²₁ + a²₂ + . . . + a²_n ­ n², czyli dostajemy sprzeczność z założeniem, że ai <2 dla i = 1, 2, . . . , n.

Sposób II

Po pomnożeniu pierwszej nierówności przez n − 4 (n ­ 4) i dodaniu drugiej otrzymujemy

Xn

i=1

(a²_i + (n − 4)aⁱ) ­ 2n²− 4n.

Przekształcaja_֒c dostajemy

Xn

i=1

(ai− 2)(ai+ (n − 2)) ­ 0.

Dla pewnego i mamy wie_֒c (ai − 2)(aⁱ + (n − 2)) ­ 0, czyli aⁱ ­ 2 lub ai ¬ 2 − n. Jeżeli zachodzi pierwsza z nierówności, to otrzymujemy teze֒. W drugim przypadku mamy 2 − n ­ aⁱ, bez straty ogólności załóżmy i= 1. Wówczas dodaja_֒c nierówność 2 − n ­ a¹ do pierwszej nierówności z treści zadania i skracaja_֒c otrzymujemy

Xn

i=2

(ai− 2) ­ 0, co implikuje ai ­ 2 dla pewnego i, czyli teze֒.

6. Znaleźć wszystkie takie liczby naturalne n­ 2, że wszystkie liczby naturalne mniejsze od n i wzgle_֒dnie pierwsze z n tworza_֒ cia_֒g arytme- tyczny.

Rozwia_֒zanie

Wszystkie liczby n spełniaja_֒ce zadane warunki to liczby pierwsze, pote_֒gi dwójki oraz liczba 6. Istotnie, załóżmy, że wszystkie liczby naturalne