ANALIZA FUNKCJONALNA I TOPOLOGIA Lista 3 - Twierdzenie Baire’a
1. Niech A będzie domkniętym podzbiorem w unormowanej przestrzeni liniowej X.
Udowodnić, że A jest nigdziegęsty wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego x ∈ A i każdego > 0 istnieje y /∈ A, taki że k x − y k≤ .
2. Uzasadnić, że zbiór A jest nigdziegęsty w przestrzeni metrycznej X wtedy i tylko wtedy gdy X \ A jest gęsty w X.
3. Niech a < b, L > 0, x0 ∈ [a, b) oraz 0 < r < b − x0. Niech A będzie zbiorem złożonym z funkcji f ∈ C[a, b], dla których zachodzi nierówność
|f (x) − f (x0)| ≤ L|x − x0|
dla każdego x ∈ [x0, x0+ r]. Pokazać, że zbiór A jest nigdziegęsty w C[a, b].
4. Pokazać, że jesli A jest zbiorem 1-ej kategorii w przestrzeni metrycznej X oraz B ⊂ A, to B jest także zbiorem 1-ej kategorii w X.
5. Pokazać, że przeliczalna suma podzbiorów 1-ej kategorii w przestrzeni metrycznej X jest zbiorem 1-ej kategorii w X.
6. Pokazać, że jeżeli A jest zbiorem 1-ej kategorii w zupełnej przestrzeni metrycznej X, to X \ A jest gęsty w X (przestrzeń zupełna jest tzw. przestrzenią Baire’a).
7. Niech X, Y będą przestrzeniami Banacha. Pokazać, że jeżeli T ∈ B(X, Y ) oraz Z = Ran(T ) jest zbiorem 1-ej kategorii, to Z jest domknięty w Y .
8. Niech 1 ≤ p ≤ q < ∞. Wiemy, że `p ⊂ `q. Wykazać, że
(a) zbiór A = {x ∈ `q :k x kp≤ 1} jest domknięty i ma puste wnętrze w `q, (b) `p jest zbiorem 1-ej kategorii w `q.
9. Niech X = C[a, b], gdzie a < b, z normą typu L1 na X, tzn
k f k=
Z b a
|f (x)|dx Wykazać, że
(a) zbiór A = {f ∈ X :k f k∞≤ 1} jest domknięty i ma puste wnętrze w X, (b) przestrzeń X jest zbiorem 1-ej kategorii.
10. Pokazać, że nieskończenie wymiarowa przestrzeń Banacha nie ma przeliczalnej bazy.
11. Uzasadnić, że przestrzeń liniowa wszystkich wielomianów (rzeczywistych bądź ze- spolonych) nie jest przestrzenią Banacha w żadnej normie.
1
12. Niech A ⊂ X = C[0, 1] będzie zbiorem wszystkich funkcji, które nie mają pochod- nej w żadnym punkcie przedziału [a, b] (w punktach a i b przyjmujemy pochodną jednostronną). Udowodnić, że zbiór A jest zbiorem 2-ej kategorii w X.
Wskazówka: Dla każdego n naturalnego oraz u, w wymiernych rozważyć zbiór funkcji
D(n, u, w) = {f ∈ C[a, b] : ∃x0 ∈ [u, w]∀x ∈ [u, x0]∀y ∈ [x0, w] takie ze
|f (x) − f (y)| ≤ n|x − y|},
pokazać, że każdy taki zbiór jest nigdziegęsty w C[a, b] (zad.3), a następnie pokazać, że jeżeli f ma pochodną w x0, to f ∈ D(n, u, w) dla odpowiednio do- branych u < x0 < w oraz n.
R. Lenczewski
2
