A NN A L В 8
UNI VEESITATIS MABIAE CUEIE-8KŁODOWSKA LUBLIN - POLONIA
VOL. XXII/XXIII/XXIV, 13 SECTIO A 1968/1069/1970
Педагогический институт, Каменец-Подольский, СССР
ФЁДОР Г. КРАВЧЕНКО
Области абсолютной сходимости рядов, представляющих К,,,/. - функции многих параметров
Obszary zbieżności absolutnej szeregów przedstawiających
~ funkcje wielu parametrów
Domains of Absolute Convergence for Series Expressing
■Kml^ ~ functions of Several Parameters
В работах [1], [2] показано, что нули произвольного полинома аналитически выражаются через его коэффициенты с помощью Кт,..
функций.
— функции от многих параметров для произвольного по
линома, записанного в виде
Д-2
L(Z) =Zm+
Y
Pm_i.Zli+Pm,rn> \ >1г> ... > ц^т+1, (1) i-iопределяются рядами
Д-2
Kml: = 1 +
<-l 1 1
Д—2
у
1=1
<lml, +
oo n д-2 r. n-1 Д—2
2 2 П^П2^Ч
(2)n=2 ri,r2,...,r„_2-0 i—1 y-1 'f-1
и рядами, полученными из (2) путем применения к индексам Ктг. — функций и индексам параметров определенных систем подстановок [3].
В связи с этим значительный интерес представляет задача нахож
дения областей абсолютной сходимости рядов (2).
Эту задачу будем решать путем приведения Кт1. — функций к обобщенным гипергеометрическим функциям многих комплексных переменных с последующим применением аналогов классических
92 Фёдор Кравченко
признаков абсолютной сходимости обычных рядов на случай кратных степенных рядов.
В работе [4] показано, что Кт,. — функции многих параметров можно представить конечной суммой обобщенных гипергеометри
ческих функций вида
Поэтому абсолютная сходимость рядов (2) определяется абсолютной сходимостью рядов (3).
Применяя вышеуказанные аналоги признаков абсолютной схо
димости к рядам (3), получим
(2*Куг1.^[2 - 1у)]т^ | < 1;}, г
у=1 у=1
1,2, ..., [/, 2;
О < (4>
Сопряженные радиусы абсолютной сходимости рядов (2) удовлетворяют системе равенств
тег ((»- У
У=1 у=1
— 15 — 1, 2, ..., —2;
= 1 при г = (5) Исключая из (5) коэффициенты Ку{ при фиксированном г, получим функциональную зависимость между -В,- 0’ = 1, 2, 2) в форме определителя
/1 В2, • • •»-Вд-г) = 0. (6) Главная диагональ этого определителя (ш + ?1)-го порядка состоит из элементов
при г = 1,2,...,?!
г >
Элементами (т — 1у)-ой (г =1,2, ..., /г— 2) верхней поддиагонали являются
при г = 1, 2, ...,
4 > ?!•
-Яу1у
Области абсолютной сходимости рядов, представляющих ... 93 1у-ая (у = 1, 2, ц— 2) нижняя поддиагональ содержит элементы
_ 0 при ] =1,2,
Элементы всех остальных поддиагоналей равны нулю.
Принимая во внимание (4), (6), нетрудно показать, что для всех точек а^/2, ..., я(^_2) пространства С"-2, удовлетворяющих системе неравенств (4), имеет место соотношение
|а<32|, ..., !<$„_,!) >0. (7) Неравенство (7) определяет некоторую звездную область про
странства С"-2, являющуюся областью абсолютной сходимости ряда (2).
Области абсолютной сходимости рядов, определяющих другие функциональные элементы полной Кт1. — функции многих пара
метров, можно получить из (7) путем его преобразования с помощью известных систем подстановок.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Кравченко Ф. Г., Аналитические функции корней полиномов и их свойства.
Представление корней полиномов с помощью Кт1, — функций, УМЖ, т. 21, По 6, 1969.
[2] Кравченко Ф. Г., ДАН УРСР, сер. А, 692 (1968).
[3] Кравченко Ф. Г., Об аналитических функциях корней полиномов. Вычисли тельная и прикладная математика. 7. Изд-во Киевского университета, 1969.
[4] Кравченко Ф. Г., ДАН УРСР, сер. А, 809 (1968).
STRESZCZENIE
W pracy tej znaleziono obszary absolutnej zbieżności szeregów przedstawiających K^. — funkcje wielu parametrów.
Otrzymano zależność funkcyjną między sprzężonymi promieniami zbieżności absolutnej tych szeregów.
SUMMARY
In this paper the domains of absolute convergence of series repre
senting the Kml. functions of several parameters are determined. The relations between the conjugate radii of absolute convergence are found.
