7. MIEJSCA GEOMETRYCZNE PIERWIASTKÓW (mgp) 7.1. Zasady budowy miejsc geometrycznych pierwiastków (mgp)

7. MIEJSCA GEOMETRYCZNE PIERWIASTKÓW (mgp) 7.1. Zasady budowy miejsc geometrycznych pierwiastków (mgp)

1) Zapis funkcji przejścia

mgp dotyczy układu zamkniętego, ale do jego budowy wykorzystuje się funkcję przejścia w układzie otwartym.

( ) ( ) ( ) ( )

(

) (

)

1

+ +

+

= +

s T s

T s

s T s

K T s G s H

mu m

n

lv l

g !

!

z r

g K KK

K =

( ) ( )

n mu m

lv l

mn m

lv l g

T s T s

s

s T s T

T T

T K T

s G s H

⋅

 

 +



 +



 +



 +

= 1 1

1 1

1 1 1

1

!

!

"

"

K0 – współczynnik czułości statycznej, zmienia się od 0 do ∞

( ) ( ) ( ) ( )

( ) (

)

n

v

p s p s s

z s z K s

s G s

H − −

−

= −

"

"

1 1

0 zi – zera funkcji H(s)G(s) = 0 ,

li

i T

z =− 1

pk – bieguny funkcji H(s)G(s) = ∞,

mu

k T

p =− 1

2) Warunek argumentu i modułu H(s)G(s).

Na podstawie równania charakterystycznego układu zamkniętego, można wyprowadzić warunki jakie powinna spełniać funkcja w układzie otwartym, aby można było budować mgp.

Np. będzie dany układ biegunów i zer w funkcji przejścia układu otwartego.

Rys. 7.1

Jeżeli punkt próbny s należy do mgp, to jest spełniony warunek argumentu:

( )

ψ ϕ

ϕ₀ + ₁ − ₁ = 2m+1 gdzie m = 0, ± 1, ±2, ...

Warunek ten służy do określania mgp metodą prób i ogólnie zapisuje się go wzorem:

( )

ψ ϕ

ϕ 2 1

1 1

0 +

∑

∑

−

=

=

m n ^{k u}

k

v i

i i k

Jeżeli punkt próbny s należy do mgp to wartość czułości statycznej określamy ze wzoru:

z1 p1 p0

φ1 φ0

ψ1

rz1 rp1 rp0

s jω

σ

1 1 0 0

z p p

r r K = r

Jest to warunek modułu i służy do skalowania wykresu w wartościach K0. Ogólny zapis:

∏

∏

=

=

=

= =

= _{i v}

k zi

u k

k pk n

p zv z

pu n p

p

r r r r

r r r r

K

1 1 0 1

1 0

0 "

"

W praktyce może się zdarzyć, że funkcja nie ma zera, wtedy : 1

1

∏

= v i

i

rzi

3) Część mgp na osi rzeczywistej.

Przyjmując punkt próbny na osi rzeczywistej można wykazać, że jeżeli liczba biegunów i zer leżących po prawej stronie punktu próbnego na osi rzeczywistej jest nieparzysta to punkt ten należy do mgp.

Rys. 7.2 4) Liczba odgałęzień mgp.

Liczba ta jest równa liczbie biegunów H(s)G(s).

5) Punkty początkowe i końcowe MGP.

Punkt początkowy – w biegunie „k” rpk = 0.

Punkt końcowy – w zerze „i” rzi = 0.

6) Asymptoty mgp.

Jeżeli miejsce geometryczne ma asymptoty, to kąt ich nachylenia do osi rzeczywistej wynosi:

( )

v n u

m

a + −

= + π

γ 2 1

m = 0,±1, ±2, ..., (u+n-1) u + n – liczba biegunów; v – liczba zer

Wszystkie asymptoty MGP przecinają się w jednym punkcie, nazywamy środkiem ciężkości asymptot.

v n u

z p ^v _i

n k

a + −

−

=

∑ ∑

1

σ 1

∑

1

- suma wartości współrzędnych biegunów

∑

1

- suma wartości współrzędnych zer jω

z1 p1 p0

K0=∞ K0=0 K0=0

kierunek wzrostu K0

σ

7) Punkty rozgałęzienia i schodzenia mgp.

Rys. 7.3

Punkt rozgałęzienia to punkt, w którym mgp opuszcza oś rzeczywistą przechodząc na płaszczyznę zmiennej zespolonej. Punkt schodzenia to punkt, w którym mgp opuszcza płaszczyznę zmiennej zespolonej na oś rzeczywistą. Oprócz typowych mogą wystąpić również nietypowe rozgałęzienia i schodzenia. O istnieniu tych punktów rozgałęzienia można wnioskować tylko podczas budowy wykresów.

Współrzędne punktów rozgałęzienia lub schodzenia, można na podstawie warunku argumentów. W tym celu rozważa się specjalny punkt próbny będący punktem poszukiwanym, odchylonym od osi σ o bardzo małą odległość (rys.7.4).

δ – bardzo małe odchylenie Rys. 7.4

Jeżeli punkt próbny ma należeć do mgp to musi być spełniony warunek argumentu:

( )

δ α

π α π ϕ

π ψ

ϕ ϕ

malych bardzo

dla m

sin 1 2

0

1 1 0

−

≅

−

=

+

=

− +

1 1

1 1

0 0

, ,

z p

p

r r

r

ψ δ ϕ δ

π δ ϕ

=

=

−

=

( )

δ δ

π δ 2 1

1 1 0

+

=

−

+











 − m

r r

r_{p p z}

W otrzymanym równaniu dobieramy taką wartość m aby wyeliminować składniki stałe będące wielokrotnością π. Dla naszego przypadku dla m = 0:

z1 p1 p0

φ1 φ0

ψ1

rz1 rp1 rp0

s jω

δ

α σ

jω

K0=0 K0=1

K0=0

K0=5 K0=5 K0=1

punkt rozgałęzienia

σ

K0=100 K0=100 K0=∞

jω

K0=1

K0=1

K0=1

punkt schodzenia

K0=∞

σ

nietypowy jω

punkt schodzenia

σ

1 0 1 1

1 0 1 1

0

1 1 0

1 1 0

1 1 0

=

− +

−

=











− + −

=

− +

−

z p p

z p p

z p p

r r r

r r r

r r r δ

δ δ δ

Rozwiązanie otrzymanego równania przeprowadzamy metodą prób, zakładając położenie punktu rozgałęzienia i schodzenia. Otrzymujemy w ten sposób wartości promieni, które podstawiamy do wzoru i sprawdzamy zerowanie się lewej strony.

Przykład 7.1.

Dany jest UAR pokazany na rysunku 7.5

T1 = 0,1[s]; T2 = 0,2[s]; T3 = 0,5[s]

Rys. 7.5

Zbudować miejsce geometryczne pierwiastków układu zamkniętego.

1. Zapis funkcji przejścia:

( ) ( )

(

)(

)(

)

1

1 ₀

3 2

1 3

2

1 = + + +



 +



 +



 +

⋅

= s s s

K

s T s T

s T T T K T s G s

H _g

2. Zera i bieguny H(s)G(s) oraz mgp na osi rzeczywistej:

p1 = -2; p2 = -5; p3 = -10.

Rys. 7.6

3. Wyznaczenie asymptot (kąt) i środka ciężkości asymptot.

( ) ( ) ( )

1 3 0 2

0 3

1 2 1

2 π π π

γ = +

− +

= +

− +

= + m m

v n u

m

a stąd:

m 0 1 2 3

γa 60° 180° 300° 420°

(

)(

)(

)

K_g

R(s) E(s) C(s)

-

-10 -5 -2

p1 p2 p3

300° 60°

δa

67 , 3 5

10 5

1 2

1 = − − − ≅−

− +

−

=

∑ ∑

v n u

z

p ^v _i

u k

σa

4. Współrzędne punktu rozgałęzienia:

( )

ψ ϕ

ϕ₀ + ₁ − ₁ = 2m+1

( )

δ δ

π δ 2 1

3 2 1

+

=

−

+











 − m

r r

r_{p p p}

1 0 1 1

3 2 1

=

− +

−

p p

p r r

r

rp – szacujemy z wykresu mgp i powyższego równania.

s -3 -4 -3,5 -3,4

rp1 1 2 1,5 1,4

rp2 2 1 1,5 1,6

rp3 7 6 6,5 6,6

lewa strona

rów.

-0,36 0,67 0,15 0,06

5. Liczba gałęzi MGP = 3 6. Ostateczny wykres mgp.

Rys. 7.8 Z powyższego wykresu wynika, że:

a) dla 0 ≤ K0 ≤ 14,8 pierwiastki równania charakterystycznego układu zamkniętego są rzeczywiste ujemne;

b) dla K0 > 14,8 równanie charakterystyczne ma:

- dwa pierwiastki zespolone na gałęziach 1 i 2;

- jeden pierwiastek rzeczywisty na gałęzi 3.

W celu znalezienia pierwiastków równania charakterystycznego układu zamkniętego, dla zadanej czułości statycznej, należy:

a) znaleźć punkty mgp (metodą prób), w którym czułość statyczna odpowiada czułości zadanej;

b) współrzędne tych punktów są poszukiwanymi pierwiastkami.

Równanie charakterystyczne zapisane w postaci wynikowej, można wykorzystać do analizy zachowania się układu zamkniętego np.: do wyznaczenia charakterystyki czasowej.

s =-3,4 rp3

r_p2 rp1

Rys. 7.7

-10 K0=0 K0→∞

jω

3

σ

K0=0

2 1

7.2. Ogólne wytyczne doboru wzmocnienia

1.) Dla układu skorygowanego (z regulatorem) sporządzamy mgp, np.:

Rys. 7.9

2) Należy wykreślić prostą pod kątem wynikającym z zadanej liczby tłumienia pierwiastków dominujących.

(

)

cos ≤ ≤

=arc ξ_z ξ_z η

3) Należy wyznaczyć wymaganą czułość statyczną w punkcie przecięcia prostej i mgp.

4) Należy wyznaczyć wymagane wzmocnienie regulatora kr na podstawie wartości Ko wym. Wzmocnienie to gwarantuje położenie pierwiastków dominujących w punktach 1 i 2 płaszczyzny zespolonej.

Przykład 7.2.

Zbadać zapas stabilności układu regulacji opisanego funkcją przejścia w układzie otwartym.

( ) ( ) (

)(

)

s T s T s s KK G s

H ^Z

dla danych KKZ = 1,4 [1/s]

T1 = 0,2 [s]

T2 = 0,1 [s]

Zastosować metodę miejsca geometrycznego pierwiastków równania charakterystycznego układu.

Miejsce geometryczne przedstawia zmianę położenia pierwiastków równania charakterystycznego, w którym współczynnik wzmocnienia zapisany w postacie współczynnika czułości statycznej, traktowany jest jak parametr przyjmujący wartości z przedziału [0, ∞]. Miejsce geometryczne dotyczy układu zamkniętego, lecz do jego budowy wykorzystuje się funkcję przejścia w układzie otwartym.

W pierwszej kolejności zastosujemy zapis funkcji przejścia dogodny do budowy mgp:

( ) ( ) ( )( )

(

)(

)(

)

0

2 1

2 1 2

1 1 1 1 1

p s p s p s

K

s T s T

s T T

KK s

T s T s s KK G s

H ^{Z Z}

−

−

= −





 +

 

 + + =

= +

gdzie: K0 – współczynnik czułości statycznej, mający wartość 2

rp2 jω

rp1

1

η η rk=1/Tz

2 1 p p wym

o r r

K =

[ ]

2 1

0 70 1 s

T T K = KK^Z =

p0, p1, p2 – bieguny funkcji przejścia w układzie otwartym mające wartości p0 = 0 [1/s]

[ ]

p T1 5 1

1

1 =− =−

[ ]

p T1 10 1

2

2 =− =−

Następnie wyznaczone wartości biegunów nanosimy na płaszczyznę Gaussa i badamy, które części osi rzeczywistej należą do mgp. W tym wypadku będą to części zawarte miedzy p0 i p1 oraz na lewo od p2, pokazane na rysunku 7.10. Z tego rysunku wynika, że między biegunami p0 i p1 znajduje się typowy punkt rozgałęzienia. Dla znalezienia tego punktu układamy równanie pomocnicze wynikające z warunku argumentu (rys. 7.11).

Rys. 7.10

Rys. 7.11 Wymienione równanie ma postać:

ϕ0 + ϕ1 + ϕ2 = (2m + 1)π Ponieważ

0 0

rp

π δ ϕ ≈ −

1 1

rp

ϕ ≈ δ

2 2

rp

ϕ ≈ δ więc otrzymamy

( )

δ δ

π δ 2 1

2 1 0

+

= + +

− m

r r

r_{p p p} .

φ1 φ0

φ2

rp2 rp1 rp0

s jω

δ

σ

~r_p2 ~rp1 ~r_p0

p0

jω

σ p1

p2

-10 -5

Następnie dobieramy taką wartość m, aby wyeliminować składniki stałe, będące wielokrotnością liczby π. W tym przypadku dla m = 0 po uproszczeniu otrzymamy:

1 0 1 1

2 1 0

= + +

−

p p

p r r

r

Rozwiązanie tego równania przeprowadzamy metodą prób zakładając konkretne wartości promieni. Wyniki obliczeń dla wygody można zestawić w tabeli, w której oblicza się wartość lewej strony równania (Tab. 7.1.).

Tabela 7.1.

rp0 rp1 rp2 Lewa strona równania

3 2 7 0,31

2 3 8 -0,042

2,1 2,9 7,9 -0,005

Przyjmując, że dokładność wyzerowania się lewej strony równania jest w trzecim wierszu wystarczająca dla praktyki, można przyjąć, że:

rp0 ≈ 2,1 [1/s]

rp1 ≈ 2,9 [1/s]

rp2 ≈ 7,9 [1/s]

Tak więc odcięta punktu rozgałęzienia wynosi –2,1 [1/s]. Następnie wyznaczamy kąt nachylenia asymptot, ze wzoru:

( )

γ u n v

m

a + −

= 2 +1

W rozpatrywanym przypadku liczby biegunów i zer wynoszą:

u = 2 n = 1 v = 0

a zatem asymptoty mgp będą nachylone pod kątem:

(

)

(

)

= 2 1 60

1 3

2m m

a

γ π

Wyniki obliczeń zwykle zestawia się w tabeli dla kilku wartości m (Tab. 7.2.).

Tabela 7.2.

m 0 1 2 3

γa [^o] 60 180 300 420

Z tabeli wybieramy kąty będące rozwiązaniem zadania, czyli:

γa = 60^o γa = 300^o

Środek ciężkości asymptot wyznaczamy ze wzoru:

[ ]

v n u

z

p ^v _i

u k

a 51

3 10

1 5

1 = − − =−

− +

−

=

∑ ∑

σ

Obecnie możemy przystąpić do wykreślenia części mgp znajdującej się poza osią rzeczywistą. W tym celu będziemy stosować warunek argumentu, który dla każdego

punktu próbnego na płaszczyźnie Gaussa, należącego do mgp, ma w tym przypadku postać:

ϕ0 + ϕ1 + ϕ2 = (2m + 1)180^o

Przykładowo, dla punktu sp1 (rys. 7.12.) otrzymamy:

ϕ0 ≈ 119 [^o] ϕ1 ≈ 41 [^o] ϕ2 ≈ 20 [^o] m = 0

podobnie dla punktu sp2 (rys. 7.12.) będzie:

ϕ0 ≈ 95 [^o] ϕ1 ≈ 52 [^o] ϕ2 ≈ 33 [^o] m = 0

Rys. 7.12

Po wykreśleniu mgp, możemy przystąpić do wyskalowania wykresu w wartościach czułości statycznej K0. W tym celu zastosujemy warunek modułu, który dla każdego punktu mgp ma w tym przypadku postać:

K0 = rporp1rp2

Przykładowo dla punktu sp1 (rys. 7.12.) otrzymamy:

rp0 ≈ 3,4 [1/s]

rp1 ≈ 4,5 [1/s]

rp2 ≈ 8,9 [1/s]

K0 ≈ 136,2 [1/s]

Analogicznie dla punktu sp2 (rys. 7.12.) będzie:

rp0 ≈ 6 [1/s]

rp1 ≈ 7,5 [1/s]

rp2 ≈ 11,3 [1/s]

K0 ≈ 508,5 [1/s]

Ponieważ współczynniki wzmocnienia i stałe czasowe układu mają konkretne wartości, więc czułość statyczna wynikająca z tematu zadania będzie równa:

[ ]

2 1

0 701

1 , 0 2 , 0

4 ,

1 s

T T

K KK^Z =

= ⋅

=

-10 k0=0 k0=70

jω

s3

σ

48 k0=

k0=70 136,2

508,5

136,2 508,5

-2,1 s2

s1

sp1

sp2

W związku z tym metodą prób znajdujemy na mgp punkty mające obliczoną wyżej czułość statyczną. W punktach tych znajdują się pierwiastki równania charakterystycznego układu, odpowiadajże danym liczbowym z tematu zadania. Dwa pierwiastki znajdują się poza osią rzeczywistą i wynoszą:

s1 ≈ -1,95 + j1,55 [1/s]

s2 ≈ -1,95 – j1,55 [1/s]

trzeci pierwiastek znajduje się na osi rzeczywistej i jest równy:

s3 ≈ -11,05 [1/s]

Na podstawie mgp stwierdziliśmy zatem, że równanie charakterystyczne ma dwa pierwiastki dominujące zespolone s1 i s2. Stała czasowa i liczba tłumienia, wynikająca z obecności tych pierwiastków, wynoszą odpowiednio:

[ ]

T r

k

Z 0,4

5 , 2

1

1 = =

=

8 , 0 37 cos

cos = °≈

= η

ξ_Z

Bezpieczna praca układu regulacji oraz właściwy kształt jego charakterystyk czasowych wymagają spełnienia nierówności:

0,4 ≤ ξ ≤ 0,8

W rozpatrywanym przypadku można powiedzieć, że zapas stabilności jest w granicach normy, a ponadto można oszacować własności dynamiczne układu:

∆cmr ≈ 2 [%]

tr ≈ 3,6TZ = 3,6 · 0,4 = 1,44 [s]

Przykład 7.3. Wyznaczyć mgp dla następującego obiektu:

( ) ( ) ( )

(

) (

)

=s s s s s s k

G s H

bieguny: 0s_1,2 =−1± j4,s₃ =5,s₄ = zera: s=−5

Rys. 7.13

3j

2j

1j

-1j

-2j

-3j

-4j

1 2 3 4 5 6

-1 -2 -3 -4 -6 -5

-8 -7

s0

γ γ sz

k=1700 k=14,7

4j

a) Asymptoty:

( )

3 8 3

5 1 1 5 , 0

180 60 1 2

0 = + − − + = =

°

− =

°

= + z

v n γ m

b) Punkt rozgałęzienia

Rys. 7.14 2 0

1 1 1

2 1 2

0 1

+ = +

− +

− a b

b r

r

r_{p p z}

85 ,

0 =2 s

c) Punkt zejścia 2 0 1

1 1

2 2 1 0 1

+ =

− +

−

− a b

b r

r

r_{p p z}

25 ,

−7

z = s

d) Czułość statyczna:

dla 7s_o =2,85 → K₀ =14, dla s_z =−7,25 , K₀ =1700 e) Punkt przecięcia z osią jω:

(

)

5

3 ^{3 2}

4 − s − s + k − s+ k=

s

k k k k

k k

k

k

540 1000 20

3 5 40

25 3

5 5 1

2

− +

−

− −

−

−

0

0 1000

2 20

<

∆

= +

− k k

f) Kąt wyjścia gałęzi:

( )

' 20 115

180 1

3 2

2 1

°

−

=

+

=

− + + +

ω

ω

ϕ

ψ ϕ ϕ ϕ

ϕ m

Przykład 7.4. Wyznaczyć mgp dla następującego obiektu:

( ) ( ) ( )

(

) (

)

= s s s s

s s k

G s H

- nie ma takiego wzmocnienia, aby układ był na granicy stabilności tzn. charakterystyka przecinała oś jω.

rz1

rp0 rp4

b a

bieguny: 0s_1,2 =−6± j4,s₃ =5,s₄ = zera: s=−5

Rys. 7.15 a) Asymptoty:

( )

3 2 3

5 6 6 5 , 0

180 60 1 2

0 = + − − + = =

°

− =

°

= + z

v n γ m

b) Punkt rozgałęzienia:

Rys. 7.16 2 0

1 1 1

2 2 1 0 1

+ = +

− +

− a b

b r

r

r_{p p z}

75 ,

0 =2 rp

c) Czułość w punkcie rozgałęzienia:

( ) ( ) ^{( )( )}

75 , 7

40 33 59 , 7 25 , 2 75 , 2 5

40 12 5 ²

+ = +

− − + =

+ +

− −

= s

s s

s k s

d) Punkt schodzenia:

2 0 1

1 1

2 2 1 0 1

+ =

− +

−

− a b

b r

r r_{p p z}

45 ,

0 =−7 rp

rz1

rp0 rp1

b a

3j

2j

1j

-1j

-2j

-3j

-4j

1 2 3 4 5 6

-1 -2 -3 -4 -6 -5

-8 -7

γ γ

k=227,5 k=64,4

4j

e) Czułość w punkcie schodzenia:

( )( )

45 , 2

40 5 , 89 5 , 55 45 , 12 45 ,

7 =

−

+

−

− −

= k

f) Kąt pod jakim wychodzą gałęzie:

( )

' 15 88

180 1

3 2

2 1

°

−

=

+

=

− + + +

ω

ω

ϕ

ψ ϕ ϕ ϕ

ϕ m

g) Punkt przecięcia z osią jω:

( )( )

(

)

20 7

0 40 12 5

5

2 3

4

2 2

= +

− +

− +

= + +

− + +

k s k

s s

s

s s

s s k ks

k k k k

k k

k

k

560

12000 505

7 5

60 200

7

5 20 1

2

+

− +

−

+

− −

−

480 25

455

0 12000 505

2 1

2

=

=

=

∆

= +

− k k

k k

Przykład 7.5

Wyznaczyć mgp dla następującego obiektu:

( ) ( ) ( )

(

) (

)

⁽

^{) ( [}

⁽

^{) ) ] [}

⁽

^{) ]}

s

s s k

G s

H 2 6 2 6 2

5 40

12 2

5

2 − + + + −

= + + +

−

= +

Rys. 7.17 a) Asymptoty:

( )

3 5 3

5 6 6 2 , 0

180 60 1 2

0 = + − − + =− =−

°

− =

°

= + z

v n γ m

3j

2j

1j

-1j

-2j

-3j

-4j

1 2 3 4 5

-1 -2 -3 -4 -6 -5

-8 -7

γ γ

k=152 k=8,85

4j

b) Punkt rozgałęzienia:

Rys. 7.18 2 0 1

1 1

2 2 1 0 1

+ = +

− +

− a b

b r

r r_{p p z}

05 ,

0 =1 rp

c) Czułość w punkcie rozgałęzienia:

( ) ( ) ^{( )( )}

05 , 6

40 6 , 12 1 , 1 95 , 0 05 , 1 5

40 12

2 ² =− − + + =

+ + +

− −

= s

s s

s k s

d) Punkt schodzenia:

2 0 1

1 1

2 1 2

0 1

+ =

− +

−

− a b

b r

r

r_{p p z}

75 ,

0 =6 rp

e) Czułość w punkcie schodzenia:

( )( )( )

75 , 1

40 81 5 , 45 75 , 8 75 ,

6 =

−

+

−

−

− −

= k

f) Kąt pod jakim wychodzą gałęzie:

( )

°

=

+

=

− + + +

121

180 1

3 2

2 1 ω

ω

ϕ

ψ ϕ ϕ ϕ

ϕ m

g) Punkt przecięcia z osią jω:

(

)

16

10 ^{3 2}

4 + s + s + k− s+ k=

s

k k k k

k k

k

k

5 240 200 , 19 180

10 5 240

80 10

5 16 1

2

+

−

−

−

−

+

− −

980 800

1780

0 200 , 19 180

2 1

2

−

=

=

=

∆

= +

−

k k

k k

rz1

rp0 rp1

b a