1 Przydatne definicje i pojęcia

Funkcje wielu zmiennych o wartościach rzeczywistych (ekstrema lokalne)

1 Przydatne definicje i pojęcia

Niech D ⊂^Rn będzie niepustym zbiorem.

Definicja 1.1.

Rozważmy funkcję f : D → R. Funkcja f ma w punkcie a ∈ D maksimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie U punktu a zawarte w D takie, że f (x)  f (a) dla każdego x ∈ U. Funkcja f ma w punkcie a ∈ D maksimum lokalne właściwe, jeżeli istnieje otoczenie U punktu a zawarte w D takie, że f (x) < f (a) dla każdego x ∈ U, x = a.

Analogicznie określamy minimum lokalne i minimum lokalne właściwe.

Twierdzenie 1.1. Warunek konieczny

Załóżmy, że funkcja f : D → R ma w punkcie a ∈ D eksteremum lokalne (maksimum lub minimum). Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie a, to f
(a) = 0.

Punkty z ∈ D, w których f
(z) = 0 nazywamy punktami krytycznymi lub punktami stacjonarnymi funkcji f .

W przypadku funkcji dwóch zmiennych, warunek f
(x, y) = 0 ma następującą interpretację geometryczną: płaszczyzna styczna do wykresu funkcji z = f (x, y) w punkcie (x, y, f (x, y) ∈^R3 jest pozioma, czyli równoległa do płaszczyzny 0xy.

Twierdzenie 1.2.

Załóżmy, że funkcja f : D →^R jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie a ∈ D. Jeżeli funkcja f ma w punkcie a minimum lokalne (odp. maksimum lokalne), to jej druga różniczka w tym punkcie jest formą kwadratową nieujemną (odp. niedodatnią)

Twierdzenie 1.3. Warunek wystarczający

Załóżmy, że funkcja f : D → ^R jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie a ∈ D i f
(a) = 0.

Jeżeli druga różniczka d²f (a) jest formą kwadratową dodatnią (odp. ujemną), to funkcja f ma w punkcie a minimum lokalne właściwe (odp. maksimum lokalne właściwe). Jeśli natomiast d²f (a) ma nieokreślony znak, to funkcja f nie ma w punkcie a ekstremum lokalnego.

Ponieważ druga różniczka funkcji będąca formą kwadratową ma swoją reprezentację w postaci macierzy Hessego, to powyższe twierdzenie można zapisać w języku pochodnych cząstkowych drugiego rzędu w następujący sposób:

Twierdzenie 1.4.

Niech f będzie funkcja dwukrotnie rózniczkowalną w punkcie a ∈ D i f
(a) = 0. Niech

A =







∂²f

∂x²₁ . . . _∂x^∂_n²_∂x^f ₁ . . . .

∂²f

∂x1∂xn . . . ^∂_∂x^2f2 n







Strona 29

będzie macierzą Hessego funkcji f w punkcie a. Określmy dalej dla każdego k = 1, 2, . . . , n

Ak=







∂²f

∂x²₁ . . . _∂x^∂_k²_∂x^f₁ . . . .

∂²f

∂x1∂xk . . . ^∂_∂x^2f2 k





.

1. Jeżeli detAk > 0 dla każdego k = 1, 2, . . . , n, to funkcja f ma w punkcie a minimum lokalne właściwe.

2. Jeżeli (−1)^kdetAk > 0 dla każdego k = 1, 2, . . . , n, to funkcja f ma w punkcie a maksimum lokalne właściwe.

Z drugiej strony, jeżeli

a) f ma w punkcie a minimum lokalne, to detAk  0 dla każdego k = 1, 2, . . . , n,

b) f ma w punkcie a maksimum lokalne, to (−1)^kdetAk  0 dla każdego k = 1, 2, . . . , n.

W konsekwencji, jeśli nie jest spełniony żaden z warunków a) lub b), to funkcja f nie ma w punkcie a ekstremum lokalngo.

2 Zadania

1. Sprawdzić, że druga różniczka funkcji f : ^Rk → R, f (x) = exp (x²₁+· · · + x²_k) = e^x2 w punkcie Θ jest dodatnia.

2. Wykazać, że 2m−ta różniczka funkcji f (x) = exp (x^2m₁ +· · · + x^2m_k ) , x ∈R^k jest w punkcie Θ dodatnia.

3. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji (i) f (x1, x2) = 2x1x2− 3x²₁− 2x²₂+ 10, (ii) f (x1, x2) = e^2x1(x1 + x²₂+ 2x2) .

4. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f : U ⊂^R2 →R lub f : U ⊂^R3 →R określonych:

(i) f (x, y) = (8x²− 6xy + 3y²)exp(2x + 3y), (ii) f (x, y) = xy



1− ^x_a²2 − ^y_b²2, gdzie a, b > 0, (iii) f (x, y) = x⁴+ y⁴,

(iv) f (x, y) = y√

1 + x + x√ 1 + y, (v) f (x, y) = sin(x)cos(y),

(vi) f (x, y) = x⁴ + y⁴− 2x²− 4xy − 2y², (vii) f (x, y, z) = 2x²+ y²+ 2z − xy − xz,

(viii) f (x, y, z) = 3lnx + 2lny + 5lnz + ln(22 − x − y − z), (ix) f (x, y) = x³ + y²,

(x) f (x, y) = x − 2y + ln√

x²+ y²+ 3arctg^y_x, (xi) f (x, y) = (x − 1)²− 2y².

5. Udowodnić nierówność: xe^x(1+y2)2  −e⁻¹ dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y.

Strona 30