Przestrzeń
Rn1 Przydatne definicje i pojęcia
Definicja 1.1.
Metryką (odległością) w przestrzeni Rn nazywamy funkcję nieujemną d :Rn×Rn→R spełnia- jącą warunki:
1. d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y.
2. d(x, y) = d(y, x) dla dowolnych x, y ∈Rn.
3. d(x, z) dx, y) + d(y, z) dla dowolnych x, y, z ∈Rn. Podstawowe metryki w przestrzeni Rn, to:
d1(x, y) =
n i=1
|xi− yi|, d2(x, y) =
n
i=1
|xi− yi|2, d∞(x, y) = maxi=1...n{|xi− yi|}
dla x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn)∈Rn. Metryka d2 nazywana jest metryką euklidesową.
Definicja 1.2.
Kulą otwartą w Rn o środku w punkcie x0 i promieniu r > 0 nazywamy {x ∈Rn : d(x0, x) < r}
i oznaczamy symbolem K(x0, r).
Kulą domkniętą wRno środku w punkcie x0 i promieniu r > 0 nazywamy {x ∈Rn: d(x0, x) r}
i oznaczamy symbolem K(x0, r).
Sferą w Rn o środku w punkcie x0 i promieniu r > 0 nazywamy {x ∈Rn: d(x0, x) = r} i ozna- czamy symbolem S(x0, r).
Definicja 1.3.
Zbiór A ⊂ Rn jest ograniczony, jeśli jest zawarty w otoczeniu pewnego punktu, tzn. istnieje punkt P0 oraz liczba dodatnia r, dla których zachodzi warunek A ⊂ K(P0, r). W przeciwnym wypadku zbiór A nazywamy nieograniczonym.
Definicja 1.4.
Powiemy, że P jest punktem wewnętrzym zbioru A, jeśli istnieje otoczenie tego punktu za- warte w tym zbiorze, tzn. istnieje liczba dodatnia r, dla której K(P, r) ⊂ A. Wnętrzem zbioru nazywamy zbiór wszystkich jego punktów wewnętrznych, oznaczamy go symbolem IntA.
Definicja 1.5.
Zbiór jest otwarty, jeśli każdy punkt tego zbioru jest jego punktem wewnętrznym.
Definicja 1.6.
Powiemy, że punkt P jest punktem brzegowym zbioru A, jeśli w każdym otoczeniu tego punktu Arkusz 1
istnieją punkty należące i punkty nienależące do tego zbioru, tzn. dla każdej liczby dodatniej r zachodzi warunek:
K(P, r) ∩ A = ∅ oraz K(P, r) ∩ A = ∅.
Brzegiem zbioru A nazywamy zbiór wszystkich jego punktów brzegowych i oznaczamy go sym- bolem Fr A.
Definicja 1.7.
Mówimy, że zbiór jest domknięty, jeśli zawiera swój brzeg.
Definicja 1.8.
Domknięciem zbioru A nazywamy nazywamy zbiór wszystkich punktów P ∈Rn, które spełniają warunek, że w każdym otoczeniu punktu P można znaleźć punkty zbioru A, tzn. dla każdej liczby dodatniej r zachodzi warunek: K(P, r) ∩ A = ∅. Domknięcie zbioru A oznaczamy symbolem A.
Definicja 1.9.
Mówimy, że P jest punktem skupienia zbioru A, jeśli w każdym sąsiedztwie tego punktu można znaleźć punkty zbioru A, tzn. dla każdej liczby dodatniej r zachodzi warunek:
(K(P, r) \ {P }) ∩ A = ∅.
Wniosek 1.1.
1. Zbiór A jest domknięty, jeśli A = A.
2. Zbiór A jest otwarty, jeśli A = IntA.
Definicja 1.10.
Niepusty zbiór przestrzeniRn nazywamy obszarem, jeśli jest otwarty i spójny (tzn. każde dwa punkty tego zbioru można połączyć łamaną całkowicie w nim zawartą).
2 Zadania
1. Wymienić, jakie znane własności (np. czy zbiór jest ograniczony, otwarty, domknięty) mają zbiory:
(i){(x, y) ∈R2 : a < x < b, c < y < d}, gdzie a < b, c < d, (ii) {(x, y) ∈ R2 : |x| a, |y| b}, gdzie a > 0, b > 0, (iii) (x, y) ∈R2 : 0 < sinx < 12,
(iv) {(x, y) ∈R2 : x2 < y < 2x2}, (v) {(x, y, z) ∈R3 : xyz = 0},
(vi) {(x, y, z) ∈R3 : x2+ y2+ z2 < 9}, (vii) {(x, y) ∈R2 : x2+ y2 > 2}, (viii) {(x, y) ∈R2 : |x| 1, |y| 3}, (ix) {(x, y, z) ∈R3 : x2+ y2+ z2 = 3}, (x) {(x, y, z) ∈R3 : x − y + z 5}.
Arkusz 2
W każdym przypadku narysować wskazane zbiory.
2. Znaleźć i naszkicować wnętrza podanych zbiorów:
(i){(x, y) ∈R2 : 2x + x2+ y2 0}, (ii) {(x, y) ∈ R2 : y − x2+ 1 0}, (iii) {(x, y, z) ∈ R3 : |x + y + z| 1}, (iv) {(x, y, z) ∈R3 : xyz > 0}.
3. Znaleźć i naszkicować brzegi podanych zbiorów:
(i){(x, y) ∈R2 : 1 x2+ y2 < 4}, (ii) {(x, y) ∈ R2 : |y − x2| > 2}, (iii) {(x, y, z) ∈ R3 : xyz = 0}, (iv) {(x, y, z) ∈R3 : x2+ y2 > 1}.
4. Zanleźć i narysować domknięcia zbiorów z poprzednich dwóch zadań.
5. Pokazać, że dla dowolnych x, y ∈R2 zachodzą nierówności:
√2
2 d1(x, y) d2(x, y) d1(x, y), d∞(x, y) d2(x, y) √
2d∞(x, y).
6. Pokazać, że dla dowolnych x, y ∈R3 zachodzą nierówności:
√3
3 d1(x, y) d2(x, y) d1(x, y), d∞(x, y) d2(x, y) √
3d∞(x, y).
7. Pokazać, że dla dowolnych x, y ∈Rn zachodzą nierówności:
√n
n d1(x, y) d2(x, y) d1(x, y), d∞(x, y) d2(x, y) √
nd∞(x, y).
8. Wykazać, że kula otwarta w Rn jest zbiorem otwartym, a kula domknięta jest zbiorem do- mkniętym.
9. Zbadać,czy podane zbiory są obszarami:
(i) A = {(x, y) ∈R2 : |x| < y}, (ii) B = {(x, yz) ∈R3 : x = 0},
(iii) C = {(x, y, z) ∈R3 : 0 < x2+ y2+ z2 1}.
Arkusz 3
