Funkcje wielu zmiennych o wartościach rzeczywistych (granice, granice iterowane) 1 Przydatne deﬁnicje i pojęcia

(1)

Funkcje wielu zmiennych o wartościach rzeczywistych (granice, granice iterowane)

1 Przydatne deﬁnicje i pojęcia

Rozważmy na początku funkcję dwóch zmiennych określoną na zbiorze D ⊂ R². Załóżmy ponadto, żeD jest taki, że x (niezaleznie od y) może przybierać dowolną wartość w pewnym zbiorze X, mającym punkt skupienia a /∈ X, analogicznie, że y (niezaleznie od x) może przybierać do- wolną wartość w pewnym zbiorze Y , mającym punkt skupienia b /∈ Y .

Deﬁnicja 1.1.

Jesli dla dowolnie ustalonegoy ∈ Y istnieje granica funkcji f(x, y) (która jest teraz funkcją tylko zmiennej x) przy x → a, to granica ta zależy od ustalonego y:

x→alimf(x, y) = ϕ(y).

Możemy teraz policzyć kolejną granicę

limy→bϕ(y) = lim

y→blim

x→af(x, y) Granica po prawej stronie nazywa się granicą iterowaną.

Łatwo zauważyć, że jeśli przejdziemy do obliczania granic w odwrotnym porządku, to otrzymamy drugą z granic iterowanych:

x→alimlim

y→bf(x, y).

Twierdzenie 1.1.

Jeśli

1) istnieje skończona lub nieskończona granica podwójna A = lim(x,y)→(a,b)f(x, y) i

2) dla każdego y ∈ Y istnieje skończona granica zwykła względem x, czyli ϕ(y) = limx→af(x, y), to istnieje także granica iterowana lim_y→bϕ(y) = limy→blim_x→af(x, y) i równa się granicy po- dwójnej.

Uwaga 1.

Jeśli spełnione są warunki 1) i 2) i ponadto dla każdegox ∈ X istnieje skończona granica zwykła względemy, czyli ψ(x) = lim_y→bf(x, y), to z powyższego twierdzenia wynika, że jeśli zamienimy role x i y, to itsnieje także i druga granica iterowana

x→alimψ(x) = lim_x→alim

y→bf(x, y) i jest równa tej samej liczbie A.

Uwaga 2.

Analogicznie można określić granice iterowane dla funkcji trzech zmiennych (będzie ich 3!), czterech zmiennych (będzie ich 4!) i n-zmiennnych (będzie ich n!).

Strona 13

(2)

2 Zadania

1. Uzasadnić (dowolną metodą), że podane granice nie istnieją:

(i) lim(x,y)→(0,0) x

x+y, (ii) lim(x,y)→(0,0) 2xy x²+y², (iii) lim(x,y)→(0,1) x⁶

y²−1, (iv) lim(x,y)→(π,0) sinx siny, (v) lim(x,y)→(4,−3) xy+12

x²+y²−25, (vi) lim(x,y)→(0,0) xy x+y.

2. Załóżmy, że istnieje granica iterowana lim

x→x0 lim

y→y0f(x, y) = z oraz istnieje granica lim_y→y

0f(x, y) = h(x) jednostajna wzgledem x. Wykazać istnienie granicy podwójnej lim

(x,y)→(x0,y0)f(x, y).

3. Zbadać istnienie granic iterowanych lim

x→alim

y→bf(x, y), lim

y→blim

x→af(x, y) oraz granicy podwójnej

(x,y)→(a,b)lim f(x, y) w przypadku gdy:

(i)f(x, y) = ^x_x²2+y^+y⁴², a = ∞, b = ∞, (ii) f(x, y) = sin(_2x+y^x ), a = ∞, b = ∞, (iii) f(x, y) = xsin(¹_y),a = 0, b = 0, (iv) f(x, y) = ^x−y+x_x+y²^+y²,a = 0, b = 0, (v) f(x, y) = (x² +y²)^x²^y², a = 0, b = 0.

W każdym podpunkcie określić zbiór A, jeśli f : A →R, A ⊂R².

4. Zbadać istnienie granic oraz granic iterowanych, jeśli:

(i)f : A → R, A =R²\ {(x, y) ∈R² :xy = 0}, f(x, y) = (x + y)sin¹_xsin¹_y w (x₀, y₀) = Θ, (ii) f : B →R, B = {(x, y) ∈R² :x > 0, x + y > 0}, f(x, y) = ^xsin_x+y^y¹^+y w (x₀, y₀) = Θ,

(iii) f :R²\ {Θ} → R, f(x, y) = _x2y²^x−(x−y)²^y² ² w (x0, y0) = Θ.

5. Zbadać istnienie granicy: lim(x,y)→(+∞,+∞) x+y x²−xy+y².

Strona 14