Instrukcja przygotowania i realizacji scenariusza dotyczącego ćwiczenia T2 z przedmiotu "Wytrzymałość materiałów", przeznaczona dla studentów II roku studiów stacjonarnych I stopnia w kierunku Energetyka na Wydz. Energetyki i Paliw

z przedmiotu "Wytrzymałość materiałów", przeznaczona dla studentów II roku studiów stacjonarnych I stopnia w kierunku Energetyka na Wydz. Energetyki i Paliw

^*

Treść ćwiczenia T2: Obliczanie wytrzymałościowe prętów obciążonych osiowo (tj. siłami rozciągającymi oraz ściskającymi) - w przypadkach statycznie wyzna- czalnych oraz statycznie niewyznaczalnych.

Część I. Warunki wytrzymałościowe bezpieczeństwa i sztywności dla prętów obciążo- nych osiowo

1. Podać i objaśnić wzory opisujące warunki bezpieczeństwa dla rozciągania lub ściskania pręta wykonanego z materiału sprężysto-plastycznego oraz zdefiniować następujące pojęcia:

• materiał sprężysto-plastyczny,

• naprężenie niszczące dla materiału sprężysto-plastycznego,

• współczynnik bezpieczeństwa,

• naprężenie dopuszczalne dla materiału sprężysto-plastycznego.

2. Podać i objaśnić wzory opisujące warunki bezpieczeństwa dla rozciągania oraz ściskania pręta wykonanego z materiału sprężysto-kruchego oraz zdefiniować następujące pojęcia:

• materiał sprężysto-kruchy,

• naprężenie niszczące materiał sprężysto-kruchy przy rozciąganiu,

• naprężenie niszczące materiał sprężysto-kruchy przy ściskaniu, 3. Zdefiniować pojęcia:

• zasada de Saint -Venanta,

• pręty smukłe,

oraz przedstawić ograniczenia wynikające z tych pojęć dla podanych warunków wytrzymałościowych bezpieczeństwa.

4. Przedstawić i objaśnić wzór opisujący warunek sztywności pręta rozciąganego lub ściska- nego, podać ograniczenia tego warunku wynikające z prawa Hooke'a oraz zestawić i po- równać wartości modułu sprężystości wzdłużnej dla następujących materiałów:

• stal sprężynowa,

• stal węglowa konstrukcyjna,

• żeliwo,

• stopy aluminium,

• beton,

• szkło.

* Autorem instrukcji jest Marek Płachno, prof. ndzw. AGH. Instrukcja stanowi przedmiot prawa autorskiego określonego w Ustawie o prawie autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z późn. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie instrukcji niż podane w jej przeznaczeniu.

Część II. Obliczanie wytrzymałościowe prętów obciążonych współosiowo jednos- tronnie utwierdzonych (przypadki statycznie wyznaczalne)

1. Podać następującą definicję zasady superpozycji:

Dowolny skutek wywołany działaniem kilku obciążeń jest równy sumie skutków spowodowanych przez każde z tych obciążeń działających oddzielnie.

2. Pręt jednostronnie utwierdzony i obciążony osiowo jak na rys. 1, jest wykonany z materiału sprężys- to-kruchego o parametrach k

c

= 130 MPa, k

r

= 30 MPa, E = 1,2·10

⁵

MPa, oraz ma dopuszczalne wy- dłużenie określone jako ∆∆∆∆ l

dop

= -0,5÷0,5 mm. Wykorzystuj ąc zasadę superpozycji przedstawić tok oraz wyniki obliczeń wytrzymałościowych tego pręta.

Rys.1

Do tego celu zastosować sposób postępowania przedstawiony w poniższym przykładzie:

Sprawdzić warunek bezpieczeństwa i warunek sztywności dla pręta obciążonego siłami osiowymi P

1

i P

2

, pokazanego na rys. 2. Pręt jest wykonany z materiału sprężysto-kruche- go o parametrach k

_c

= 65 MPa, k

_r

= 15 MPa, E = 1,2·10

⁵

MPa oraz ma wydłużenie dopuszczalne ∆∆∆∆ ^l

dop

= -0,1÷0,1 mm.

Rys. 2

1) Wyznaczenie rozkładu naprężeń wzdłuż długości pręta spowodowanych siłami P

1

i P

2

.

• naprężenia spowodowane przez siłę P

1

działającą oddzielnie:

MPa 3 , 8 Pa 10 83 , m 0 10 12

N 10 10 A

P MPa, 20 Pa 10 m 2

10 5

N 10 10 A

P

7

2 4

3

2 1 7 12

2 4

3

1 1

11

= − ⋅ = −

⋅

− ⋅

=

−

= σ

−

=

⋅

−

⋅ =

− ⋅

=

−

=

σ

_{− −}

• naprężenia spowodowane przez siłę P

2

działającą oddzielnie:

• naprężenia spowodowane przez siły P

1

i P

2

działające równocześnie:

2) Sprawdzenie warunku bezpieczeństwa

• dla przekroju A

1

, gdzie występuje ściskanie:

warunek jest spełniony

• dla przekroju A

2

, gdzie występuje rozciąganie:

warunek nie jest spełniony

3) Wyznaczenie wydłużenia doznanego przez pręt wskutek działania sił P

1

i P

2

• wydłużenie spowodowane przez siłę P

1

działającą oddzielnie:

MPa 25 Pa 10 5 , m 2 10 12

N 10 30 A

P ,

0

⁷

2 4

3

2 2 22

21

= ⋅ =

⋅

= ⋅

= σ

=

σ

−

MPa 16,7 MPa 25 MPa 3 , 8

MPa, 20 0 MPa

20

_{2 12 22}

21 11

1

= σ + σ = − + = − σ = σ + σ = − + =

σ

MPa 65 k MPa

20

_c

1

= < =

σ

- MPa 15 k MPa 16,7

_r

2

= > =

σ

( ) _{0 , 054 10 m}

10 12 10 10 2 , 1

) 2 , 0 5 , 0 ( 10 ) 10

10 5 10 10 2 , 1

2 , 0 10 ( 10

A E

a b ) P

A E

a ( P )

(P

³

4 6

5 3 4

6 5

3

2 1 1

1

1 −

−

− 

= − ⋅

 





⋅

⋅

⋅

⋅

−

⋅

− ⋅

⋅ +

⋅

⋅

⋅

⋅

− ⋅



=



 





⋅

−

− ⋅

⋅ +

− ⋅

=

∆l

• wydłużenie spowodowane przez siłę P

2

działającą oddzielnie:

• wydłużenie spowodowane przez siły P

1

i P

2

działające równocześnie:

4) Sprawdzenie warunku sztywności

warunek jest spełniony.

Część III. Obliczanie wytrzymałościowe prętów obciążonych współosiowo obustronnie utwierdzonych (przypadki statycznie niewyznaczalne)

1. Wyjaśnić, kiedy pręt obciążony współosiowo stanowi przypadek statycznie niewyznaczalny.

2. Co to jest równanie zgodności przemieszczeń?

3. Pręt obustronnie utwierdzony jak na rys. 3 doznaje przyrostów temperatury. Przedstawić tok i wy- niki obliczeń bezpiecznego przyrostu temperatury ∆∆∆∆ t pręta, jeżeli materiał pręta ma dopuszczalne naprężenie ściskające k

c

= 150 MPa, moduł E =2,1·10

⁵

MPa oraz współczynnik rozszerzalności liniowej α = 1,2·10

^-5

K

^-1

.

Rys. 3

Do tego celu zastosować sposób post ępowania przedstawiony w poniższym przykładzie:

Obliczyć bezpieczny przyrost temperatury ∆∆∆∆ t pręta jak na rys. 4. Do obliczeń przyjąć dane:

k

c

= 65 MPa, moduł E =1,2·10

⁵

MPa oraz współczynnik rozszerzalności liniowej α ^{= 1,05·10}

^-5

^K

^-1

^.

Rys. 4 m

10 009 , 0 m 10 063 , 0 m 10 054 , 0 ) (P )

(P

₁

+ ∆

₂

= − ⋅

⁻³

+ ⋅

⁻³

= ⋅

⁻³

∆

=

∆

l l l

mm 1 , 0 mm

009 , 0 m 10 009 ,

0 ⋅

³

= < ∆

_dop

=

=

∆

l ⁻ l

m 10 063 , 10 0 12 10 10 2 , 1

) 2 , 0 5 , 0 ( 10 30 A

E ) a b ( ) P

(P

³

4 6

5 3

2 2

2 −

−

= ⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

−

⋅

= ⋅

⋅

−

= ⋅

∆l

1) Równanie zgodności przemieszczeń

Gdyby pręt nie był dwustronnie utwierdzony, to wskutek przyrostu temperatury ∆∆∆∆ t uległ by wydłużeniu określonemu jako:

Obustronne utwierdzenie nie dopuszcza do wydłużenia pręta, w związku z czym, w pręcie powstaje osiowa siła ściskająca R , która powoduje skrócenie pręta kompensujące wydłu- żenie ∆∆∆∆ ^l( ∆∆∆∆ ^t).

Na tej podstawie uzyskuje się następujące równanie zgodności przemieszczeń:

2) Obliczenie siły osiowej R:

3) Obliczenie naprężeń powodowanych przez siłę R w przekrojach A

1

i A

2

pręta:

4) Obliczenie bezpiecznego przyrostu temperatury ∆∆∆∆ ^t:

Ponieważ σ

1

> σ

2

, to dla obliczenia przyrostu temperatury ∆∆∆∆ t: uzyskuje się równanie:

z którego wylicza się:

Uwaga :

Scenariusz należy tak opracować, aby czas jego realizacji podczas ćwiczenia nie przekroczył 50 minut

Koniec instrukcji t

b ) t

( ∆ = α ⋅ ⋅ ∆

∆l

t A b

E ) a b ( R A E

a R

2 1

∆

⋅

⋅ α

⋅ =

− + ⋅

⋅

⋅

2

1

E A

) a b ( A E

a

t R b

⋅ −

⋅ +

∆

⋅

⋅

= α

E ) a b ( A A E a

t b A

R , A A E

) a b ( E a

t b A

R

2 2 1

2

2 1 1

1

⋅ + −

∆

⋅

⋅

= α

=

⋅ σ + −

∆

⋅

⋅

= α

= σ

2 1 c

A A E

) a b ( E a

t k b

− ⋅ +

∆

⋅

⋅

= α

K 5 , 12 33

5 5 , 0

2 , 1 0 5 , 0

2 , 0 10 2 , 1 10 05 , 1

65 A

A b 1 a b a E

t k

^o

5 2 5

1

c 

=



 



 

⋅



 





−

⋅ +

⋅

= ⋅



 



 

⋅



 





−

⋅ +

= α

∆

−