Zadania z mechaniki kwantowej dla III r. biofizyki 9, 10 października
1. Macierz operatora A ma w bazie {e1, e2, e3} postać:
[A] =
15 −11 5 20 −15 8 8 −7 6
.
Proszę znaleźć macierz opreatora A w bazie: f1 = 2e1 + 3e2 + e3, f2 = 3e1 + 4e2 + e3, f3 = e1+ 2e2+ 2e3.
2. Macierz operatora A ma w bazie {e1, e2, e3} postać:
[A] =
0 1 0
−4 4 0
−2 1 2
.
Proszę znaleźć wartości własne i wektory własne tego operatora. Czy ten operator jest diago- nalizowalny?
3. Proszę pokazać, że dla dowolnych operatorów liniowych w przestrzeni unitarnej zachodzi:
(a) (αA + βB)? = ¯αA?+ ¯βB?, (b) (A B)? = B?A?.
4. Macierz samosprzężonego operatora A, ma w ortonormalnej bazie {e1, e2} postać:
[A] =
3 2 + i
2 − 2i 1
.
Proszę znaleźć bazę oronormalną, w której [A] jest diagonalna oraz macierz przejścia do tej bazy.
5. Proszę pokazać, że dla dla każdego samosprzężonego operatora A liczba (x, Ax) jest rzeczywista (dla każdego wektora x).
6. Proszę wypisać szeregi potęgowe odpowiadające funkcjom: exp(x), sin(x), cos(x).
7. Niech σ1, σ2, σ3 oznaczają macierze Pauliego:
σ1 = 0 1 1 0
, σ2 = 0 −i
i 0
, σ3 = 1 0 0 −1
. Proszę pokazać, że
σiσj = δijI + X
k
iεijkσk oraz
(~a · ~σ)~b · ~σ = ~a ·~b + i ~a ×~b · ~σ , gdzie ~a · ~σ ≡ a1σ1+ a2σ2+ a3σ3.
8. Korzystając z rozwiązania poprzedniego problemu proszę udowodnić wzór exp (iα~n · ~σ) = (cos α)I + i(sin α)~n · ~σ ,
gdzie ~n jest dowolnym wektorem jednostkowym: ~n · ~n = 1; exp (iα~n · ~σ) jest zdefiniowana przez szereg potęgowy. Wskazówka: proszę pokazać, że (~n · ~σ)2k = I i (~n · ~σ)2k+1= ~n · ~σ.
A. Rostworowski
http://th.if.uj.edu.pl/∼arostwor/
