nxn Pokazać, że dla każdego x ∈ c00 ciąg (|Tn(x

ANALIZA FUNKCJONALNA I TOPOLOGIA Lista 4 - Twierdzenie Banacha-Steinhausa

1. Niech c00 będzie przestrzenią liniową ciągów (np. rzeczywistych), których prawie wszystkie (wszystkie za wyjątkiem skończonej ilości) wyrazy się zerują, z normą k x k∞. Niech będzie dany ciąg (T_n) operatorów liniowych T_n: c₀₀→ R postaci

T_n(x₁, x₂, x₃, . . .) = nx_n

Pokazać, że dla każdego x ∈ c₀₀ ciąg (|T_n(x)|) jest ograniczony, natomiast ciąg norm (k T_nk) nie jest ograniczony. Porównać z Twierdzeniem B-S.

2. Pokazać, że przestrzeń wielomianów jednej zmiennej (np. rzeczywistych) R[x] z normą k f k= max_j|a_j| dla f (x) = a_nxⁿ+ . . . + a₁x + a₀ nie jest zupełna, defini- ując odpowiedni ciąg ograniczonych operatorów liniowych T_n ∈ B(X), który jest punktowo ograniczony, ale nie jest ograniczony jednostajnie i stosując Twierdzenie B-S.

3. Pokazać, że jeżeli (x_n) jest ciągiem w przestrzeni Banacha X (np. nad ciałem C), takim że dla każdego ϕ ∈ X^∗ ciąg (ϕ(x_n)) jest ograniczony, to ciąg norm (k x_nk) jest ograniczony. Wskazówka: Zdefiniować ciąg operatorów Tn: X^∗ → C wzorem T_n(ϕ) = ϕ(x_n) i zastosować Twierdzenie B-S.

4. Niech X, Y będą przestrzeniami Banacha oraz niech Tn ∈ B(X, Y ) dla każdego n ∈ N. Korzystając między innymi z poprzedniego zadania, pokazać, że następu- jące warunki sa równowazne:

(a) ciąg (k T_nk) jest ograniczony,

(b) ciąg (k T_n(x) k) jest ograniczony dla każdego x ∈ X,

(c) ciąg (|ϕ(T_n(x))|) jest ograniczony dla każdego x ∈ X i każdego ϕ ∈ Y^∗. 5. Niech x = (x_n) będzie ciągiem liczb zespolonych, takim że dla każdego ciągu

y = (y_n) ∈ c₀ (zbieżnego do zera) zachodzi zbieżność szeregu

∞

X

n=1

x_ny_n. Pokazać, że szereg P∞

n=1x_n jest bezwględnie zbieżny, czyli że x ∈ `¹, stosując Twierdzenie B-S. Wskazówka: Zastosować B-S do ciągu operatorów T_n : c₀ → C zadanych wzorem Tn(y) =Pn

j=1xjyj oraz pokazać, że Pn

j=1|xj| ≤k Tnk≤ M . 6. Niech 1 < p < ∞ i niech x^(j) = (x^(j)n ) ∈ `^p dla każdego j ∈ N. Pokazać, że

j→∞lim

∞

X

n=1

x^(j)_n y_n

!

= 0

dla każdego ciągu y = (y_n) ∈ `^q (p, q takie jak zwykle) wtedy i tylko wtedy gdy sup_j k x^(j)k_p< ∞ oraz lim_j→∞x^(j)n = 0 dla każdego n.

1

7. Niech x^(j)= (x^(j)n ) ∈ `¹ dla każdego j ∈ N. Pokazać, że

j→∞lim

∞

X

n=1

x^(j)_n y_n

!

= 0

dla każdego y = (y_n) ∈ c₀ wtedy i tylko wtedy gdy sup_j k x^(j)k₁< ∞ oraz lim_j→∞x^(j)n = 0 dla każdego n.

8. Funkcja D_n: R → C określona wzorem D_n(x) =

n

X

k=−n

e^2πikx

nazywa się jądrem Dirichleta. Wyprowadzić prosty wzór algebraiczny D_n(x) = sin(2n + 1)πx

sin(πx) dla x 6= 0 oraz pokazać, że

n→∞lim Z ∞

0

|D_n(x)|dx = ∞

9. Szeregiem Fouriera rzeczywistej funkcji całkowalnej f na (0, 2π) jest szereg S(x) =

∞

X

m=−∞

a_me^i2πmx gdzie

a_m = 1 2π

Z 2π 0

f (t)e^−2πimtdt Jego obcięcie jest dane wzorem

S_n(x) =

n

X

m=−n

a_me^2πimx Kładąc f (x + 2π) = f (x) dla x ∈ (0, 2π), pokazać, że

Sn(x) = 1 2π

Z 2π 0

f (x + t)Dn(t)dt

10. Niech X będzie przestrzenią Banacha wszystkich rzeczywistych funkcji ciągłych na [0, 2π], dla których f (0) = f (2π). Pokazać, że operator T_n: X → R postaci

T_n(f ) = 1 2π

Z 2π 0

f (x)D_n(x)dx jest ograniczony i ma normę

k T_nk= 1 2π

Z 2π 0

|D_n(x)|dx

11. Korzystając z zadań 8-10 oraz Twierdzenia B-S, pokazać, że istnieje funkcja f ∈ X (przestrzeń z poprzedniego zadania), której szereg Fouriera jest rozbieżny w x = 0.

R. Lenczewski

2