Ćwiczenia nr 11
Kognitywistyka: Wstęp do matematyki Wartość oczekiwana zmiennej losowej, 13.1.2020
Zadanie 1. Gracz wpłaca 10 zł za uczestnictwo w następującej grze. Trzy kości są rzucane. W przypadku jednej szóstki gracz otrzymuje nagrodę 20 zł, w przypadku dwóch szóstek – 40 zł, a trzech 80 zł. Czy opłaca się grać?
Zadanie 2. W urnie jest 7 kul białych i 3 czarne. Losujemy 3 kule (a) ze zwracaniem,
(b) bez zwracania.
Oblicz wartość oczekiwaną liczby wylosowanych kul czarnych.
Zadanie 3. Rzucamy dwa razy kostką do gry. Niech X oznacza mniejszą z liczb uzyskanych oczek, a Y większą.
Znajdź rozkłady zmiennych losowych X, Y oraz 7 − Y . Wykazać, że rozkłady zmiennych losowych X i 7 − Y są identyczne, ale X 6= 7 − Y . Oblicz wartości oczekiwane zmiennych X i Y .
Zadanie 4. Rzucamy 10 razy monetą symetryczną. Oblicz wartość oczekiwaną liczby uzyskanych ołów. Jaka jest odpowiedź, jeśli moneta jest asymetryczna i prawdopodobieństwo wyrzucenia orła wynosi p.
Zadanie 5. Rzucamy monetą do momentu uzyskania orła. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzu- tów.
Zadanie 6. 3 automaty do kawy, jeden jest popsuty, drugi połyka monety z prawdopodobieństwem 1/2, trzeci sprawny. Kawa kosztuje 3 zł. Oblicz wartość oczekiwaną kosztu uzyskania kawy w tej sytuacji. (Nie wiemy, który automat jest który, ale wiemy, jak działają. Mamy następującą strategię: Jeśli pierwszy wybrany automat nie wyda kawy (w pierwszej próbie), to zmieniamy go na drugi. Jeśli ten też nie wyda kawy, to zmieniamy wybór na trzeci – ten już musi wydać kawę.)
Zadanie 7. Rzucamy dwiema monetami jednocześnie do momentu uzyskania orłów na obu monetach. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.
Zadanie 8. Rzucamy kostką do momentu uzyskania (a) szóstki; (b) szóstki lub piątki. Oblicz wartość oczeki- waną liczby wykonanych rzutów.
Zadanie 9. Rzucamy monetą do momentu uzyskania dwóch orłów z rzędu. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.
Zadanie 10. Sekretarka Świętego Mikołaja wysyła prezenty świąteczne. Ma n paczek z prezentami przygo- towanymi zgodnie z otrzymanymi listami do Świętego Mikołaja i n zaadresowanych etykiet z adresami, które nalepia na paczkach w sposób zupełnie losowy. Oblicz wartość oczekiwaną liczby prawidłowo za- adresowanych paczek.
Zadanie 11. Rzucamy 6 razy kostką sześcienną. Niech N oznacza liczbę wyrzuconych wartości. Na przykład, jeśli wyrzucimy kolejno 6, 3, 4, 3, 2, 6 oczek, to wyrzuconymi wartościami są 2, 3, 4, 6, więc N = 4.
Znaleźć wartość oczekiwaną zmiennej losowej N . Zadania domowe na 20.1.2020
Zadanie 1. Mamy pięć urn z białymi i czarnymi kulami. W każdej urnie jest pięć kul. Liczby kul białych w kolejnych urnach wynoszą 5, 4, 3, 2, 1. Losujemy niezależnie od siebie po jednej kuli z każdej urny.
Zmienna losowa to liczba wylosowanych kul białych. Oblicz jej wartość oczekiwaną.
Zadanie 2. n ponumerowanych kul o numerach 1, 2, 3, . . . , n wkładamy na chybił trafił do n szuflad, też o numerach 1, 2, . . . , n. Niech X oznacza liczbę kul, która trafiła do szuflady o numerze mniejszym niż numer kuli. Obliczyć wartość oczekiwaną EX.
Zadanie 3. Rzucamy kostką sześcienną n razy. Niech X oznacza liczbę rzutów, w którym wyrzucono tę samą liczbę oczek, co w rzucie poprzednim. Obliczyć wartość oczekiwaną EX.
Zadanie 4. Rzucamy kostką do momentu uzyskania dwóch szóstek pod rząd. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.
