Kognitywistyka: Wstęp do matematyki
Rozkład, wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej (ćw 11) 14.1.2019
Zadanie 1. Gracz wpłaca 10 zł za uczestnictwo w następującej grze. Trzy kości są rzucane. W przypadku jednej szóstki gracz otrzymuje nagrodę 20 zł, w przypadku dwóch szóstek – 40 zł, a trzech 80 zł. Czy opłaca się grać?
Zadanie 2. W urnie jest 7 kul białych i 3 czarne. Losujemy 3 kule (a) ze zwracaniem,
(b) bez zwracania.
Oblicz wartość oczekiwaną liczby wylosowanych kul czarnych.
Zadanie 3. Rzucamy dwa razy kostką do gry. Niech X oznacza mniejszą z liczb uzyskanych oczek, a Y większą. Znajdź rozkłady zmiennych losowych X, Y oraz 7−Y . Wykazać, że rozkłady zmiennych losowych X i 7 − Y są identyczne, ale X 6= 7 − Y . Oblicz wartości oczekiwane zmiennych X i Y . Zadanie 4. Rzucamy 10 razy monetą symetryczną. Oblicz wartość oczekiwaną liczby uzyskanych ołów. Jaka jest odpowiedź, jeśli moneta jest asymetryczna i prawdopodobieństwo wyrzucenia orła wynosi p.
Zadanie 5. Rzucamy monetą do momentu uzyskania orła. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.
Zadanie 6. Mamy 3 automaty do kawy. Wiemy, że jeden jest popsuty, drugi połyka monety z prawdopo- dobieństwem 1/2, trzeci sprawny. Nie wiemy jednak, który automat jest który. Kawa kosztuje 1 zł. Nasza strategia otrzymania kawy jest następująca: wybieramy w sposób losowy jeden z automatów. Jeśli nie dostaniemy kawy k krotnie, zmieniamy automat. Jeśli nie dostaniemy kawy z drugiego automatu n krotnie, zmieniamy automat. Zatem maksymalnie zapłacimy za kawę k + n + 1 zł. Oblicz wartość oczekiwaną kosztu uzyskania kawy przy tej strategii. Czy k = n = 1 daje optymalną strategię (tj. z najmniejszą wartością oczekiwaną)?
Zadanie 7. Rzucamy dwiema monetami jednocześnie do momentu uzyskania orłów na obu monetach. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.
Zadanie 8. Rzucamy kostką do momentu uzyskania (a) szóstki,
(b) szóstki lub piątki, (♥) dwóch szóstek z rzędu.
Oblicz wartość oczekiwaną liczby rzutów.
Zadanie 9. Sekretarka Świętego Mikołaja wysyła prezenty świąteczne. Ma n paczek z prezentami przygo- towanymi zgodnie z otrzymanymi listami do Świętego Mikołaja i n zaadresowanych etykiet z adresami, które nalepia na paczkach w sposób zupełnie losowy. Oblicz wartość oczekiwaną liczby prawidłowo zaadresowanych paczek.
Zadanie 10. Losujemy bez zwracania dwie liczby ze zbioru {1, 2, 3}. Niech X oznacza iloraz pierwszej wylo- sowanej liczby przez drugą. Obliczyć wartość oczekiwaną oraz wariancję zmiennej losowej X.
Zadanie 11. Rzucamy monetą do momentu wyrzucenia orła lub 3 reszek z rzędu. Znajdź rozkład zmiennej losowej X = { liczba wykonanych rzutów} i obliczyć EX, Var X.
