Oszacowania systemów w.

w. DZIUBDZIELA i B. KOPOCIŃSKI (Wrocław)

Oszacowania niezawodności systemów

(Praca ^przyjęta do druku 11.11.1977)

O. Streszczenie. Praca zawiera przegląd metod i wyników dotyczących zagadnie- nia szacowania niezawodności systemów przy warunku, że nie jest znany pełny rozkład prawdopodobieństwa czasów pracy (nośności granicznych) wyróżnionych

w systemie minimalnych krytycznych zbiorów elementów. Przedstawione w niej

zostały rezultaty o różnym stopniu dokładności, proste i wymagające w zastoso- waniach użycia zaawansowanej techniki obliczeniowej.

1. Zagadnienie. Zanim przejdziemy do ścisłego przedstawienia interesującego

nas zagadnienia, przypomnijmy kilka założeń, które w matematycznej teorii nie-

zawodności są zwykle przyjmowane. Pozwoli to nam łatwiej wyrazić problem oraz

określić zakres stosowalności przedstawianych rezultatów.

Niezawodność systemów wyznaczają niezawodności elementów i struktura systemu. Elementy systemu ^mogą ulec uszkodzeniu pod ^wpływem czasu lub ob-

ciążenia. Będziemy rozważali systemy bez odnowy, o strukturze pozwalającej wy-

różnić minimalne krytyczne zbiory elementów. Przypomnijmy, że krytycznym zbiorem elementów nazywamy zbiór elementów o tej własności, że uszkodzenie systemu

następuje wtedy, gdy wszystkie elementy zbioru ulegną uszkodzeniu i zauważmy, że jest wygodnie ^rozważać minimalne zbiory o tej ^własności (zob. [l], [6], [13)).

Wprowadzenie minimalnych krytycznych zbiorów elementów pozwala sprowadzić analizę złożonego systemu do systemu szeregowo-równoległego. Elementy każdego

minimalnego krytycznego zbioru tworzą bowiem podsystem równoległy, natomiast krytyczne zbiory mają układ szeregowy. Gdy znana jest struktura fizyczna systemu,

czynnością przygotowawczą jest znalezienie niezawodności krytycznych zbiorów elementów. W dalszym ciągu będziemy zakładali, że niezawodności minimalnych krytycznych zbiorów elementów są znane. Ściśle biorąc przyjmujemy, że jest dany pewien ciąg zmiennych losowych X_{1 ,} X2 , ^{„ .,} reprezentujących czasy życia mini- malnych krytycznych zbiorów elementów lub wytrzymałości (nośności graniczne) minimalnych krytycznych zbiorów elementów.

Podstawowymi pojęciami rozważanej tutaj teorii będą zdarzenia losowe Ai =

= {X} ^~ t} oraz {min (X_{1 ,} X2 , „., Xn) ~ t} określające niezawodność minimalnych krytycznych zbiorów elementów i niezawodność systemu.

62 W. D z i u b d z i e 1 a, B. K o p o c i ^ń s k i

Niezawodność systemu wyraża się natychmiast przez prawdopodobieństwo

sumy ^zdarzeń Aj, mamy bowiem

11

= l-Pr(min(X1,X2 , ••• ,Xn) < t) = 1-Pr(LJ {Xj < t})

J=l

i ostatecznie (zob. np. [7], [8])

n

(1.2) Pr(min(X1,X2 , „.,Xn) ~ t) = 1- LPr(Xj < t)+

j=l

11 11

+ _}i.}2=

L

L

ii <'2 ii <'2 <h

„. + (-l)nPr(X1 < t, X2 < t, .„, Xn < t).

W zagadnieniach praktycznych rzadko jednak znamy kompletny łączny rozkład prawdopodobieństwa ciągu zmiennych losowych X1 , X2 , ••• , Xn. Interesujące jest

więc pytanie o oszacowania niezawodności systemu przy ograniczonej informacji o łącznym rozkładzie.

Niniejsza praca jest poświęcona następującemu zagadnieniu: Dana jest ogra- niczona informacja o rozkładzie prawdopodobieństwa określonego na przekrojach A,;, A1₂ ^„. A.it, ^{1 ~ ji < j2 < .„ <A~} n, pewnych ^zdarzeń losowych Aj, 1 ~ j ~n.

n Należy możliwie dobrze oszacować od góry i od dołu prawdopodobieństwo Pr(lJ A1)

}= 1

sumy ^zdarzeń.

Od stu lat zagadnienie to bym przedmiotem zainteresowania wielu matematyków.

Jest ono ^złożone i trudno pokusić się o rozwiązanie optymalne i równocześnie

wygodne do zastosowań. Do wstępnych analiz ^zagadnień praktycznych wygodniej jest bowiem użyć oszacowań łatwych do obliczeń, choć niekoniecznie bliskich optymalnego; w bardziej subtelnej analizie potrzebne ^są oszacowania dokładniejsze, choć wymagane jest wówczas użycie żmudnej techniki rachunkowej. Z tych powodów decydujemy się na przedstawienie przeglądu rezultatów, który uwzględnia rozwią­

zania o ^różnym stopniu dokładności.

Warto dodać, że dokonamy tu wyboru materiału. W szczególności, pominiemy

dość zaawansowaną teorię zbudowaną dla zmiennych symetrycznie zależnych,

która ma bardziej ograniczone zastosowania. Przypomnijmy, że ciąg zdarzeń lo- sowych A1 , A2 , „., An jest symetrycznie zależny, jeżeli dla każdego ciągu wskaźników 1 ~ i1 ^< i2 ^< „. <A~ n prawdopodobieństwa przekrojów Pr(Aj₁ AJ₂ .„ Ajt) za-

leżą jedynie od k.

2. Oznaczenia i uwagi ogólne. W pracy będziemy używali symboli teorii ^mnogości bez ich objaśniania. W tym rozdziale wprowadzimy oznaczenia pojęć używane

w całej pracy. Specjalne pojęcia i oznaczenia ^będziemy wprowadzali na bieżąco.

Niech !J ^będzie uniwersalnym zbiorem ^zdarzeń elementarnych oraz niech Ai c: !J, je J, będą zdarzeniami losowymi, przy czym J = { 1, 2, ... ,n}, gdzie n jest ^ustaloną

liczbą naturalną.

Niech Br, 1 ^~ r ^~ n, ^będzie zdarzeniem losowym polegającym na tym, ^że co najmniej r spośród zdarzeń A ^u Az, „., An zachodzi. Sumę rozważanych zdarzeń

losowych, będącą głównym przedmiotem naszego zainteresowania, oznaczymy przez B;

(2.1)

Przez BcrJ, O ~ r ~ n, oznaczymy zdarzenie losowe polegające na tym, że dokład­

nie r spośród zdarzeń A1' Az, .„, An zachodzi. Oczywiście,

(2.2) Br = U n Bcil, 1 ^~ r ~ n,

j=r

i w szczególnym przypadku

(2.3) _{B = j=l} LJ ^{n B[j] = !J-Bco1·}

W symbolach sumy zbiorów lub liczb, gdzie granice sumowania rozciągają się

na ^cały zbiór J, ^będziemy na ^ogół pisali jedynie ^wskaźnik sumowania, a w przy- padku pewnych ograniczeń ob~zaru sumowania ^będziemy dodawali to ograniczenie.

Sumy wielokrotne piszemy przy użyciu jednego znaku sumowania.

Z wzoru (1.2) wynika oczywiście, że do obliczenia prawdopodobieństwa zda- rzenia B nie wystarcza znajomość prawdopodobieństw poszczególnych ^zdarzeń Abj EJ, ale także każdej pary (j, k) ^zdarzeń Ai, Ab ^każdej trójki (j,k,l) ^zdarzeńA1^, Ak, A1, itd. Przyjmijmy krótkie oznaczenia dla prawdopodobieństw zdarzeń Ai i ich przekrojów

(2.4) Pi= Pr(Ai), Pik= Pr(AiAk), 1 ^~ j ~n, 1 ^~ k ^~n.

Ponadto niech (2.5)

i ogólnie

(2.6) sk =

L

•

gdzie sumowanie * rozciąga się na wszystkie ^układy liczb 1 ^~ j₁ < jz < ... <A ^~ n.

Wygodnym narzędziem analizy zagadnienia ^są indykatory ^zdarzeń losowych.

Przypomnijmy, ^że indykatorem zdarzenia losowego A c: !J nazywamy funkcję okreś­

loną na !J w następujący sposób:

IA(w) = p, \O, ^jeżeli w przeciwnym razie. ^{w EA,}

64 W. Dz i ub d zie I a, B. Kop o c ^iński Krótko będziemy oznaczali

lid2···ik(w) = IA11A 12 .•. A-'k(w), 1 ^{~j1 <j2} <···<A~ n.

Zauważmy, że indykator zdarzenia losowego jest zmienną losową o ^wartości ocze- kiwanej równej prawdopodobieństwu tego zdarzenia. Symbolicznie

Ponadto mamy

EIA(w) = Pr(A), A c Q.

18(w) = max lj(w).

jeJ

Ulubioną techniką dowodzenia ^będzie dla nas określenie pewnych faktów dla indykatorów, a następnie obliczenie wartości oczekiwanych. Zauważmy w szcze-

gólności, że

Pr(B) = Emax li( w).

jeJ

3. Nierówności Bonferroniego. Dla dwóch dowolnych zdarzeń losowych A₁ i A₂ mamy

(3.1)

a stąd otrzymujemy oszacowanie (3.2)

Wzór ten i nierówność mogą być łatwo uogólnione na przypadek n zdarzeń. Przy

użyciu metody zawierania i wyłączania zbiorów ([7], [25]) otrzymujemy (3.3) S1 -S2 ~ Pr(B) ^~ S_{1 ,}

(Boole [2]).

Podamy teraz bez dowodu dwa twierdzenia uogólniające wzór (3.1) i nierówności

(3.2), (3.3). Dowody można znaleźć w książkach Frecheta ·[10] i Fellera [7]. Twier- dzenia te ^są wnioskami z ogólniejszych twierdzeń, które udowodnimy ^później.

TWIERDZENIE 3.1. Prawdopodobieńsiwo zdarzenia Bc,₁ realizacji ^dokładnie r ^spoś­

ród ^zdarzeń losowych A1 , A2 , ••• ,An określone jest ^równością

natomiast prawdopodobieństwo zdarzenia B, realizacji co najmniej r spośród zdarzeń

losowych A1 , A2 , ••• ,An określone jest ^równością

TWIERDZENIE 3.2 (nierówności Bonferroniego).

(3.6) (3.7)

S,-(r+ l)S,+1 ~ Pr(Bc,₁₎ ^~ S"

S,-rS,+1 ~ Pr(B,) ^~ S,.

Nierówności (3.6) i (3. 7) wykorzystują jedynie sumy S, i S,+ ₁ zdefiniowane w (2.6). Ogólnie, nierównością typu Bonferroniego nazywamy nierówność postaci

n n

(3.8) _k=O

L

L

gdzie c1c,, dk, ^O~ k ^~ n, ^są pewnymi ciągami liczb rzeczywistych (zob. [11]).

TWIERDZENIE 3.3. Nierówność (3.8) . zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy

h h

(3.9) _k=O

L

L

gdzie <5_11,, = 1 albo O, gdy odpowiednio h = r albo h #=- r.

Do wód. Dla określenia oszacowania prawdopodobieństwa Pr(Bc,₁₎ w ter- minach innych ^zdarzeń, najpierw znajdujemy oszacowania odpowiednich indyka- torów, a ^następnie bierzemy wartość oczekiwaną.

Niech

Jk(w) = L..i '1 /. · ^J1J1 „ . " 1•(w) ,

•

gdzie granice sumowania * są określone w (2.6). Wówczas EJk(w) = Sk.

Dla każdego zdarzenia elementarnego we Bc₁₁₁ ^(O~ h ^~ n) nierówność (3.9) jest równoważna nierówności

n n

L

L

k=O k=O

Biorąc wartość oczekiwaną otrzymujemy (3.8).

Odwrotnie, ^weźmy pod ^uwagę specjalny przypadek (3.8), gdy zdarzenia A_1, j e J,

są zdarzeniami pewnymi bądź niemożliwymi. Wówczas (3.8) redukuje się do (3.9).

To ^kończy dowód twierdzenia 3.3.

WNIOSEK 3.1. Przyjmijmy

{

1, jeżeli k = ^r,

c1 = -(r+ 1), jeżeli k = r+ 1,

oraz

dk = _{ o, ^1,

O, poza tym

jeżeli k = r, poza tym.

Wówczas (3.9) jest spełnione, natomiast (3.8) sprowadza się do (3.6).

4. Oszacowania od dołu. Nierówność Boole'a-Bonferroniego (3.3) wykorzystuje jedynie prawdopodobieństwa P₁ i P₁k, 1 ^~ j < k ^~ n. Nierówności wykorzystujące

66 W. Dz i ub dz ie I a, B. Kop o ci ^ń s k i

te ^wielkości nazywamy nierównościami drugiego stopnia. Wymieniona nierówność

nie jest jednakże najostrzejszą nierównością drugiego stopnia. Mocniejsze oszaco- wania (od góry i od ^dołu) daje twierdzenie:

TWIERDZENIE 4.1 (Kounias [17]). Niech J0 będzie dowolnym podzbiorem zbioru J = {1, 2, ... ,n}. Wówczas

(4.1)

(4.2)

max(L Pi-_{Io ·. jeJ}

L

0 )<k

j, kelo

Pr(B) ~min( 1, S1 - max meJ j"'m

L

D o w ó d. Nietrudno zauważyć, że dla dowolnego J0 c J, m ^E J0 , I ^~ m ^~ n, zachodzi nierówność

(4.3)

L

L

L

je/o )<k Jelo )Elo

j,kEJo

Biorąc wartość oczekiwaną otrzymujemy (4.4)

Zatem najlepszym oszacowaniem drugiego stopnia Pr(B) od ^dołu jest tutaj (4.1).

r

Weźmy teraz rozłączne .zbiory J1, J2, ... , ^J, takie, że LJ ^{Jk = J.} Niech Ck=

k=l

r n

U A1; wówczas U Ck = U A1 ⁼ B, a następnie korzystając z (4.4) otrzymu-

JeJt k=l J=l

jemy

Pr(Ck) ~ min(l,

L

L

J#m

oraz

r r

Pr(B) =Pr( _k=l

u

L

W szczególności, dla r = 1 mamy (4.2). To ^kończy dowód twierdzenia 4.1.

Oszacowania (4.1) i (4.2) stanowią próbę wykorzystania wzajemnych zależności między elementami macierzy Q = (Pil). Eleganckie, ^chociaż nienajostrzejsze wy- korzystanie macierzy Q ^podał Gallot [12). Wykorzystuje ono ^pojęcie uogólnionej macierzy odwrotnej. Przypominamy, że uogólnioną macierzą odwrotną do macierzy Q nazywamy macierz Q- spełniającą równość QQ- Q = Q (zob. [24], str. 24).

Niżej w pewnym fragmencie pracy zastosujemy zapis macierzowy.

; TwrnRDZENJE 4.2 (Galiot [12]). Niech P' = (P1,P2 , „.,Pn); wówczas .

(4.5) Pr(B) ~ P'Q-P.

Oszacowanie to jest ^dokładne (ostre}, jeżeli Q ma rząd jeden, ale wtedy wszystkie zdarzenia Ai ^są równoczesne albo jeżeli ma rząd dwa, ale wtedy ^są dwa zdarzenia takie, że jedno jest podzbiorem drugiego.

Poniższy dowód twierdzenia 4.2 pochodzi z pracy Kouniasa [17] (zob. także

[18], Appendix).

Do wód. Dla dowolnego wektora a' = (a1 , a2 , ••• ,an) oraz l'(w) = (/1 (w), 12 (w), ... ,In (w)) dla dowolnego w ^spełniona jest nierówność

(a'l(w))²-2a'I(w)+maxlj(w) ^~ O.

Biorąc wartość oczekiwaną, znajdujemy

Pr(B) ~ 2a'P-a'Qa.

Wektor, ktory maksymiżuje prawą stronę nierówności, spełnia równość Qa = P.

Dlatego

Pr(B). ^~ a'Qa z podstawieniem Qa = P,

ale a'Qa = a'QQ-Qa = P'Q-P,

co kończy dowód twierdzenia 4.2.

Oszacowania od ^{dołu były} przedmiotem także inn_ych prac. Zacytujemy je dla porównania wyników.

Dawson i Sankoff [4] pokazali, że

(4.6)

gdzie e ^{= 2S}2 /S1 oraz [x] jest najmniejszą liczbą całkowitą nie przekraczającą x.

Oszacowanie (4.6) okazało się lepsze od rezultatu Chunga i Erdosa [3]:

(4.7) Pr(B) ^~ Sf/(S₁ +2S_{2 )}

oraz rezultatu Bonferroniego (3.3).

Dodajmy, że rezultat Gallota (4.5) jest J?OCniejszy od (4.7). Przykłady nume- ryczne podane przez Kouniasa [17] wykazują, że (4.6) nie jest mocniejsze od (4.5).

5. Najlepsze oszacowania od dołu. Rozważmy teraz najlepsze oszacowania od

dołu stopnia drugiego ([18]). W tym celu weźmy dla indykatorów nierówności następującej postaci:

(5.1) m~x lj(w) ~ b0+

L

L

J j j<k

Przez rozważenie wszystkich funkcji Il ^{w) zdarzeń} elementarnych w E Q warunek (5.1) daje nam 2n liniowych nierówności

(5.2) _b0 ~ O, b0 +

L

L

j, keJ,

68 W. Dz i ub dz ie I a, B. Kop o ci ^ń ski

gdzie J, c J ma r elementów i 1 ~ r ^~ n. Biorąc wartość oczekiwaną w (5.1), otrzymujemy

(5.3) Pr(B) ~ b0+

2:

2:

dla wszystkich b0 , bb b_11" 1 ~ j ~ n, j < k ^~ n, spełniających (5.2).

Znalezienie najlepszego oszacowania od ^dołu sprowadza ^{się więc} do rozwiązania

zagadnienia programowania liniowego (5.4)

przy ograniczeniach (5.2).

Dla małych n zagadnienie to można rozwiązać. Dla n ^~ 5 problem jest kłopotliwy, wielkość zagadnienia bowiem wzrasta do rozmiaru przekraczającego możliwości współczesnych komputerów. Nie ^wnikając w szczegóły podajemy rozwiązanie

problemu dla n = 3 i n = 4.

3

Pr(U AA~ max(Pi +P2+P3-P¹²-P13-P23 , Pi +P²-P12 , Pi +P3-P^{13 ,}

J=l

gdyż maksimum wyrażenia (5.4) należy szukać w wierzchołkach b0 = O, bi b2 b3 bu b13 b23

1 1 1 1 1 1

1 1 o o o

1 o ¹ o o

o ^{1 1} o o

Dla n= 4 maksimum (5.4) należy szukać w 22 wierzchołkach z b0 = O. Można je

otrzymać przez permutację wskaźników 1, 2, 3 i 4 sześciu wierzchołków danych w tablicy

bi h2 b3 b4 bu b13 bi4 h23 b24 b34

1 1 o o ¹ o o o o o

1 1 1 o ¹ o ¹ o o

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -2 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1

2 2 2 2 1 i ^{1 1 1 1}

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

1 1 _{2 2} ^{1 1} 1 ₂ ¹ ₂ ^{1 1} _{2 2} ¹ o

Wspomnijmy, że Kwerel [21] otrzymuje najlepsze oszacowania od ^dołu dla Pr(B)

wykorzystujące n, S_{1 ,} S2 .' ~~

6. Oszacowania od góry. Oszacowaniom od góry, jakkolwiek z punktu widzenia

zastosowań zwłaszcza w teorii niezawodności ważniejszym od oszacowań od dołu, poświęcono mniej prac. Podamy teraz rezultat Huntera [14].

LEMAT 6.1. Niech r(j) oznacza dowolną liczbę ze zbioru {l, 2, ... ,j-1 }. W6wczas

n

(6.1) _Pr(B) ~

L

L

j i=2

Do wód. Niech Ac oznacza dopełnienie zbioru A. Wówczas łatwo sprawdzić, że n

Pr(B) = Pr(L) Ai) = Pr(A1)+

,L

} i=2

To kończy dowód lematu 6.1.

~ Pr(A1)+

L

i=2 n

= Pr(A1)+

,L

j=2 n

=

L

^,L

j i=2

Rozważmy zbiór J oraz graf (J, U) o wierzchołkach w J i krawędziach U=

= {U, k): 1 ~ j, k ~ n}. Drzewem T rozpiętym na grafie (J, U) nazywamy każdy n-wierzchołkowy podgraf spójny o n - 1 krawędziach.

Zauważmy, że funkcja r(j) zdefiniowana w lemacie 6.1 daje pewne drzewo T = (J, r), gdzie r = {(j, ^{r(j)): j} = 2, 3, ... ,n}.

TWIERDZENIE 6.1 (Hunter [14]). Dla pewnego uporządkowania Au A2 , .„, An zbiorów przekroje Ai₁Ak₁^, Ai₂Ak₂^, „., Ain-iAkn-i mogą być użyte we wzorze (6.1) wtedy i tylko wtedy, gdy T = (J, r), gdzie T = {U_{1, k}1 ), (j2,k2), ... ,(jn-1,kn-1)}, jest drzewem.

D o w ó d. Konieczność.: Dla dowolnego punktu j E {2, 3, „ ., n} mamy przy-

porządkowanie rU) E { 1, 2, ... ,j-1 }, a zatem graf T jest spójny, ma n-1 ^krawędzi, a więc jest drzewem. · .

Dostateczność: Niech T ^będzie drzewem rozpiętym na J. Weźmy dowolny wierz-

chołek drzewa Ti ponumerujmy w dowolny sposób wierzchołki odległe od niego o jedną krawędź, następnie kolejno wierzchołki odległe o dwie krawędzie itd. Uzysku- jemy pewne uporządkowanie wierzchołków, a równocześnie krawędzie drzewa T

określają funkcję r(j) o wartościach z { 1, 2, .„,j-1} dla każdego j. To kończy

dowód twierdzenia 6.1. · ¹

Korzystając z oznaczeń przyjętych dla drzewa, nierówność (6.1) możemy napi-

sać w następującej . postaci: ·

(6.2) Pr(B) ~

L

^,L

L

L

1. j (j, k)eT j ^(j~ k)eT

Biorąc najlepsze oszacowanie na zbiorze wszystkich drzew, otrzymujemy

70 W. D z i u b dz ie I a, B. K o p o c i ń s k i WNIOSEK 6.1.

(6.3)

Zagadnienie oszacowania Pr(B) sprowadza ^się do znalezienia drzewa T* =

(J, r*), dla którego 2:: ^Pik= max. Algorytm postępowania przy rozwiązy-

(j,k')e-r•

waniu tego problemu jest prosty (zob. Florek et al. [9], K.ruskal [19]), znane ^są

także realizacje algorytmu dla popularnych komputerów (Kucharczyk i ^Sysło [20),

Trybuś [26]).

Rozważmy teraz najlepsze oszacowania liniowe drugiego stopnia od góry ([18]).

Postępując podobnie jak w przypadku najlepszego liniowego oszacowania od ^dołu, stwierdzamy, że należy teraz zminimizować

(6.4)

przy ograniczeniach liniowych

(6.5) c0 ~ O, c0+

L

L

jEJr j<k j, kEJr

Wierzchołek sympleksu definiowanego przez (6.5), w którym (6.4) jest mini- mizowane, nazywa ^się optymalnym. ^Wyrażenie (6.4) obliczone dla wierzchołka

optymalnego poprawia oszacowania (4.2) i (6.3).

Można wykazać (zob. [18]), że c0 = O lub c0 = 1 oraz ci= cik = O. Ogólnie zagadnienia nie będziemy dyskutować. W szczególności, dla n = 3 mamy

3 3

Pr(U 3 Ai) ~min(t,

L Pi-

LP,,,i),

J=l i=l ^l~m<3

i#:-m

ponieważ sympleks (6.5) ma wówczas cztery wierzchołki

Co C1 Ci. 03 Cu C13 023

l o o o o o o

o ^{l 1} o

o ^{1 1} 1 o

o ^{1 I} o ¹

Jest to wynik zgodny z ( 4.2).

Dla n = 4 mamy 23 wierzchołki. Można je otrzymać przez permutację wskaźni­

ków 1, 2, 3 i 4 czterech wierzchołków danych w tablicy

Co 01 C2 C3 C4 C12 C13 C14 C23 C24 C34

I o o o o o o o o o o

o ^l 1 I o o o

o 1 1 1 1 I l o o ^l o o 1 l 1 1 -1 I 1 1 1 o

Kwerel w pracy [21] ^podał najlepsze oszacowania od góry Pr(B) wykorzystujące

n, S1 , S2.

7. Pewne oszacowanie pierwszego stopnia. Oszacowaniami pierwszego stopnia na- zywamy nierówności wykorzystujące jedynie prawdopodobieństwa Pi. W przy- padku przeprowadzania badań statystycznych użycie ich jest wygodne, gdyż nie- potrzebne są wymagające dużej liczby obserwacji badania wzajemnych zależności zdarzeń losowych Ai,j EJ.

Najlepiej znaną nierównością pierwszego stopnia jest nierówność Boole' a (7.1) max(P1 , P2 , ••• ,Pn):::;; Pr(B):::;;

Lpi·

Aby ją polepszyć, będziemy przyjmować dodatkowe ^założenia o zdarzeniach A1 ,

A2 , ••• ,An.

Jeżeli zdarzenia A1 , A2 , ••. , An ^są stochastycznie niezależne, to mamy

(7.2) Pr(B) = 1-

n

Odpowiada to sytuacji, gdy rozpatrujemy systemy o niezależnych elementach (zob.

[I], [13], [15]).

Załóżmy teraz, że zdarzenia Ai, j ^E J, ^są dodatnio zależne (positively orthand dependent), to znaczy, że spełniona jest nierówność

(7.3) Pr(() _J Aj)~

n

Warunki, przy których zachodzi (7.3), ^są dobrze zbadane (zob. [5] i prace tam cytowane). Przy powyższym założeniu mamy ^więc

TWIERDZENIE 7 .1 ^Jeżeli zdarzenia losowe Ab j EJ, ^są dodatnio ^zależne, to (7.4) Pr(B) =I-Pr({) _J Aj):::;; 1-

n

n

Zauważmy, że oszacowanie to jest lepsze od nierówności Boole'a (7.1).

W ^języku teorii niezawodności systemów nierówność (7.4) można interpretować

w następujący sposób. Czas ^życia systemu o minimalnych krytycznych zbiorach dodatnio zależnych jest zmienną losową stochastycznie większą niż czas życia tego systemu, przy założeniu, że zbiory krytyczne ^są stochastycznie niezależne. Przy- pomnijmy, że zmienna losowa X jest stochastycznie większa od zmiennej losowej Y, gdy Pr(X ^~ t) ^~ Pr(Y ^~ t) dla ^każdego rzeczywistego t (zob. [23]).

Nierówność (7.4) można wzmocnić (zob. Kopociński [16)) wprowadzając moc-

niejszą wersję dodatniej zależności i dopuszczając oszacowania drugiego stopnia.

Mówimy, ^że zdarzenia losowe Abj e J, ^są en bloc dodatnio zależne, jeżeli dla do-

;oJnych J1 c: J, J2 c: J zachodzi nierówność

(7.5) Pr( n Aj)~ Pr(n Aj)Pr(n Aj).

ieJ1vJ2 jeJ1 ieJi

72 W. D z i u b dz i e I a, B. K o p o c i ^ń ski

LEMAT 7.1. Niechµ będzie 2m-elementową permutacją z powtórzeniami zbioru J,

następującej postaci

µ = ((i1 ,h, i2,j2, ... , im,jm): i1 ^~ j1' i2 ^~ j2, ... ^,im~ jm, ^ii~ i2 ^~ ··· ^~ im), przy czym 2m ^~n. W6wczas

m

(7.6) Pr(() Aj)~ max

IT

J µ k=l

Dla dowodu lematu wystarczy zauważyć, że

n

n

z ^własności (7.5).

Szukanie optymalnej permutacji µ do prawej strony nierówności (7.6) jest równo-

ważne szukaniu optymalnego ^podziału zbioru elementów na pary. Zagadnienie to jest znane pod ^nazwą optymalnego kojarzenia (non-bivariate matching problem) i ma rozwiązanie, a także istnieją realizacje algorytmu dla niektórych komputerów (zob. Lawler [23]).

Oszacowanie (7.6) jt"st porównywalne z oszacowaniem (6.3). Pierwsze jest ostrzej- sze, ^jeżeli zdarzenia losowe A.i, ^{j E J, są} w przybliżeniu niezależne, natomiast drugie jest ostrzejsze, ^jeżeli zdarzenia te zawierają dużą część wspólną.

Prace cytowane

[1] R. E. Bar I o w, F. Pr os cha n, Mathematical theory of reliability, New York, London, Sydney 1965.

[2] G. Bo o Ie, Investigation of laws of thought on which are founded the mathematical theories of logic and probability, London 1854.

[3] K. L. Chung, P. Er do s, On the application of the Borel-Cantelli lemma, Trans. Amer.

Math. Soc. 72 (1952), str. 179-186.

[4] D. A. Da ws o n, D. San k off, An inequality for probabilities, Proc. Amer. Math.

Soc. 18 (1967), str. 504-507.

[5] R. L. Dyk str a, J. E. He wet t, W. A. Tom p son Jr., Events which are a/most independent, Ann. Statist. 1 (1973), str. 674-681.

[6] W. Dz i ub dz ie I a, B. Kop o ci ^ń ski, Z. Ko w a I, Ultimate bearing capacity of structural systems with minimal critical sets having joint elements in pairs, Archiwum Mecha- niki Stosowanej 25 (1973), str. 719-731.

[7] W. Fel I er, ^Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, wyd. 2, (pr.zekładz ang.), Warszawa 1966.

[8] M. Fis z, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, wyd. 3, Warszawa 1967.

[9] K. FI orek, J. ^Łuk as ze w i cz, J. Perka I, H. Steinhaus, S. Zubrzycki, Taksonomia wrocławska, Przegląd Antropologiczny 17 (1951), str. 193-211.

[10] M. Fr ^ć che t, Les probabilities associees a un system d'evenements compatibles et dipen- dants exposes d'ana/yse general, Nos. 859 et 942, Paris 1940, 1943.

[11] J. Ga I amb os, Methods Jor proving Bonferroni type inequalities, J. London Math. Soc.

(2) 9 (1975), str. 561-564.

[12] S. Ga 11 ot, A bound for the maximum of a number of random variables, J. Appl. Prob. 3 (1966), str. 556-558.

[13] B.W. Gniedenko, J.K. Bielajew, A.D. Sołowiew, Metody matematyczne w teorii niezawodności (przekład zJrosyjskiego), Warszawa 1968.

[14] D. Hu n ter, An upper bound for the probability of a union, J. AppJ. Prob. 13 (1976), str. 567-603.

[15] B. Kop o ci ^ń ski, Zarys teorii odnowy i niezawodności, Warszawa 1973.

[16] -, Some estimations of system reliabi/ity with positively dependent survival times of critical paths, Zastos. Matem. 16 (w druku).

[17] E. G. Ko u n i as, Bounds for the probability of a union, with app/ications, Ann. Math.

Statist. 39 (1968), str. 2154-2158.

[18] S. Ko u n i as, J. Mar i n, Best linear Bonferroni bounds, SIAM J. AppJ. Math. 30 (1976), str. 307-323.

[19] J. B. Kr u ska 1, Jr., On the shortest spanning subtree of a graph and the traveling salesman problem, Proc. Amer. Math. Soc. 7 (1956), str. 48-50.

[20] J. Kuch arc z y k, M. S y sł o, Algorytmy optymalizacji w języku ALGOL 60, War- szawa 1975.

[21] S. M. Kw er e 1, Most stringent bounds on aggregated probabilities of partially specified dependent probability systems, J. Amer. Statist. Assoc. 70 (1975), str. 472-479.

[22] E. L. La w 1 er, Combinatorial optimization: networks and matroides, New York 1976.

[23] E. L. L e h m a n n, Testowanie hipotez statystycznych ^(przekład z angielskiego), Warszawa 1968.

[24] C. R. Ra o, Linear statistical inference and its app/ications, New York 1965.

[25] L. Tak ac s, On the method of inc/usion and exclusion, J. Amer. Statist. Assoc. 62 (1967), str. 102-113.

[26] G. Try b u ś, Endosure of a point to the minimum spanning free, Algorithm 42, Zastos.

Matem. 15 (1976), str. 135-139.